重師數(shù)學(xué)考研試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=x^3-3x$的駐點(diǎn)是（）A.$x=1$B.$x=-1$C.$x=\pm1$D.$x=0$2.若級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\lim_{n\to\infty}a_n$等于（）A.0B.1C.不存在D.不一定3.矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的行列式的值為（）A.-2B.2C.10D.-104.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,k)$，若$\vec{a}\perp\vec$，則$k$的值為（）A.$\frac{3}{2}$B.$-\frac{3}{2}$C.6D.-65.函數(shù)$y=\sinx$在區(qū)間$[0,\pi]$上的平均值為（）A.$\frac{2}{\pi}$B.$\frac{1}{\pi}$C.$\frac{4}{\pi}$D.06.微分方程$y'+2y=0$的通解是（）A.$y=Ce^{2x}$B.$y=Ce^{-2x}$C.$y=Cxe^{-2x}$D.$y=Cxe^{2x}$7.設(shè)$f(x)$在$x=a$處可導(dǎo)，則$\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}$等于（）A.$f'(a)$B.$2f'(a)$C.0D.不存在8.若$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)為$F(x)$，則$\intf(2x)dx$等于（）A.$\frac{1}{2}F(2x)+C$B.$2F(2x)+C$C.$F(2x)+C$D.$F(x)+C$9.空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$(1,-2,3)$關(guān)于$x$軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.$(1,2,-3)$B.$(-1,-2,-3)$C.$(1,-2,-3)$D.$(-1,2,3)$10.已知$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，且$\int_{a}^f(x)dx=0$，則（）A.$f(x)$在$[a,b]$上恒為0B.至少存在一點(diǎn)$\xi\in[a,b]$，使得$f(\xi)=0$C.$f(x)$在$[a,b]$上單調(diào)D.以上都不對(duì)多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\sinx$C.$y=\lnx$D.$y=e^x$2.以下哪些是向量組線性相關(guān)的判定條件（）A.向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示B.向量組構(gòu)成的矩陣的秩小于向量組向量的個(gè)數(shù)C.向量組中存在零向量D.向量組中向量個(gè)數(shù)大于向量的維數(shù)3.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$4.關(guān)于矩陣的運(yùn)算，下列說(shuō)法正確的有（）A.矩陣的加法滿足交換律和結(jié)合律B.矩陣的乘法滿足交換律C.矩陣的數(shù)乘滿足分配律D.可逆矩陣的逆矩陣唯一5.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可微的等價(jià)條件有（）A.$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)B.$\Deltay=A\Deltax+o(\Deltax)$（其中$A$為常數(shù)）C.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)D.函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等6.下列曲線中，漸近線存在的有（）A.$y=\frac{1}{x-1}$B.$y=x+\frac{1}{x}$C.$y=\sinx$D.$y=e^x$7.設(shè)$A$，$B$為$n$階矩陣，且$AB=0$，則（）A.$|A|=0$或$|B|=0$B.$A=0$或$B=0$C.$r(A)+r(B)\leqn$D.以上都不對(duì)8.對(duì)于多元函數(shù)$z=f(x,y)$，下列說(shuō)法正確的是（）A.偏導(dǎo)數(shù)存在則函數(shù)一定連續(xù)B.函數(shù)可微則偏導(dǎo)數(shù)一定存在C.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)則函數(shù)一定可微D.函數(shù)連續(xù)則偏導(dǎo)數(shù)一定存在9.以下哪些是求解線性方程組的方法（）A.高斯消元法B.克拉默法則C.矩陣的初等行變換D.迭代法10.已知函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積，則（）A.$f(x)$在$[a,b]$上一定連續(xù)B.$f(x)$在$[a,b]$上一定有界C.$\int_{a}^f(x)dx$是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)D.可通過(guò)分割、近似代替、求和、取極限的步驟計(jì)算積分值判斷題（每題2分，共10題）1.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)的導(dǎo)數(shù)$f'(x)>0$，則$f(x)$在$(a,b)$內(nèi)單調(diào)遞增。（）2.兩個(gè)向量組等價(jià)，則它們的秩一定相等。（）3.若級(jí)數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$絕對(duì)收斂，則該級(jí)數(shù)一定收斂。（）4.矩陣$A$的行列式$|A|=0$，則$A$不可逆。（）5.函數(shù)$y=x^2$在$x=0$處的導(dǎo)數(shù)為0，所以$x=0$是函數(shù)的極值點(diǎn)。（）6.若$f(x)$在$[a,b]$上可積，則$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$。（）7.齊次線性方程組一定有解。（）8.多元函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)在該點(diǎn)一定可微。（）9.若函數(shù)$f(x)$在$x=x_0$處的左右極限都存在，則$f(x)$在$x=x_0$處連續(xù)。（）10.冪級(jí)數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收斂半徑$R$唯一確定，且收斂區(qū)間是$(-R,R)$。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述羅爾定理的內(nèi)容。答：如果函數(shù)$f(x)$滿足：（1）在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)；（3）$f(a)=f(b)$，那么在$(a,b)$內(nèi)至少存在一點(diǎn)$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。2.求函數(shù)$y=\ln(1+x^2)$的導(dǎo)數(shù)。答：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，令$u=1+x^2$，則$y=\lnu$。先對(duì)$y$關(guān)于$u$求導(dǎo)得$\frac{1}{u}$，再對(duì)$u$關(guān)于$x$求導(dǎo)得$2x$。所以$y'=\frac{2x}{1+x^2}$。3.簡(jiǎn)述矩陣可逆的充要條件。答：$n$階矩陣$A$可逆的充要條件是$|A|\neq0$，或$A$滿秩，或存在$n$階矩陣$B$使得$AB=BA=E$（$E$為單位矩陣）。4.簡(jiǎn)述定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答：聯(lián)系：不定積分是原函數(shù)的集合，定積分是一個(gè)數(shù)值，牛頓-萊布尼茨公式建立了兩者聯(lián)系，$\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)$（$F(x)$是$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)）。區(qū)別：不定積分是運(yùn)算，定積分是和式極限。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x-1}$的單調(diào)性與漸近線情況。答：對(duì)$f(x)$求導(dǎo)得$f'(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}<0$，$x\neq1$，所以在$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$上單調(diào)遞減。漸近線：$x=1$是垂直漸近線，$y=0$是水平漸近線。2.討論線性方程組解的情況與系數(shù)矩陣、增廣矩陣秩的關(guān)系。答：設(shè)線性方程組$Ax=b$，$A$為系數(shù)矩陣，$\overline{A}$為增廣矩陣。當(dāng)$r(A)=r(\overline{A})=n$（$n$為未知數(shù)個(gè)數(shù)）時(shí)有唯一解；當(dāng)$r(A)=r(\overline{A})<n$有無(wú)窮多解；當(dāng)$r(A)\neqr(\overline{A})$時(shí)無(wú)解。3.討論多元函數(shù)極值存在的條件。答：必要條件：若函數(shù)$z=f(x,y)$在點(diǎn)$(x_0,y_0)$處取得極值，且在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，則$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$。充分條件：設(shè)$A=f_{xx}(x_0,y_0)$，$B=f_{xy}(x_0,y_0)$，$C=f_{yy}(x_0,y_0)$，$AC-B^2>0$且$A>0$時(shí)為極小值，$AC-B^2>0$且$A<0$時(shí)為極大值，$AC-B^2<0$時(shí)不是極值。4.討論冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間端點(diǎn)處的斂散性情況。答：冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間端點(diǎn)處斂散性不確定?？赡茉谝欢耸諗恳欢税l(fā)散，如$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$在$x=-1$收斂，$x=1$發(fā)散；也可能兩端都收斂，如$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}$在$x=\pm1$都收斂；還可能兩端都發(fā)散，如$\sum_{n=1}^{\infty}nx^n$在$x=\pm1$都發(fā)散