專題9.4雙曲線題型一雙曲線的定義題型二求雙曲線的標準方程題型三根據(jù)方程為圓、橢圓、雙曲線進行求參數(shù)范圍題型四雙曲線的焦點三角形題型五距離和差的最值問題題型六雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題型七雙曲線的離心率題型八雙曲線的漸近線題型一 雙曲線的定義例1．（2021秋·高二課時練習）已知、是雙曲線的焦點，是過焦點的弦，那么的值是________．例2．（2021秋·高三課時練習）（多選）已知，滿足條件的動點的軌跡是雙曲線的一支．則下列數(shù)據(jù)中，可以是（）A． B．2 C． D．練習1．（2023·四川達州·統(tǒng)考二模）設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點，過的直線與C的右支交于P，Q兩點，則（

）A．5 B．6 C．8 D．12練習2．（2022秋·高三課時練習）與圓及圓都外切的圓P的圓心在（

）A．一個橢圓上 B．一個圓上C．一條直線上 D．雙曲線的一支上練習3．（2021秋·高三課時練習）已知動點滿足，則動點P的軌跡是（）A．雙曲線 B．雙曲線左支C．雙曲線右支 D．一條射線練習4．（2023秋·高二課時練習）平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值等于的點的軌跡是（

）A．雙曲線 B．兩條射線 C．一條線段 D．一條直線練習5．（2023·全國·高三專題練習）已知曲線C：，點M與曲線C的焦點不重合．已知M關(guān)于曲線C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在曲線C右支上，則的值為______．題型二 求雙曲線的標準方程例3．（2023·全國·高三專題練習）2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽火爆開賽，被網(wǎng)友稱為“村BA”.從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線的一部分，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．例4．（2023秋·高三課時練習）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：(1)以橢圓短軸的兩個端點為焦點，且過點；(2)經(jīng)過點和．練習6．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）若雙曲線C：其中一條漸近線的斜率為2，且點在C上，則C的標準方程為（

）A． B． C． D．練習7．（2023秋·高三課時練習）已知雙曲線過點，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的標準方程是（

）A． B．C． D．練習8．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線滿足下列條件中的兩個：①實軸長為4；②焦距為6；③離心率，則雙曲線的方程為___________.（寫出一個正確答案即可）練習9．（2023·全國·高三對口高考）離心率為且過點的雙曲線方程為______.練習10．（2023·高三課時練習）動圓過點，且與圓外切，則動圓圓心的軌跡方程是______．題型三 根據(jù)方程為圓、橢圓、雙曲線進行求參數(shù)范圍例5．（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知曲線，則下列說法正確的是（

）A．若曲線表示兩條平行線，則B．若曲線表示雙曲線，則C．若，則曲線表示橢圓D．若，則曲線表示焦點在軸的橢圓例6．（2023春·重慶北碚·高三西南大學附中?？茧A段練習）已知表示焦點在軸上的雙曲線有個，表示焦點在軸上的橢圓有個，則的值為（

）A．10 B．14 C．18 D．22練習11．（2023秋·北京平谷·高二統(tǒng)考期末）“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件練習12．（2023春·安徽·高三合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試）（多選）對于曲線C：，則下列說法正確的有（

）A．曲線C可能為圓 B．曲線C不可能為焦點在y軸上的雙曲線C．若，則曲線C為橢圓 D．若，則曲線C為雙曲線練習13．（2023秋·重慶北碚·高三西南大學附中校考階段練習）（多選）若方程所表示的曲線為C，則下面四個選項中錯誤的是（

）A．若C是圓，則 B．若C為橢圓，則C．若C為雙曲線，則或 D．若C為橢圓，且長軸在y軸上，則練習14．（2023·高三課時練習）若，則方程表示的曲線只可能是（

）A． B．C． D．練習15．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谀ǘ噙x）當變化時，所表示的曲線形狀，下列說法不正確的是（

）A．當時，方程表示橢圓B．或是方程表示雙曲線的充要條件C．該方程不可能表示圓D．是方程表示直線的充分不必要條件題型四 雙曲線的焦點三角形例7．（2023·湖南長沙·長沙一中校考模擬預測）設(shè)P是雙曲線右支上的一個動點，、為左、右兩個焦點，在中，令，，則的值為_________．例8．（2021秋·高三課時練習）已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線=1的左、右焦點，若點P是雙曲線左支上的點，且，則△的面積為____.練習16．（2022秋·高三課時練習）已知點分別是雙曲線的下、上焦點，若點是雙曲線下支上的點，且，則的面積為________.練習17．（2023春·湖南·高三瀏陽一中校聯(lián)考階段練習）已知離心率為2的雙曲線的左、右焦點分別為、，過點作直線與雙曲線交于第一象限內(nèi)的點P，若的內(nèi)切圓半徑為b，則直線的傾斜角為__________．練習18．（2023春·四川南充·高三四川省南充高級中學?？茧A段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別是，，過點的直線與雙曲線的右支交于點，，連接交雙曲線的左支于點，若，，，則的面積是______．練習19．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預測）已知，雙曲線的左?右焦點分別為、，點在雙曲線的右支上，且直線的斜率為.若，則__________.練習20．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點．若點P在雙曲線上，且，則_________，_________；題型五 距離和差的最值問題例9．（2021秋·高二課時練習）設(shè)P是雙曲線的右支上的動點，F(xiàn)為雙曲線的右焦點，已知，，則|PA|＋|PF|的最小值為________；|PB|＋|PF|的最小值為________．例10．（2023春·四川內(nèi)江·高三威遠中學校?？计谥校┮阎狥是雙曲線C：的右焦點，P是C的左支上一點，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8練習21．（2022·青海西寧·統(tǒng)考二模）設(shè)雙曲線的左焦點為，點為雙曲線右支上的一點，且與圓相切于點，為線段的中點，為坐標原點，則（

）A．- B．-1 C．- D．-2練習22．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知，，動點滿足，，則周長的最小值為______，此時點的坐標為______.練習23．（2022秋·河北邢臺·高三統(tǒng)考階段練習）如下圖，地在地的正東方向處，地在地的北偏東方向處，河流的沿岸（曲線）上任意一點到的距離比到的距離遠，則曲線的軌跡方程（以中點為原點）是___________；現(xiàn)要在曲線上選一處建一座碼頭，向兩地轉(zhuǎn)運貨物，那么這兩條公路的路程之和最短是___________.練習24．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知雙曲線，其一條漸近線方程為，右頂點為A，左，右焦點分別為，，點P在其右支上，點，三角形的面積為，則當取得最大值時點P的坐標為（

）A． B．C． D．練習25．（2023·全國·高三專題練習）過雙曲線的左焦點F作圓的一條切線（切點為T），交雙曲線右支點于P，點M為線段FP的中點，連接MO，則的最大值為______．題型六 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)例11．（2023春·上海浦東新·高三上海師大附中校考期中）已知，則雙曲線與的（

）A．實軸長相等 B．虛軸長相等C．焦距相等 D．離心率相等例12．（2023·四川涼山·三模）已知以直線為漸近線的雙曲線，經(jīng)過直線與直線的交點，則雙曲線的實軸長為（

）．A．6 B． C． D．8練習26．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線于A，B兩點，若實數(shù)使得的直線恰有3條，則（

）A．2 B．3 C．4 D．6練習27．（2022秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）若實數(shù)m滿足，則曲線與曲線的（

）A．離心率相等 B．焦距相等 C．實軸長相等 D．虛軸長相等練習28．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）以雙曲線的右焦點為圓心作圓，與的一條漸近線相切于點，則的焦距為（

）A．4 B． C．6 D．8練習29．（2022·全國·高三假期作業(yè)）已知點P是雙曲線C：上的動點，，分別是雙曲線C的左、右焦點，O為坐標原點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．練習30．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）（多選）若實數(shù)，滿足，則（

）A． B． C． D．題型七 雙曲線的離心率例13．（2022秋·高三課時練習）已知A，B是雙曲線的兩個頂點，P為雙曲線上(除頂點外)一點，若直線PA，PB的斜率乘積為，則雙曲線的離心率e=_____.例14．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，圓，過點作圓的切線交雙曲線的右支于點，點為的中點，且，則雙曲線的離心率是___________.練習31．（2023·北京·北京二中?？寄M預測）已知雙曲線的漸近線與圓相切，則______；雙曲線的離心率為______.練習32．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學校考模擬預測）雙曲線（，）的焦距為，已知點，，點到直線的距離為，點到直線的距離為，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．練習33．（2023·四川成都·?？寄M預測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，點是的一條漸近線上的兩點，且（為坐標原點），．若為的左頂點，且，則雙曲線的離心率為_____練習34．（2023秋·高三課時練習）過雙曲線的一個焦點F2作垂直于實軸的弦PQ，點F1是另一個焦點，若，則雙曲線的離心率等于________.練習35．（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學?？寄M預測）已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線左支交于兩點，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點，則的離心率為（

）A． B．C． D．題型八 雙曲線的漸近線例15．（2023·河北·模擬預測）已知雙曲線的上、下焦點分別為，，的一條漸近線過點，點在上，且，則______.例16．（2023·全國·高三對口高考）與有相同漸近線，焦距，則雙曲線標準方程為（

）A． B．C． D．練習36．（2021秋·高三課時練習）設(shè)P是雙曲線右支上任一點，過點P分別作兩條漸近線的垂線，垂足分別為E、F，則的值為________．練習37．（2023·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點M，N在雙曲線C上，.若為等邊三角形，且，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B．C． D．練習38．（2023·北京海淀·高三專題練習）與雙曲線漸近線相同，且一個焦點坐標是的雙曲線的標準方程是__________．練習39．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學?？寄M預測）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點P為第一象限內(nèi)一點，且點P在雙曲線C的一條漸近線上，，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．練習40．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線的左右焦點分別為，過作漸近線的垂線交雙曲線的左支于點，已知，則雙曲線的漸近線方程為______．

專題9.4雙曲線題型一雙曲線的定義題型二求雙曲線的標準方程題型三根據(jù)方程為圓、橢圓、雙曲線進行求參數(shù)范圍題型四雙曲線的焦點三角形題型五距離和差的最值問題題型六雙曲線的簡單幾何性質(zhì)題型七雙曲線的離心率題型八雙曲線的漸近線題型一 雙曲線的定義例1．（2021秋·高二課時練習）已知、是雙曲線的焦點，是過焦點的弦，那么的值是________．【答案】16【分析】由雙曲線的定義可得答案.【詳解】由雙曲線方程得，，由雙曲線的定義得，①，②①＋②，得，所以．故答案為：16.例2．（2021秋·高三課時練習）（多選）已知，滿足條件的動點的軌跡是雙曲線的一支．則下列數(shù)據(jù)中，可以是（）A． B．2 C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的定義，列出不等式組，即可求解.【詳解】由雙曲線的焦點坐標，可得，要使得滿足條件的動點的軌跡是雙曲線的一支，則滿足，解得且，結(jié)合選項，選項B、C符合題意.故選：BC.練習1．（2023·四川達州·統(tǒng)考二模）設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點，過的直線與C的右支交于P，Q兩點，則（

）A．5 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】由雙曲線的定義知，，則，即可得出答案.【詳解】雙曲線C：，則，，由雙曲線的定義知：，，，所以.故選：C.練習2．（2022秋·高三課時練習）與圓及圓都外切的圓P的圓心在（

）A．一個橢圓上 B．一個圓上C．一條直線上 D．雙曲線的一支上【答案】D【分析】根據(jù)題意，分別畫出兩個圓的圖形，然后結(jié)合圖形和雙曲線定義即可判斷.【詳解】由，得，畫出圓與的圖像如圖，設(shè)圓P的半徑為r，

∵圓P與圓O和圓M都外切，∴，，則，∴根據(jù)雙曲線定義知點P在以O(shè)，M為焦點的雙曲線的左支上.故選：D練習3．（2021秋·高三課時練習）已知動點滿足，則動點P的軌跡是（）A．雙曲線 B．雙曲線左支C．雙曲線右支 D．一條射線【答案】C【分析】根據(jù)表示動點到點與的距離之差為2，再結(jié)合雙曲線的定義求解.【詳解】解：因為的幾何意義是動點到點與的距離之差為2，又因為，所以由雙曲線的定義，知動點P的軌跡是雙曲線右支．故選：C練習4．（2023秋·高二課時練習）平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值等于的點的軌跡是（

）A．雙曲線 B．兩條射線 C．一條線段 D．一條直線【答案】B【分析】直接分析即可得結(jié)果.【詳解】如圖：設(shè)動點為，到兩個定點的距離之差的絕對值為，則若在線段（不包含兩端點）上，有；若在直線外，有；若在線段的延長線上或線段的反向延長線上（均包含兩端點），則有.故選：B練習5．（2023·全國·高三專題練習）已知曲線C：，點M與曲線C的焦點不重合．已知M關(guān)于曲線C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在曲線C右支上，則的值為______．【答案】12【分析】根據(jù)已知條件，作出圖形，MN的中點連接雙曲線的兩個焦點，便會得到三角形的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)及雙曲線的定義，即可求得.【詳解】設(shè)雙曲線的實半軸長為，則，設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，設(shè)的中點為，連接.∵是的中點，是的中點，∴是的中位線，∴.同理，∴，∵P在雙曲線上，根據(jù)雙曲線的定義知：，∴.故答案為：12.題型二 求雙曲線的標準方程例3．（2023·全國·高三專題練習）2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽火爆開賽，被網(wǎng)友稱為“村BA”.從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線的一部分，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)雙曲線方程為，由，可得，再代入點，求解即可.【詳解】解：依題意，設(shè)雙曲線方程為，因為，則，顯然圓O的半徑為3，又因為坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，雙曲線與圓O交于第一象限內(nèi)的點為，于是，解得，所以雙曲線的方程為.故選：A例4．（2023秋·高三課時練習）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：(1)以橢圓短軸的兩個端點為焦點，且過點；(2)經(jīng)過點和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意首先確定其焦點坐標為，設(shè)出標準方程將帶入即可求得結(jié)果；（2）設(shè)雙曲線方程的一般形式為，將兩點代入解方程即可求得其標準方程為.【詳解】（1）易知橢圓短軸的兩個端點坐標為；所以雙曲線焦點在軸上，可設(shè)雙曲線的標準方程為，且，點在雙曲線上，即，解得；所以雙曲線的標準方程為.（2）設(shè)雙曲線方程為，將兩點代入可得，解得；所以雙曲線的標準方程為.練習6．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）若雙曲線C：其中一條漸近線的斜率為2，且點在C上，則C的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線一條漸近線的斜率可得，將點的坐標代入方程，即可求得答案.【詳解】由題意可得，所以，把點的坐標代入方程，得，所以，則C的標準方程為，故選：A練習7．（2023秋·高三課時練習）已知雙曲線過點，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的標準方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意求得，，得到，進而求得雙曲線的標準方程.【詳解】由橢圓，可化為標準方程，可得，因為雙曲線與橢圓有公共的焦點，所以，又因為雙曲線過點，可得，則，所以雙曲線的標準方程為.故選：B.練習8．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線滿足下列條件中的兩個：①實軸長為4；②焦距為6；③離心率，則雙曲線的方程為___________.（寫出一個正確答案即可）【答案】（或或）【分析】根據(jù)所選擇的兩個條件，得到，即可求雙曲線方程.【詳解】若選①②，因為實軸長為4，所以，又焦距為6，所以，則，故此時雙曲線的方程為；若選①③，因為，得，又實軸長為4，得，所以，則，故此時雙曲線的方程為；若選②③，因為，又焦距為6，所以，所以，故此時雙曲線的方程為.故答案為：（或或）練習9．（2023·全國·高三對口高考）離心率為且過點的雙曲線方程為______.【答案】或【分析】考慮雙曲線焦點在軸和在軸上兩種情況，根據(jù)離心率得到，再將點的坐標代入方程得到答案.【詳解】當雙曲線的焦點在x軸上時，設(shè)方程為.則，所以，所以，即，將代入得，解得，所以所求雙曲線的標準方程為.當雙曲線焦點在y軸上時，設(shè)方程為.則，所以，所以，即，將代入得，解得，所以所求雙曲線的標準方程為即.綜上，所求雙曲線方程為或.故答案為：或.練習10．（2023·高三課時練習）動圓過點，且與圓外切，則動圓圓心的軌跡方程是______．【答案】【分析】由題知，進而根據(jù)雙曲線的定義求解即可.【詳解】解：設(shè)動圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因為動圓過點，且與圓外切，所以，，，所以，所以，由雙曲線的定義得的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的右支，因為實軸長為，焦點為，所以，動圓圓心的軌跡方程是，即故答案為：題型三 根據(jù)方程為圓、橢圓、雙曲線進行求參數(shù)范圍例5．（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知曲線，則下列說法正確的是（

）A．若曲線表示兩條平行線，則B．若曲線表示雙曲線，則C．若，則曲線表示橢圓D．若，則曲線表示焦點在軸的橢圓【答案】BD【分析】根據(jù)曲線的形狀求出參數(shù)的取值范圍，逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，若曲線表示兩條平行線，則有或，且.若，則，此時曲線的方程為，可得或，合乎題意，若，則，此時曲線的方程為，可得或，合乎題意，故A錯；對于B選項，若曲線表示雙曲線，則，由于且，則，可得，則，B對；對于C選項，若曲線表示橢圓，則，解得且，C錯；對于D選項，若，則，則，曲線的方程可化為，此時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，D對.故選：BD.例6．（2023春·重慶北碚·高三西南大學附中校考階段練習）已知表示焦點在軸上的雙曲線有個，表示焦點在軸上的橢圓有個，則的值為（

）A．10 B．14 C．18 D．22【答案】D【分析】根據(jù)方程表示雙曲線或橢圓的類型，確定參數(shù)的取值，確定m和n的值，即可得答案.【詳解】由題意表示焦點在軸上的雙曲線，則，故b的取值可取，a可取，故，表示焦點在軸上的橢圓，則，則可取，即，故，故選：D練習11．（2023秋·北京平谷·高二統(tǒng)考期末）“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)題意求出方程表示雙曲線的條件，即可判斷出結(jié)論.【詳解】若時，方程不表示雙曲線；若時，方程為雙曲線，則，∴是方程表示雙曲線的充分必要條件，故選：.練習12．（2023春·安徽·高三合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試）（多選）對于曲線C：，則下列說法正確的有（

）A．曲線C可能為圓 B．曲線C不可能為焦點在y軸上的雙曲線C．若，則曲線C為橢圓 D．若，則曲線C為雙曲線【答案】BCD【分析】根據(jù)無解判斷；令，解之無解判斷；根據(jù)和曲線方程可判斷；根據(jù)曲線為雙曲線的條件即可判斷.【詳解】當曲線C為圓時，則，無解，故錯誤；當曲線C為焦點在y軸上的雙曲線時，則，無解，故正確；若，則，，此時曲線C是橢圓，故正確；若曲線C為雙曲線，則，解得，故正確．故選．練習13．（2023秋·重慶北碚·高三西南大學附中?？茧A段練習）（多選）若方程所表示的曲線為C，則下面四個選項中錯誤的是（

）A．若C是圓，則 B．若C為橢圓，則C．若C為雙曲線，則或 D．若C為橢圓，且長軸在y軸上，則【答案】BD【分析】利用圓、橢圓與雙曲線的標準方程的特征，逐一分析選項得到關(guān)于的方程或不等式，解之即可判斷.【詳解】對于A，因為方程表示圓，所以，解得，故A正確；對于B，因為方程表示橢圓，所以，解得且，故B錯誤；對于C，因為方程表示雙曲線，所以，解得或，故C正確；對于D，因為方程表示長軸在y軸上的橢圓，所以，解得，故D錯誤.故選：BD練習14．（2023·高三課時練習）若，則方程表示的曲線只可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】確定或者，根據(jù)橢圓或者雙曲線確定的正負，再判斷直線是否滿足得到答案.【詳解】，則或，即，對選項A：根據(jù)橢圓得到，，直線與軸的交點在軸上方，不滿足；對選項B：根據(jù)橢圓得到，，直線斜率為正，不滿足；對選項C：根據(jù)雙曲線得到，，直線斜率為負且與軸的交點在軸上方，滿足；對選項D：根據(jù)雙曲線得到，，直線斜率為正，不滿足.故選：C練習15．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谀ǘ噙x）當變化時，所表示的曲線形狀，下列說法不正確的是（

）A．當時，方程表示橢圓B．或是方程表示雙曲線的充要條件C．該方程不可能表示圓D．是方程表示直線的充分不必要條件【答案】ACD【分析】分別列出方程表示橢圓，圓，雙曲線，直線的條件，推出m的范圍與取值，判斷選項的正誤即可.【詳解】若該方程表示橢圓，則，，故A錯誤；若該方程表示是雙曲線，則，或，故B正確；若該方程表示是圓，則，，即當時，此方程表示圓，故C錯誤；若該方程不能表示是直線，故D錯誤.故選：ACD.題型四 雙曲線的焦點三角形例7．（2023·湖南長沙·長沙一中校考模擬預測）設(shè)P是雙曲線右支上的一個動點，、為左、右兩個焦點，在中，令，，則的值為_________．【答案】【分析】三角形的內(nèi)角角平分線的交點為內(nèi)切圓的圓心，根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合三角形的內(nèi)切圓的切線長的性質(zhì)可得內(nèi)切圓的其中一個切點必與雙曲線的右頂點重合，最后再根據(jù)三角函數(shù)的定義表示出即可求解．【詳解】由雙曲線的方程，可得，，設(shè)的內(nèi)切圓在，，上的切點分別為，，，設(shè)切點的坐標為，因為，即，切點與雙曲線的右頂點重合，，，根據(jù)題意可得，，則兩角的角平分線的交點一定為的內(nèi)心．如圖所示，因此，，所以．故答案為：.

例8．（2021秋·高三課時練習）已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線=1的左、右焦點，若點P是雙曲線左支上的點，且，則△的面積為____.【答案】16【分析】由雙曲線的定義可知，，再在△中利用由余弦定理可求出，從而求出△的面積．【詳解】雙曲線，所以，，所以，，

是雙曲線左支上的點，，，在△中，由余弦定理得，，△的面積為.故答案為：.練習16．（2022秋·高三課時練習）已知點分別是雙曲線的下、上焦點，若點是雙曲線下支上的點，且，則的面積為________.【答案】16【分析】由雙曲線定義可得，然后平方可得的值，然后由余弦定理可得∠F1PF2=90°，然后可得答案.【詳解】因為是雙曲線下支上的點，所以，兩邊平方得：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2==0，所以∠F1PF2=90°，所以|PF1|·|PF2|=×32=16故答案為：練習17．（2023春·湖南·高三瀏陽一中校聯(lián)考階段練習）已知離心率為2的雙曲線的左、右焦點分別為、，過點作直線與雙曲線交于第一象限內(nèi)的點P，若的內(nèi)切圓半徑為b，則直線的傾斜角為__________．【答案】【分析】利用離心率為2及，找出間的關(guān)系，再由切線長定理和雙曲線的定義可得到，圓與軸的切點為雙曲線的右頂點，從而建立直線的傾斜角與間的關(guān)系，得到結(jié)果.【詳解】∵雙曲線的離心率為2，又∴，，如圖，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為I，三角形三邊與圓分別相切于，由切線長定理和雙曲線的定義可得到，，不妨設(shè)，則，得到，所以A為雙曲線的右頂點，所以軸，設(shè)直線的傾斜角為，又內(nèi)切圓半徑為，在中，因為則，將，代入，解得，故答案為：.練習18．（2023春·四川南充·高三四川省南充高級中學?？茧A段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別是，，過點的直線與雙曲線的右支交于點，，連接交雙曲線的左支于點，若，，，則的面積是______．【答案】10【分析】利用雙曲線的定義表示，，設(shè)，表示，由勾股定理可得的關(guān)系，再由余弦定義求，結(jié)合余弦定理列方程求，由此可求的面積.【詳解】連接，由，，得，．設(shè)，則，．由得，即，得．在中，．在中，由余弦定理，得，所以，得，所以，，即，故的面積為．故答案為：10.練習19．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預測）已知，雙曲線的左?右焦點分別為、，點在雙曲線的右支上，且直線的斜率為.若，則__________.【答案】【分析】依題意求出，由直線的斜率為求出，設(shè)，，再由雙曲線的定義，余弦定理及正弦定理計算可得.【詳解】雙曲線，即，所以，所以，又直線的斜率為，即，所以，顯然為銳角，所以，，設(shè)，，則，另一方面，在中，由正弦定理，即，解得，代入上述方程組，解得，（負值舍去）.

故答案為：練習20．（2023·全國·高三對口高考）設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點．若點P在雙曲線上，且，則_________，_________；【答案】【分析】由得為直角三角形，由可求出；根據(jù)雙曲線的定義以及勾股定理可求出.【詳解】因為，所以，則為直角三角形，所以(為原點)，又，，所以，，所以.不妨設(shè)點在雙曲線的右支上，則，①又，②聯(lián)立①②解得，，所以.故答案為：；.題型五 距離和差的最值問題例9．（2021秋·高二課時練習）設(shè)P是雙曲線的右支上的動點，F(xiàn)為雙曲線的右焦點，已知，，則|PA|＋|PF|的最小值為________；|PB|＋|PF|的最小值為________．【答案】/【分析】求距離之和的最小值由雙曲線的定義轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短求解即可.【詳解】如圖：

設(shè)雙曲線的另一焦點為，則有，，連接，易知點在雙曲線內(nèi)，點B在雙曲線外，則；.故答案為：；.例10．（2023春·四川內(nèi)江·高三威遠中學校?？计谥校┮阎狥是雙曲線C：的右焦點，P是C的左支上一點，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義得，利用平面幾何的知識，兩點間線段最短，即可求出最值.【詳解】由雙曲線方程可知，，，故右焦點，左焦點，當點在雙曲線左支上運動時，由雙曲線定義知，所以，從而，又為定值，所以，此時點在線段與雙曲線的交點處（三點共線距離最短），故選：B.練習21．（2022·青海西寧·統(tǒng)考二模）設(shè)雙曲線的左焦點為，點為雙曲線右支上的一點，且與圓相切于點，為線段的中點，為坐標原點，則（

）A．- B．-1 C．- D．-2【答案】B【分析】依題意作出曲線圖形，點P在雙曲線右支上，由雙曲線定義，即可得解.【詳解】由題意可知：雙曲線焦點在x軸上，a=3，b=4，c=5，設(shè)雙曲線的右焦點F2（5，0），左焦點F（﹣5，0），由OM為△PFF1中位線，則丨OM丨=丨PF2丨，由PF與圓x2+y2=9相切于點N，則△ONF為直角三角形，∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣9=16，則丨NF丨=4，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣4，由丨MF丨=丨PF丨，∴|MN|﹣|MO|=丨PF丨﹣4﹣丨PF2丨=（丨PF丨﹣丨PF2丨）﹣4=×2a﹣4=-1，∴|MN|﹣|MO|=-1，故選：B．練習22．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知，，動點滿足，，則周長的最小值為______，此時點的坐標為______.【答案】10【分析】由題意得動點的軌跡是以為焦點，實軸長為2的雙曲線的左支，求出軌跡方程，根據(jù)雙曲線定義及三點共線求得周長的最小值，將直線的方程代入雙曲線方程可求得的坐標．【詳解】由題意得動點的軌跡是以為焦點，實軸長為2的雙曲線的左支，則，動點的軌跡方程為，∵，∴的周長最小時，最小，，又，當且僅當，，三點共線且在線段上時，等號成立，∴的周長為，直線的方程為，將其代入到，化簡得：，，則，的坐標為.故答案為：10，.練習23．（2022秋·河北邢臺·高三統(tǒng)考階段練習）如下圖，地在地的正東方向處，地在地的北偏東方向處，河流的沿岸（曲線）上任意一點到的距離比到的距離遠，則曲線的軌跡方程（以中點為原點）是___________；現(xiàn)要在曲線上選一處建一座碼頭，向兩地轉(zhuǎn)運貨物，那么這兩條公路的路程之和最短是___________.【答案】【分析】根據(jù)題意建立直角坐標系，結(jié)合雙曲線定義可知曲線的軌跡為雙曲線的右支，從而求得其軌跡方程；結(jié)合圖像得到，由此得解.【詳解】以所在的直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標系，如圖，.由題意得，根據(jù)雙曲線定義知，軌跡為雙曲線的右支，故，所以曲線的軌跡方程為；因為，所以，當且僅當共線時，等號成立，所以這兩條公路的路程之和最短為.故答案為：.練習24．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知雙曲線，其一條漸近線方程為，右頂點為A，左，右焦點分別為，，點P在其右支上，點，三角形的面積為，則當取得最大值時點P的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的面積結(jié)合漸近線方程可得的值，再根據(jù)雙曲線的定義轉(zhuǎn)換可得當且僅當共線且在中間時取得最大值，進而聯(lián)立直線與雙曲線的方程求解即可.【詳解】設(shè)，則由三角形的面積為可得，即，又雙曲線一條漸近線方程為，故，即，故，故，解得，故，雙曲線.又由雙曲線的定義可得，當且僅當共線且在中間時取得等號.此時直線的方程為，即，聯(lián)立可得，解得，由題意可得在中間可得，代入可得，故.故選：B練習25．（2023·全國·高三專題練習）過雙曲線的左焦點F作圓的一條切線（切點為T），交雙曲線右支點于P，點M為線段FP的中點，連接MO，則的最大值為______．【答案】【分析】如圖所示，連接,連接，求得，由，得到，設(shè)，得到，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】如圖所示，連接,設(shè)雙曲線的右焦點為，連接，則，由，因為，所以，設(shè)，則，．可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，故的最大值為．故答案為：．題型六 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)例11．（2023春·上海浦東新·高三上海師大附中校考期中）已知，則雙曲線與的（

）A．實軸長相等 B．虛軸長相等C．焦距相等 D．離心率相等【答案】D【分析】由雙曲線方程求得對應的，進而判斷選項是否正確.【詳解】因為雙曲線與，所以，因為，所以，所以，所以選項A，B錯誤；因為，所以，所以選項C錯誤；因為，所以選項D正確.故選：D.例12．（2023·四川涼山·三模）已知以直線為漸近線的雙曲線，經(jīng)過直線與直線的交點，則雙曲線的實軸長為（

）．A．6 B． C． D．8【答案】C【分析】由題意可得雙曲線過點，分類討論，分別求解當雙曲線的焦點在x軸、y軸時的標準方程，結(jié)合離心率的定義和實軸的概念計算，即可求解.【詳解】由，解得，則雙曲線過點.若雙曲線的焦點在x軸，設(shè)為，由雙曲線的漸近線方程為，得，即，將代入方程，得，有，無解，不符合題意；若雙曲線的焦點在y軸，設(shè)為，由雙曲線的漸近線方程為，得，即，將代入方程，得，有，解得，所以雙曲線的實軸長為.故選：C.練習26．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線于A，B兩點，若實數(shù)使得的直線恰有3條，則（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線對稱性可知：滿足題意的直線，其中一條與實軸垂直，另兩條關(guān)于軸對稱，即可得到答案.【詳解】左支內(nèi)最短的焦點弦，又，所以與左、右兩支相交的焦點弦長，因為實數(shù)使得的直線恰有3條，根據(jù)雙曲線對稱性可知：其中一條與實軸垂直，另兩條關(guān)于軸對稱.如圖所示：

所以當時，有3條直線滿足題意.故選：C練習27．（2022秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）若實數(shù)m滿足，則曲線與曲線的（

）A．離心率相等 B．焦距相等 C．實軸長相等 D．虛軸長相等【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐一分析判斷即可.【詳解】因為，所以，所以曲線與曲線都是焦點在軸上的雙曲線，，所以兩曲線的焦點和焦距都相同，故B正確；因為，所以離心率不相等，故A錯誤；因為，所以實軸長不相等，故C錯誤；因為，所以虛軸長不相等，故D錯誤.故選：B.練習28．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）以雙曲線的右焦點為圓心作圓，與的一條漸近線相切于點，則的焦距為（

）A．4 B． C．6 D．8【答案】C【分析】由漸近線方程得出，，以及，聯(lián)立即可求得答案.【詳解】由題意，，不妨設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則.又，且，聯(lián)立解得，，即.故選：C練習29．（2022·全國·高三假期作業(yè)）已知點P是雙曲線C：上的動點，，分別是雙曲線C的左、右焦點，O為坐標原點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)P(x,y)是雙曲線C右支上的一點，則有，，所以=，再根據(jù)，即可求得范圍.【詳解】解：如圖所示：設(shè)P(x,y)是雙曲線C右支上的一點，由焦半徑公式可得，所以，同理可得，所以，又因為，所以原式又因為，所以,所以,所以.故選：B.練習30．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）（多選）若實數(shù)，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)得到AB正確，取特殊值排除CD，得到答案.【詳解】對選項A：，故，正確；對選項B：，正確；對選項C：取，滿足，此時不成立，錯誤；對選項D：取，滿足，此時，錯誤.故選：AB題型七 雙曲線的離心率例13．（2022秋·高三課時練習）已知A，B是雙曲線的兩個頂點，P為雙曲線上(除頂點外)一點，若直線PA，PB的斜率乘積為，則雙曲線的離心率e=_____.【答案】【分析】可設(shè)，根據(jù)直線PA，PB的斜率乘積為，結(jié)合點P是雙曲線上的點，構(gòu)造的齊次式，即可得解.【詳解】由題意，可設(shè)，則，因為點P是雙曲線上的點，可得=1，化簡整理得，所以，因為直線PA，PB的斜率乘積為，所以，所以.故答案為：.例14．（2023·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，圓，過點作圓的切線交雙曲線的右支于點，點為的中點，且，則雙曲線的離心率是___________.【答案】【分析】作出圖象，由，求得，得到，根據(jù)雙曲線的定義，得到，結(jié)合及離心率的定義，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】因為點為的中點，且，可得，設(shè)直線與圓相切于點，則且，如圖所示，，可得，且，所以，所以，所以，由雙曲線的定義，可得，即，所以，可得，整理得，即，解得或（舍去），所以雙曲線的離心率為.故答案為：.

練習31．（2023·北京·北京二中?？寄M預測）已知雙曲線的漸近線與圓相切，則______；雙曲線的離心率為______.【答案】//【分析】寫出雙曲線的漸近線方程，根據(jù)直線與圓相切求出的值，可得出、、的值，進而可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，圓的標準方程為，圓心為，半徑為，因為雙曲線的漸近線與圓相切，則，解得，所以，，，則，因此，該雙曲線的離心率為.故答案為：；.練習32．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學?？寄M預測）雙曲線（，）的焦距為，已知點，，點到直線的距離為，點到直線的距離為，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先表示出直線的方程，利用距離公式表示出，，依題意可得，再根據(jù)、、的關(guān)系得到關(guān)于的不等式，解得即可.【詳解】依題意直線：，即，又，所以，，所以，所以，即，即，解得，又，所以.故選：B練習33．（2023·四川成都·校考模擬預測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，點是的一條漸近線上的兩點，且（為坐標原點），．若為的左頂點，且，則雙曲線的離心率為_____【答案】【分析】根據(jù)，可得關(guān)于原點對稱，從而可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)，可得四邊形為矩形，再求出的坐標，求出，再利用余弦定理構(gòu)造齊次式即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，因為，所以，所以關(guān)于原點對稱，又，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，因為以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)所在的漸近線方程為，則，由，解得或，不妨設(shè)，因為為雙曲線的左頂點，所以，所以，又，由余弦定理得，即，整理得，所以離心率．故答案為：．【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組或不等式組，求得、的值或不等式，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值或取值范圍；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程或不等式求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值構(gòu)建方程或不等式，求得離心率的值或取值范圍.練習34．（2023秋·高三課時練習）過雙曲線的一個焦點F2作垂直于實軸的弦PQ，點F1是另一個焦點，若，則雙曲線的離心率等于________.【答案】/【分析】由對稱性可得為等腰直角三角形，結(jié)合雙曲線定義可