專題19：通項公式常用方法<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>在高考中數(shù)列部分的考查既是重點又是難點，不論是選擇題或填空題中對基礎(chǔ)知識的考查，還是壓軸題中與其他章節(jié)知識的綜合，抓住數(shù)列的通項公式通常是解題的關(guān)鍵和解決數(shù)列難題的瓶頸.求通項公式也是學(xué)習(xí)數(shù)列時的一個難點.由于求通項公式時滲透多種數(shù)學(xué)思想方法，因此求解過程中往往顯得方法多、靈活度大、技巧性強.<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型一：累加法題型一：累加法求通項公式如果遞推公式形式為：an+1①等號右邊為關(guān)于n的表達式，且能夠進行求和；②an+1例1(2024·湖北襄陽模擬)已知數(shù)列an滿足a1=1,an?aA.25 B.34 C.1 【思路點撥】根據(jù)遞推關(guān)系得出1an+1?1a練1(2024·全國·模擬預(yù)測)數(shù)列an滿足a1=2，a2=?4，且對任意正整數(shù)n，有an+2A.?16 B.?17 C.?18 D.?19練2（2024·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，4，8，14，23，36，54，則該數(shù)列的第20項為(

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(注：12+A.1624 B.1024 C.1198 D.1560題型二：累乘法題型二：累乘法求通項公式如果遞推公式形式為：an+1例2（2024·浙江高三模擬）若數(shù)列an滿足n?1an=n+1an?1n≥2，aA.28 B.29 C.30 D.31【思路點撥】依題意可得an+1a練3（2022·河南·安陽一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列an中，a1=12且n+2an+1A．3031 B．2930 C．2829練4練4（2025·全國高三專題練習(xí)）法布里?貝羅研究多光束干涉在薄膜理論中的應(yīng)用時，用光波依次透過n層薄膜，記光波的初始功率為P0，記Pk為光波經(jīng)過第k層薄膜后的功率，假設(shè)在經(jīng)過第k層薄膜時光波的透過率Tk=PkPk?1=12k，其中k=1A.31 B.32 C.63 D.64題型三：題型三：Sn與(1)已知Sn求an的常用方法是利用(2)Sn與a方向1：利用an=Sn?方向2：利用Sn?Sn?1=an例3（2023·全國校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足abn=λan?1?nA．38,+∞ B．12,+∞ C．【思路點撥】根據(jù)給定條件求出數(shù)列an的通項，再由數(shù)列b練5已知數(shù)列{an}滿足log2an?1=log2A.2n+1 B.2n?1 C.n?1 D.n+1練6（2023·全國高三專題練習(xí)）數(shù)列an的前n項和Sn=22n?1A．14 B．516 C．38題型四：構(gòu)造法題型四：構(gòu)造法求通項公式類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列a1、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型1的標準形式；2、m=p3、構(gòu)造等比數(shù)列an類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列a1、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型2的標準形式；2、兩邊同除qn+13、構(gòu)造數(shù)列an類型3：用兩邊同時取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列（1）a1、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型3的標準形式；2、兩邊同時取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為1an+1=s3、構(gòu)造數(shù)列1an類型4：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列（2）a1、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型4的標準形式；2、兩邊同除an+13、構(gòu)造出新的等差數(shù)列1類型5：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列a1、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型5的標準形式；2、可以化為an+1?x1an3、若1是方程的根，則直接構(gòu)造數(shù)列{an?例4（2025·廣東期末）在數(shù)列an中，a1=1，且an+1=1n2?n+1 B.1n2?n+2【思路點撥】根據(jù)an+1=an1+nan練7（多選）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1A.若p=0，則Sn=3n?1+12 B.若p=1，則an=3n?12

C.練8（2022·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）數(shù)列an各項均是正數(shù)，a1=12，a2=32①a3②數(shù)列an③數(shù)列an+1④anA．1 B．2 C．3 D．4題型五：方程組題型五：方程組法求二階遞推的通項公式 當(dāng)二階遞推關(guān)系式形如：a設(shè)an+1?αan可知：α，β是方程（1）當(dāng)α≠β時，數(shù)列an+1同時滿足數(shù)列an+1則有an+1?αa得：a（Ⅱ）當(dāng)α=β時，設(shè)an+1?αa數(shù)列an∴a例5（2019?潮州二模）已知數(shù)列中，，，且3an+an-2=4【思路點撥】3an+an-2練9已知數(shù)列an是首項為a1=1，a2練10設(shè)p,q為實數(shù)，α，β是方程x2?px+q=0的兩根，數(shù)列證明：α+β=p,α?（2）求an通項公式<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.設(shè)數(shù)列an是首項為a1=832.已知數(shù)列an是首項為a1=2，滿足a3.設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn，若3Sn4.設(shè)數(shù)列an的前n項和Sn，若a1=1,25.