萊蕪數(shù)學(xué)高考試卷及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=(\)\)A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.函數(shù)\(y=\log_2(x-1)\)的定義域是\((\)\)A.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((0,1)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-2,x)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(x=(\)\)A.\(1\)B.\(-1\)C.\(4\)D.\(-4\)4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5=(\)\)A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)5.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是\((\)\)A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)6.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值是\((\)\)A.\(2\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(5\)7.已知\(a=\log_32\)，\(b=\log_53\)，\(c=\log_{11}5\)，則\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小關(guān)系是\((\)\)A.\(a\ltb\ltc\)B.\(a\ltc\ltb\)C.\(c\lta\ltb\)D.\(c\ltb\lta\)8.曲線\(y=x^3-2x+1\)在點\((1,0)\)處的切線方程為\((\)\)A.\(y=x-1\)B.\(y=-x+1\)C.\(y=2x-2\)D.\(y=-2x+2\)9.已知雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的離心率為\(2\)，則其漸近線方程為\((\)\)A.\(y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x\)B.\(y=\pm\sqrt{3}x\)C.\(y=\pm\frac{1}{2}x\)D.\(y=\pm2x\)10.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\geq0\)時，\(f(x)=x^2-2x\)，則\(f(-1)=(\)\)A.\(-3\)B.\(-1\)C.\(1\)D.\(3\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有\(zhòng)((\)\)A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)D.\(y=2^{|x|}\)2.下列關(guān)于直線與圓的位置關(guān)系描述正確的有\(zhòng)((\)\)A.直線\(l:y=x+1\)與圓\(C:x^2+y^2=1\)相交B.直線\(l:3x-4y+5=0\)與圓\(C:(x-1)^2+y^2=1\)相切C.直線\(l:x-y+1=0\)與圓\(C:x^2+y^2-2x-2y+1=0\)相離D.直線\(l:y=kx\)與圓\(C:x^2+y^2-4x=0\)恒有公共點3.一個正方體的棱長為\(a\)，以下說法正確的是\((\)\)A.正方體的表面積為\(6a^2\)B.正方體的體積為\(a^3\)C.正方體的外接球直徑為\(\sqrt{3}a\)D.正方體的內(nèi)切球半徑為\(\frac{a}{2}\)4.已知\(\alpha\)，\(\beta\)是兩個不同的平面，\(m\)，\(n\)是兩條不同的直線，則下列說法正確的是\((\)\)A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，則\(m\paralleln\)B.若\(m\perp\alpha\)，\(m\parallel\beta\)，則\(\alpha\perp\beta\)C.若\(\alpha\cap\beta=m\)，\(n\subset\alpha\)，\(n\perpm\)，則\(\alpha\perp\beta\)D.若\(m\perp\alpha\)，\(n\perp\beta\)，\(m\perpn\)，則\(\alpha\perp\beta\)5.下列數(shù)列中，是等比數(shù)列的有\(zhòng)((\)\)A.\(2,4,8,16,\cdots\)B.\(1,-1,1,-1,\cdots\)C.\(0,2,4,6,\cdots\)D.\(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\cdots\)6.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象關(guān)于點\((a,b)\)對稱，則有\(zhòng)((\)\)A.\(f(a+x)+f(a-x)=2b\)B.\(f(x)=2b-f(2a-x)\)C.若\(f(x)\)是奇函數(shù)且關(guān)于點\((1,0)\)對稱，則\(f(x)\)是周期函數(shù)D.若\(f(x)\)關(guān)于點\((1,2)\)對稱，則\(f(0)+f(2)=4\)7.以下關(guān)于三角函數(shù)的說法正確的是\((\)\)A.\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)B.\(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)C.\(\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\)D.\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)的最大值為\(|A|\)8.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為三角形的三邊，下列不等式一定成立的是\((\)\)A.\(a+b\gtc\)B.\(a^2+b^2\gtc^2\)C.\(a^3+b^3\gtc^3\)D.\(a+b-c\gt0\)9.已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,x\leq0\\-2x,x\gt0\end{cases}\)，則下列說法正確的是\((\)\)A.\(f(-2)=5\)B.若\(f(x)=10\)，則\(x=-3\)C.\(f(x)\)在\(R\)上是減函數(shù)D.\(f(x)\)的值域是\((-\infty,1]\)10.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)，以下說法正確的是\((\)\)A.橢圓的長軸長為\(2a\)B.橢圓的離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)為半焦距）C.當(dāng)\(a\)固定，\(b\)越大，橢圓越圓D.橢圓的焦點坐標(biāo)為\((\pmc,0)\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）3.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是減函數(shù)。（）4.向量\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)。（）5.等比數(shù)列的公比可以為\(0\)。（）6.若直線\(l\)與平面\(\alpha\)內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則\(l\perp\alpha\)。（）7.函數(shù)\(y=\sinx\)的圖象關(guān)于原點對稱。（）8.拋物線\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦點坐標(biāo)為\((\frac{p}{2},0)\)。（）9.若\(a\gtb\gt0\)，\(c\ltd\lt0\)，則\(ac\ltbd\)。（）10.對于任意實數(shù)\(x\)，\(x^2+1\geq2x\)恒成立。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=2\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)的單調(diào)遞增區(qū)間。答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x-\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)，解不等式得\(k\pi-\frac{\pi}{6}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{3},k\inZ\)，所以單調(diào)遞增區(qū)間是\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}],k\inZ\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_5=25\)，求\(a_n\)的通項公式。答案：設(shè)等差數(shù)列公差為\(d\)，由\(a_3=5\)得\(a_1+2d=5\)，由\(S_5=25\)得\(5a_1+\frac{5\times4}{2}d=25\)即\(a_1+2d=5\)，解得\(a_1=1\)，\(d=2\)，所以\(a_n=1+(n-1)\times2=2n-1\)。3.已知\(A(1,2)\)，\(B(3,4)\)，求線段\(AB\)的垂直平分線方程。答案：\(AB\)中點坐標(biāo)為\((\frac{1+3}{2},\frac{2+4}{2})=(2,3)\)，\(k_{AB}=\frac{4-2}{3-1}=1\)，則垂直平分線斜率為\(-1\)，由點斜式得\(y-3=-(x-2)\)，即\(x+y-5=0\)。4.求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)在區(qū)間\([-1,3]\)上的最值。答案：\(f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)，令\(f^\prime(x)=0\)得\(x=0\)或\(x=2\)。\(f(-1)=-2\)，\(f(0)=2\)，\(f(2)=-2\)，\(f(3)=2\)，所以最大值為\(2\)，最小值為\(-2\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2}\)的性質(zhì)。答案：定義域為\(x\neq0\)，值域\((0,+\infty)\)。是偶函數(shù)，圖象關(guān)于\(y\)軸對稱。在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。2.討論直線\(y=kx+1\)與圓\(x^2+y^2=1\)的位置關(guān)系與\(k\)的取值關(guān)系。答案：圓的圓心\((0,0)\)，半徑\(r=1\)。圓心到直線距離\(d=\frac{|0-0+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\)。當(dāng)\(d\ltr\)即\(k\neq0\)時相交；\(d=r\)即\(k=0\)時相切；\(d\gtr\)不成立。3.討論在解三角形中，已知兩邊及其中一邊的對角，解的情況。答案：設(shè)已知\(a\)，\(b\)，\(A\)。當(dāng)\(A\)為鈍角或直角時，若\(a\gtb\)有一解，\(a\leqb\)無解；當(dāng)\(A\)為銳角時，\(a\geqb\)有一解，\(a\ltb\sinA\)無解，\(a=b\sinA\)有一解，\(b\sinA\lta\ltb\)有兩解。4.討論導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性和極值中的作用。答案：導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)單調(diào)性，\(f^\prime(x)\gt0\)函數(shù)單調(diào)遞增，\(f^\prime(x)\lt0\)函