高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)積，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】數(shù)列的前項(xiàng)積，即；所以.故選：A2.“楊輝三角”又稱(chēng)“帕斯卡三角”，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳析九章算法》一書(shū)中，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，觀察楊輝三角的相鄰兩行，可以發(fā)現(xiàn)，三角形的兩個(gè)腰上的數(shù)都是1，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加，其中楊輝三角的最上方的數(shù)字1表示第0行，則第9行第9個(gè)數(shù)是（）A.8 B.9 C.10 D.15【答案】B【解析】由楊輝三角知：第1行：，，第2行：，，，第3行：，，，，第4行：，，，，，由此可得第行，第個(gè)數(shù)為，所以第9行第9個(gè)數(shù)是.故選：B.3.某高中足球場(chǎng)內(nèi)有4條同心圓環(huán)步道，其長(zhǎng)度依次構(gòu)成公比為3的等比數(shù)列，若最長(zhǎng)步道與最短步道之差為，則最長(zhǎng)步道為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)最長(zhǎng)步道為，由題意可得，則.故選：D.4.物理學(xué)上定義線密度為單位長(zhǎng)度上的質(zhì)量．某直魚(yú)竿的總長(zhǎng)度為6米，設(shè)為魚(yú)竿上一點(diǎn)到魚(yú)鉤的距離（單位：米），表示該點(diǎn)到魚(yú)鉤這一整段魚(yú)竿的質(zhì)量（單位：克），則該魚(yú)竿在處的線密度為（）A.8克每米 B.16克每米 C.24克每米 D.32克每米【答案】D【解析】根據(jù)題設(shè)，可知魚(yú)竿在處的線密度為，所以魚(yú)竿在處的線密度為．故選：D．5.已知數(shù)列滿足，設(shè)甲：存在正整數(shù)，使得；乙：存在正整數(shù)，滿足，則（）A.甲和乙都是真命題 B.甲是真命題但乙是假命題C.乙是真命題但甲是假命題 D.甲和乙都是假命題【答案】A【解析】對(duì)于，存在正整數(shù)，所以甲是真命題；對(duì)于，，，不妨令，故，，，又3是數(shù)列的一個(gè)周期，所以，故存在正整數(shù)，滿足，故乙是真命題，所以甲和乙都是真命題.故選：A6.已知函數(shù)在處取得極大值，則（）A.0 B.12 C.16 D.96【答案】A【解析】因?yàn)?，由題意，所以或，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，，可知時(shí)，取得極小值，不符合題意.所以，因此.故選：A.7.某高校的一個(gè)宿舍的6名同學(xué)被邀請(qǐng)參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)的表演，要求必須有人去，其中甲和乙兩名同學(xué)關(guān)系要好，商量決定要么都去，要么都不去，則該宿舍同學(xué)的去法共有（）A.15種 B.28種 C.31種 D.63種【答案】C【解析】若甲和乙兩名同學(xué)都去，則去的人數(shù)可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以滿足條件的去法數(shù)為種；若甲和乙兩名同學(xué)都不去，則去的人數(shù)可能是1人，2人，3人，4人，則滿足條件的去法有種；故該宿舍同學(xué)的去法共有種．故選：C．8.函數(shù)在上的零點(diǎn)和極值點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】令，所以或，又，所以，，即在區(qū)間有5個(gè)零點(diǎn)，，令，解得或，又，所以在區(qū)間上有2個(gè)解，設(shè)為，且，在區(qū)間上有2個(gè)解，設(shè)為，且，當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，故在[0，上有4個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即在上有4個(gè)極值點(diǎn)，所以在上的零點(diǎn)和極值點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為9.故選：C二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.2025年春節(jié)檔共上映6部電影全國(guó)電影票房達(dá)95.1億元，刷新了中國(guó)影史春節(jié)檔票房記錄.其中，《哪吒之魔童鬧海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的寶座.小數(shù)想要觀看這6部電影，則（）A.若將《哪吒之魔童鬧?！泛汀短铺?900》放在相鄰次序觀看，則共有120種觀看順序B.若《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧?！分坝^看，則共有360種觀看順序C.若將6部電影每2部一組隨機(jī)分為3組，則共有90種分組方式D.若將6部電影隨機(jī)分為2組，則共有31種分組方式【答案】BD【解析】若將《哪吒之魔童鬧?！泛汀短铺?900》放在相鄰次序觀看，可將這兩部電影看作一個(gè)整體，與其余4部電影全排列，再將這兩部電影內(nèi)部進(jìn)行全排列，所以觀看順序?yàn)榉N，故A錯(cuò)誤；若《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧海》之前觀看，則在6部電影的全排列中，《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧海》之前的情況占總情況的一半，故共有種觀看順序，故B正確；若將6部電影每2部一組隨機(jī)分為3組，則可以從6部電影中先選出2部，再?gòu)?部電影中選出2部，最后除以消除重復(fù)情況，故分組方式為，故C錯(cuò)誤；若將6部電影隨機(jī)分為2組，則可按兩組分別有1和5部、2和4部、3和3部電影的三種情況分組，按1和5，有種分組方式；按2和4，有種分組方式；按3和3，有種分組方式，所以共有31種分組方式，故D正確.故選：BD.10.設(shè)函數(shù)，直線與曲線相切于點(diǎn)，則（）A.對(duì)于給定的，任意的恒過(guò)定點(diǎn) B.對(duì)于給定的，存在一條直線，與的交點(diǎn)為定點(diǎn)C.與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)存在最小值 D.與的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)存在最大值【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，因此切線方程為，也即，恒過(guò)定點(diǎn)），故A正確；對(duì)于B，由A知存在一條直線，使得與交于點(diǎn)，故B正確；對(duì)于CD，根據(jù)定義域知，設(shè)，下面研究值域，因?yàn)?，?dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以存在極大值（也就是最大值），且當(dāng)，所以值域?yàn)椋簿褪菣M縱坐標(biāo)均存在最大值1，不存在最小值，故D正確，C錯(cuò)誤．故選：ABD．11.已知前兩項(xiàng)均為1的數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，則（）A.B.C.和均為等比數(shù)列D.除以3的余數(shù)為1【答案】AC【解析】對(duì)于A，令可得，令可得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為2的等比數(shù)列，所以，①，同理可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為-1的等比數(shù)列，所以，②，故C正確；對(duì)于D，①-②得所以，，因?yàn)檎归_(kāi)后最后一項(xiàng)為-1，其余各項(xiàng)均能被9整除，所以能被3整除，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開(kāi)式中的系數(shù)為15，則__________.【答案】6【解析】由題意可得，化簡(jiǎn)得，解得；故答案為：.13.已知為首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，則滿足的的最小值為_(kāi)____.【答案】11【解析】由等差數(shù)列的定義可得，則，所以令，解得，所以滿足條件的的最小值為11.故答案為：11.14.已知是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，函數(shù)滿足，則圖象上的點(diǎn)到在處的切線的距離為_(kāi)________．【答案】【解析】，因?yàn)樵谏希?，可知與在處的切線平行或重合，又因?yàn)?，即，解得，故在處的切線方程為，分別整理得切線方程為，直線為0，由平行直線間距離公式知，兩直線間距離為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次（無(wú)并列名次）．甲、乙兩名同學(xué)去詢問(wèn)成績(jī)，請(qǐng)你根據(jù)下面老師的回答分析，分別求5人的名次排列可能有多少種不同情況？（1）老師對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你沒(méi)有得到第一名”，對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的．”（2）老師說(shuō)：“你們都沒(méi)有得到第一名，你們也都不是最后一名，并且你們的名次相鄰．”解：（1）由題意得，甲的名次不是第一，乙的名次不是第五，所以5人的名次不同的排列情況有（種）．（2）由題意得，甲、乙兩人名次為2，3或3，4，所以5人的名次不同的排列情況有（種）．16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在上的最值；（2）求的單調(diào)區(qū)間．解：（1）當(dāng)時(shí)，，,則，則在上單調(diào)遞減，所以，無(wú)最小值．（2），（i）若，則，所以在單調(diào)遞減；（ii）若，則由得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為（）；無(wú)單調(diào)增區(qū)間．當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．17.已知數(shù)列滿足，（1）探究數(shù)列的單調(diào)性；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：（1）因?yàn)?，且，所以?shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，故，即，且，易得時(shí)，，即，數(shù)列單調(diào)遞增，時(shí)，，即，數(shù)列單調(diào)遞減.（2）由（1）可得，所以，，兩式相減得，所以18.已知函數(shù)其中，為曲線上不同的兩點(diǎn).（1）時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）時(shí)，討論的單調(diào)性；（3）若A，B關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求b的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，求導(dǎo)得，則，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，整理得：（2）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，記，則求導(dǎo)得，所以在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增.（3）由題意可得根據(jù)定義域?yàn)?，則不妨設(shè)，則又，即記，，又，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，由于，當(dāng)時(shí)，，所以有，從而可知的值域?yàn)椋沟?，則，所以19.若一個(gè)數(shù)列由兩個(gè)變量和共同控制，則稱(chēng)這樣的數(shù)列為“雙數(shù)列”，當(dāng)時(shí)，可記為，在研究這樣的數(shù)列問(wèn)題時(shí)，一般將一個(gè)變量視為固定值，已知數(shù)列中，，，給定雙數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）現(xiàn)固定的值且，求；（3）設(shè)雙數(shù)列，固定的值且滿足，，則當(dāng)取何值時(shí)，取得最大值.（結(jié)果用含的表達(dá)式表達(dá)）解：（1）由題意得，

，，，故當(dāng)時(shí)，，也滿足，故對(duì)任意的，.（2）因?yàn)?，由題意可得，故，又因?yàn)椋?（3）因?yàn)?，，可得，由題意得，因?yàn)橹当还潭?，故其可視為常?shù)，記作，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，要有取得最大值，則有，即，，，，當(dāng)時(shí)，由于，不存在，故分母不可能為，即，有，分析可得當(dāng)時(shí)，，而，故此之前數(shù)列一直遞增，時(shí)，，而，故在此之后數(shù)列一直遞減，即，又題干中滿足，，故，因此，當(dāng)或時(shí)，取得最大值廣東省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)積，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】數(shù)列的前項(xiàng)積，即；所以.故選：A2.“楊輝三角”又稱(chēng)“帕斯卡三角”，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳析九章算法》一書(shū)中，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，觀察楊輝三角的相鄰兩行，可以發(fā)現(xiàn)，三角形的兩個(gè)腰上的數(shù)都是1，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加，其中楊輝三角的最上方的數(shù)字1表示第0行，則第9行第9個(gè)數(shù)是（）A.8 B.9 C.10 D.15【答案】B【解析】由楊輝三角知：第1行：，，第2行：，，，第3行：，，，，第4行：，，，，，由此可得第行，第個(gè)數(shù)為，所以第9行第9個(gè)數(shù)是.故選：B.3.某高中足球場(chǎng)內(nèi)有4條同心圓環(huán)步道，其長(zhǎng)度依次構(gòu)成公比為3的等比數(shù)列，若最長(zhǎng)步道與最短步道之差為，則最長(zhǎng)步道為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)最長(zhǎng)步道為，由題意可得，則.故選：D.4.物理學(xué)上定義線密度為單位長(zhǎng)度上的質(zhì)量．某直魚(yú)竿的總長(zhǎng)度為6米，設(shè)為魚(yú)竿上一點(diǎn)到魚(yú)鉤的距離（單位：米），表示該點(diǎn)到魚(yú)鉤這一整段魚(yú)竿的質(zhì)量（單位：克），則該魚(yú)竿在處的線密度為（）A.8克每米 B.16克每米 C.24克每米 D.32克每米【答案】D【解析】根據(jù)題設(shè)，可知魚(yú)竿在處的線密度為，所以魚(yú)竿在處的線密度為．故選：D．5.已知數(shù)列滿足，設(shè)甲：存在正整數(shù)，使得；乙：存在正整數(shù)，滿足，則（）A.甲和乙都是真命題 B.甲是真命題但乙是假命題C.乙是真命題但甲是假命題 D.甲和乙都是假命題【答案】A【解析】對(duì)于，存在正整數(shù)，所以甲是真命題；對(duì)于，，，不妨令，故，，，又3是數(shù)列的一個(gè)周期，所以，故存在正整數(shù)，滿足，故乙是真命題，所以甲和乙都是真命題.故選：A6.已知函數(shù)在處取得極大值，則（）A.0 B.12 C.16 D.96【答案】A【解析】因?yàn)?，由題意，所以或，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，，可知時(shí)，取得極小值，不符合題意.所以，因此.故選：A.7.某高校的一個(gè)宿舍的6名同學(xué)被邀請(qǐng)參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)的表演，要求必須有人去，其中甲和乙兩名同學(xué)關(guān)系要好，商量決定要么都去，要么都不去，則該宿舍同學(xué)的去法共有（）A.15種 B.28種 C.31種 D.63種【答案】C【解析】若甲和乙兩名同學(xué)都去，則去的人數(shù)可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以滿足條件的去法數(shù)為種；若甲和乙兩名同學(xué)都不去，則去的人數(shù)可能是1人，2人，3人，4人，則滿足條件的去法有種；故該宿舍同學(xué)的去法共有種．故選：C．8.函數(shù)在上的零點(diǎn)和極值點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】令，所以或，又，所以，，即在區(qū)間有5個(gè)零點(diǎn)，，令，解得或，又，所以在區(qū)間上有2個(gè)解，設(shè)為，且，在區(qū)間上有2個(gè)解，設(shè)為，且，當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，故在[0，上有4個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即在上有4個(gè)極值點(diǎn)，所以在上的零點(diǎn)和極值點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為9.故選：C二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.2025年春節(jié)檔共上映6部電影全國(guó)電影票房達(dá)95.1億元，刷新了中國(guó)影史春節(jié)檔票房記錄.其中，《哪吒之魔童鬧?！泛汀短铺?900》分居票房第一、第二的寶座.小數(shù)想要觀看這6部電影，則（）A.若將《哪吒之魔童鬧海》和《唐探1900》放在相鄰次序觀看，則共有120種觀看順序B.若《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧?！分坝^看，則共有360種觀看順序C.若將6部電影每2部一組隨機(jī)分為3組，則共有90種分組方式D.若將6部電影隨機(jī)分為2組，則共有31種分組方式【答案】BD【解析】若將《哪吒之魔童鬧?！泛汀短铺?900》放在相鄰次序觀看，可將這兩部電影看作一個(gè)整體，與其余4部電影全排列，再將這兩部電影內(nèi)部進(jìn)行全排列，所以觀看順序?yàn)榉N，故A錯(cuò)誤；若《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧?！分坝^看，則在6部電影的全排列中，《唐探1900》在《哪吒之魔童鬧?！分暗那闆r占總情況的一半，故共有種觀看順序，故B正確；若將6部電影每2部一組隨機(jī)分為3組，則可以從6部電影中先選出2部，再?gòu)?部電影中選出2部，最后除以消除重復(fù)情況，故分組方式為，故C錯(cuò)誤；若將6部電影隨機(jī)分為2組，則可按兩組分別有1和5部、2和4部、3和3部電影的三種情況分組，按1和5，有種分組方式；按2和4，有種分組方式；按3和3，有種分組方式，所以共有31種分組方式，故D正確.故選：BD.10.設(shè)函數(shù)，直線與曲線相切于點(diǎn)，則（）A.對(duì)于給定的，任意的恒過(guò)定點(diǎn) B.對(duì)于給定的，存在一條直線，與的交點(diǎn)為定點(diǎn)C.與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)存在最小值 D.與的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)存在最大值【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，因此切線方程為，也即，恒過(guò)定點(diǎn)），故A正確；對(duì)于B，由A知存在一條直線，使得與交于點(diǎn)，故B正確；對(duì)于CD，根據(jù)定義域知，設(shè)，下面研究值域，因?yàn)?，?dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以存在極大值（也就是最大值），且當(dāng)，所以值域?yàn)椋簿褪菣M縱坐標(biāo)均存在最大值1，不存在最小值，故D正確，C錯(cuò)誤．故選：ABD．11.已知前兩項(xiàng)均為1的數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，則（）A.B.C.和均為等比數(shù)列D.除以3的余數(shù)為1【答案】AC【解析】對(duì)于A，令可得，令可得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為2的等比數(shù)列，所以，①，同理可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為-1的等比數(shù)列，所以，②，故C正確；對(duì)于D，①-②得所以，，因?yàn)檎归_(kāi)后最后一項(xiàng)為-1，其余各項(xiàng)均能被9整除，所以能被3整除，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開(kāi)式中的系數(shù)為15，則__________.【答案】6【解析】由題意可得，化簡(jiǎn)得，解得；故答案為：.13.已知為首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，則滿足的的最小值為_(kāi)____.【答案】11【解析】由等差數(shù)列的定義可得，則，所以令，解得，所以滿足條件的的最小值為11.故答案為：11.14.已知是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，函數(shù)滿足，則圖象上的點(diǎn)到在處的切線的距離為_(kāi)________．【答案】【解析】，因?yàn)樵谏?，且，可知與在處的切線平行或重合，又因?yàn)椋?，解得，故在處的切線方程為，分別整理得切線方程為，直線為0，由平行直線間距離公式知，兩直線間距離為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次（無(wú)并列名次）．甲、乙兩名同學(xué)去詢問(wèn)成績(jī)，請(qǐng)你根據(jù)下面老師的回答分析，分別求5人的名次排列可能有多少種不同情況？（1）老師對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你沒(méi)有得到第一名”，對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的．”（2）老師說(shuō)：“你們都沒(méi)有得到第一名，你們也都不是最后一名，并且你們的名次相鄰．”解：（1）由題意得，甲的名次不是第一，乙的名次不是第五，所以5人的名次不同的排列情況有（種）．（2）由題意得，甲、乙兩人名次為2，3或3，4，所以5人的名次不同的排列情況有（種）．16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在上的最值；（2）求的單調(diào)區(qū)間．解：（1）當(dāng)時(shí)，，,則，則在上單調(diào)