云南省部分高中2026屆高三上學期開學考試數學試題及答案解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）....2.復數在復平面內對應的點位于（）.第一象限.第二象限.第三象限.第四象限3.等差數列的前項和為，，，則的公差為（）....4.已知向量，的夾角為，，則（）....5.已知拋物線上的點到其焦點的距離為2，則點的橫坐標是（）....6.已知等比數列的前3項和為168，，則（）....7.已知，則（）....8.定義在上的奇函數滿足，且當時，，則當時，方程的解得個數為（）....二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）.若，，，則事件相互獨立.已知隨機變量，則.數據2,7,4,5,16,1,21,11的第75百分位數為11.已知隨機變量，若，則10.已知函數，則下列結論正確的是（）.當時，函數為奇函數.當時，函數在上單調遞增.當時，函數有2個不同的零點.若函數在上單調遞減，則11.已知為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的動點，則下面四個結論正確的是（）.橢圓的離心率為.的最大值為.的最大值為3.的最大值為60°三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，的系數為.13.已知方程表示的圓中，當圓面積最小時，此時.14.秦量是秦代為同一全國量制而由官府頒發(fā)的標準量器，秦量多為銅質和陶質，銅量有方升和橢量，陶量則多為圓桶形（即圓臺形狀，如圖所示）.某地出土秦詔文陶量1件，高為10厘米，上部外徑（即上底面外部直徑）為24厘米，下部外徑（即下底面外部直徑）為16厘米，則此陶量的外接球的表面積為平方厘米.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知函數，.（1）求函數單調遞增區(qū)間；（2）在中，的對邊分別為，角滿足，，，求的值.16.（15分）如圖，在四棱錐中，底面，，，,為中點，作交于點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.17.（15分）已知雙曲線的離心率為3，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線交于兩點，當直線垂直于軸時，.（1）求雙曲線的標準方程；（2）若的面積為，求直線的方程.18.（17分）某學校為了提升學生學習數學的興趣，舉行了“趣味數學”闖關比賽，每輪比賽從10道題中任意抽取3道回答，每答對一道題積1分.已知小明同學能答對10道題中的6道題.（1）求小明同學在一輪比賽中所得積分的分布列和期望；（2）規(guī)定參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關成功，若參賽者每輪闖關成功的概率穩(wěn)定且每輪是否闖關成功相互獨立，問：小明同學在5輪闖關比賽中，需幾次闖關成功才能使得對應概率取值最大？19.（17分）已知函數.（1）時，求函數在處的切線方程；（2）討論函數的單調性；（3）證明不等式恒成立.答案解析一、選擇題1.D解析：∵，，∴.2.C解析：∵，復數在復平面內對應的點為，∴在復平面內對應的點位于第三象限.3.A解析：∵數列為等差數列，∴，∴，設的首項為，公差為，則，解得.4.C解析：，，∴.5.C解析：設點的橫坐標為，拋物線的標準方程為：，該拋物線的準線方程為，∵拋物線上的點到其焦點的距離為2，則，解得.6.D解析：設等比數列的公比為，由題意可知，則，解得，∴.7.C解析：∵，解得，.8.A解析：根據題意，為奇函數，則的圖象關于原點對稱，又由，則的圖象關于直線對稱，∵當時，，個可畫函數在的圖象，所求方程在的解得個數，等價于函數與函數的交點個數，由圖可知函數與函數在上有2個交點，故方程在上有2個解.二、選擇題9.ABD解析：對于A，，則，∴事件相互獨立，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，將數據從小到大排序為：1,2,4,5,7,11,16,21.共有8個數據，∴第75百分位數為第6,7個數據的平均數，為，給C錯誤；對于D，隨機變量，且，則，∴，故D正確.10.BC解析：，對于A，當時，，顯然不是奇函數，故A錯誤；對于B，當時，令，解得或，故時，函數在上單調遞增，故B正確；對于C，當時，，，令，解得或；令，解得，故在上遞增，在遞減，在上遞增，，，當時，，故時，有1個零點，是1個零點，則有2個不同的零點，故C正確；對于D，，結合題意，則，解得，故D錯誤.11.BCD解析：由橢圓方程得，，∴，因此,對于A，，，故，A錯誤；對于B，，當且僅當時取等號，故B正確；對于C，令，則，故C正確；對于D，當為短軸的端點時，取得最大值，此時，則，∴，∴的最大值為60°，故D正確.三、填空題12.解析：展開式的通項公式，令，解得，則的系數為.13.解析：由，得，易知當，圓的半徑最小，即圓的面積最小.14.解析：如圖，畫出圓臺的軸截面，，，，由題意可知，球心在上，設，，∴，解得，，∴外接球的表面積.四、解答題15.解：（1），由，得，又，取得函數單調遞增區(qū)間為：和.（2）由，得，∴，由余弦定理得，即，∴，∴.16.解：（1）證明：依題意得，以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，∵為中點，∴，∴，，∴，∴.∵，且，平面，∴平面.（2）由（1）知為平面的一個法向量，又，，設平面的一個法向量為，則，不妨取，則，則.∴平面與平面的夾角的余弦值為.17.解：（1）由題意可得，解得，故雙曲線的標準方程為：.（2）由題意知直線的斜率不為0，則設直線，.聯立，整理得，則，，，，∵的面積為，∴，即，整理得，即，解得，故直線的方程為或.18.解：（1）由題知：可取0,1,2,3，則：；；；，故的分布列為：則的期望為：.（2）參賽者在一輪比賽中至少積2分才視為闖關成功，記概率為，若小明同學在5輪闖關比賽中，記闖關成功的次數為，則.故，∴分分布列為：故小明同學在5輪闖關比賽中，需3次或4次闖關成功才能使得對應概率取值最大.19.解：（1）時，，依題意切點坐標為，，∴函數在處的切線的斜率為，故函數在處的切線方程為.（2）的定義域為，，當時，恒成立，∴在上單調遞增；當時，令，得，∴時，，單調遞增；時，，單調遞減.綜上所述，當時，在上單調