成都樹德中學(xué)(光華校區(qū))中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題模擬專題一、中考幾何壓軸題1．問題發(fā)現(xiàn)：（1）正方形ABCD和正方形AEFG如圖①放置，AB＝4，AE＝2.5，則＝___________．問題探究：（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，∠BPC＝135°，求AP長的最小值．問題拓展：（3）如圖③，在四邊形ABCD中，連接對(duì)角線AC、BD，已知AB＝6，AC＝CD，∠ACD＝90°，∠ACB＝45°，則對(duì)角線BD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合）將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連結(jié)EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（探究證明）（2）如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；（拓展延伸）（3）如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，將△ACD繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為α（0°＜α＜360°），當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時(shí)，畫出圖形，并求出線段BE的長度．3．某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對(duì)圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積之間的關(guān)系問題”進(jìn)行了以下探究：類比探究：（1）如圖2，在中，為斜邊，分別以為直徑，向外側(cè)作半圓，則面積之間的關(guān)系式為_____________；推廣驗(yàn)證：（2）如圖3，在中，為斜邊，分別以為邊向外側(cè)作，，滿足，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由；拓展應(yīng)用：（3）如圖4，在五邊形中，，點(diǎn)在上，，求五邊形的面積．4．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，直線BD，CE交于點(diǎn)F，直線BD，AC交于點(diǎn)G．則線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）類比探究如圖2，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，直線BD，CE交于點(diǎn)F，AC與BD相交于點(diǎn)G．若AB＝kAC，試判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系以及直線BD和CE相交所成的較小角的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3.0），點(diǎn)N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN．將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線段MP，連接NP，OP．請(qǐng)直接寫出線段OP長度的最小值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．5．問題探究：（1）如圖①，已知在△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，則AB的最大值是．（2）如圖②，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AD＝2，BD＝2．，CD＝6，請(qǐng)求出∠ADB的度數(shù)．問題解決：（3）如圖③，某戶外拓展基地計(jì)劃在一處空地上修建一個(gè)新的拓展游戲區(qū)△ABC，且AB＝AC．∠BAC＝120°，點(diǎn)A、B、C分別是三個(gè)任務(wù)點(diǎn)，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一個(gè)打卡點(diǎn)．按照設(shè)計(jì)要求，CP＝30米，打卡點(diǎn)P對(duì)任務(wù)點(diǎn)A、B的張角為120°，即∠APB＝120°．為保證游戲效果，需要A、P的距離與B、P的距離和盡可能大，試求出AP+BP的最大值．6．如圖，已知和均為等腰三角形，，，將這兩個(gè)三角形放置在一起．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接CE，則線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系是_________，_________；（2）拓展探究：如圖②，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B、D、E不在同一直線上，連接CE，求出線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系及BD、CE所在直線相交所成的銳角的大?。ǘ加煤氖阶颖硎荆?，并說明理由：（3）解決問題：如圖③，，，，連接CE、BD，在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)CE所在的直線垂直于AD時(shí)，請(qǐng)你直接寫出BD的長．7．在矩形ABCD中，（k為常數(shù)），點(diǎn)P是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，D重合），將射線PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與射線CB交于點(diǎn)E，連接AE．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)k=1時(shí)，將點(diǎn)P移動(dòng)到對(duì)角線交點(diǎn)處，可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，則=，∠AEP=；當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到其它位置時(shí)，∠AEP的大?。ㄌ睢案淖儭被颉安蛔儭保?；（2）類比探究：如圖2，若k≠1時(shí)，當(dāng)k的值確定時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄俊螦EP的大小是否會(huì)隨著點(diǎn)P的移動(dòng)而發(fā)生變化，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：當(dāng)k≠1時(shí)，如圖2，連接PC，若PC⊥BD，，PC=2，求AP的長．8．（閱讀理解）定義：如果四邊形的某條對(duì)角線平分一組對(duì)角，那么把這條對(duì)角線叫“協(xié)和線”，該四邊形叫做“協(xié)和四邊形”．（深入探究）（1）如圖1，在四邊形中，，，請(qǐng)說明：四邊形是“協(xié)和四邊形”．（嘗試應(yīng)用）（2）如圖2，四邊形是“協(xié)和四邊形”，為“協(xié)和線”，，，若點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，連接，，．求：①與的面積的比；②的正弦值．（拓展應(yīng)用）（3）如圖3，在菱形中，，，點(diǎn)、分別在邊和上，點(diǎn)、分別在邊和上，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，若四邊形，都是“協(xié)和四邊形”，“協(xié)和線”分別是、，求的最小值．9．如圖1，在中，，點(diǎn)P在斜邊上，點(diǎn)D?E?F分別是線段??的中點(diǎn)，易知是直角三角形．現(xiàn)把以點(diǎn)P為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其中．連接??．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，連接，可以發(fā)現(xiàn)____________；（2）類比探究如圖3，中，于點(diǎn)P，請(qǐng)判斷與的大小，結(jié)合圖2說明理由；（3）拓展提高在（2）的條件下，如果，且，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)以點(diǎn)C?D?F?P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形與以點(diǎn)B?E?F?P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形都是平行四邊形時(shí)，直接寫出線段??的長．10．如圖1，已知和均為等腰直角三角形，點(diǎn)、分別在線段、上，．（1）觀察猜想：如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，的延長線交于點(diǎn)．當(dāng)?shù)难娱L線恰好經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)，①的值為______；②∠BEC的度數(shù)為______度；（2）類比探究：如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說明理由；（3）拓展延伸：若．，當(dāng)所在的直線垂直于時(shí)，請(qǐng)你直接寫出線段的長．11．如圖1，已知直角三角形，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，過作于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，．（1）發(fā)現(xiàn)問題：線段，之間的數(shù)量關(guān)系為______；的度數(shù)為______；（2）拓展與探究：若將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖2所示，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由；（3）拓展與運(yùn)用：如圖3所示，若繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)落到邊上時(shí)，邊上另有一點(diǎn)，，，連接，請(qǐng)直接寫出的長度．12．如圖(1)，在矩形ABCD中，AD＝nAB，點(diǎn)M，P分別在邊AB，AD上(均不與端點(diǎn)重合)，且AP＝nAM，以AP和AM為鄰邊作矩形AMNP，連接AN，CN.（問題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖(2)，當(dāng)n＝1時(shí)，BM與PD的數(shù)量關(guān)系為，CN與PD的數(shù)量關(guān)系為.（類比探究）（2）如圖(3)，當(dāng)n＝2時(shí)，矩形AMNP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接PD，則CN與PD之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)就圖(3)給出證明；若變化，請(qǐng)寫出數(shù)量關(guān)系，并就圖(3)說明理由.（拓展延伸）（3）在(2)的條件下，已知AD＝4，AP＝2，當(dāng)矩形AMVP旋轉(zhuǎn)至C，N，M三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CN的長13．（問題探究）課堂上老師提出了這樣的問題：“如圖①，在中，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，求的長”．某同學(xué)做了如下的思考：如圖②，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，進(jìn)而求解，請(qǐng)回答下列問題：（1）___________度；（2）求的長．（拓展應(yīng)用）如圖③，在四邊形中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)，且，，則的長為_____________．14．問題提出（1）如圖（1），在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接AM，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，則∠ACN＝°．類比探究（2）如圖（2），在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M是BC延長線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．拓展延伸（3）如圖（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連接AM，以AM為邊作等腰三角形AMN，使AM＝MN，連接CN．添加一個(gè)條件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，寫出你所添加的條件，并說明理由．15．（性質(zhì)探究）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E．作DF⊥AE于點(diǎn)H，分別交AB，AC于點(diǎn)F，G．（1）判斷△AFG的形狀并說明理由．（2）求證：BF=2OG．（遷移應(yīng)用）（3）記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當(dāng)時(shí)，求的值．（拓展延伸）（4）若DF交射線AB于點(diǎn)F，（性質(zhì)探究）中的其余條件不變，連結(jié)EF，當(dāng)△BEF的面積為矩形ABCD面積的時(shí)，請(qǐng)直接寫出tan∠BAE的值．16．（1）問題探究：如圖1所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，連接BE與DG，請(qǐng)判斷線段BE與線段DG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．并請(qǐng)說明理由．（2）理解應(yīng)用：如圖2所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，將正方形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠ABE＝15°，且點(diǎn)D、E、G三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出AE的長；（3）拓展應(yīng)用：如圖3所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，將矩形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，連接BD，DE，點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，連接MN，當(dāng)點(diǎn)D、E、G三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出MN的長17．（1）問題情境：如圖1，已知等腰直角中，，，是上的一點(diǎn)，且，過作于，取中點(diǎn)，連接，則的長為_______（請(qǐng)直接寫出答案）小明采用如下的做法：延長到，使，連接，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是的中位線……請(qǐng)你根據(jù)小明的思路完成上面填空；（2）遷移應(yīng)用：將圖1中的繞點(diǎn)作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，試探究、、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（3）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段的長．18．如圖（1），在矩形中，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，四邊形為矩形，連接．（1）問題發(fā)現(xiàn)在圖（1）中，_________；（2）拓展探究將圖（1）中的矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖（2）的情形給出證明；（3）問題解決當(dāng)矩形旋轉(zhuǎn)至三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長．19．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值．20．（1）問題提出：如圖①，在矩形中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，垂足為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，．可知的形狀為______；（2）深人探究：如圖②，將在平面內(nèi)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)判斷的形狀是否變化，并說明理由；（提示：延長到，使；延長到，使，連接，，，構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明）（3）拓展延伸：如果，，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)，，在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、中考幾何壓軸題1．（1）；（2）AP的最小值為；（3）存在，BD的最大值為6+6【分析】（1）連接AC、AF、DG、CF，證△ADG∽△ACF，根據(jù)線段比例關(guān)系可求；（2）以BC為斜邊作等腰直角三角形BOC，以解析：（1）；（2）AP的最小值為；（3）存在，BD的最大值為6+6【分析】（1）連接AC、AF、DG、CF，證△ADG∽△ACF，根據(jù)線段比例關(guān)系可求；（2）以BC為斜邊作等腰直角三角形BOC，以O(shè)為圓心BO為半徑畫圓，則P的運(yùn)動(dòng)軌跡在矩形ABCD內(nèi)的劣弧BC上，連接AO交弧BC于點(diǎn)P，此時(shí)AP最小，根據(jù)給出數(shù)據(jù)求值即可；（3）以AB為斜邊向下做等腰直角三角形AEB，連接CE，根據(jù)△DAB∽△CAE，得出BD=CE，以AB為斜邊向上做等腰直角三角形AOB，以O(shè)為圓心OA為半徑畫圓，根據(jù)C點(diǎn)的軌跡求出CE最大值，即求出BD最大值．【詳解】解：（1）如圖①，連接AC、AF、DG、CF，在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB=4，AE=2.5，∴AC=AB，AF=AE，AG=AE=2.5，AD=AB=4，∴，又∵∠DAG=∠DAC-∠GAC=45°-∠GAC，∠CAF=∠GAF-∠GAC=45°-∠GAC，∴∠DAG=∠CAF，∴△DGA∽△CFA，∴，故答案為；（2）如圖②，以BC為斜邊作等腰直角三角形BOC，以O(shè)為圓心BO為半徑畫圓，則∠BPC作為圓周角剛好是135°，∴P的運(yùn)動(dòng)軌跡在矩形ABCD內(nèi)的劣弧BC上，連接AO交弧BC于點(diǎn)P，此時(shí)AP最小，作OE垂直AB延長線于點(diǎn)E，∵△BOC為等腰直角三角形，BC=4，∴OB=OC=BC=×4=2，∠OBC=45°，∴∠OBE=90°-∠OBC=90°-45°=45°，又∵OE⊥AE，∴△BEO為等腰直角三角形，∴BE=OE=OB=×2=2，又∵AB=3，∴AE=AB+BE=3+2=5，∴，∵OP=OB=2，∴AP=AO-OP=-2，即AP的最小值為-2；（3）存在，如圖3，以AB為斜邊向下做等腰直角三角形AEB，連接CE，則∠EAB=45°，，∵AC=AD，∠ACD=90°，∴DAC=45°，，∴，∠DAB=∠CAE=45°，∴△DAB∽△CAE，∴，∴BD=CE，∴當(dāng)CE最大時(shí)，BD取最大值，以AB為斜邊向上做等腰直角三角形AOB，以O(shè)為圓心OA為半徑畫圓，∵∠AOB=90°，∠ACB=45°，∴點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上，由圖知當(dāng)C在OE延長線C'位置時(shí)C'E有最大值，此時(shí)C'E=OE+OC'，∵AB=6，△AOB和△AEB都是以AB為斜邊的等腰直角三角形，∴四邊形AOBE為正方形，∴OE=AB=6，OC'=OA=AB=3，∴CE的最大值為6+3，∵BD=CE，∴BD的最大值為×（6+3）=6+6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變換，三角形相似，等腰直角三角形，正方形，圓周角，圓心角等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由見解析；（3）畫出圖形見解析，線段BE的長度為．【分析】（1）由題意易得AD=AE，∠CAE=∠BAD，從而可證△ABD≌△ACE，然后根據(jù)三解析：（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由見解析；（3）畫出圖形見解析，線段BE的長度為．【分析】（1）由題意易得AD=AE，∠CAE=∠BAD，從而可證△ABD≌△ACE，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求解；（2）連接BD，由題意易得∠BAD=∠CAE，進(jìn)而可證△BAD≌△CAE，最后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)及角的等量關(guān)系可求證；（3）如圖，過A作AF⊥EC，由題意可知Rt△ABC∽R(shí)t△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及題意易證△BAE∽△CAD，最后根據(jù)勾股定理及等積法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，故答案為：BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由：如圖2，連接BD，∵在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AC＝AB，AE＝AD，∴△CEA≌△BDA（SAS），∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°，∴BD⊥CE；（3）如圖3，過A作AF⊥EC，由題意可知Rt△ABC∽R(shí)t△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴，即，∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，∴∠ABE＝∠ACD，∵∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ABE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ACD+∠BCE）＝90°，∴BE⊥CE，在Rt△BCD中，BC＝2CD＝4，∴BD＝，∵AC⊥BD，∴S△BCD＝AC?BD＝BC?AC，∴AC＝AE＝，AD＝，∴AF=，CE＝2CF＝2×，∴BE＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到相似三角形，進(jìn)而求解．3．（1）S1+S2=S3，(2)成立，證明見解析，（3）【分析】（1）分別寫出三個(gè)半圓的面積，再利用勾股定理轉(zhuǎn)化即可．（2）先證明三個(gè)三角形相似，再計(jì)算出三個(gè)三角形的面積，即可得出結(jié)論．（3）解析：（1）S1+S2=S3，(2)成立，證明見解析，（3）【分析】（1）分別寫出三個(gè)半圓的面積，再利用勾股定理轉(zhuǎn)化即可．（2）先證明三個(gè)三角形相似，再計(jì)算出三個(gè)三角形的面積，即可得出結(jié)論．（3）先添加輔助線，在第二問的思路下，先證明三個(gè)三角形相似，得出三個(gè)三角形的面積關(guān)系，再利用30°、45°的直角三角形計(jì)算出相應(yīng)的邊，計(jì)算出五邊形的面積即可．【詳解】解：（1）設(shè)AB=b,AC=a,BC=c.則有：所以在Rt△ABC中，有a2+b2=c2，且故答案為：S1+S2=S3（2）∵∴設(shè)AB、AC、BC邊上的高分別為h1，h2，h3∴，設(shè)AB=b,AC=a,BC=c則∴又在Rt△ABC中，有a2+b2=c2∴故依然成立（3）連接PD、BD，作AF⊥BP，EM⊥PD∵∠ABP=30°，∠BAP=105°∴∠APB=45°在Rt△ABF中，AF=AB=,BF=3,在Rt△AFP中,AF=PF=,則AP=，∵∠A=∠E,∴△ABP∽△EDP∴∠EPD=45°∠EDP=30°∴∠BPD=90°又PE=∴PM=EM=1,MD=則PD=1+∴=所以五邊形的面積為：【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、與勾股定理有關(guān)的圖形問題、相似三角形．是中考的?？贾R(shí)．4．（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由見詳解；（2）AB=kAC，180°-α-β；（3）N(0，3)，OP的最小值為3【分析】（1）先證明△ABD≌△ACE，從而得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE解析：（1）BD＝CE，BD⊥CE，理由見詳解；（2）AB=kAC，180°-α-β；（3）N(0，3)，OP的最小值為3【分析】（1）先證明△ABD≌△ACE，從而得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，結(jié)合∠AGB＝∠FGC，即可得到結(jié)論；（2）先證明ABCADE，從而得，結(jié)合∠BAD=∠CAE，可得BADCAE，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（3）把OPM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到（與N重合），則，，(3，3)，，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∵∠BAD＝∠BAC?∠DAC，∠CAE＝∠DAE?∠DAC∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AGB＝∠FGC，∴∠CFG＝∠BAG＝90°，即BD⊥CE，故答案是：BD＝CE，BD⊥CE；（2）∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴ABCADE，∴，∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴BADCAE，∴∠ABD=∠ACE，又∵∠AGB＝∠FGC，∴∠BFC=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-α-β，∴AB=kAC，直線BD和CE相交所成的較小角的度數(shù)為：180°-α-β；（3）由題意得：MN=MP，∠NMP=90°，把OPM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到（與N重合），則，，∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），∴(3，3)∵OPM，∴，即線段OP長度最小時(shí)，的長度最小，∴當(dāng)⊥y軸時(shí)，的長度最小，此時(shí)(0，3)，∴N(0，3)，OP的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造相似三角形或全等三角形，是解題的關(guān)鍵．5．（1）4（2）135°（3）PA+PB的最大值為米【分析】（1）作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，求出OA=OB=OC=2，可得結(jié)論；（2）將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT解析：（1）4（2）135°（3）PA+PB的最大值為米【分析】（1）作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，求出OA=OB=OC=2，可得結(jié)論；（2）將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT，利用勾股定理的逆定理證明∠CTD＝90°，可得結(jié)論；（3）將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACK，延長CK交PA延長線于J，作△PJC的外接圓，連接OP，OC，OJ，證明PA+PB=JC，再求出JC的最大值即可求解．【詳解】（1）如圖①，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，∵∠BOC=2∠BAC＝90°，OB=OC∴△OBC是等腰直角三角形∵BC=4∴OB=OC=2=OA∵AB≤OA+OB∴AB≤4∴AB的最大值為4故答案為：4；（2）如圖②，將△ABD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，連接DT由題意可得DT=BD=2，CT=AD=2∵CD=6∴∴∠CTD＝90°，∵△BDT是等腰直角三角形∴∠DTB=45°∴∠CTB=45°+90°=135°∴∠ADB=∠CTB=135°（3）如圖③，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACK，延長CK交PA延長線于J，作△PJC的外接圓，連接OP，OC，OJ∵∠PAK＝120°，∠AKC＝∠APB＝120°∴∠JAK＝∠JKA＝60°∴∠AJK＝60°∴△JAK是等邊三角形∴AK=KJ∴∠COP＝2∠AJK＝120°∵PC=30∴OP=OC=OJ=∵CJ≤OJ+OC∴CJ≤∵PA+PB=AK+CK+KJ+KC=JC∴PA+PB的最大值為米．【點(diǎn)睛】此題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟知三角形外接圓的性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用及三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用．6．（1），60；（2），；（3）或【分析】（1）證明，得出，，即可得出結(jié)論；（2）證明，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，再求出，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，先判斷出四邊形是矩形，求出，再根據(jù)勾股定理求出，解析：（1），60；（2），；（3）或【分析】（1）證明，得出，，即可得出結(jié)論；（2）證明，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，再求出，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，先判斷出四邊形是矩形，求出，再根據(jù)勾股定理求出，，得出；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，同①的方法得，，，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖①中，在為等腰三角形，，，是等邊三角形，，，同理：，，，，，，，點(diǎn)、、在同一直線上，，，，故答案為：，60．（2）如圖②中，，、所在直線相交所成的銳角的大小為．理由：延長交的延長線于，設(shè)交于點(diǎn)．在等腰三角形中，，，，同理，，，，，，，，，，．、所在直線相交所成的銳角的大小為．（3）由（2）知，，，在中，，，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時(shí)，如圖③，過點(diǎn)作交的延長線于，當(dāng)時(shí)，可證，，，，四邊形是矩形，，矩形是正方形，，在中，根據(jù)勾股定理得，，．②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，如圖④同①的方法得，，，，綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，判斷出△ACE∽△ABD是解本題的關(guān)鍵．7．（1）1，45°，不變；（2）∠AEP的大小不變，理由見解析；（3）．【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)P為對(duì)角線交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到其它位置時(shí)，過點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分解析：（1）1，45°，不變；（2）∠AEP的大小不變，理由見解析；（3）．【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)P為對(duì)角線交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到其它位置時(shí)，過點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分別為M，N．證△PAM≌△PEN，可得∠AEP的大小不變；(2)類似（1），過點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分別為M，N．證△PAM∽△PEN，可得∠AEP的大小不變；(3)利用（2）的結(jié)論，證BE=EC．再證△ABE∽△BCD，利用比例式求出k，再利用三角函數(shù)求出AP的長．【詳解】解：（1）如圖，∵k=1，∴在矩形ABCD是正方形，∵點(diǎn)P移動(dòng)到對(duì)角線交點(diǎn)處，∴PA=PE，∠AEP=45°，故，如圖，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到其它位置時(shí)，過點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分別為M，N．∴∠PMA=∠PMB=∠PNB=∠PNC=90°．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠MBN=90°，PN=PM，∴四邊形PMBN是正方形，∴∠MPN=90°，∵∠APE=90°，∴∠APM＋∠MPE=∠EPN＋∠MPE=90°，∴∠APM=∠EPN．又∵∠PMA=∠PNB，∴△PAM≌△PEN，∴PA=PE，∴∠AEP=45°，故，∠AEP的大小不變；故答案為：1，45°，不變；（2）∠AEP的大小不變．理由如下：過點(diǎn)P分別作AB，BC的垂線，垂足分別為M，N．∴∠PMA=∠PMB=∠PNB=∠PNC=90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠MBN=∠BAD=∠BCD=90°，∴四邊形PMBN是矩形，∴∠MPN=90°，PN=BM，又∵∠APE=90°，∴∠APM＋∠MPE=∠EPN＋∠MPE=90°，∴∠APM=∠EPN．又∵∠PMA=∠PNB，∴△PAM∽△PEN，∴=．在Rt△PBM和Rt△BAD中，tan∠ABD=．在Rt△APE中，tan∠AEP=．∵k為定值，∴∠AEP的大小不變．（3）∵PC⊥BD，∠BCD=90°，∴∠PBC＋∠PCB=∠PBC＋∠BDC=∠BPE＋∠EPC=90°．∵AE∥PC，∴∠AEB=∠PCB，∠AEP=∠EPC．∵tan∠AEP=k，tan∠ABD=k，∴∠AEP=∠ABD．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC，∴∠AEB=∠PCB=∠BDC=∠AEP=∠EPC，∠PBC=∠BPE，∴BE=PE=EC．∵∠AEB=∠BDC，∠ABE=∠BCD，∴△ABE∽△BCD，∴，即，∴BC2=2AB2，∴，k=．在Rt△BPC中，tan∠PCB==tan∠AEP=k=，∴PB=PC=，由勾股定理得，∴PE=BC=，∴PA=PE=．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)與判定，正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，構(gòu)建全等三角形或相似三角形，利用解直角三角形的知識(shí)求解．8．（1）證明見解析；（2）①；②；（3）．【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，再根據(jù)“協(xié)和四邊形”的定義即可得證；（2）①先根據(jù)“協(xié)和四邊形”的定義、三角形全等的解析：（1）證明見解析；（2）①；②；（3）．【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，再根據(jù)“協(xié)和四邊形”的定義即可得證；（2）①先根據(jù)“協(xié)和四邊形”的定義、三角形全等的判定定理可得，從而可得，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，然后設(shè)，解直角三角形可得，從而可得，最后利用三角形的面積公式即可得；②如圖（見解析），設(shè)，先利用勾股定理可得，再利用三角形的面積公式可得，然后根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義即可得；（3）如圖（見解析），先解直角三角形可得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，取得最小值，最后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得．【詳解】證明：（1）如圖，連接，在和中，，，，平分和，四邊形是“協(xié)和四邊形”；（2）①如圖，設(shè)與相交于點(diǎn)，為“協(xié)和線”，平分和，，在和中，，，，∵點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，，，是等邊三角形，，（等腰三角形的三線合一），設(shè)，則，∵在中，，，在中，，，，即與的面積的比為；②如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（2）①知，垂直平分，，設(shè)，則，同（2）①可得：，，，，解得，則在中，；（3）如圖，過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，，，在中，，四邊形是菱形，，，同（2）①可證：垂直平分，，，，由垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，在和中，，，，即，解得，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、解直角三角形、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），利用垂線段最短得出當(dāng)時(shí)，取得最小值是解題關(guān)鍵．9．（1）1，1；（2）結(jié)論：，理由見解析；（3），，．【分析】（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．（2）結(jié)論：．如圖3中，連接．利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．解析：（1）1，1；（2）結(jié)論：，理由見解析；（3），，．【分析】（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．（2）結(jié)論：．如圖3中，連接．利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．（3）分兩種情形：如圖中，當(dāng)時(shí)，滿足條件，如圖中，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，四邊形是矩形，四邊形是矩形，分別求解即可．【詳解】解：（1）如圖2中，連接，．，，，，，，，，，，，同法可證，，，．故答案為1，1．（2）結(jié)論：．理由：如圖3中，連接．，，，，，，，，，同法可證，，，，，，，．（3）如圖中，當(dāng)時(shí)，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，同法可證，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，由（2）可知，，，．如圖中，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，四邊形是矩形，四邊形是矩形，此時(shí)，由（2）可知，，，．綜上所述，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．10．（1）①；②45；（2）成立，理由見解析；（3）或【分析】（1）①如圖，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．證明△DAB∽△EAC，推出=，∠ABD=∠ACE，②再證明∠BAO=∠CEO=45°，可得結(jié)論．（解析：（1）①；②45；（2）成立，理由見解析；（3）或【分析】（1）①如圖，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．證明△DAB∽△EAC，推出=，∠ABD=∠ACE，②再證明∠BAO=∠CEO=45°，可得結(jié)論．（2）如圖（3）中，設(shè)AC交BF于點(diǎn)O．證明△DAB∽△EAC，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖，當(dāng)CE⊥AD于O時(shí)，如圖（4）-2中，當(dāng)EC⊥AD時(shí)，延長CE交AD于O．分別求出EC，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖（2）中，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠EAD=∠CAB=45°，AD=AE，AB=AC，∴∠EAC=∠DAB，∴=，∴△DAB∽△EAC，∴=；②由△DAB∽△EAC，∴∠ABD=∠ACE，∵∠AOB=∠EOC，∴∠BAO=∠CEO=45°，∴∠CEB=45°，故答案為：，45；（2）如圖（3）中，設(shè)AC交BF于點(diǎn)O．∵△AED，△ABC都是等腰直角三角形，∴∠EAD=∠CAB=45°，AD=AE，AB=AC，∴∠EAC=∠DAB，=，∴△DAB∽△EAC，∴=，∠ABD=∠ACE，∵∠AOB=∠FOC，∴∠BAO=∠CFO=45°，∴=，∠BFC=45°；（3）如圖（4）-1中，當(dāng)CE⊥AD于O時(shí)，∵AE=DE=，AC=BC=，∠AED=∠ACB=90°，∴AD=AE=2，∵EO⊥AD，∴OD=OA=OE=1，∴OC==3，∴EC=OE+OC=4，∵BD=EC，∴BD=4；如圖（4）-2中，當(dāng)EC⊥AD時(shí)，延長CE交AD于O．同法可得OD=OA=OE=1，OC=3，EC=3-1=2，∴BD=EC=2，綜上所述，BD的長為4或2．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．11．（1），；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)即可求出的度數(shù)；（2）如圖（見解析），先根據(jù)解析：（1），；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)即可求出的度數(shù)；（2）如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形中位線定理可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、角的和差即可求出的度數(shù)；（3）如圖（見解析），先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再分別在和中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理可得，從而可得，然后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】（1）在中，，點(diǎn)是中點(diǎn)，，同理可得：，，在中，，，，又，，，，，，，；（2）結(jié)論成立，理由如下：如圖，分別取AB的中點(diǎn)為M，取AD的中點(diǎn)為N，連接FM、CM、EN、FN，，，又點(diǎn)是中點(diǎn)，是的中位線，，，同理可得：，，繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角，，，，，，，，，同理可得：，，在和中，，，，，是等邊三角形，，，，，，，；（3）如圖，過點(diǎn)G作，交AE延長線于點(diǎn)F，在中，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，在中，，，在中，，，，則在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．12．（1）BM＝PD；（2）見解析（3）或【分析】（1）當(dāng)n＝1時(shí)四邊形ABCD和四邊形AMNP均為正方形，所以AM=AP,AB=AD，從而得出BM=PD，再根據(jù)得出，從而得出結(jié)論；（解析：（1）BM＝PD；（2）見解析（3）或【分析】（1）當(dāng)n＝1時(shí)四邊形ABCD和四邊形AMNP均為正方形，所以AM=AP,AB=AD，從而得出BM=PD，再根據(jù)得出，從而得出結(jié)論；（2）連接AC，證明,即可求解；（3）分兩種情況考慮：通過證得出對(duì)應(yīng)邊數(shù)量關(guān)系，設(shè)，則解直角三角形AQM，從而計(jì)算出QM的長度，從而求算CN．【詳解】（1）解：∵當(dāng)n＝1時(shí)四邊形ABCD和四邊形AMNP均為正方形∴AM=AP,AB=AD∴BM＝PD又∵∴∴（2）CN與PD之間的數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化，.理由：連接AC，如圖：在矩形ABCD和矩形AMNP中，∵.AD=2AB，AP=2AM，∴，∴.易得∴△ANC∽△APD∴∴（3）分兩種情況考慮：①如圖：∵已知AD＝4，AP＝2,∴AB=2,AM=PN=1由圖知：∴設(shè)，則，在直角三角形AQM中：解得：（舍）∴，∴∴②如圖：由①可得：，，MN=2∴【點(diǎn)睛】本題考查矩形與旋轉(zhuǎn)、相似等綜合，有一定的難度，轉(zhuǎn)化相關(guān)的線段與角度是解題關(guān)鍵．13．【問題探究】（1）；（2）．【拓展應(yīng)用】．【分析】問題探究：（1）由平行線的性質(zhì)得出∠ACE+∠BAC=180°，即可得出結(jié)果；（2）由平行線的性質(zhì)得出∠E=∠BAD=72°，證出AC=AE解析：【問題探究】（1）；（2）．【拓展應(yīng)用】．【分析】問題探究：（1）由平行線的性質(zhì)得出∠ACE+∠BAC=180°，即可得出結(jié)果；（2）由平行線的性質(zhì)得出∠E=∠BAD=72°，證出AC=AE，由平行線證明△ABD∽△ECD，求出AD=2；ED=4，ED=2，得出AC=AE=AD+ED=6；

拓展應(yīng)用：過點(diǎn)D作DF∥AB交AC于點(diǎn)F．證明△BAE∽△DFE，得出=2，得出AB=2DF，EF=AE=1，AF=AE+EF=3，證出AC=AD，在Rt△ADF中，求出DF=AF×tan∠CAD=，得出AC=AD=2DF=2，AB=2DF=2，得出AC=AB，在Rt△ABC中，求出BC=AB=2即可．【詳解】解：（1）∵CE∥AB，∴∠ACE+∠BAC=180°，

∴∠ACE=180°-108°=72°；

故答案為：72；

（2）∵CE∥AB，

∴∠E=∠BAD=72°，

∴∠E=∠ACE，

∴AC=AE，

∵CE∥AB，

∴△ABD∽△ECD，

∴，∵BD=2CD，

∴=2，∴AD=2ED=4，

∴ED=2，

∴AC=AE=AD+ED=4+2=6；拓展應(yīng)用：

：如圖3中，過點(diǎn)D作DF∥AB交AC于點(diǎn)F．

∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∵DF∥AB，

∴∠DFA=∠BAC=90°，

∵∠AEB=∠DEF，

∴△BAE∽△DFE，

∴=2，∴AB=2DF，EF=AE=1，AF=AE+EF=3，∵∠BAD=120°，

∴∠CAD=30°，

∴∠ACD=75°=∠ADC，

∴AC=AD，

在Rt△ADF中，∵∠CAD=30°，

∴DF=AF×tan∠CAD=3×，∴AC=AD=2DF=2，AB=2DF=2，∴AC=AB，

在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，

∴BC=AB=2；故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查四邊形綜合題，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，本題綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．14．（1）60；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，進(jìn)而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可證明≌，繼而得出結(jié)論；解析：（1）60；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，進(jìn)而得到∠BAM=∠CAN，再利用SAS可證明≌，繼而得出結(jié)論；（2）也可以通過證明≌，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣；（3）當(dāng)∠ABC＝∠AMN時(shí)，∽，利用相似的性質(zhì)得到，又根據(jù)∠BAM＝∠CAN，證得∽，即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵、是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

∵在和中，，∴≌（SAS），∴∠ABC=∠ACN；∵是等邊三角形∴∠ABC=60°∴∠ACN=∠ABC=60°．（2）結(jié)論∠ACN＝60°仍成立．理由如下：∵、都是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∴≌，∴∠ACN＝∠ABM＝60°．（3）添加條件：∠ABC＝∠AMN．理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，∠ABC＝∠AMN，∴∠BAC＝∠MAN，∴∽，∴．又∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴∽，∴∠ABC＝∠ACN．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等的條件，利用全等的性質(zhì)證明結(jié)論．15．（1）等腰三角形，理由見解析；（2）見解析；（3）；（4）或【分析】（1）如圖1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．（2）如圖2中，過點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG解析：（1）等腰三角形，理由見解析；（2）見解析；（3）；（4）或【分析】（1）如圖1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．（2）如圖2中，過點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG=∠OLG．首先證明OG=OL，再證明BF=2OL即可解決問題．（3）如圖3中，過點(diǎn)D作DK⊥AC于K，則∠DKA=∠CDA=90°，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．（4）設(shè)OG=a，AG=k．分兩種情形：①如圖4中，連接EF，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，點(diǎn)G在OA上．②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時(shí)，點(diǎn)G在線段OC上，連接EF．分別求解即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖1中，△AFG是等腰三角形．理由：∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF=∠AHG=90°，∵AH=AH，∴△AHF≌△AHG（ASA），∴AF=AG，∴△AFG是等腰三角形．（2）證明：如圖2中，過點(diǎn)O作OL∥AB交DF于L，則∠AFG=∠OLG．∵AF=AG，∴∠AFG=∠AGF，∵∠AGF=∠OGL，∴∠OGL=∠OLG，∴OG=OL，∵OL∥AB，∴△DLO∽△DFB，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴BD=2OD，∴BF=2OL，∴BF=2OG．（3）解：如圖3中，過點(diǎn)D作DK⊥AC于K，則∠DKA=∠CDA=90°，∵∠DAK=∠CAD，∴△ADK∽△ACD，∴，∵S1=?OG?DK，S2=?BF?AD，又∵BF=2OG，，∴，設(shè)CD=2x，AC=3x，則AD=，∴．（4）解：設(shè)OG=a，AG=k．①如圖4中，連接EF，當(dāng)點(diǎn)F在線段AB上時(shí)，點(diǎn)G在OA上．∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k+2a，AC=2（k+a），∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k+a）]2﹣（k+2a）2=3k2+4ka，∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，由題意：=AD?（k+2a），∴AD2=10ka，即10ka=3k2+4ka，∴k=2a，∴AD=，∴BE==，AB=4a，∴tan∠BAE=．②如圖5中，當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時(shí)，點(diǎn)G在線段OC上，連接EF．∵AF=AG，BF=2OG，∴AF=AG=k，BF=2a，∴AB=k﹣2a，AC=2（k﹣a），∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2=3k2﹣4ka，∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF，∴△ABE∽△DAF，∴，∴，∴，由題意：=AD?（k﹣2a），∴AD2=10ka，即10ka=3k2﹣4ka，∴k=，∴AD=，∴，AB=，∴tan∠BAE=，綜上所述，tan∠BAE的值為或．【點(diǎn)睛】本題是一道綜合題，主要涉及到等腰三角形的判定及其性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)到的相關(guān)知識(shí)．16．（1）BE＝DG，BE⊥DG，見解析；（2）5﹣5；（3）6或8【分析】（1）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性質(zhì)可得BE⊥DG；（2）由解析：（1）BE＝DG，BE⊥DG，見解析；（2）5﹣5；（3）6或8【分析】（1）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，由直角三角形的性質(zhì)可得BE⊥DG；（2）由“SAS”可證△GAD≌△EAB，可得BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，可得∠DEB＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可求解；（3）分兩種情況討論，通過證明△AGD∽△AEB，可得，∠DGA＝∠AEB，由勾股定理和三角形中位線定理可求解．【詳解】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG，理由如下：如圖1：延長BE交AD于N，交DG于H，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠ABE+∠ANB＝90°，∴∠ADG+∠DNH＝90°，∴∠DHN＝90°，∴BE⊥DG；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)G在線段DE上時(shí)，連接BD，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴AG＝AE，AB＝AD＝10，∠GAE＝∠DAB＝90°，∠ADB＝45°＝∠ABD，BD＝AB＝10，GE＝AE，∴∠GAD＝∠EAB，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE＝15°，∴∠BDE＝45°﹣15°＝30°，∠DBE＝45°+15°＝60°，∴∠DEB＝90°，∴BE＝BD＝5＝DG，DE＝BE＝5，∴GE＝5﹣5，∴AE＝＝5﹣5，當(dāng)點(diǎn)E在線段DG上時(shí)，同理可求AE＝5﹣5，故答案為：5﹣5；（3）如圖，若點(diǎn)G在線段DE上時(shí)，∵AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，∴DB＝＝＝8，GE＝＝＝8，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAG＝∠BAE，又∵，∴△AGD∽△AEB，∴，∠DGA＝∠AEB，∴BE＝DG，∵∠DGA＝∠GAE+∠DEA，∠AEB＝∠DEB+∠AED，∴∠GAE＝∠DEB＝90°，∵DB2＝DE2+BE2，∴64×13＝（DG+8）2+3DG2，∴DG＝12或DG＝﹣16（舍去），∴BE＝12，∵點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，∴MN＝BE＝6；如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段DG上時(shí)，同理可求：BE＝16，∵點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，∴MN＝BE＝8，綜上所述：MN為6或8，故答案為：6或8．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．17．（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）延長到，使，連接，過作于，在中，利用勾股定理求得EH的長，再利用三角形中位線定理即可求解；（2）分在上方和下方兩種情況討論，延長與的延長線交于一點(diǎn)，利用解析：（1）；（2）或；（3）或【分析】（1）延長到，使，連接，過作于，在中，利用勾股定理求得EH的長，再利用三角形中位線定理即可求解；（2）分在上方和下方兩種情況討論，延長與的延長線交于一點(diǎn)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理即可求解；（3）分點(diǎn)D在線段AC上和在AC延長線上兩種情況討論，仿照（1）的方法即可求解．【詳解】（1）延長到，使，連接，∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，過作于，∵，，∴四邊形BDEG是矩形，∵等腰直角三角形，，∴∠C=∠A=45，∵，∴等腰直角三角形，∵，∴，∴，∵在中，，∴；（2）當(dāng)時(shí)，分成兩種情況：如圖在上方，延長與的延長線交于一點(diǎn)，∵∠BAC=45，∴是等腰直角三角形，且B為AH的中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，∴，∴；如圖，在下方，延長與的延長線交于一點(diǎn)，同理是等腰直角三角形，為中點(diǎn)，∴，∴，∵點(diǎn)F是AE中