北京博克圖中學八年級上冊壓軸題數學模擬試卷含詳細答案一、壓軸題1．如圖，在中，，過點做射線，且，點從點出發(fā)，沿射線方向均勻運動，速度為；同時，點從點出發(fā)，沿向點勻速運動，速度為，當點停止運動時，點也停止運動．連接，設運動時間為．解答下列問題：（1）用含有的代數式表示和的長度；（2）當時，請說明；（3）設的面積為，求與之間的關系式．解析：（1）CP=3t，BQ=8-t；（2）見解析；（3）S=16-2t．【解析】【分析】（1）直接根據距離=速度時間即可；（2）通過證明，得到∠PQC=∠BCQ，即可求證；（3）過點C作CM⊥AB，垂足為M，根據等腰直角三角形的性質得到CM=AM=4，即可求解．【詳解】解：（1）CP=3t，BQ=8-t；（2）當t=2時，CP=3t=6，BQ=8-t=6∴CP=BQ∵CD∥AB∴∠PCQ=∠BQC又∵CQ=QC∴∴∠PQC=∠BCQ∴PQ∥BC（3）過點C作CM⊥AB，垂足為M∵AC=BC，CM⊥AB∴AM=（cm）∵AC=BC，∠ACB=∴∠A=∠B=∵CM⊥AB∴∠AMC=∴∠ACM=∴∠A=∠ACM∴CM=AM=4（cm）∴因此，S與t之間的關系式為S=16-2t．【點睛】此題主要考查列代數式、全等三角形的判定與性質、平行線的判定、等腰三角形的性質，熟練掌握邏輯推理是解題關鍵．2．如圖1，直角三角形DEF與直角三角形ABC的斜邊在同一直線上，∠EDF＝30°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，將△DEF繞點D按逆時針方向旋轉，記∠ADF為α（0°＜α＜180°），在旋轉過程中；（1）如圖2，當∠α＝時，，當∠α＝時，DE⊥BC；（2）如圖3，當頂點C在△DEF內部時，邊DF、DE分別交BC、AC的延長線于點M、N，①此時∠α的度數范圍是；②∠1與∠2度數的和是否變化？若不變求出∠1與∠2度數和；若變化，請說明理由；③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度數范圍．解析：（1）10°，100°；（2）①55°＜α＜85°；②∠1與∠2度數的和不變，理由見解析③55°＜α≤60°．【解析】【分析】（1）當∠EDA＝∠B＝40°時，，得出30°＋α＝40°，即可得出結果；當時，DE⊥AB，得出50°＋α＋30°＝180°，即可得出結果；（2）①由已知得出∠ACD＝45°，∠A＝50°，推出∠CDA＝85°，當點C在DE邊上時，α＋30°＝85°，解得α＝55°，當點C在DF邊上時，α＝85°，即可得出結果；②連接MN，由三角形內角和定理得出∠CNM＋∠CMN＋∠MCN＝180°，則∠CNM＋∠CMN＝90°，由三角形內角和定理得出∠DNM＋∠DMN＋∠MDN＝180°，即∠2＋∠CNM＋∠CMN＋∠1＋∠MDN＝180°，即可得出結論；③由，∠1＋∠2＝60°，得出∠2≥2（60°?∠2），解得∠2≥40°，由三角形內角和定理得出∠2＋∠NDM＋α＋∠A＝180°，即∠2＋30°＋α＋50°＝180°，則∠2＝100°?α，得出100°?α≥40°，解得α≤60°，再由當頂點C在△DEF內部時，55°＜α＜85°，即可得出結果．【詳解】解：（1）∵∠B＝40°，∴當∠EDA＝∠B＝40°時，，而∠EDF＝30°，∴，解得：α＝10°；當時，DE⊥AB，此時∠A+∠EDA＝180°，，∴，解得：α＝100°；故答案為10°，100°；（2）①∵∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，∴∠ACD＝45°，∠A＝50°，∴∠CDA＝85°，當點C在DE邊上時，，解得：，當點C在DF邊上時，，∴當頂點C在△DEF內部時，；故答案為：；②∠1與∠2度數的和不變；理由如下：連接MN，如圖所示：在△CMN中，∵∠CNM+∠CMN+∠MCN＝180°，∴∠CNM+∠CMN＝90°，在△MND中，∵∠DNM+∠DMN+∠MDN＝180°，即∠2+∠CNM+∠CMN+∠1+∠MDN＝180°，∴；③∵∠2≥2∠1，∠1+∠2＝60°，∴，∴∠2≥40°，∵，即，∴，∴，解得：α≤60°，∵當頂點C在△DEF內部時，，∴∠α的度數范圍為．【點睛】本題考查了平行線的性質、直角三角形的性質、三角形內角和定理、不等式等知識，合理選擇三角形后利用三角形內角和定理列等量關系是解決問題的關鍵．3．已知在中，，點在上，邊在上，在中，邊在直線上，；（1）如圖1，求的度數；（2）如圖2，將沿射線的方向平移，當點在上時，求度數；（3）將在直線上平移，當以為頂點的三角形是直角三角形時，直接寫出度數．解析：（1）60°；（2）15°；（3）30°或15°【解析】【分析】（1）利用兩直線平行，同旁內角互補，得出，即可得出結論；（2）先利用三角形的內角和定理求出，即可得出結論；（3）分和兩種情況求解即可得出結論．【詳解】解：（1），，，，，；（2）由（1）知，，，，，；（3）當時，如圖3，由（1）知，，；當時，如圖4，，點，重合，，，由（1）知，，，即當以、、為頂點的三角形是直角三角形時，度數為或．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了平行線的性質，三角形的內角和定理，角的和差的計算，求出是解本題的關鍵．4．探究發(fā)現：如圖①，在中，內角的平分線與外角的平分線相交于點．（1）若，則；若，則；（2）由此猜想：與的關系為(不必說明理由)．拓展延伸：如圖②，四邊形的內角與外角的平分線相交于點，．（3）若，，求的度數，由此猜想與，之間的關系，并說明理由．解析：（1）40°25°；（2）(或)（3）=【解析】【分析】（1）先根據兩角平分線寫出對應的等式關系，再分別寫出兩個三角形內角和的等式關系，最后聯立兩等式化解，將的角度帶入即可求解；（2）由（1）可得，即可求解；（3）在與的平分線相交于點，可知，又因為，兩直線平行內錯角相等，得出，再根據三角形一外角等于不相鄰的兩個內角的和，得出，再由四邊形的內角和定理得出，最后在中：，代入整理即可得出結論．【詳解】解：（1）由題可知：BE為的角平分線，CE為的角平分線，=2=2，=2，，三角形內角和等于，在中：，即：，①，在中：，即：，②，綜上所述聯立①②，由①-②×2可得：，，，，當，則；當，則；故答案為，；（2）由（1）知：(或)；（3）∵與的平分線相交于點，∴，，又∵，∴（兩直線平行，內錯角相等），∵是的一個外角，∴（三角形一外角等于不相鄰的兩個內角的和），在四邊形中，四邊形內角和為，，，∴，∴①，∴，即，在中：，，由上可得：，②，又∵，∴，，，由①②可得，，，．【點睛】本題主要考查了三角形的外角性質的應用和角平分線的定義，能正確運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵，注意三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．5．（1）發(fā)現：如圖1，的內角的平分線和外角的平分線相交于點。①當時，則②當時，求的度數（用含的代數式表示）﹔（2）應用：如圖2，直線與直線垂直相交于點，點在射線上運動（點不與點重合），點在射線上運動（點不與點重合），延長至，已知的角平分線與的角平分線所在的直線相交于，在中，如果一個角是另一個角的倍，請直接寫出的度數.解析：（1）①25°；②；（2）．【解析】【分析】（1）①利用外角和性質∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠OCD＝∠BOC＋∠OBC，再利用角平分線的定義進行等量代換即可；②與①同理可得；（2）根據題意分情況進行討論，用到（1）的結論計算即可【詳解】（1）①∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠OCD＝∠BOC＋∠OBC，∵OB、OC分別平分∠ABC、∠ACD，∴∠ACD＝2∠OCD，∠ABC＝2∠OBC，∴2∠OCD＝2∠OBC＋∠A，∴∠A＝2∠BOC，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝∠A＝25°，故填：25°；②，且平分平分（2）的角平分線與的角平分線所在的直線相交于，符合題意的情況有兩種：①根據（1）可知：②根據（1）可知：【點睛】本題考查三角形外角和的性質、角平分線的定義，利用分類討論的數學思想是關鍵．6．如圖，在中，，，點為內一點，且．（1）求證：；（2）若，為延長線上的一點，且．①求的度數．②若點在上，且，請判斷、的數量關系，并說明理由．③若點為直線上一點，且為等腰，直接寫出的度數．解析：（1）證明見解析；（2）①；②，理由見解析；③7.5°或15°或82.5°或150°【解析】【分析】（1）利用線段的垂直平分線的性質即可證明；（2）①利用SSS證得△ADC≌△BDC，可求得∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=15°，即可解題；②連接MC，易證△MCD為等邊三角形，即可證明△BDC≌△EMC即可解題；③分EN=EC、EN=CN、CE=CN三種情形討論，畫出圖形，利用等腰三角形的性質即可求解．【詳解】（1）∵CB=CA，DB=DA，∴CD垂直平分線段AB，∴CD⊥AB；（2）①在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SSS），∴∠ACD=∠BCD=∠BCA=45°，∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BDC=180-45°-15°=120°；②結論：ME=BD，理由：連接MC，∵，，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠DBA=∠DAB=30°，∴∠BDE=30°+30°=60°，由①得∠BDC=120°，∴∠CDE=60°，∵DC=DM，∠CDE=60°，∴△MCD為等邊三角形，∴CM=CD，∵EC=CA=CB，∠DMC=60°，∴∠E=∠CAD=∠CBD=15°，∠EMC=120°，在△BDC和△EMC中，，∴△BDC≌△EMC（AAS），∴ME=BD；③當EN=EC時，∠=7.5°或∠==82.5°；當EN=CN時，∠==150°；當CE=CN時，點N與點A重合，∠CNE=15°，所以∠CNE的度數為7.5°或15°或82.5°或150°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質、等腰三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．7．如圖，△ABC是等邊三角形，△ADC與△ABC關于直線AC對稱，AE與CD垂直交BC的延長線于點E，∠EAF＝45°，且AF與AB在AE的兩側，EF⊥AF．（1）依題意補全圖形．（2）①在AE上找一點P，使點P到點B，點C的距離和最短；②求證：點D到AF，EF的距離相等．解析：（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②詳見解析．【解析】【分析】（1）本題考查理解題意能力，按照題目所述依次作圖即可．（2）①本題考查線段和最短問題，需要通過垂直平分線的性質將所求線段轉化為其他等量線段之和，以達到求解目的．②本題考查垂直平分線的判定以及全等三角形的證明，繼而利用角的平分線性質即可得出結論．【詳解】（1）補全圖形，如圖1所示（2）①如圖2，連接BD，P為BD與AE的交點∵等邊△ACD，AE⊥CD∴PC=PD,PC+PB最短等價于PB+PD最短故B,D之間直線最短，點P即為所求．②證明：連接DE，DF．如圖3所示∵△ABC，△ADC是等邊三角形∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°∵AE⊥CD∴∠CAE＝∠CAD＝30°∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°∴∠CAE＝∠CEA∴CA＝CE∴CD垂直平分AE∴DA＝DE∴∠DAE＝∠DEA∵EF⊥AF，∠EAF＝45°∴∠FEA＝45°∴∠FEA＝∠EAF∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED∴△FAD≌△FED（SAS）∴∠AFD＝∠EFD∴點D到AF，EF的距離相等．【點睛】本題第一問作圖極為重要，要求對題意有較深的理解，同時對于垂直平分線以及角平分線的定義要清楚，能通過題目文字所述轉化為考點，信息轉化能力需要多做題目加以提升．8．在等邊△ABC的頂點A、C處各有一只蝸牛，它們同時出發(fā)，分別以每分鐘1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點時，另一只也停止運動，經過t分鐘后，它們分別爬行到D、E處，請問：（1）如圖1，在爬行過程中，CD和BE始終相等嗎，請證明？（2）如果將原題中的“由A向B和由C向A爬行”，改為“沿著AB和CA的延長線爬行”，EB與CD交于點Q，其他條件不變，蝸牛爬行過程中∠CQE的大小保持不變，請利用圖2說明：∠CQE=60°；（3）如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著BC的延長線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，如圖3，則爬行過程中，證明：DF=EF解析：（1)相等，證明見解析；（2)證明見解析；（3)證明見解析．【解析】【分析】（1）先證明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性質即可證得CD=BE；（2）先證明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；（3）如圖3，過點D作DG∥BC交AC于點G，根據等邊三角形的三邊相等，可以證得AD=DG=CE；進而證明△DGF和△ECF全等，最后根據全等三角形的性質即可證明．【詳解】（1）解：CD和BE始終相等，理由如下：如圖1，AB=BC=CA，兩只蝸牛速度相同，且同時出發(fā)，∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°在△ACD與△CBE中，AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CD=BE，即CD和BE始終相等；（2）證明：根據題意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD和△ABE中，BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE∴△BCD≌△ABE（SAS），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行過程中，DF始終等于EF是正確的，理由如下：如圖，過點D作DG∥BC交AC于點G，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，∴△ADG為等邊三角形，∴AD=DG=CE，在△DGF和△ECF中，∠GFD=∠CFE，∠GDF=∠E，DG=EC∴△DGF≌△EDF（AAS），∴DF=EF.【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質和等邊三角形的性質；題弄懂題中所給的信息，再根據所提供的思路尋找證明條件是解答本題的關鍵．9．閱讀并填空：如圖，是等腰三角形，，是邊延長線上的一點，在邊上且聯接交于，如果，那么，為什么？解：過點作交于所以（兩直線平行，同位角相等）（________）在與中所以，（________）所以（________）因為（已知）所以（________）所以（等量代換）所以（________）所以解析：見解析【解析】【分析】先根據平行線的性質，得到角的關系，然后證明，寫出證明過程和依據即可．【詳解】解：過點作交于，∴（兩直線平行，同位角相等），∴（兩直線平行，內錯角相等），在與中，∴，（）∴（全等三角形對應邊相等）∵（已知）∴（等邊對等角）∴（等量代換）∴（等角對等邊）∴；【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，解題的關鍵是由平行線的性質正確找到證明三角形全等的條件，從而進行證明.10．在等腰中，,為邊上的高，點在的外部且，,連接交直線于點，連接．(1)如圖①，當時，求證：；(2)如圖②，當時，求的度數；(3)如圖③，當時,求證：．解析：（1）見解析；（2）；（3）見解析【解析】【分析】（1）根據等腰三角形三線合一的性質，可得AE垂直平分BC，F為垂直平分線AE上點，即可得出結論；（2）根據（1）的結論可得AE平分∠BAC，∠BAF=20°，由AB=AC=AD，推出，根據外角性質可得計算即可；（3）在CF上截取CM=DF，連接AM，證明△ACM≌△ADF（SAS），進而證得△AFM為等邊三角形即可．【詳解】（1）證明：∵AE為等腰△ABC底邊BC上的高線，AB=AC，，∠AEB=∠AEC=90°，BE=CE，∴AE垂直平分BE，F在AE上，；(2)，，，，由（1）知，AE平分∠BAC，，，故答案為：60°；(3)在CF上截取CM=DF，連接AM，由（1）可知，∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB，，，，，在△ACM和△ADF中，∴△ACM≌△ADF（SAS），，，∴△AFM為等邊三角形，，．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，垂直平分線的性質，三角形全等的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，掌握三角形全等的判定和性質是解題的關鍵．11．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點的坐標，過點作軸，垂足為點，過點作直線軸，點從點出發(fā)在軸上沿著軸的正方向運動．（1）當點運動到點處，過點作的垂線交直線于點，證明，并求此時點的坐標；（2）點是直線上的動點，問是否存在點，使得以為頂點的三角形和全等，若存在求點的坐標以及此時對應的點的坐標，若不存在，請說明理由．解析：（1）證明見解析；；（2）存在，，或，或，或，或，或，．【解析】【分析】（1）通過全等三角形的判定定理ASA證得△ABP≌△PCD，由全等三角形的對應邊相等證得AP＝DP，DC＝PB＝3，易得點D的坐標；（2）設P（a，0），Q（2，b）．需要分類討論：①AB＝PC，BP＝CQ；②AB＝CQ，BP＝PC．結合兩點間的距離公式列出方程組，通過解方程組求得a、b的值，得解．【詳解】（1）軸在和中，（2）設，①，，解得或，或，或，或，②，，，解得，或，綜上：，或，或，或，或，或，【點睛】考查了三角形綜合題．涉及到了全等三角形的判定與性質，兩點間的距離公式，一元一次絕對值方程組的解法等知識點．解答（2）題時，由于沒有指明全等三角形的對應邊（角），所以需要分類討論，以防漏解．12．閱讀下面材料，完成(1)-(3)題．數學課上，老師出示了這樣一道題：如圖1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，以AB為邊向AB左側作等邊△ABE，直線CE與直線AD交于點F．請?zhí)骄烤€段EF、AF、DF之間的數量關系，并證明．同學們經過思考后，交流了自已的想法：小明：“通過觀察和度量，發(fā)現∠DFC的度數可以求出來．”小強：“通過觀察和度量，發(fā)現線段DF和CF之間存在某種數量關系．”小偉：“通過做輔助線構造全等三角形，就可以將問題解決．”......老師：“若以AB為邊向AB右側作等邊△ABE，其它條件均不改變，請在圖2中補全圖形,探究線段EF、AF、DF三者的數量關系，并證明你的結論．”（1）求∠DFC的度數；（2）在圖1中探究線段EF、AF、DF之間的數量關系，并證明；（3）在圖2中補全圖形，探究線段EF、AF、DF之間的數量關系，并證明．解析：（1）60°；（2）EF=AF+FC，證明見解析；（3）AF=EF+2DF，證明見解析．【解析】【分析】（1）可設∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根據三角形內角和可得2α＋60＋2β＝180°，從而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度數；（2）在EC上截取EG＝CF，連接AG，證明△AEG≌△ACF，然后再證明△AFG為等邊三角形，從而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，連接BG，BF，證明方法類似（2），先證明△ABG≌△EBF，再證明△BFG為等邊三角形，最后可得出結論．【詳解】解：（1）∵AB=AC，AD為BC邊上的中線，∴可設∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE為等邊三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可設∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，證明如下：∵AB=AC，AD為BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，則∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，連接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG為等邊三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）補全圖形如圖所示，結論：AF=EF+2DF．證明如下：同（1）可設∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE為等邊三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字圖可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，連接BG，BF，又AB=BE，∴△ABG≌△EBF（SAS），∴BG＝BF，又AF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG為等邊三角形，∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF，∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質、等腰三角形的性質等知識，解決問題的關鍵是常用輔助線構造全等三角形，屬于中考?？碱}型．13．（閱讀材科）小明同學發(fā)現這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的項角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在圖1中證明小明的發(fā)現．（深入探究）（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，連接AO，下列結論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正確的有．(將所有正確的序號填在橫線上)．（延伸應用）（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，試探究∠A與∠C的數量關系．解析：（1）證明見解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性質得出∠BAD=∠CAE，即可得出結論；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用對頂角和三角形的內角和定理判斷出∠BOC=60°，再判斷出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，進而得出∠AOE=60°，再判斷出BF＜CF，進而判斷出∠OBC＞30°，即可得出結論；（3）先判斷出△BDP是等邊三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，進而判斷出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出結論．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE；（2）如圖2，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，①正確，∠ADB=∠AEC，記AD與CE的交點為G，∵∠AGE=∠DGO，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正確，在OB上取一點F，使OF=OC，∴△OCF是等邊三角形，∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，∴∠BCF=∠ACO，∵AB=AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正確，連接AF，要使OC=OE，則有OC=CE，∵BD=CE，∴CF=OF=BD，∴OF=BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC＞30°，而沒辦法判斷∠OBC大于30度，所以，④不一定正確，即：正確的有①②③，故答案為①②③；（3）如圖3，延長DC至P，使DP=DB，∵∠BDC=60°，∴△BDP是等邊三角形，∴BD=BP，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP，∴∠ABD=∠CBP，∵AB=CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP=∠A，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【點睛】此題考查三角形綜合題，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，構造等邊三角形是解題的關鍵．14．在《經典幾何圖形的研究與變式》一課中，龐老師出示了一個問題：“如圖1，等腰直角三角形的三個頂點分別落在三條等距的平行線，，上，，且每兩條平行線之間的距離為1，求AB的長度”.在研究這道題的解法和變式的過程中，同學們提出了很多想法：（1）小明說：我只需要過B、C向作垂線，就能利用全等三角形的知識求出AB的長.（2）小林說：“我們可以改變的形狀.如圖2，，，且每兩條平行線之間的距離為1，求AB的長.”（3）小謝說：“我們除了改變的形狀，還能改變平行線之間的距離.如圖3，等邊三角形ABC三個頂點分別落在三條平行線，，上，且與之間的距離為1，與之間的距離為2，求AB的長、”請你根據3位同學的提示，分別求出三種情況下AB的長度.解析：（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）分別過點B，C向l1作垂線，交l1于M，N兩點，證明△ABM≌△CAN，得到AM=CN，AN=BM，即可得出AB；（2）分別過點B，C向l1作垂線，交l1于點P，Q兩點，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，證明△AMB≌△CAN，得到CN=AM，再通過△PBM和△QCN算出PM和NQ的值，得到AP，最后在△APB中，利用勾股定理算出AB的長；（3）在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，過B作l3的垂線，交l3于點P，過A作l3的垂線，交l3于點Q，證明△BCN≌△CAM，得到CN=AM，在△BPN和△AQM中利用勾股定理算出NP和AM，從而得到PC，結合BP算出BC的長，即為AB.【詳解】解：（1）如圖，分別過點B，C向l1作垂線，交l1于M，N兩點，由題意可得：∠BAC=90°，∵∠NAC+∠MAB=90°，∠NAC+∠NCA=90°，∴∠MAB=∠NCA，在△ABM和△CAN中，，∴△ABM≌△CAN（AAS），∴AM=CN=2，AN=BM=1，∴AB=；（2）分別過點B，C向l1作垂線，交l1于P，Q兩點，在l1上取M，N使∠AMB=∠CNA=120°，∵∠BAC=120°，∴∠MAB+∠NAC=60°，∵∠ABM+∠MAB=60°，∴∠ABM=∠NAC，在△AMB和△CNA中，，∴△AMB≌△CNA（AAS），∴CN=AM，∵∠AMB=∠ANC=120°，∴∠PMB=∠QNC=60°，∴PM=BM，NQ=NC，∵PB=1，CQ=2，設PM=a，NQ=b，∴，，解得：，，∴CN=AM==，∴AB===；（3）如圖，在l3上找M和N，使得∠BNC=∠AMC=60°，過B作l3的垂線，交于點P，過A作l3的垂線，交于點Q，∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠BCN+∠ACM=120°，∵∠BCN+∠NBC=120°，∴∠NBC=∠ACM，在△BCN和△CAM中，，∴△BCN≌△CAM（AAS），∴CN=AM，BN=CM，∵∠PBN=90°-60°=30°，BP=2，∴BN=2NP，在△BPN中，，即，解得：NP=，∵∠AMC=60°，AQ=3，∴∠MAQ=30°，∴AM=2QM，在△AQM中，，即，解得：QM=，∴AM==CN，∴PC=CN-NP=AM-NP=，在△BPC中，BP2+CP2=BC2，即BC=，∴AB=BC=.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線之間的距離，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質以及勾股定理，解題的關鍵是利用平行線構造全等三角形，再利用全等三角形的性質以及勾股定理求解.15．如圖，中，，，點為射線上一動點，連結，作且．（1）如圖1，過點作交于點，求證：；（2）如圖2，連結交于點，若，，求證：點為中點．（3）當點在射線上，連結與直線交于點，若，，則______．（直接寫出結果）解析：（1）見解析；（2）見解析；（3）或【解析】【分析】（1）證明△AFD≌△EAC，根據全等三角形的性質得到DF=AC，等量代換證明結論；（2）作FD⊥AC于D，證明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的長，得到答案；（3）過F作FD⊥AG的延長線交于點D，根據全等三角形的性質得到CG=GD，AD=CE=7，代入計算即可．【詳解】解：（1）證明：∵FD⊥AC，∴∠FDA=90°，∴∠DFA+∠DAF=90°，同理，∠CAE+∠DAF=90°，∴∠DFA=∠CAE，在△AFD和△EAC中，，∴△AFD≌△EAC（AAS），∴DF=AC，∵AC=BC，∴FD=BC；（2）作FD⊥AC于D，由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，在△FDG和△BCG中，，∴△FDG≌△BCG（AAS），∴DG=CG=1，∴AD=2，∴CE=2，∵BC=AC=AG+CG=4，∴E點為BC中點；（3）當點E在CB的延長線上時，過F作FD⊥AG的延長線交于點D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=7，∴CG=DG=1.5，∴，同理，當點E在線段BC上時，，故答案為：或.【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．二、選擇題16．如圖，田亮同學用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小，能正確解釋這一現象的數學知識是（）A．垂線段最短 B．經過一點有無數條直線C．兩點之間，線段最短 D．經過兩點，有且僅有一條直線解析：C【解析】【詳解】用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小，∴線段AB的長小于點A繞點C到B的長度，∴能正確解釋這一現象的數學知識是兩點之間，線段最短，故選C．【點睛】根據“用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小”得到線段AB的長小于點A繞點C到B的長度，從而確定答案．本題考查了線段的性質，能夠正確的理解題意是解答本題的關鍵，屬于基礎知識，比較簡單．17．我國古代《易經》一書中記載了一種“結繩計數”的方法，一女子在從右到左依次排列的繩子上打結，滿六進一，用來記錄采集到的野果數量，下列圖示中表示91顆的是（）A． B．C． D．解析：B【解析】【分析】由于從右到左依次排列的繩子上打結，滿六進一，所以從右到左的數分別進行計算，然后把它們相加即可得出正確答案．【詳解】解：A、5+3×6+1×6×6＝59（顆），故本選項錯誤；B、1+3×6+2×6×6＝91（顆），故本選項正確；C、2+3×6+1×6×6＝56（顆），故本選項錯誤；D、1+2×6+3×6×6＝121（顆），故本選項錯誤；故選：B．【點睛】本題是以古代“結繩計數”為背景，按滿六進一計數，運用了類比的方法，根據圖中的數學列式計算；本題題型新穎，一方面讓學生了解了古代的數學知識，另一方面也考查了學生的思維能力．18．下列方程中，以為解的是（）A． B． C． D．解析：A【解析】【分析】把代入方程，只要是方程的左右兩邊相等就是方程的解，否則就不是．【詳解】解：A中、把代入方程得左邊等于右邊，故A對；B中、把代入方程得左邊不等于右邊，故B錯；C中、把代入方程得左邊不等于右邊，故C錯；D中、把代入方程得左邊不等于右邊，故D錯.故答案為：A.【點睛】本題考查方程的解的知識，解題關鍵在于把x值分別代入方程進行驗證即可.19．把一根木條固定在墻面上，至少需要兩枚釘子，這樣做的數學依據是（）A．兩點之間線段最短B．兩點確定一條直線C．垂線段最短D．兩點之間直線最短解析：B【解析】因為兩點確定一條直線,所以把一根木條固定在墻面上,至少需要兩枚釘子故選B.20．-2的倒數是（）A．-2 B． C． D．2解析：B【解析】【分析】根據倒數的定義求解.【詳解】-2的倒數是-故選B【點睛】本題難度較低，主要考查學生對倒數相反數等知識點的掌握21．將方程去分母得（）A． B．C． D．解析：C【解析】【分析】方程兩邊都乘以2，再去括號即可得解．【詳解】方程兩邊都乘以2得：6-(3x-5)=2x，去括號得：6-3x+5=2x，故選：C.【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，注意在去分母時，方程兩端同乘各分母的最小公倍數時，不要漏乘沒有分母的項．22．觀察下列圖形，第一個圖2條直線相交最多有1個交點，第二個圖3條直線相交最多有3個交點，第三個圖4條直線相交最多有6個交點，…，像這樣，則20條直線相交最多交點的個數是（）A．171 B．190 C．210 D．380解析：B【解析】分析：由于第一個圖2條直線相交，最多有1個交點，第二個圖3條直線相交最多有3個交點，第三個圖4條直線相交，最多有6個，由此得到3=1+2，6=1+2+3，那么第四個圖5條直線相交，最多有1+2+3+4=10個，以此類推即可求解．詳解：∵第一個圖2條直線相交，最多有1個交點，

第二個圖3條直線相交最多有3個交點，

第三個圖4條直線相交，最多有6個，

而3=1+2，6=1+2+3，∴第四個圖5條直線相交，最多有1+2+3+4=10個，∴20條直線相交，最多交點的個數是1+2+3+…+19=（1+19）×19÷2=190．故選B．點睛：此題主要考查了平面內直線相交時交點個數的規(guī)律，解題時首先找出已知條件中隱含的規(guī)律，然后根據規(guī)律計算即可解決問題．23．下列調查中，適宜采用全面調查的是()A．對現代大學生零用錢使用情況的調查 B．對某班學生制作校服前身高的調查C．對溫州市市民去年閱讀量的調查 D．對某品牌燈管壽命的調查解析：B【解析】【分析】調查方式的選擇需要將普查的局限性和抽樣調查的必要性結合起來，具體問題具體分析，普查結果準確，所以在要求精確、難度相對不大，實驗無破壞性的情況下應選擇普查方式，當考查的對象很多或考查會給被調查對象帶來損傷破壞，以及考查經費和時間都非常有限時，普查就受到限制，這時就應選擇抽樣調查．【詳解】解：A、對現代大學生零用錢使用情況的調查，工作量大，用抽樣調查，故此選項錯誤；B、對某班學生制作校服前身高的調查，需要全面調查，故此選項正確；C、對溫州市市民去年閱讀量的調查，工作量大，用抽樣調查，故此選項錯誤；D、對某品牌燈管壽命的調查，有破壞性，用抽樣調查，故此選項錯誤．故選：B．【點睛】本題考查的是調查方法的選擇，正確選擇調查方式要根據全面調查和抽樣調查的優(yōu)缺點再結合實際情況去分析．24．一張普通A4紙的厚度約為0.000104m，用科學計數法可表示為()mA． B． C． D．解析：C【解析】【分析】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10?n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【詳解】解：0.000104＝1.04×10?4．故選：C．【點睛】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10?n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．25．某廠準備加工500個零件，在加工了100個零件后，引進了新機器，使得每天的工作效率是原來的兩倍，結果共用了6天完成了任務,若設該廠原來每天加工ｘ個零件，則由題意可列出方程（）A．B．C．D．解析：D【解析】【分析】根據共用6天完成任務，等量關系為：用老機器加工100個零件用的時間+用新機器加工400套用的時間=6即可列出方程．【詳解】設該廠原來每天加工x個零件，根據題意得：故選：D．【點睛】此題考查了由實際問題抽象出分式方程，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．26．已知2a﹣b＝3，則代數式3b﹣6a+5的值為()A．﹣4 B．﹣5 C．﹣6 D