專題4：零點(diǎn)不可求破解策略<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>函數(shù)零點(diǎn)不可求即“隱零點(diǎn)”問(wèn)題，其含義題是：如果題干中未提及零點(diǎn)或零點(diǎn)不明確，依據(jù)有關(guān)理論（如函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理）或函數(shù)的圖象，能夠判斷出零點(diǎn)確實(shí)存在，但是無(wú)法直接求出，通常稱之為隱性零點(diǎn).我們一般可對(duì)零點(diǎn)“設(shè)而不求”，通過(guò)一種整體的代換和過(guò)渡，再結(jié)合其他條件，從而最終解決問(wèn)題．我們稱這類問(wèn)題為隱零點(diǎn)”問(wèn)題（零點(diǎn)大小確定的叫“顯零點(diǎn)”）．處理此類問(wèn)題的策略可考慮“函數(shù)零點(diǎn)存在定理”、“構(gòu)造函數(shù)”、利用“函數(shù)方程思想”轉(zhuǎn)化等，從操作步驟看，可遵循如下處理方法：第一步：用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，列出零點(diǎn)方程f'x0=0，并結(jié)合f(x)的單調(diào)性得到零點(diǎn)的范圍；這里應(yīng)注意，確定隱性零點(diǎn)范圍的方式是多種多樣的，可以由零點(diǎn)的存在性定理確定，也可以由函數(shù)的圖象特征得到，甚至可以由題設(shè)直接得到，等等；至于隱性零點(diǎn)范圍精確到多少，由所求解問(wèn)題決定，因此必要時(shí)盡可能縮小其范圍；第二步：以零點(diǎn)為分界點(diǎn)，說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)f'x的正負(fù)，進(jìn)而得到<<<專題探究>>><<<專題探究>>>“函數(shù)的零點(diǎn)”是高中數(shù)學(xué)函數(shù)非常重要的教學(xué)內(nèi)容.函數(shù)的零點(diǎn)從不同的角度將數(shù)與形、函數(shù)與方程有機(jī)地聯(lián)系在一起，在解決函數(shù)與方程問(wèn)題中的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，要掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用.求解基本方法：(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理判定（卡根）或構(gòu)建不等式求解；(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解；(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在很多時(shí)候是無(wú)法直接求解出來(lái)的，我們稱之為“隱零點(diǎn)”（即能確定其存在，但又無(wú)法用顯性的代數(shù)式進(jìn)行表達(dá)），基本解題思路是：形式上虛設(shè)（虛設(shè)零點(diǎn)），運(yùn)算上代換（整體代換），數(shù)值上估算（猜根），策略上等價(jià)轉(zhuǎn)化（設(shè)而不求），方法上分離函數(shù)（分參），技巧上反客為主.題型一：題型一：應(yīng)用零點(diǎn)存在定理題設(shè)情境是求常系數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和證明含參變量函數(shù)唯一零點(diǎn)的范圍。第（1）問(wèn)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法，求函數(shù)fx的單調(diào)性；第（2）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)存在唯一極值點(diǎn),應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)定理及卡根與放縮技巧確定點(diǎn)極值點(diǎn)的取值范圍,然后由極值點(diǎn)與函數(shù)零點(diǎn)唯一的充要條件得到關(guān)于唯一零關(guān)系式,最后構(gòu)造函數(shù)證明例1已知函數(shù)fx=ex?1(1)當(dāng)a=e?12時(shí)，求函數(shù)(2)當(dāng)a>0時(shí)，若函數(shù)fx有唯一零點(diǎn)x0，證明：【思路點(diǎn)撥】第（1）問(wèn)根據(jù)題意得f'x=ex?1?1x?e+12，又f″x=ex?1+1x2>0，所以f'x在0,+∞上單調(diào)遞增，易知f'2=0，從而即可求解單調(diào)性；第（2）問(wèn)根據(jù)（1）可知f'x在0,+∞上單調(diào)遞增，又恒成立，應(yīng)用零點(diǎn)存在定理卡根f'1+a=1?1練1(2024·河北省·聯(lián)考題)已知函數(shù)f(x)=a(x?e)(lnx?1)?e與g(x)=(1)求a;(2)證明：當(dāng)0<x≤2e時(shí)，f(x)≥g(x)．練2(2025·浙江省·月考試卷)已知函數(shù)fx=(1)求fx在x=0(2)求證：fx(3)求證：fx有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．題型二：題型二：應(yīng)用極限思想題設(shè)情境是求常系數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和探究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。第（1）問(wèn)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法，求函數(shù)fx的單調(diào)性例2已知函數(shù).（1）求g(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）令fx=2cosx+gx【思路點(diǎn)撥】第（1）問(wèn)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，由g'(x)>0x>0解得函數(shù)增區(qū)間，g'(x)<0x>0解得減區(qū)間；第（2）問(wèn)根據(jù)函數(shù)f(x)的定義域以及正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性和有界性，綜合應(yīng)用零點(diǎn)存在定理和極限思想,分練3（2025·江蘇省·月考試卷）已知函數(shù)f(x)=4a（1）若a=1，求證：當(dāng)x>0時(shí)，x(f(x)?x)<4（2）討論方程f(x)=2的根的個(gè)數(shù)．練4（2024·福建省·模擬題）已知函數(shù)f(x)=(x?1)e(1)討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)a=e?32時(shí)，證明：題型三：題型三：應(yīng)用函數(shù)與方程思想題設(shè)情境是由兩函數(shù)有相同最小值求參數(shù)的值，由同一直線與兩常系數(shù)函數(shù)存在兩個(gè)不同交點(diǎn)和一個(gè)相同交點(diǎn)，推導(dǎo)這三個(gè)從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列。第（1）問(wèn)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的基本方法，結(jié)合函數(shù)與方程思想得到關(guān)于a方程而求其值；第（2）問(wèn)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想探究直線y=b與兩函數(shù)有“三個(gè)交點(diǎn)”的必要條件，即實(shí)數(shù)b的取值范圍,然后由兩函數(shù)的“非公共相點(diǎn)”與“公共交點(diǎn)”的相關(guān)關(guān)系，應(yīng)用函數(shù)與方程思想和數(shù)學(xué)建模方法實(shí)現(xiàn)“三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列”的證明.例3已知函數(shù)和g(x)=ax?lnx有相同最小值．（1）求a；（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【思路點(diǎn)撥】第（1）問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)分a≤0和a≤0研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可判定函數(shù)取最小值的條件及取得相應(yīng)的最小值，由兩函數(shù)的最小值相等即可求a的值.第（2）問(wèn)根據(jù)（1）可得當(dāng)b>1時(shí)，方程ex?x=b和x?lnx=b的解的個(gè)數(shù)均為2，由題設(shè)條件可知兩方程必有一個(gè)公共解,從而構(gòu)建函數(shù)?(x)=ex+lnx?2x，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)及練5（2024·江蘇省·聯(lián)考題）已知a,k∈R，設(shè)函數(shù)fx(1)若對(duì)任意實(shí)數(shù)a，函數(shù)fx均有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k(2)若函數(shù)fx有兩個(gè)零點(diǎn)x1,練6（2024·湖南省·月考試卷）已知函數(shù)fx=2?x（1）討論函數(shù)gx（2）函數(shù)?x=fx+g<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.(2025·河南省·模擬題)已知函數(shù)f(x)=2lnx+4ax?x(1)當(dāng)a=0時(shí)，試判斷函數(shù)fx(2)若a>0，且當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，fx≤0恒成立，fx2．（2024·廣東省·期中考試）已知f(x)=x（1）若a=?1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（），若3f(3.(2024·重慶市市轄區(qū)·模擬題)已知函數(shù)f(x)=ex(x?2)，(1)求函數(shù)y=f(x)+g(x)的最小值；(2)設(shè)函數(shù)?(x)=f(x)?ag(x)(a≠0)，討論函數(shù)?(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．4.(2024·湖北省襄陽(yáng)市·期中考試)已知函數(shù)f(x)=ex?ax?2(a>1)．

(1)證明：函數(shù)y=f(x)在(?∞,0)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)x1，x2，且x1>5.（2024·湖北省·期中考試）已知函數(shù)fx（1）試討論函數(shù)fx（2）若函數(shù)gx=lnex?1?6.(2024·湖北省荊門(mén)市·期末考試)已知函數(shù)f(x)=(2?x)ex(1)討論fx(2)若fx有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．7.(2025·江西省宜春市·月考試卷)已知函數(shù)f(x)=xcosx?32，g(x)=2sinx?ax?32．

(1)討論f(x)在(?π,0)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；