大一上半期高數(shù)考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{1-x^2}\)的定義域是（）A.\((-1,1)\)B.\([-1,1]\)C.\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)D.\((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\)2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階但非等價(jià)無窮小D.等價(jià)無窮小3.函數(shù)\(f(x)=\frac{\sinx}{x}\)在\(x=0\)處的極限為（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)4.設(shè)\(y=x^3\)，則\(y^\prime\)=（）A.\(3x^2\)B.\(x^2\)C.\(3x\)D.\(3\)5.函數(shù)\(y=\cosx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\sinx\)B.\(-\sinx\)C.\(\cosx\)D.\(-\cosx\)6.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.47.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\intf(x)dx\)=（）A.\(F(x)\)B.\(F(x)+C\)（\(C\)為任意常數(shù)）C.\(f(x)\)D.\(f(x)+C\)8.\(\intx^2dx\)=（）A.\(\frac{1}{3}x^3\)B.\(\frac{1}{3}x^3+C\)C.\(3x^3\)D.\(3x^3+C\)9.定積分\(\int_{0}^{1}xdx\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.2D.010.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的駐點(diǎn)為（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=\pm1\)D.\(x=0\)答案：1.B2.A3.B4.A5.B6.B7.B8.B9.A10.C二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=x+1\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\)3.函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件有（）A.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)B.函數(shù)在該點(diǎn)有定義C.函數(shù)在該點(diǎn)極限存在D.函數(shù)在該點(diǎn)左右導(dǎo)數(shù)存在且相等4.下列求導(dǎo)公式正確的有（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)C.\((e^x)^\prime=e^x\)D.\((\sinx)^\prime=\cosx\)5.下列積分計(jì)算正確的有（）A.\(\int1dx=x+C\)B.\(\intxdx=\frac{1}{2}x^2+C\)C.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)D.\(\inte^xdx=e^x+C\)6.函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的單調(diào)區(qū)間有（）A.在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增B.在\((0,2)\)上單調(diào)遞減C.在\((2,+\infty)\)上單調(diào)遞增D.在\((-\infty,+\infty)\)上單調(diào)遞增7.曲線\(y=x^2\)與\(y=x\)所圍成圖形的面積計(jì)算用到的定積分有（）A.\(\int_{0}^{1}(x-x^2)dx\)B.\(\int_{0}^{1}(x^2-x)dx\)C.\(\int_{-1}^{0}(x-x^2)dx\)D.\(\int_{0}^{2}(x-x^2)dx\)8.下列函數(shù)中，在給定區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件的有（）A.\(y=x^2-1\)在\([-1,1]\)B.\(y=x\)在\([0,1]\)C.\(y=\sinx\)在\([0,2\pi]\)D.\(y=\frac{1}{x}\)在\([-1,1]\)9.函數(shù)\(f(x)\)的極值點(diǎn)可能是（）A.駐點(diǎn)B.不可導(dǎo)點(diǎn)C.區(qū)間端點(diǎn)D.任意點(diǎn)10.下列關(guān)于定積分性質(zhì)的說法正確的有（）A.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\)答案：1.AB2.AB3.ABCD4.ABCD5.ABCD6.ABC7.A8.AC9.AB10.ABCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）2.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定有定義。（）3.函數(shù)\(y=|x|\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)。（）4.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是\(f(x)\)的極值點(diǎn)。（）5.\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與積分變量用什么字母表示無關(guān)。（）6.函數(shù)\(y=\sin^2x\)的導(dǎo)數(shù)是\(y^\prime=2\sinx\)。（）7.曲線\(y=x^3\)的拐點(diǎn)是\((0,0)\)。（）8.定積分\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0\)。（）9.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\)在\([a,b]\)上可導(dǎo)。（）10.函數(shù)\(y=x^2+1\)在\((-\infty,0)\)上是凸函數(shù)。（）答案：1.×2.×3.√4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.×四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=\ln(1+x^2)\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，令\(u=1+x^2\)，則\(y=\lnu\)。先對(duì)\(y\)關(guān)于\(u\)求導(dǎo)得\(\frac{1}{u}\)，再對(duì)\(u\)關(guān)于\(x\)求導(dǎo)得\(2x\)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式\(y^\prime=\frac{1}{u}\cdot2x=\frac{2x}{1+x^2}\)。2.計(jì)算定積分\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx\)。答案：由積分基本公式\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)，所以\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=[\lnx]_{1}^{e}=\lne-\ln1=1-0=1\)。3.求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極值。答案：先求導(dǎo)\(f^\prime(x)=3x^2-3\)，令\(f^\prime(x)=0\)，即\(3x^2-3=0\)，解得\(x=\pm1\)。當(dāng)\(x\lt-1\)時(shí)，\(f^\prime(x)\gt0\)；當(dāng)\(-1\ltx\lt1\)時(shí)，\(f^\prime(x)\lt0\)；當(dāng)\(x\gt1\)時(shí)，\(f^\prime(x)\gt0\)。所以極大值\(f(-1)=2\)，極小值\(f(1)=-2\)。4.簡(jiǎn)述函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系。答案：函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)一定連續(xù)；但函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。例如\(y=|x|\)在\(x=0\)處連續(xù)但不可導(dǎo)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的單調(diào)性和漸近線。答案：求導(dǎo)\(y^\prime=-\frac{1}{(x-1)^2}\lt0\)，所以在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞減。當(dāng)\(x\to1\)時(shí)，\(y\to\infty\)，所以\(x=1\)是垂直漸近線；當(dāng)\(x\to\pm\infty\)時(shí)，\(y\to0\)，\(y=0\)是水平漸近線。2.討論如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性。答案：若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)內(nèi)二階可導(dǎo)，當(dāng)\(f^{\prime\prime}(x)\gt0\)時(shí)，函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上是凹函數(shù)；當(dāng)\(f^{\prime\prime}(x)\lt0\)時(shí)，函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上是凸函數(shù)。通過求二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷凹凸性。3.討論定積分在幾何中的應(yīng)用有哪些。答案：定積分可用于求平面圖形的面積，如由曲線\(y=f(x)\)，\(y=g(x)\)與直線\(x=a\)，\(