專題24.28正多邊形與圓（基礎(chǔ)篇）（專項練習(xí)）一、單選題1．一個正多邊形的半徑與邊長相等，則這個正多邊形的邊數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．82．若⊙O的內(nèi)接正n邊形的邊長與⊙O的半徑相等，則n的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．73．如圖，五邊形是的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形的中心角的度數(shù)是（

）A．72° B．60° C．48° D．36°4．如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點C在上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．485．如圖，CD是⊙O的弦，O是圓心，把⊙O的劣弧沿著CD對折，A是對折后劣弧上的一點，則∠CAD與∠B的關(guān)系是(

)A．∠CAD=2∠B B．∠CAD+∠B=120°C．∠CAD+∠B=180° D．無法確定6．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接AC，則∠ACD的度數(shù)是（

）A．72° B．70° C．60° D．45°7．大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形，若對角線的長約為8mm，則正六邊形的邊長為（

）A．2mm B． C． D．4mm8．有一題目：“已知；點為的外心，，求．”嘉嘉的解答為：畫以及它的外接圓，連接，，如圖．由，得．而淇淇說：“嘉嘉考慮的不周全，還應(yīng)有另一個不同的值．”，下列判斷正確的是（

）A．淇淇說的對，且的另一個值是115°B．淇淇說的不對，就得65°C．嘉嘉求的結(jié)果不對，應(yīng)得50°D．兩人都不對，應(yīng)有3個不同值9．設(shè)邊長為的等邊三角形的高、內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑分別為、、，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．10．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠BOD＝130°，則∠A的度數(shù)為（

）A．50° B．65° C．115° D．130°二、填空題11．如圖，若以AB為邊長作⊙O的內(nèi)接正多邊形，則這個多邊形是正______邊形．12．如圖，在⊙O的內(nèi)接五邊形ABCDE中，∠CAD＝32°，則∠B+∠E＝_____°．13．如圖，四邊形為的內(nèi)接正四邊形，為的內(nèi)接正三角形，若恰好是同圓的一個內(nèi)接正邊形的一邊，則的值為_________．14．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，連接OC、OD，若OC長為2cm，則正六形ABCDEF的周長為______cm．15．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點P是劣弧上一點（點P不與點C重合），則∠CPD＝________．16．如圖，、、、為一個正多邊形的頂點，為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數(shù)為_______．17．如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為16cm2，則該半圓的半徑為cm．18．六個帶角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1，求中間正六邊形的面積_________．三、解答題19．如圖，是的內(nèi)接正五邊形．求證：.20．已知正六邊形內(nèi)接于，圖中陰影部分的面積為，則的半徑為多少？21．如圖，AB是⊙O的直徑，D，E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點，連接BD并延長至點C，使得CD＝BD，連接AC交⊙O于點F，連接AE，DE，DF．（1）證明：∠E＝∠C；（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度數(shù)．22．完成下表中有關(guān)正多邊形的計算：正多邊形邊數(shù)內(nèi)角中心角半徑邊長邊心距周長面積341623．如圖，為正五邊形的外接圓，已知，請用無刻度直尺完成下列作圖，保留必要的畫圖痕跡．(1)在圖1中的邊上求作點，使；(2)在圖2中的邊上求作點，使．24．如圖，已知．求作：的內(nèi)接等邊．小麗同學(xué)的作法及證明過程如下：作法：①作直徑；②作半徑的垂直平分線，垂足為，交于兩點；③連接，．所以即為的內(nèi)接等邊三角形．∵在中，垂直平分∴，∵∴（①）∵∴為等邊三角形∴∴（②）∴為的內(nèi)接等邊三角形．（1）在小麗同學(xué)的證明過程中，①、②兩處的推理依據(jù)分別是；．（2）請你再給出一種作圖方法．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）參考答案1．C【分析】如圖（見分析），先根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系即可得．解：如圖，由題意得：，是等邊三角形，，則這個正多邊形的邊數(shù)為，故選：C．【點撥】本題考查了正多邊形，熟練掌握正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．C【分析】根據(jù)題意，內(nèi)接正n邊形的邊長與⊙O的半徑相等，則正n邊形的中心角為，由可得結(jié)果．解：內(nèi)接正n邊形的邊長與⊙O的半徑相等，正n邊形的中心角為，，n的值為6，故選：C．【點撥】本題考查了正n邊形中心角的定義，熟記并理解正n邊形中心角的定義是解決本題的關(guān)鍵．3．A【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的計算公式：計算即可．解：∵五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，∴五邊形ABCDE的中心角∠COD的度數(shù)為，故選：A．【點撥】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的計算公式：是解題的關(guān)鍵．4．C【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)=360°÷邊數(shù)，列式計算分別求出∠AOB，∠BOC的度數(shù)，可得∠AOC=15°，然后根據(jù)邊數(shù)n=360°÷中心角即可求得答案．解：連接OC，∵AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故選：C．【點撥】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、正八邊形、正二十四邊形的性質(zhì)；根據(jù)題意求出中心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】還原點A折疊前的位置，然后利用圓的內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)得到結(jié)論．解：如圖，點為點A折疊前的位置，∵折疊，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴．故選：C．【點撥】本題考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握圓的內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)．6．A【分析】由正五邊形的性質(zhì)可知△ABC是等腰三角形，求出∠B，的度數(shù)即可解決問題．解：在正五邊形ABCDE中，∠B=∠BCD=×（5-2）×180=108°，AB=BC，∴∠BCA=∠BAC=（180°-108°）=36°，∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=108°-36°=72°．故選：A．【點撥】本題主要考查了正多邊形與圓，多邊形內(nèi)角與外角的知識點，解答本題的關(guān)鍵是求出正五邊形的內(nèi)角，此題基礎(chǔ)題，比較簡單．7．D【分析】如圖，連接CF與AD交于點O，易證△COD為等邊三角形，從而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．解：連接CF與AD交于點O，∵為正六邊形，∴∠COD==60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，∴△COD為等邊三角形，∴CD=CO=DO=4mm，即正六邊形的邊長為4mm，故選：D．【點撥】本題考查了正多邊形與圓的性質(zhì)，正確把握正六邊形的中心角、半徑與邊長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】直接利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理得出答案．解：如圖所示：∵∠BOC=130°，∴∠A=65°，∠A還應(yīng)有另一個不同的值∠A′與∠A互補．故∠A′＝180°?65°＝115°．故選：A．【點撥】此題主要考查了三角形的外接圓，正確分類討論是解題關(guān)鍵．9．C【分析】將圖形標(biāo)記各點,即可從圖中看出長度關(guān)系證明A正確,再由構(gòu)造的直角三角形和30°特殊角證明B正確,利用勾股定理求出r和R,即可判斷C、D．解：如圖所示,標(biāo)上各點，AO為R，OB為r，AB為h，從圖象可以得出AB=AO+OB，即，A正確；∵三角形為等邊三角形，∴∠CAO=30°，根據(jù)垂徑定理可知∠ACO=90°，∴AO=2OC，即R=2r，B正確；在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，由B中關(guān)系可得：，解得，則，所以C錯誤，D正確；故選：C．【點撥】本題考查圓與正三角形的性質(zhì)結(jié)合,關(guān)鍵在于巧妙利用半徑和構(gòu)建直角三角形．10．C【分析】先根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)求出結(jié)果．解：∵，∴，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴，∴．故選：C．【點撥】本題考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握圓的內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)．11．六【分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而證明是等邊三角形，得到，即可證明出這個多邊形是正六邊形．解：如圖，連接OB，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴這個多邊形是正六邊形．故答案為：六．【點撥】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出．12．212【分析】連接CE，先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補可得∠B+∠AEC＝180°，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠CED＝∠CAD＝32°，然后求解即可．解：如圖，連接CE，∵五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接五邊形，∴四邊形ABCE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝32°，∴∠B+∠E＝∠B+∠AEC+∠CED=180°+32°＝212°．故答案為：212．【點撥】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及圓周角定理．作出輔助線，構(gòu)造出圓內(nèi)接四邊形是解題的關(guān)鍵．13．12【分析】連接OA、OB、OC，如圖，利用正多邊形與圓，分別計算⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的中心角得到∠AOD=90°，∠AOF=120°，則∠DOF=30°，然后計算即可得到n的值．解：連接OA、OD、OF，如圖，∵AD，AF分別為⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊，∴∠AOD==90°，∠AOF==120°，∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，∴n==12，即DF恰好是同圓內(nèi)接一個正十二邊形的一邊．故選：C．【點撥】本題考查了正多邊形與圓：把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓；熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念．14．12【分析】連接OC，OD，證出△COD是等邊三角形即可求得答案．解：∵多邊形ABCDEF為正六邊形，∴∠COD＝360°×＝60°，∵OC＝OD，∴△OCD是等邊三角形，∵OC長為2cm，∴CD＝2cm，∴正六形ABCDEF的周長為2×6＝12（cm），故答案為：12．【點撥】本題考查的是正六邊形和圓，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．15．36°##36度【分析】連接OC、OD，求出∠COD的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理解答即可．解：連接OC、OD，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，，，故答案為：36°．【點撥】本題考查了正多邊形和圓，圓周角定理，準(zhǔn)確作出輔助線并熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．16．10【分析】連接AO,BO，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB=36°，根據(jù)中心角的定義即可求解．解：如圖，連接AO,BO，∴∠AOB=2∠ADB=36°∴這個正多邊形的邊數(shù)為=10故答案為：10．【點撥】此題主要考查正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角定理．17．【分析】圓心為A，設(shè)半徑為R，大正方形邊長是2x，根據(jù)圖形可得AE=BC=x，CE=2x，EF=DF=4，利用勾股定理列出方程求解，然后代入勾股定理計算即可得出結(jié)果．解：如圖所示，圓心為A，設(shè)半徑為R，大正方形邊長是2x∵正方形的兩個頂點在半圓上，另外兩個頂點在圓心兩側(cè)，∴AE=BC=x，CE=2x，∵小正方形的面積為16cm2，∴小正方形的邊長為EF=DF=4，由勾股定理得：，即，解得：x=4，，故答案為：．【點撥】題目主要考查圓的基本性質(zhì)及勾股定理解三角形，正方形的性質(zhì)，熟練掌握運用這些知識點是解題關(guān)鍵．18．．【分析】由六個帶角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1，可以得到中間正六邊形的邊長為1，做輔助線以后，得到△ABC、△CDE、△AEF為以1為邊長的等腰三角形，△ACE為等邊三角形，再根據(jù)等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)求出邊長，求出面積之和即可．解：如圖所示，連接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，在正六邊形ABCDEF中，∵直角三角板的最短邊為1，∴正六邊形ABCDEF為1，∴△ABC、△CDE、△AEF為以1為邊長的等腰三角形，△ACE為等邊三角形，∵∠ABC=∠CDE=∠EFA=120?，AB=BC=CD=DE=EF=FA=1，∴∠BAG=∠BCG=∠DCE=∠DEC=∠FAE=∠FEA=30?，∴BG=DI=FH=，∴由勾股定理得：AG=CG=CI=EI=EH=AH=，∴AC=AE=CE=，∴由勾股定理得：AI=，∴S=，故答案為：．【點撥】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)、正多邊形形與圓以及等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于知識點：在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半的應(yīng)用．19．證明見分析【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得∠CBD的度數(shù)，進(jìn)而可得出∠ABD的度數(shù)，然后根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可證得結(jié)論．證明：∵是正五邊形，∴.又∵，∴，∴，∴，∴.【點撥】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正五邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．20．半徑【分析】先根據(jù)三角形的面積求出它的邊長，再根據(jù)正多邊形與圓的關(guān)系即可求出．解：連接DO并延長，交BF于點G．∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，∴陰影部分為正三角形，設(shè)邊長是a，則FG=a，DG=a，則面積是a×a=，即=，解得a=4，則DG=BD?sin60°=4×=6∴半徑OD=DG=6×=4．【點撥】本題考查正多邊形和圓，熟知正六邊形的性質(zhì)，得出陰影部分三角形的邊長是解題的關(guān)鍵．21．（1）詳見分析；（2）110°．【分析】（1）連接AD，利用直徑所對的圓周角為直角，可得AD⊥BC，再根據(jù)CD＝BD，故AD垂直平分BC，根據(jù)垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，可得：AB＝AC，再根據(jù)等邊對等角和同弧所對的圓周角相等即可得到∠E＝∠C；（2）根據(jù)內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，可得∠CFD＝∠E＝55°，再利用外角的性質(zhì)即可求出∠BDF.（1）證明：連接AD，如圖所示：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C；（2）解：∵四邊形AEDF是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠AFD＝180°﹣∠E，∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°，由（1）得：∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝55°+55°＝110°．【點撥】此題考查的是(1)直徑所對的圓周角是直角、垂直平分線的性質(zhì)和同弧所對的圓周角相等；（2）內(nèi)接四邊形的性質(zhì).22．填表見分析．【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后利用勾股定理等知識進(jìn)行逐一求解即可．解：如圖（1）所示：中心角，內(nèi)角∠A=60°∵，，∴，，∴，∴，∴，∴周長為：，面積為；如圖（2）所示：中心角，內(nèi)角∠A=90°由題意可得△BOC和△OBE都是等腰直角三角形，∵邊心距為1∴，∴邊長為2，半徑為，∴周長為8，面積為4；如圖（3）所示：內(nèi)角為120°，中心角，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOM=30°，AM=BM，∴AO=2AM∵邊心距為，∴，∵，∴，∴，∴，∴半徑為2，邊長為2，∴周長為12，面積，故答案為：正多邊形邊數(shù)內(nèi)角中心角半徑邊長邊心距周長面積3416【點撥】本題主要考查了正多邊形和圓，解題的