合工大線性代數(shù)期末考試及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)矩陣\(A\)為\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert-2A\vert=(\)\)A.\(-16\)B.\(-4\)C.\(4\)D.\(16\)2.若\(n\)階方陣\(A\)滿足\(A^2-A-2E=0\)，則\(A^{-1}=(\)\)A.\(A-E\)B.\(\frac{1}{2}(A-E)\)C.\(A+E\)D.\(\frac{1}{2}(A+E)\)3.設(shè)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是()A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)B.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)D.\(\alpha_1+\alpha_2,2\alpha_2+\alpha_3,3\alpha_3+\alpha_1\)4.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，齊次線性方程組\(Ax=0\)僅有零解的充分必要條件是()A.\(A\)的列向量組線性無關(guān)B.\(A\)的列向量組線性相關(guān)C.\(A\)的行向量組線性無關(guān)D.\(A\)的行向量組線性相關(guān)5.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則必有()A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)C.\(A+B=0\)D.\(\vertA\vert+\vertB\vert=0\)6.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&t\\3&6&9\end{pmatrix}\)，若\(A\)的秩\(r(A)=1\)，則\(t=(\)\)A.\(2\)B.\(4\)C.\(6\)D.\(8\)7.設(shè)\(\lambda\)是\(n\)階方陣\(A\)的特征值，且齊次線性方程組\((\lambdaE-A)x=0\)的基礎(chǔ)解系為\(\xi_1,\xi_2\)，則\(A\)對(duì)應(yīng)于\(\lambda\)的全部特征向量為()A.\(\xi_1\)和\(\xi_2\)B.\(c_1\xi_1+c_2\xi_2\)（\(c_1,c_2\)為任意常數(shù)）C.\(c_1\xi_1+c_2\xi_2\)（\(c_1,c_2\)不全為零）D.\(\xi_1\)或\(\xi_2\)8.設(shè)\(A\)為\(n\)階實(shí)對(duì)稱矩陣，\(P\)為\(n\)階可逆矩陣，\(B=P^TAP\)，則\(A\)與\(B\)（）A.合同但不一定相似B.相似但不一定合同C.既合同又相似D.既不合同也不相似9.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+2x_2x_3\)的矩陣為()A.\(\begin{pmatrix}1&2&0\\2&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2&2\\2&2&1\\2&1&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&4&0\\4&2&2\\0&2&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&4&2\\4&2&1\\2&1&3\end{pmatrix}\)10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(\vertA\vert\neq0\)，\(A^\)為\(A\)的伴隨矩陣，則\((A^)^{-1}=(\)\)A.\(\frac{1}{\vertA\vert}A\)B.\(\vertA\vertA\)C.\(\frac{1}{\vertA\vert}A^T\)D.\(\vertA\vertA^T\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則下列等式成立的是()A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.\((A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}\)（當(dāng)\(A\)，\(B\)可逆時(shí)）2.下列向量組中，線性無關(guān)的是()A.\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)B.\(\alpha_1=(1,2,3),\alpha_2=(2,4,6),\alpha_3=(3,6,9)\)C.\(\alpha_1=(1,1,0),\alpha_2=(0,1,1),\alpha_3=(1,0,1)\)D.\(\alpha_1=(1,-1,1),\alpha_2=(-1,1,-1),\alpha_3=(1,1,1)\)3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)為\(A\)的特征值，則()A.\(\lambda\)滿足\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)B.若\(\xi\)是\(A\)對(duì)應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量，則\(A\xi=\lambda\xi\)C.\(A\)與\(A^T\)有相同的特征值D.若\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)的不同特征值，則對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)4.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，\(Ax=b\)為非齊次線性方程組，則()A.若\(r(A)=r(A|b)\)，則方程組有解B.若\(r(A)=r(A|b)=n\)，則方程組有唯一解C.若\(r(A)=r(A|b)\ltn\)，則方程組有無窮多解D.若\(r(A)\ltr(A|b)\)，則方程組無解5.下列關(guān)于矩陣的初等變換說法正確的是()A.矩陣的初等行變換不改變矩陣的秩B.矩陣的初等列變換不改變矩陣的秩C.任何矩陣都可通過初等行變換化為行最簡(jiǎn)形矩陣D.可逆矩陣可通過初等行變換化為單位矩陣6.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)相似，則()A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)有相同的特征多項(xiàng)式C.\(A\)與\(B\)有相同的秩D.\(A\)與\(B\)有相同的行列式7.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx\)（\(A\)為實(shí)對(duì)稱矩陣）為正定二次型的充分必要條件是()A.\(A\)的特征值全大于零B.\(A\)的各階順序主子式全大于零C.存在可逆矩陣\(P\)，使得\(A=P^TP\)D.對(duì)于任意非零向量\(x\)，都有\(zhòng)(x^TAx\gt0\)8.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(A\)的秩\(r(A)=r\)，則()A.\(A\)中存在\(r\)階子式不為零B.\(A\)中所有\(zhòng)(r+1\)階子式全為零C.齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為\(n-r\)D.非齊次線性方程組\(Ax=b\)（\(b\neq0\)）有解時(shí)，其通解中自由未知量個(gè)數(shù)為\(n-r\)9.已知向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)，則()A.該向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示B.存在一組不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)C.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩小于\(s\)D.該向量組中一定有零向量10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(E\)為\(n\)階單位矩陣，若\(A^2=E\)，則()A.\(A\)的特征值只能是\(1\)或\(-1\)B.\(A\)一定可逆C.\(r(A+E)+r(A-E)=n\)D.\(A\)是正交矩陣三、判斷題（每題2分，共20分）1.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則\((AB)^k=A^kB^k\)（\(k\)為正整數(shù)）。()2.向量組中向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)時(shí)，向量組一定線性相關(guān)。()3.若\(A\)為\(n\)階方陣，且\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的列向量組線性相關(guān)。()4.齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充要條件是\(A\)的列向量組線性相關(guān)。()5.相似矩陣一定有相同的特征向量。()6.若矩陣\(A\)與\(B\)合同，則\(A\)與\(B\)有相同的秩。()7.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_2x_3+2x_3x_1\)是正定二次型。()8.若\(A\)為\(n\)階方陣，\(A\)的秩\(r(A)=n-1\)，則\(A^\)的秩\(r(A^)=1\)。()9.對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換和初等列變換，不改變矩陣的行列式的值。()10.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性無關(guān)，向量組\(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)線性無關(guān)，則向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t\)線性無關(guān)。()四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述矩陣可逆的充要條件。答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件有：\(\vertA\vert\neq0\)；\(r(A)=n\)；\(A\)可表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積；齊次線性方程組\(Ax=0\)只有零解；非齊次線性方程組\(Ax=b\)有唯一解等。2.說明向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。答案：對(duì)于向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)，若存在一組不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，則稱向量組線性相關(guān)；若只有當(dāng)\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)時(shí)，\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)才成立，則稱向量組線性無關(guān)。3.簡(jiǎn)述求矩陣特征值和特征向量的步驟。答案：先求特征值，計(jì)算\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)，得到關(guān)于\(\lambda\)的特征方程，解出\(\lambda\)的值即為特征值；再求特征向量，對(duì)于每個(gè)特征值\(\lambda_i\)，解齊次線性方程組\((\lambda_iE-A)x=0\)，其非零解就是\(A\)對(duì)應(yīng)于\(\lambda_i\)的特征向量。4.簡(jiǎn)述正定二次型的判定方法。答案：可通過以下方法判定：一是看二次型矩陣\(A\)的特征值，若特征值全大于零，則為正定；二是計(jì)算\(A\)的各階順序主子式，若全大于零，則為正定；三是對(duì)任意非零向量\(x\)，若\(x^TAx\gt0\)，則為正定。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論矩陣的相似、合同與等價(jià)之間的關(guān)系。答案：等價(jià)是最寬泛的關(guān)系，\(A\)與\(B\)等價(jià)當(dāng)且僅當(dāng)\(r(A)=r(B)\)。相似矩陣一定等價(jià)，相似矩陣有相同特征值等性質(zhì)；合同矩陣也一定等價(jià)，實(shí)對(duì)稱矩陣相似必合同，合同不一定相似，它們從不同角度描述矩陣關(guān)系，應(yīng)用場(chǎng)景不同。2.討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)，以及基礎(chǔ)解系的作用。答案：線性方程組有唯一解、無窮多解、無解三種情況。齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解時(shí)，其通解由基礎(chǔ)解系線性表示。非齊次線性方程組\(Ax=b\)的通解是其一個(gè)特解加上對(duì)應(yīng)的齊次方程組的通解?；A(chǔ)解系可簡(jiǎn)潔表示齊次方程組所有解，為求解非齊次方程組通解提供基礎(chǔ)。3.討論特征值和特征向量在實(shí)際問題中的應(yīng)用。答案：在物理中，用于分析振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和振動(dòng)模式；在圖像處理里，可進(jìn)行圖像壓縮、特征提取等；在工程結(jié)構(gòu)分析中，能確定結(jié)構(gòu)的