一次函數(shù)應(yīng)用專題練習(xí)及去分母技巧詳解一次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，其應(yīng)用貫穿于行程、工程、經(jīng)濟決策等諸多實際場景，而去分母技巧則是解決含分?jǐn)?shù)系數(shù)的一次方程（及函數(shù)相關(guān)問題）的關(guān)鍵工具。本文將系統(tǒng)梳理一次函數(shù)的應(yīng)用模型，詳解去分母的原理與操作，并通過專題練習(xí)深化理解，助力學(xué)習(xí)者構(gòu)建“建模—解方程—應(yīng)用”的完整思維鏈。一、一次函數(shù)的應(yīng)用場景與核心模型一次函數(shù)的表達式為\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)），其中：\(k\)表示變化率（如速度、工作效率、單價等），反映自變量\(x\)每變化1單位時，因變量\(y\)的變化量；\(b\)表示初始值（如初始距離、初始工作量、基礎(chǔ)費用等），即\(x=0\)時\(y\)的取值。典型應(yīng)用場景：1.行程問題：路程\(s\)與時間\(t\)的關(guān)系（如\(s=vt+s_0\)，\(v\)為速度，\(s_0\)為初始距離）；2.工程問題：工作量\(W\)與時間\(t\)的關(guān)系（如\(W=at+W_0\)，\(a\)為工作效率，\(W_0\)為初始工作量）；3.經(jīng)濟問題：成本/利潤\(y\)與銷量\(x\)的關(guān)系（如\(y=px+c\)，\(p\)為單價，\(c\)為固定成本）。二、去分母技巧的原理與操作步驟去分母是解含分?jǐn)?shù)系數(shù)的一元一次方程的核心步驟，其依據(jù)是等式的基本性質(zhì)2：等式兩邊同時乘同一個不為0的數(shù)，等式仍然成立。操作步驟（以方程\(\frac{2x-1}{3}+\frac{x+2}{4}=1\)為例）：1.找最小公倍數(shù)：分母為3和4，最小公倍數(shù)為\(3\times4=12\)；2.兩邊同乘最小公倍數(shù)：方程兩邊同時乘12，注意每一項都要乘（包括不含分母的常數(shù)項）：\[12\times\frac{2x-1}{3}+12\times\frac{x+2}{4}=12\times1\]3.約分化簡：分子是多項式時需加括號，避免符號錯誤：\[4(2x-1)+3(x+2)=12\]4.展開計算：去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，最終解得\(x=\frac{10}{11}\)。注意事項：若分母為小數(shù)，可先利用“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”化為整數(shù)（如\(\frac{0.2x+0.1}{0.3}\)分子分母同乘10，變?yōu)閈(\frac{2x+1}{3}\)）；分子為多項式時，乘最小公倍數(shù)后需保留括號，防止漏乘或符號錯誤（如\(\frac{x-1}{2}\)乘2后為\((x-1)\)，而非\(x-1\)）。三、一次函數(shù)應(yīng)用中的方程求解與去分母結(jié)合許多一次函數(shù)應(yīng)用題的核心是解一元一次方程，當(dāng)方程含分?jǐn)?shù)系數(shù)時，去分母可簡化計算。以下通過典型例題說明：例題：工程效率與時間問題甲單獨完成一項工程需12小時，乙單獨完成需18小時。兩人合作\(x\)小時，完成工程的\(\frac{2}{3}\)，求\(x\)。分析與建模：甲的工作效率為\(\frac{1}{12}\)（每小時完成工程的\(\frac{1}{12}\)）；乙的工作效率為\(\frac{1}{18}\)；合作效率為\(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}\)，工作量為\(\frac{2}{3}\)，因此方程為：\[\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}\right)x=\frac{2}{3}\]去分母求解：1.找分母的最小公倍數(shù)：12和18的最小公倍數(shù)為36；2.兩邊同乘36：\[36\times\frac{1}{12}x+36\times\frac{1}{18}x=36\times\frac{2}{3}\]3.化簡計算：\[3x+2x=24\implies5x=24\impliesx=\frac{24}{5}=4.8\]四、專題練習(xí)題及詳細解析練習(xí)題1：行程問題中的相遇時間A、B兩地相距150千米，甲從A地出發(fā)，速度為每小時\(\frac{40}{3}\)千米；乙從B地出發(fā)，速度為每小時\(\frac{50}{3}\)千米。兩人同時相向而行，幾小時后相遇？解析：設(shè)相遇時間為\(t\)小時，甲的路程為\(\frac{40}{3}t\)，乙的路程為\(\frac{50}{3}t\)；總路程為150千米，因此方程為：\[\frac{40}{3}t+\frac{50}{3}t=150\]去分母（兩邊乘3）：\[40t+50t=450\implies90t=450\impliest=5\]練習(xí)題2：經(jīng)濟問題中的成本計算某商店銷售文具，進價為每支\(\frac{10}{3}\)元，售價為每支5元。若每天固定成本（房租、人工等）為50元，設(shè)每天銷售\(x\)支，利潤為\(y\)元。（1）寫出\(y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若某天利潤為100元，求當(dāng)天銷量\(x\)。解析：（1）利潤=總售價-總進價-固定成本，因此：\[y=5x-\frac{10}{3}x-50=\frac{5}{3}x-50\]（2）當(dāng)\(y=100\)時，方程為：\[\frac{5}{3}x-50=100\]去分母（兩邊乘3）：\[5x-150=300\implies5x=450\impliesx=90\]五、總結(jié)與提升一次函數(shù)的應(yīng)用本質(zhì)是建立變量間的線性關(guān)系，而解決含分?jǐn)?shù)系數(shù)的方程時，去分母技巧是簡化運算的核心：1.建模時需明確“變化率\(k\)”與“初始值\(b\)”的實際意義，確保函數(shù)表達式準(zhǔn)確；2.解方程時，先找分母的最小公倍數(shù)，再利用等式性質(zhì)“