2025年統(tǒng)計學期末考試：卡方檢驗在統(tǒng)計推斷中的應用與分析試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分。在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的，請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.卡方檢驗主要用于解決哪種類型的問題？（）A.連續(xù)變量之間的相關(guān)性分析B.分類變量之間的獨立性檢驗C.單個樣本的均值檢驗D.兩個正態(tài)分布的均值比較2.在進行卡方擬合優(yōu)度檢驗時，假設樣本數(shù)據(jù)來自一個已知的理論分布，那么這個理論分布應該滿足什么條件？（）A.數(shù)據(jù)必須服從正態(tài)分布B.數(shù)據(jù)必須是大樣本C.數(shù)據(jù)的理論頻數(shù)不能太小D.數(shù)據(jù)必須是小樣本3.卡方獨立性檢驗的基本思想是什么？（）A.比較樣本的實際頻數(shù)和理論頻數(shù)B.比較樣本的均值和總體均值C.比較樣本的方差和總體方差D.比較樣本的偏度和峰度4.在卡方檢驗中，自由度是什么含義？（）A.數(shù)據(jù)點的個數(shù)B.比較組別的數(shù)量C.獨立參數(shù)的個數(shù)D.檢驗的顯著性水平5.當卡方檢驗的統(tǒng)計量值較大時，意味著什么？（）A.樣本數(shù)據(jù)與理論分布的差異較大B.樣本數(shù)據(jù)與理論分布的差異較小C.樣本數(shù)據(jù)來自理論分布D.樣本數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布6.在進行卡方擬合優(yōu)度檢驗時，如果理論頻數(shù)太小，應該怎么辦？（）A.增加樣本量B.調(diào)整檢驗的顯著性水平C.使用其他類型的檢驗D.忽略理論頻數(shù)7.卡方獨立性檢驗中，如果拒絕原假設，意味著什么？（）A.兩個分類變量之間沒有關(guān)聯(lián)B.兩個分類變量之間存在關(guān)聯(lián)C.樣本數(shù)據(jù)來自理論分布D.樣本數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布8.在卡方檢驗中，如果樣本量太小，會對檢驗結(jié)果產(chǎn)生什么影響？（）A.檢驗結(jié)果更準確B.檢驗結(jié)果更不準確C.檢驗結(jié)果不受影響D.檢驗結(jié)果可能不準確，也可能準確9.卡方檢驗的p值是什么含義？（）A.檢驗的顯著性水平B.拒絕原假設的概率C.接受原假設的概率D.樣本數(shù)據(jù)的概率分布10.在進行卡方檢驗時，如果p值小于顯著性水平，應該怎么做？（）A.接受原假設B.拒絕原假設C.增加樣本量D.調(diào)整檢驗的顯著性水平二、簡答題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。請將答案寫在答題卡上。）1.簡述卡方檢驗的基本原理。2.在進行卡方擬合優(yōu)度檢驗時，如何計算理論頻數(shù)？3.卡方獨立性檢驗中，如何計算期望頻數(shù)？4.在進行卡方檢驗時，如何判斷樣本量是否足夠大？5.卡方檢驗的p值是什么含義？如何解釋p值？（接下文繼續(xù)第三、四、五題）三、計算題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。請將答案寫在答題卡上。）1.假設我們進行了一項調(diào)查，調(diào)查了100個人對三種不同口味的飲料的偏好。調(diào)查結(jié)果如下表所示。請使用卡方獨立性檢驗分析不同性別的人對這三種口味的飲料是否有不同的偏好？（顯著性水平為0.05）偏好口味|喜歡的人數(shù)|不喜歡的人數(shù)|總計---|---|---|---口味A|30|20|50口味B|25|25|50口味C|45|15|60總計|100|60|1602.某研究人員想要檢驗一個六面骰子是否均勻。他擲了120次，記錄每次出現(xiàn)的點數(shù)如下表所示。請使用卡方擬合優(yōu)度檢驗分析這個骰子是否均勻？（顯著性水平為0.01）點數(shù)|出現(xiàn)次數(shù)---|---|1|202|183|224|195|216|203.在一個醫(yī)學研究中，研究人員想要檢驗吸煙是否與肺癌有相關(guān)性。他們收集了200人的數(shù)據(jù)，如下表所示。請使用卡方獨立性檢驗分析吸煙與肺癌是否有相關(guān)性？（顯著性水平為0.05）吸煙情況|肺癌|未患肺癌|總計---|---|---|---吸煙|30|40|70不吸煙|10|120|130總計|40|160|200四、論述題（本大題共2小題，每小題8分，共16分。請將答案寫在答題卡上。）1.在實際應用中，卡方檢驗有哪些常見的注意事項？2.卡方檢驗有哪些局限性？在實際應用中如何克服這些局限性？五、分析題（本大題共1小題，共16分。請將答案寫在答題卡上。）假設我們進行了一項關(guān)于消費者購買行為的研究。我們調(diào)查了200名消費者，記錄了他們的年齡（分為青年、中年、老年三個組別）和購買頻率（分為高頻、中頻、低頻三個組別），數(shù)據(jù)如下表所示。請使用卡方獨立性檢驗分析年齡與購買頻率之間是否存在關(guān)聯(lián)。如果存在關(guān)聯(lián)，請進一步分析哪種年齡組別的消費者更傾向于高頻購買？（顯著性水平為0.05）本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.B解析：卡方檢驗主要用于分析分類變量之間的關(guān)聯(lián)性，特別是獨立性檢驗，所以選B。A是相關(guān)分析，C和D是均值比較，都不用卡方檢驗。2.C解析：卡方擬合優(yōu)度檢驗要求理論頻數(shù)不能太小，一般建議不小于5，否則結(jié)果可能不準確，所以選C。A和B不是卡方檢驗的條件，D是樣本大小，不是理論分布的要求。3.A解析：卡方獨立性檢驗就是比較樣本的實際頻數(shù)和理論頻數(shù)是否一致，看兩個分類變量有沒有關(guān)聯(lián)，所以選A。B、C、D都不是卡方獨立性檢驗的基本思想。4.C解析：自由度在卡方檢驗中是指獨立參數(shù)的個數(shù)，比如擬合優(yōu)度檢驗中是類別數(shù)減1，獨立性檢驗中是（行數(shù)-1）*（列數(shù)-1），所以選C。A、B、D都不是自由度的定義。5.A解析：卡方統(tǒng)計量值越大，說明實際頻數(shù)和理論頻數(shù)的差異越大，拒絕原假設的證據(jù)越強，所以選A。B、C、D都與卡方統(tǒng)計量值大的含義不符。6.C解析：理論頻數(shù)太小會影響卡方檢驗的準確性，這時應該考慮使用其他檢驗方法，比如費舍爾精確檢驗，所以選C。A、B、D都不是處理理論頻數(shù)太小的正確方法。7.B解析：拒絕原假設意味著兩個分類變量之間存在顯著的關(guān)聯(lián)，所以選B。A、C、D都與拒絕原假設的含義不符。8.B解析：樣本量太小會導致卡方檢驗的統(tǒng)計量不準確，增加犯第二類錯誤的風險，所以選B。A、C、D都不是樣本量太小的影響。9.B解析：p值是拒絕原假設的概率，即觀察到的數(shù)據(jù)或更極端數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率，所以選B。A、C、D都與p值的含義不符。10.B解析：如果p值小于顯著性水平，說明觀察到的數(shù)據(jù)非常罕見，有足夠的證據(jù)拒絕原假設，所以選B。A、C、D都不是p值小于顯著性水平時應做的操作。二、簡答題答案及解析1.卡方檢驗的基本原理是通過比較樣本的實際頻數(shù)和理論頻數(shù)，來檢驗觀察到的分類數(shù)據(jù)是否符合某個預期的分布或兩個分類變量是否獨立。具體來說，卡方檢驗計算一個統(tǒng)計量，這個統(tǒng)計量是每個單元格中（實際頻數(shù)-理論頻數(shù)）的平方除以理論頻數(shù)，然后將所有單元格的值加起來。如果這個統(tǒng)計量很大，說明實際頻數(shù)和理論頻數(shù)差異很大，就有理由懷疑原假設，即拒絕原假設。2.在進行卡方擬合優(yōu)度檢驗時，理論頻數(shù)的計算基于假設的總體分布。比如，如果假設數(shù)據(jù)來自一個均勻分布，那么每個類別的理論頻數(shù)就是總樣本量除以類別數(shù)。如果假設數(shù)據(jù)來自一個二項分布，那么理論頻數(shù)就是根據(jù)二項分布公式計算的。計算方法是：理論頻數(shù)=總樣本量*P（該類別），其中P是該類別的概率。理論頻數(shù)必須是非負整數(shù)，并且要足夠大，一般建議不小于5。3.卡方獨立性檢驗中，期望頻數(shù)的計算基于假設兩個分類變量是獨立的。具體來說，對于每個單元格，期望頻數(shù)等于該行總和乘以該列總和，再除以總樣本量。計算方法是：期望頻數(shù)=（該行總和*該列總和）/總樣本量。期望頻數(shù)必須是非負整數(shù)，并且要足夠大，一般建議不小于5。4.在進行卡方檢驗時，樣本量是否足夠大可以通過檢查理論頻數(shù)來判斷。一般建議每個單元格的理論頻數(shù)不小于5，如果有很多單元格的理論頻數(shù)小于5，可以考慮合并類別或使用其他檢驗方法。此外，樣本量的大小也與顯著性水平和統(tǒng)計量的分布有關(guān)，但主要還是看理論頻數(shù)是否足夠大。5.卡方檢驗的p值是拒絕原假設的概率，即觀察到的數(shù)據(jù)或更極端數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率。如果p值小于顯著性水平，說明觀察到的數(shù)據(jù)非常罕見，有足夠的證據(jù)拒絕原假設。如果p值大于或等于顯著性水平，說明觀察到的數(shù)據(jù)并不罕見，沒有足夠的證據(jù)拒絕原假設。p值的大小反映了觀察到的數(shù)據(jù)與原假設的一致程度，p值越小，拒絕原假設的證據(jù)越強。三、計算題答案及解析1.解析：首先，計算每個單元格的理論頻數(shù)。比如，口味A喜歡的人數(shù)理論頻數(shù)=（50*100）/160=31.25，不喜歡的理論頻數(shù)=（50*60）/160=18.75。計算所有單元格的理論頻數(shù)如下表所示：偏好口味|喜歡的人數(shù)（理論）|不喜歡的人數(shù)（理論）|總計---|---|---|---口味A|31.25|18.75|50口味B|31.25|18.75|50口味C|37.50|22.50|60總計|100|60|160然后，計算卡方統(tǒng)計量。比如，口味A喜歡的人數(shù)的卡方值=（30-31.25）^2/31.25=0.1042，不喜歡的卡方值=（20-18.75）^2/18.75=0.1042。計算所有單元格的卡方值并加起來，得到卡方統(tǒng)計量=0.8125+0.3125+0.625+0.0313+0.1563+0.9688+0.8438+0.5156+0.4167+0.25=5.3125。最后，查卡方分布表，自由度=（3-1）*（2-1）=2，顯著性水平為0.05時，臨界值為5.991。因為5.3125<5.991，所以不能拒絕原假設，即認為不同性別的人對三種口味的飲料沒有不同的偏好。2.解析：首先，計算每個單元格的理論頻數(shù)。因為骰子均勻，每個點數(shù)出現(xiàn)的概率都是1/6，所以每個點數(shù)出現(xiàn)的理論頻數(shù)=120*1/6=20。計算所有單元格的理論頻數(shù)如下表所示：點數(shù)|出現(xiàn)次數(shù)（理論）|出現(xiàn)次數(shù)（實際）|差值|差值平方/理論頻數(shù)---|---|---|---|---1|20|20|0|02|20|18|-2|0.23|20|22|2|0.24|20|19|-1|0.055|20|21|1|0.056|20|20|0|0然后，計算卡方統(tǒng)計量?？ǚ浇y(tǒng)計量=0+0.2+0.2+0.05+0.05+0=0.5。最后，查卡方分布表，自由度=6-1=5，顯著性水平為0.01時，臨界值為15.086。因為0.5<15.086，所以不能拒絕原假設，即認為這個骰子是均勻的。3.解析：首先，計算每個單元格的理論頻數(shù)。比如，吸煙且患肺癌的人數(shù)理論頻數(shù)=（70*40）/200=14，吸煙且未患肺癌的理論頻數(shù)=（70*160）/200=56。計算所有單元格的理論頻數(shù)如下表所示：吸煙情況|肺癌（理論）|未患肺癌（理論）|總計---|---|---|---吸煙|14|56|70不吸煙|26|104|130總計|40|160|200然后，計算卡方統(tǒng)計量。比如，吸煙且患肺癌的卡方值=（30-14）^2/14=34.7143，吸煙且未患肺癌的卡方值=（40-56）^2/56=8.5714。計算所有單元格的卡方值并加起來，得到卡方統(tǒng)計量=34.7143+8.5714+8.5714+21.4286+42.8571+8.5714=125.2857。最后，查卡方分布表，自由度=（2-1）*（2-1）=1，顯著性水平為0.05時，臨界值為3.841。因為125.2857>3.841，所以拒絕原假設，即認為吸煙與肺癌有相關(guān)性。四、論述題答案及解析1.在實際應用中，卡方檢驗有哪些常見的注意事項？卡方檢驗在實際應用中需要注意以下幾點：首先，樣本量要足夠大，每個單元格的理論頻數(shù)一般不小于5，否則結(jié)果可能不準確。其次，數(shù)據(jù)必須是分類變量，不能是連續(xù)變量。第三，卡方檢驗是假設檢驗，結(jié)果受顯著性水平的影響，需要根據(jù)實際情況選擇合適的顯著性水平。第四，卡方檢驗要求觀察值是獨立的，如果數(shù)據(jù)不獨立，需要使用其他方法。第五，卡方檢驗只能檢驗關(guān)聯(lián)性，不能檢驗因果關(guān)系。2.卡方檢驗有哪些局限性？在實際應用中如何克服這些局限性？卡方檢驗的局限性主要有以下幾點：首先，卡方檢驗只能檢驗關(guān)聯(lián)性，不能檢驗因果關(guān)系。其次，卡方檢驗要求樣本量足夠大，如果樣本量太小，結(jié)果可能不準確。第三，卡方檢驗要求觀察值是獨立的，如果數(shù)據(jù)不獨立，結(jié)果可能不準確?？朔@些局限性的方法主要有：首先，結(jié)合其他統(tǒng)計方法，比如回歸分析，來檢驗因果關(guān)系。其次，如果樣本量太小，可以考慮合并類別或使用其他檢驗方法。第三，如果數(shù)據(jù)不獨立，可以考慮使用其他方法，比如重復測量方差分析。五、分析題答案及解析假設我們進行了一項關(guān)于消費者購買行為的研究。我們調(diào)查了200名消費者，記錄了他們的年齡（分為青年、中年、老年三個組別）和購買頻率（分為高頻、中頻、低頻三個組別），數(shù)據(jù)如下表所示。請使用卡方獨立性檢驗分析年齡與購買頻率之間是否存在關(guān)聯(lián)。如果存在關(guān)聯(lián)，請進一步分析哪種年齡組別的消費者更傾向于高頻購買。年齡|高頻|中頻|低頻|總計---|---|---|---|---青年|20|30|10|60中年|30|40|20|90老年|10|30|20|60總計|60|100|50|210首先，計算每個單元格的理論頻數(shù)。比如，青年且高頻購買的人數(shù)理論頻數(shù)=（60*60）/210=17.1429，青年且中頻購買的理論頻數(shù)=（60*100）/210=28.5714，青年且低頻購買的理論頻數(shù)=（60*50）/210=14.2857。計算所有單元格的理論頻數(shù)如下表所示：年齡|高頻（理論）|中頻（理論）|低頻（理論）|總計---|---|---|---|---青年|17.1429|28.5714|14.2857|60中年|25.7143|43.8095|21.4762|90老年|17.1429|28.5714|14.2857|60總計|60|100|50|210然后，計算卡方統(tǒng)計量。比如，青年且高頻購買的卡方值=（20