第01講分式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①分式的概念②分式有（無(wú)）意義的條件③分式值為0的條件掌握分式的概念，能夠熟練的判斷分式。掌握分式有意義的條件，并能熟練應(yīng)用其解決相應(yīng)問(wèn)題。掌握分式值為0的條件，并能夠根據(jù)條件熟練求值。知識(shí)點(diǎn)01分式的概念分式的概念：一般地，若A與B均是整式且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。分式滿足的三個(gè)條件：①式子一定是的形式；②A與B一定是整式；③B中一定含有字母。簡(jiǎn)單理解：分母中含有字母的式子就是分式?！炯磳W(xué)即練1】1．在代數(shù)式中，分式的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【解答】解：代數(shù)式，是分式，共2個(gè)，故選：B．知識(shí)點(diǎn)02分式有（無(wú)）意義的條件分式有意義的條件：即要求分式的分母不能為0。即中，B不為0。若分母能夠進(jìn)行因式分解，現(xiàn)將分母進(jìn)行因式分解，讓每一個(gè)因式都不為0?！炯磳W(xué)即練1】2．若分式有意義，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)≠3 C．a(chǎn)＜3 D．a(chǎn)≥3【分析】根據(jù)分式有意義條件（分式分母不為零）建立不等式求解，即可解題．【解答】解：∵分式有意義，∴a﹣3≠0，解得a≠3，故選：B．【即學(xué)即練2】3．若使分式有意義，則字母x應(yīng)滿足的條件是（）A．x＝3或x＝﹣3 B．x≠3且x≠﹣3 C．x＝3 D．x＝﹣3【分析】根據(jù)分式有意義分母不為零可得x2﹣9≠0，再解即可．【解答】解：由題意得：x2﹣9≠0，解得：x≠±3，故選：B．知識(shí)點(diǎn)03分式值為0的條件分式的值為0的條件：分式的值為0的條件為要求分子必須為0，同時(shí)要求分母不為0。即中，A＝0，B≠0。對(duì)能分解因式的分子分母進(jìn)行因式分解，讓分子里面的所有因式的值等于0，讓分母里面所有因式的值不等于0。【即學(xué)即練1】4．當(dāng)分式的值為0時(shí)，x的值為﹣1．【分析】根據(jù)分式值為0的條件求解即可．【解答】解：根據(jù)題意，∵分式的值為0，∴根據(jù)分式值為零的條件得，x+1＝0且2x﹣3≠0，解得：x＝﹣1．所以x的值為﹣1，故答案為：﹣1．【即學(xué)即練2】5．若分式的值為零，則x的值為（）A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0【分析】分式的值為零，分子等于零，且分母不等于零．【解答】解：依題意，得x2﹣4＝0，且x+2≠0，解得，x＝2．故選：B．【即學(xué)即練3】6．已知分式的值為0，則x＝（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0【分析】根據(jù)分式的值為0的條件列式求解即可．【解答】解：根據(jù)題意得，|x|﹣1＝0且1﹣x≠0，解得x＝﹣1．故選：B．【即學(xué)即練4】7．已知x＝2y，則分式的值為（）A． B． C． D．【分析】把x＝2y代入分式，化簡(jiǎn)得結(jié)論．【解答】解：當(dāng)x＝2y時(shí)，＝＝＝．故選：D．【即學(xué)即練5】8．若分式的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是（）A．x為任意數(shù) B．x＜ C．x＞ D．x＜﹣【分析】?jī)蓴?shù)相除，異號(hào)得負(fù)，而分母恒為正，只需分子是負(fù)數(shù)即可，列出不等式求解即可．【解答】解：∵x2+4＞0，分式的值為負(fù)數(shù)，∴2x﹣5＜0，∴x＜．故選：B．題型01判斷分式【典例1】下列代數(shù)式中，是分式的是（）A． B．2x C．2+x D．x﹣2【分析】根據(jù)分式的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．是分式，符合題意；B．是整式，不符合題意；C．是整式，不符合題意；D．是整式，不符合題意；故選：A．【變式1】在，，，x2+5x，，中，分式的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】π是常數(shù)，所以不是分式，是整式．判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【解答】解：在，，，x2+5x，，中，分式有，共2個(gè)，，，x2+5x，是整式，故選：A．【變式2】在，，，，，中，分式的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【解答】解：在代數(shù)式中，分式有，共有3個(gè)．故選：B．【變式3】下列各式，，，，，，，中，分式共有（）個(gè)．A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據(jù)分式的定義，形如，B中含有字母且B≠0，判斷即可．【解答】解：在，，，，，，，中，分式有，，，，，共6個(gè)，故選：B．題型02根據(jù)分式有意義的條件求值【典例1】若分式有意義，則x的取值范圍是x≠2．【分析】根據(jù)分式有意義得到分母不為0，即可求出x的范圍．【解答】解：由題可知，x﹣2≠0，解得x≠2．故答案為：x≠2．【變式1】下列各式中，不論x取何值分式都有意義的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)分式有意義，分母不等于0對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【解答】解：A．無(wú)論x取何值，2x2+1＞0，分式都有意義，故本選項(xiàng)符合題意；B．x＝﹣時(shí)，2x+1＝0，分式無(wú)意義，故本選項(xiàng)不符合題意；C．x＝時(shí)，3x﹣1＝0，分式無(wú)意義，故本選項(xiàng)不符合題意；D．x＝0時(shí)，2x2＝0，分式無(wú)意義，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【變式2】要使分式無(wú)意義，則x的值是（）A．1 B．﹣1 C．﹣1或1 D．0【分析】分母為零，分式無(wú)意義；分母不為零，分式有意義．【解答】解：由分式無(wú)意義，得x2﹣1＝0，解得x＝±1，故選：C．【變式3】若分式有意義，則x的值為（）A．x≠±3 B．x≠﹣3 C．x≠3 D．x≥﹣3且x≠3【分析】根據(jù)分母不為零的條件是解題的關(guān)鍵．【解答】解：由題可知，|x|﹣3≠0，解得x≠±3．故選：A．【變式4】x取何值時(shí)，下列分式有意義：（1）（2）（3）．【分析】（1）根據(jù)分式的分母不為零分式有意義，可得答案；（2）根據(jù)分式的分母不為零分式有意義，可得答案；（3）根據(jù)分式的分母不為零分式有意義，可得答案．【解答】解：（1）要使有意義，得2x﹣3≠0．解得x≠，當(dāng)x≠時(shí)，有意義；（2）要使有意義，得|x|﹣12≠0．解得x≠±12，當(dāng)x≠±12時(shí)，有意義；（3）要使有意義，得x2+1≠0．x為任意實(shí)數(shù)，有意義．題型03根據(jù)分式值為0的條件求值【典例1】若分式的值為0，則x的值為（）A．±2 B．0或2 C．0 D．﹣2【分析】根據(jù)分式值為零的條件是分子為零，分母不為零進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵分式的值為0，∴，解得x＝0，故選：C．【變式1】若分式的值等于0，則x的值為（）A．6 B．﹣6 C．±6 D．3【分析】根據(jù)分式的值為0的條件得出|x﹣6|＝0且x﹣6≠0，即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意，|x﹣6|＝0且x﹣6≠0，解得x＝﹣6，故選：B．【變式2】若分式的值為0，則x的值為（）A．3 B．﹣3 C．0 D．﹣3或0【分析】直接利用分式的值為零的條件進(jìn)而分析得出答案．【解答】解：∵分式的值為0，∴，解得x＝0，故選：C．【變式3】若＝0，則ab的平方根．【分析】分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．依據(jù)分式的值為0的條件，即可得到a，b的值，進(jìn)而得出ab的平方根．【解答】解：由題可得，|16﹣a2|+＝0，且a+4≠0，即16﹣a2＝0，a+4b＝0，a≠﹣4，解得a＝4，b＝﹣1，∴ab＝，∴ab的平方根為±．【變式4】當(dāng)x為何值時(shí)，分式的值為零？【分析】分式值為零，按照分子為零且分母不為零求解即可．【解答】解：∵的值為零，∴|x|﹣2＝0且x2+5x+6≠0，解得：x＝±2，當(dāng)x＝2時(shí)，x2+5x+6＝20≠0，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，x2+5x+6＝0，故舍去．綜上：x＝2．題型04求分式的值【典例1】當(dāng)x＝﹣2時(shí)，分式的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【分析】利用代入法，代入所求的式子即可．【解答】解：當(dāng)x＝﹣2時(shí)，原式＝＝3．故選：A．【變式1】已知非零有理數(shù)x，y滿足x﹣3y＝0，則＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意得到x＝3y，代入分式化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：根據(jù)條件可知：x＝3y，∴原式＝＝，故選：C．【變式2】若1＜x＜2，則的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1【分析】在解絕對(duì)值時(shí)要考慮到絕對(duì)值符號(hào)中代數(shù)式的正負(fù)性，再去掉絕對(duì)值符號(hào)．【解答】解：∵1＜x＜2，∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，x＞0，∴原式＝﹣1﹣（﹣1）+1＝1，故選：D．【變式3】若分式的值是負(fù)整數(shù)，則m的值可能為（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【分析】先化簡(jiǎn)原分式為m﹣1，再根據(jù)分式的值為負(fù)整數(shù)得到m是m＜1且m≠﹣1的整數(shù)，進(jìn)而根據(jù)選項(xiàng)中的數(shù)可求解．【解答】解：∵分式的值是負(fù)整數(shù)，∴m＜1且m≠﹣1的整數(shù)，選項(xiàng)B中的數(shù)符合題意，選項(xiàng)A、C、D中的數(shù)不符合題意，故選：B．【變式4】若的值為正數(shù)，則x的值為（）A．x＜﹣2 B．x＜1 C．x＞﹣2且x≠1 D．x＞1【分析】依題意得到關(guān)于x的不等式＞0，即＞0，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到x+2＞0且x﹣1≠0，由此可以求得x的值．【解答】解：依題意，得＞0，即＞0，所以，x+2＞0且x﹣1≠0，解得x＞﹣2且x≠1．故選：C．【變式5】已知a﹣b﹣1＝0，求代數(shù)式的值．【分析】先將分式的分子、分母分別分解因式，約分化為最簡(jiǎn)結(jié)果，然后代入求值即可．【解答】解：∵a﹣b﹣1＝0，∴a﹣b＝1，＝＝＝＝＝＝3．1．下列各式：中，是分式的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【解答】解：是分式，共4個(gè)．故選：D．2．已知x＝﹣2時(shí)，分式無(wú)意義，則□可以是（）A．2﹣x B．x﹣2 C．2x+4 D．x+4【分析】當(dāng)x＝﹣2時(shí)分式無(wú)意義，可知分母□的值應(yīng)為0，再分別求出各選項(xiàng)的值即可得出答案．【解答】解：當(dāng)x＝﹣2時(shí)分式無(wú)意義，所以分母□的值應(yīng)為0，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，2﹣x＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4≠0，A選項(xiàng)不符合題意；x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4≠0，B選項(xiàng)不符合題意；2x+4＝2×（﹣2）+4＝﹣4+4＝0，C選項(xiàng)符合題意；x+4＝﹣2+4＝2≠0，D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．3．若分式的值為零，則x的值是（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．0【分析】先根據(jù)分式的值為0的條件列出關(guān)于x的不等式組，求出x的值即可．【解答】解：∵分式的值為零，∴，解得x＝﹣1．故選：C．4．分式中，當(dāng)x＝﹣a時(shí)，下列結(jié)論正確的是（）A．分式的值為零 B．分式無(wú)意義 C．若a≠﹣時(shí)，分式的值為零 D．若a≠時(shí)，分式的值為零【分析】當(dāng)x＝﹣a時(shí)，分式的分子是0即分式的值是0，但前提是只有在保證分式的分母不為0時(shí)，分式才有意義．【解答】解：由3x﹣1≠0，得x≠，故把x＝﹣a代入分式中，當(dāng)x＝﹣a且﹣a≠時(shí)，即a≠﹣時(shí)，分式的值為零．故選：C．5．根據(jù)下列表格中的信息，y代表的分式可能是（）x…﹣2﹣1012…y…0**無(wú)意義*…A． B． C． D．【分析】根據(jù)分式有意義的條件、分式為0的條件解答．【解答】解：∵當(dāng)x＝1時(shí)，分式無(wú)意義，∴分式的分母可能是x﹣1，∵當(dāng)x＝﹣2時(shí)，分式為0，∴分式的分母可能是x+2，∴分式可能是，故選：C．6．要使得分式有意義，則x滿足的條件是（）A．x≠﹣1 B．x≠±1 C．x≠0 D．x≠1【分析】根據(jù)分母不為零的條件進(jìn)行解題即可．【解答】解：由題可知，|x|﹣1≠0，即x≠±1．故選：B．7．無(wú)論a取何值，下列分式總有意義的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于零進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、當(dāng)a＝0時(shí)，分式無(wú)意義，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、無(wú)論a為何值，分式都有意義，故此選項(xiàng)正確；C、當(dāng)a＝±1時(shí)，分式無(wú)意義，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、當(dāng)a＝﹣1時(shí)，分式無(wú)意義，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．8．若分式的值為0，則x的值為（）A．0或1或2 B．0或﹣2或2 C．0或1 D．0或﹣2【分析】直接利用分式的值為零，則分子為零分母不為零，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵的值為0，∴x（x﹣1）（x﹣2）＝0且x2﹣4≠0，解得：x＝0或x＝1．故選：C．9．已知5a＝2b＝10，則代數(shù)式的值為（）A． B． C．1 D．2【分析】分別將5a＝10和2b＝10的兩邊b次方、a次方，得5ab＝10b和2ab＝10a，將這兩個(gè)等式的左邊和右邊分別相乘，得5ab?2ab＝10ab＝10a+b，從而得到a+b＝ab，計(jì)算即可．【解答】解：∵5a＝2b＝10，∴（5a）b＝5ab＝10b，（2b）a＝2ab＝10a，∴5ab?2ab＝10ab＝10a+b，∴a+b＝ab，∴＝1．故選：C．10．若a為正數(shù)，且|a|＜1，則的值（）A．等于1 B．大于﹣1，且小于0 C．大于1 D．大于0，且小于1【分析】根據(jù)題意求出a的取值范圍是0＜x＜1，再分別去|1﹣a|和1+|a|的絕對(duì)值，最后計(jì)算即可得出結(jié)果．【解答】解：∵a為正數(shù)，且|a|＜1，∴0＜x＜1，∴|1﹣a|＝1﹣a，1+|a|＝1+a，∴，∵0＜1﹣a＜1，1＜1+a＜2，∴大于0，且小于1，即大于0，且小于1．故選：D．11．使分式有意義的x的取值范圍是x＞﹣2．【分析】根據(jù)分式、二次根式有意義，分母不等于0列不等式求解即可．【解答】解：由題意得：x＞﹣2．故答案為：x＞﹣2．12．若分式的值為零，則x2+2x+8的平方根為±4．【分析】分式的值為0，則2x2﹣8＝0且x+2≠0，得到x＝2，進(jìn)而求解．【解答】解：分式的值為0，則2x2﹣8＝0且x+2≠0，解得：x＝2，則x2+2x+8＝16，則x2+2x+8的平方根為：±4，故答案為：±4．13．一組按規(guī)律排列的式子：，，，，…（ab≠0），則第n的個(gè)式子是．【分析】根據(jù)觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：．【解答】解：由，，，，…（ab≠0），得系數(shù)是（﹣1）n+1，b的次數(shù)是（3n﹣1），a的次數(shù)是n，則第n的個(gè)式子是，故答案為：．14．已知x為整數(shù)，且分式的值也為整數(shù)，則滿足條件的所有x的值之和為0．【分析】根據(jù)x為整數(shù)，分式的意義一一分析可能成立的情況，選出x的值再求和即可．【解答】解：＝＝3﹣，∵x為整數(shù)，分式的值也為整數(shù)，∴當(dāng)x＝0時(shí)，分式＝﹣7，符合題意；當(dāng)x＝﹣1時(shí)，分式值＝8，符合題意；當(dāng)x＝﹣2時(shí)，分式值＝5，符合題意；當(dāng)x＝3時(shí)，分式值＝2，符合題意；∴滿足條件的x的值為0、﹣1、﹣2、3，所有滿足條件的數(shù)的和為0﹣1﹣2+3＝0，故答案為：0．15．若，則的值為﹣1．【分析】先根據(jù)，，，，的值為1或﹣1，得出a、b、c、d中有3個(gè)正數(shù)，1個(gè)負(fù)數(shù)，進(jìn)而得出abcd為負(fù)數(shù)，即可得出答案．【解答】解：∵當(dāng)a、b、c、d為正數(shù)時(shí)，，，，的值為1，當(dāng)a、b、c、d為負(fù)數(shù)時(shí)，，，，的值為﹣1，又∵，∴a、b、c、d中有3個(gè)正數(shù)，1個(gè)負(fù)數(shù)，∴abcd為負(fù)數(shù)，∴．故答案為：﹣1．16．已知a﹣4b＝0，求分式的值．【分析】由已知得到a＝3b，再將原分式化簡(jiǎn)為1﹣，然后代入求值即可．【解答】解：∵a﹣4b＝0，∴a＝4b，∴＝＝1﹣＝1﹣＝1﹣＝1﹣＝．17．已知關(guān)于x的分式，求下列問(wèn)題：（1）當(dāng)x滿足什么條件，分式無(wú)意義；（2）當(dāng)x滿足什么條件，分式有意義；（3）當(dāng)x滿足什么條件，分式的值等于0．【分析】（1）根據(jù)分母為零時(shí)，分式無(wú)意義解題即可；（2）根據(jù)分母不為零時(shí)，分式有意義解題即可；（3）根據(jù)分式值為0的條件：分子為0，而分母不等于0，解題即可．【解答】解：（1）由題可得（x+1）（x﹣3）＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，∴當(dāng)x＝﹣1或x＝3時(shí)，分式無(wú)意義；（2）由題可得（x+1）（x﹣3）≠0，解得：x≠﹣1且x≠3，∴當(dāng)x≠﹣1且x≠3時(shí)，分式有意義；（3）由題可得，解得x＝1，∴當(dāng)x＝1時(shí)，分式的值等于0．18．已知當(dāng)x＝﹣2時(shí)，分式無(wú)意義；當(dāng)x＝1時(shí)，此分式的值為0．（1）求a，b的值．（2）在（1）的條件下，當(dāng)分式的值為正整數(shù)時(shí)，求整數(shù)x的值．【分析】（1）當(dāng)x+a＝0時(shí)，分式無(wú)意義；當(dāng)x﹣b＝0時(shí)，分式無(wú)意義；然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：（1）當(dāng)x+a＝0時(shí)，分式無(wú)意義，∵x＝﹣2，∴﹣2+a＝0，解得：a＝2；當(dāng)x﹣b＝0時(shí)，分式無(wú)意義，∵x＝1，∴1﹣b＝0，解得：b＝1；∴a的值為2；b的值為1；（2）當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，分式即為：，∵分式的值為正整數(shù)，∴x+1＝1或x+1＝2或x+1＝4，解得：x＝0或x＝1或x＝3，∴整數(shù)x的值為0或1或3．19．根據(jù)下列材料，回答問(wèn)題：，，，請(qǐng)根以上各式完成下列題目：（1）＝﹣；（2）＝﹣（n為正整數(shù)