高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件4.2：不定積分的第一換元積分法章節(jié)導(dǎo)入：不定積分的換元法概述不定積分的基本概念回顧不定積分是微積分中求原函數(shù)的過(guò)程，是微分的逆運(yùn)算，解決了從導(dǎo)數(shù)反推函數(shù)的問(wèn)題。換元積分法的意義與作用換元積分法是處理復(fù)雜積分的強(qiáng)大工具，通過(guò)變量替換簡(jiǎn)化積分過(guò)程，提高計(jì)算效率。本節(jié)重點(diǎn)第一換元積分法（也稱湊微分法）的基本原理、操作步驟及應(yīng)用技巧，掌握其本質(zhì)和適用范圍。不定積分復(fù)習(xí)：原函數(shù)與不定積分原函數(shù)定義若在區(qū)間I上，處處有F'(x)=f(x)，則稱F(x)為f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)。例如：函數(shù)F(x)=x2/2是函數(shù)f(x)=x的原函數(shù)，因?yàn)镕'(x)=x=f(x)不定積分表示函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為f(x)在I上的不定積分，記作：其中C為任意常數(shù)，稱為積分常數(shù)換元積分法的基本思想變量替換簡(jiǎn)化積分通過(guò)引入新變量u=g(x)，將復(fù)雜的積分式轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單、更容易計(jì)算的形式。這種思想體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中"化繁為簡(jiǎn)"的方法論。鏈?zhǔn)椒▌t的逆用換元積分法本質(zhì)上是微分中鏈?zhǔn)椒▌t的逆向應(yīng)用。如果理解了鏈?zhǔn)椒▌t，換元積分將更加容易掌握。轉(zhuǎn)化為易求積分最終目標(biāo)是將原積分轉(zhuǎn)化為已知的積分公式形式，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。成功的換元應(yīng)使積分更簡(jiǎn)單，而非更復(fù)雜。第一換元積分法定義定義設(shè)u=g(x)是可導(dǎo)函數(shù)，若被積函數(shù)中含有g(shù)(x)及其導(dǎo)數(shù)g'(x)，則可以通過(guò)替換簡(jiǎn)化積分。這里u=g(x)，du=g'(x)dx，通過(guò)替換將原來(lái)關(guān)于x的積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于u的積分。換元積分法的步驟選取合適的換元變量u=g(x)觀察被積函數(shù)結(jié)構(gòu)，尋找復(fù)合函數(shù)形式，通常選擇內(nèi)層函數(shù)作為u計(jì)算du=g'(x)dx對(duì)換元變量u=g(x)求導(dǎo)，得到du與dx的關(guān)系式替換變量和表達(dá)式將積分式中的g(x)替換為u，g'(x)dx替換為du求出關(guān)于u的積分計(jì)算∫f(u)du，通常比原積分更簡(jiǎn)單換回原變量x將結(jié)果中的u替換回g(x)，得到最終答案換元積分法的數(shù)學(xué)依據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t回顧如果F(u)是u的函數(shù)，u=g(x)是x的函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)F(g(x))關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)為：逆過(guò)程推導(dǎo)逆用鏈?zhǔn)椒▌t，積分兩邊得：左邊積分結(jié)果為F(g(x))，所以：令u=g(x)，則F'(u)=f(u)，du=g'(x)dx，代入得：典型例題1：基本換元積分例題解題步驟觀察被積函數(shù)，包含復(fù)合函數(shù)cos(x2)，內(nèi)層函數(shù)為x2，外層函數(shù)為cos選擇換元：u=x2，則du=2xdx原積分變?yōu)椋哼@是一個(gè)典型的第一換元積分法應(yīng)用案例。注意觀察到被積函數(shù)中2x正好是x2的導(dǎo)數(shù)，這是成功使用換元法的關(guān)鍵。典型例題2：含根號(hào)的換元積分例題步驟1：選擇換元觀察被積函數(shù)，包含√(1+x2)，選擇u=1+x2則du=2xdx，即xdx=du/2步驟2：代入換元原積分變?yōu)椋翰襟E3：求解并換回對(duì)u?1/2積分得：典型例題3：三角函數(shù)換元例題雖然這個(gè)積分可以直接查表求解，但我們用換元法來(lái)展示處理方法：換元過(guò)程選擇u=3x，則du=3dxdx=du/3原積分變?yōu)椋呵蠼馀c結(jié)果∫sin(u)du=-cos(u)+C代入得：換元積分法的常見(jiàn)誤區(qū)換元變量選擇不當(dāng)選擇不合適的u=g(x)可能導(dǎo)致積分變得更加復(fù)雜，甚至無(wú)法繼續(xù)計(jì)算。應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)結(jié)構(gòu)合理選擇。例如：對(duì)于∫x·sin(x2)dx，選u=x不合適，而應(yīng)選u=x2忽略du的完整表達(dá)式在確定du=g'(x)dx后，必須正確運(yùn)用dx與du的關(guān)系，不能遺漏系數(shù)。例如：若u=2x+1，則du=2dx，即dx=du/2，積分時(shí)需乘以1/2忘記換回原變量求出關(guān)于u的積分后，最終結(jié)果應(yīng)表示為原變量x的函數(shù)，不要遺漏這一步?！襵·sin(x2)dx=-?cos(x2)+C，而不是-?cos(u)+C換元積分法的技巧總結(jié)觀察被積函數(shù)結(jié)構(gòu)仔細(xì)分析被積函數(shù)的構(gòu)成，尋找可能的復(fù)合函數(shù)形式f(g(x))。通常選擇"內(nèi)層函數(shù)"g(x)作為換元變量。注意導(dǎo)數(shù)因子的存在理想情況下，被積函數(shù)中應(yīng)含有g(shù)'(x)或其倍數(shù)，這樣換元后積分會(huì)更簡(jiǎn)單。如果沒(méi)有，可能需要適當(dāng)變形或考慮其他方法。適時(shí)調(diào)整換元變量有時(shí)初次選擇的換元變量可能不理想，需要重新選擇或調(diào)整。積分是一個(gè)需要靈活思考的過(guò)程。換元積分法與鏈?zhǔn)椒▌t的關(guān)系鏈?zhǔn)椒▌t回顧鏈?zhǔn)椒▌t用于求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：換元積分法的本質(zhì)換元積分法本質(zhì)上是鏈?zhǔn)椒▌t的逆過(guò)程：理解這一對(duì)應(yīng)關(guān)系，有助于深刻把握換元積分法的本質(zhì)。當(dāng)我們看到形如F'(g(x))·g'(x)的被積函數(shù)時(shí)，可以立即聯(lián)想到換元法，并預(yù)見(jiàn)到積分結(jié)果應(yīng)為F(g(x))+C。換元積分法的幾何意義變量替換對(duì)積分區(qū)間的影響從幾何角度看，換元u=g(x)相當(dāng)于對(duì)x軸進(jìn)行"非線性變換"，將其映射到u軸上。這種變換會(huì)導(dǎo)致積分區(qū)間的"拉伸"或"壓縮"。如果g'(x)>0，區(qū)間保持方向不變；如果g'(x)<0，區(qū)間方向會(huì)反轉(zhuǎn)。面積解釋不定積分∫f(x)dx在幾何上表示曲線y=f(x)與x軸圍成的面積。換元積分法實(shí)際上是通過(guò)坐標(biāo)變換，將求面積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的形式。練習(xí)題1（含答案解析）題目解題思路觀察被積函數(shù)結(jié)構(gòu)，含有復(fù)合函數(shù)e^(x3)，內(nèi)層函數(shù)為x3注意到3x2正好是x3的導(dǎo)數(shù)，適合使用第一換元積分法換元過(guò)程選擇u=x3，則du=3x2dx原積分轉(zhuǎn)化為：計(jì)算結(jié)果∫e^udu=e^u+C換回原變量：e^u+C=e^{x^3}+C練習(xí)題2（含答案解析）題目解題步驟觀察被積函數(shù)結(jié)構(gòu)，含有復(fù)合函數(shù)cos(√x)，內(nèi)層函數(shù)為√x注意到分母中的2√x與√x的導(dǎo)數(shù)有關(guān)：d(√x)/dx=1/(2√x)換元過(guò)程選擇u=√x，則du=1/(2√x)dxdx=2√x·du=2u·du原積分轉(zhuǎn)化為：計(jì)算結(jié)果∫cos(u)du=sin(u)+C換元積分法在物理中的應(yīng)用示例計(jì)算速度與位移的關(guān)系在物理中，速度v是位移s關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)：v=ds/dt若已知速度與時(shí)間的關(guān)系v(t)，求位移s(t)需要積分：例如：當(dāng)v(t)=at2時(shí)，s(t)=∫at2dt=a·t3/3+C電場(chǎng)強(qiáng)度積分電勢(shì)V與電場(chǎng)強(qiáng)度E的關(guān)系：E=-dV/dx已知電場(chǎng)強(qiáng)度分布E(x)，求電勢(shì)V(x)：例如：E(x)=k/x2時(shí)，V(x)=-∫k/x2dx=k/x+C換元積分法與其他積分技巧對(duì)比換元積分法適用于被積函數(shù)含有復(fù)合函數(shù)f(g(x))且含有g(shù)'(x)因子的情況典型形式：∫f(g(x))·g'(x)dx分部積分法適用于被積函數(shù)是兩類函數(shù)乘積的情況典型形式：∫u(x)·v'(x)dx=u(x)·v(x)-∫u'(x)·v(x)dx直接積分法適用于基本積分公式或可以直接使用積分表的情況典型形式：∫x^ndx,∫sin(x)dx等課堂互動(dòng)：換元積分法思考題思考下列積分應(yīng)選擇什么換元變量？提示：觀察根號(hào)內(nèi)表達(dá)式x2-4提示：注意sin(x)是cos(x)的導(dǎo)數(shù)嗎？提示：分析分母形式1+e^(2x)嘗試思考不同換元選擇的優(yōu)劣，并討論如何判斷最佳換元變量。記住，好的換元應(yīng)該使積分變得更簡(jiǎn)單，而不是更復(fù)雜。換元積分法的擴(kuò)展：第二換元積分法簡(jiǎn)介第二換元積分法的基本思想第二換元積分法（也稱反向換元法）是通過(guò)引入中間變量x=g(t)，將難以直接積分的∫f(x)dx轉(zhuǎn)化為關(guān)于新變量t的積分∫f(g(t))·g'(t)dt。常見(jiàn)的第二換元形式包括：三角換元：x=a·sin(t),x=a·cos(t)等倒代換：x=1/t雙曲函數(shù)換元：x=a·sinh(t)等與第一換元積分法的區(qū)別第一換元法：u=g(x)，用新變量表示舊變量的函數(shù)第二換元法：x=g(t)，用新變量直接替代舊變量第二換元法在處理某些特殊類型的有理分式、無(wú)理函數(shù)積分時(shí)特別有效。常見(jiàn)函數(shù)換元總結(jié)表多項(xiàng)式函數(shù)換元形如∫f(ax+b)·dx型積分換元：u=ax+b，du=a·dx例如：∫sin(2x+3)dx，令u=2x+3指數(shù)函數(shù)換元形如∫x^n·e^(ax^m)dx型積分換元：u=ax^m，du=am·x^(m-1)dx例如：∫x·e^(x2)dx，令u=x2三角函數(shù)換元形如∫f(sin(x),cos(x))·cos(x)dx或∫f(sin(x),cos(x))·sin(x)dx型積分換元：u=sin(x)或u=cos(x)例如：∫sin2(x)cos(x)dx，令u=sin(x)這些換元技巧是解決特定類型積分問(wèn)題的有效工具，熟練掌握它們將大大提高積分計(jì)算效率。換元積分法的歷史背景與發(fā)展微積分的發(fā)展17世紀(jì)，萊布尼茨和牛頓獨(dú)立發(fā)展了微積分理論。萊布尼茨引入了積分符號(hào)∫，這一符號(hào)至今仍在使用。換元積分法的思想可以追溯到萊布尼茨的工作，他提出了"變量替換"的基本思想來(lái)簡(jiǎn)化積分計(jì)算?，F(xiàn)代發(fā)展19世紀(jì)，柯西和黎曼等數(shù)學(xué)家為積分理論奠定了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，使換元積分法等技術(shù)有了更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撝巍，F(xiàn)代數(shù)學(xué)中，換元積分法已成為分析學(xué)的基本工具，在微分方程、物理學(xué)和工程應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用。了解換元積分法的歷史發(fā)展，有助于我們更深入理解這一方法的本質(zhì)和重要性。典型難題解析復(fù)雜積分示例分析積分結(jié)構(gòu)觀察被積函數(shù)，分母中有√(1-x?)，形式較復(fù)雜注意到x2可與x?的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系：d(x?)/dx=4x3選擇合適換元令u=x2，則du=2x·dx，x·dx=du/2x2=u，x?=u2轉(zhuǎn)換積分表達(dá)式求解標(biāo)準(zhǔn)積分∫(1/√(1-u2))du=arcsin(u)+C換回原變量：arcsin(u)+C=arcsin(x2)+C這個(gè)例子展示了處理復(fù)雜積分的策略：通過(guò)合適的換元簡(jiǎn)化積分形式，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)積分。換元積分法的計(jì)算工具輔助主流數(shù)學(xué)軟件功能Mathematica：強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算能力，可以自動(dòng)選擇最優(yōu)積分方法MATLAB：通過(guò)symbolicmathtoolbox支持符號(hào)積分Maple：專業(yè)的數(shù)學(xué)符號(hào)計(jì)算軟件，積分功能完善GeoGebra：免費(fèi)且直觀的數(shù)學(xué)軟件，具有基本的積分功能工具使用建議計(jì)算工具可以：快速驗(yàn)證手工計(jì)算結(jié)果處理繁瑣的計(jì)算步驟提供不同解法的對(duì)比但要理解基本原理，避免過(guò)度依賴工具。使用計(jì)算工具輔助學(xué)習(xí)是有益的，但不應(yīng)取代對(duì)基本原理的理解?？荚囍型ǔＰ枰止び?jì)算和推導(dǎo)過(guò)程。課堂小結(jié)本節(jié)核心知識(shí)點(diǎn)回顧第一換元積分法的基本原理通過(guò)替換變量u=g(x)，將∫f(g(x))·g'(x)dx轉(zhuǎn)化為∫f(u)du，簡(jiǎn)化積分計(jì)算換元積分法的操作步驟選擇合適的換元變量→計(jì)算du與dx的關(guān)系→替換變量和表達(dá)式→求解新積分→換回原變量常見(jiàn)應(yīng)用場(chǎng)景復(fù)合函數(shù)積分、含根式積分、三角函數(shù)積分等，尤其適用于被積函數(shù)中含有某函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的情況第一換元積分法是解決復(fù)雜積分問(wèn)題的強(qiáng)大工具，掌握其原理和技巧，能夠顯著提高解決積分問(wèn)題的能力。課后作業(yè)布置1基礎(chǔ)練習(xí)教材第158頁(yè)習(xí)題4.2，第1-10題重點(diǎn)掌握基本換元積分技巧和常見(jiàn)換元類型2提高練習(xí)教材第159頁(yè)習(xí)題4.2，第11-15題嘗試解決需要多次換元或結(jié)合其他方法的復(fù)雜積分問(wèn)題3拓展思考題嘗試證明：若f(x)是奇函數(shù)，則∫f(sinx)cosxdx=F(sinx)+C，其中F是f的一個(gè)原函數(shù)作業(yè)提交截止時(shí)間：下周三課前提交方式：電子版發(fā)送至課程郵箱或紙質(zhì)版交至辦公室通過(guò)完成這些作業(yè)，加深對(duì)換元積分法的理解和應(yīng)用能力。常見(jiàn)問(wèn)題答疑如何判斷應(yīng)該用第一換元法還是分部積分法？當(dāng)被積函數(shù)形如f(g(x))·g'(x)時(shí)，通常選擇第一換元法；當(dāng)被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)的乘積，如x·sinx，通常選擇分部積分法。實(shí)際應(yīng)用中需要靈活判斷，有時(shí)兩種方法都可行。換元后積分反而變復(fù)雜怎么辦？這說(shuō)明換元變量選擇不當(dāng)?？梢試L試其他可能的換元，或考慮使用分部積分法等其他方法。積分技巧的選擇需要經(jīng)驗(yàn)和嘗試，不要局限于單一方法。積分中含有多個(gè)可能的換元變量，如何選擇？選擇原則是使積分盡可能簡(jiǎn)化。通常優(yōu)先選擇能使被積函數(shù)中包含其導(dǎo)數(shù)的換元變量，或者使被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式的換元變量。以上是學(xué)生在學(xué)習(xí)換元積分法過(guò)程中的常見(jiàn)疑問(wèn)。掌握這些問(wèn)題的解答，有助于更全面理解換元積分法。預(yù)告下一節(jié)內(nèi)容不定積分的第二換元積分法我們將學(xué)習(xí)另一種重要的換元技巧——第二換元積分法（反向換元法）：通過(guò)引入x=g(t)轉(zhuǎn)化積分常見(jiàn)的三角換元技巧無(wú)理函數(shù)積分的處理方法分部積分法簡(jiǎn)介同時(shí)將簡(jiǎn)要介紹另一種重要的積分技巧——分部積分法：分部積分公式及其推導(dǎo)適用范圍與基本應(yīng)用與換元積分法的結(jié)合使用建議同學(xué)們預(yù)習(xí)教材第4.3節(jié)和第4.4節(jié)內(nèi)容，嘗試?yán)斫獾诙Q元積分法的基本思想。參考資料與推薦閱讀同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教材第七版，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編本課程的主要參考教材，含有豐富的例題和習(xí)題《高等數(shù)學(xué)》第四版，趙樹嫄主編對(duì)換元積分法有深入淺出的講解，例題豐富網(wǎng)絡(luò)公開課資源中國(guó)大學(xué)MOOC平臺(tái)：高等數(shù)