高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省云學名校聯盟2024-2025學年高一下學期期中聯考數學試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將答題卡上交.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題知，，則，故選：C.2.若復數滿足，其中為虛數單位.則（）A.10 B.5 C. D.【答案】C【解析】由，可得，所以，則.故選：C.3.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為向量，，所以，，則向量在向量上的投影向量為，故選：A.4.如圖，四邊形的斜二測畫法的直觀圖為等腰梯形，已知，，則四邊形的面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖①，過作于，由斜二測畫法知，，可得是等腰直角三角形，又是等腰梯形，則，所以，還原平面圖，如下圖：為直角梯形，則，所以四邊形ABCD的面積為．故選：D5.在中，點為線段的中點，點在線段上，且，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，又，所以，所以.故選：B6.設的面積為，角所對的邊分別為，且，若，則此三角形的形狀為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【答案】D【解析】因為，所以，則，因為，所以，又，所以，由，所以，，所以為等腰直角三角形.故選：D.7.已知，都是銳角，，，則（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】因為，是銳角，所以，所以，從而，所以.故選：A.8.法國數學家皮埃爾德費馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”它的答案是：當三角形的三個角均小于時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角：當三角形有一內角大于或等于時，所求點為三角形最大內角的頂點.在費馬問題中所求的點稱為費馬點.已知，，分別是三個內角，，的對邊，且，，若點為的費馬點，則（）A.6 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】，由正弦定理得，，，則有，即，，，有，得，因為，所以，所以，所以.由三角形內角和性質知：內角均小于，結合題設易知：P點一定在三角形的內部，再由余弦定理知，，又因為，所以，所以，所以.由，等號左右兩邊同時乘以可得：，.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知為虛數單位，則下列說法正確的是（）A.若復數，則B.若復數，則C.若復數，則實數或D.若復數滿足，則【答案】AD【解析】對于A選項，，則，故A正確；對于B選項，不妨設，故，但，故B錯誤；對于C選項，復數，則，解得，故C錯誤；對于D選項，復數滿足，即，即，化簡得，故D正確.故選：AD.10.已知三個內角的對邊分別為，且，則下列選項正確的是（）A.若，則邊上高的最大值為B.若，則周長的最小值為C.若的角平分線長為，且，則D.若是銳角三角形，且，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】由，可得，又，得到,又，所以，即，又，所以；對于選項A，時，由余弦定理得，所以，所以邊上的高，故選項A正確，對于選項B，因為，則，所以，得到，所以，則周長，周長的最大值為，所以選項B錯誤；對于選項C，由，得，又，所以，又，得到，則，又，所以，所以選項C正確；對于選項D，由正弦定理知，，又是銳角三角形，所以，得到，所以，則，所以，故選項D正確，故選：ACD.11.已知函數，若方程有三個不相等的實根，，，則下列選項正確的有（）A.B.C.D.方程有三個不相等的實數根【答案】BCD【解析】由函數，作出圖象：若方程有三個不相等的實根，，，因為，所以，所以，所以，所以，所以當時方程有一個不相等的實根，則，又因為關于對稱，所以，且，則，因為時，，因此可以取到1，所以A錯誤；則，所以B正確；又因為，所以，所以，，知，所以C正確，當方程有三個不相等的實根時，，則，所以D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，且，則______；【答案】【解析】因為向量，，且，所以，解得.故答案為：13.在中，已知，，且滿足條件的三角形有兩個，則邊的取值范圍是______；【答案】【解析】滿足三角形有兩個的條件為，又因為，，所以，所以.故答案為：.14.在中，邊長為4，為的中點，長為，點、分別為的重心和外心，則______.【答案】4【解析】因為為重心，則有，又為外心，故在方向上的投影向量為，且在方向上的投影向量為,根據數量積的幾何意義得故，又因為,兩式平方相加得，故,所以.故答案為：四、本題共5小題，第15小題13分，第16，17小題15分，第18，19小題17分，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步頻.15.已知復數，.（其中為虛數單位，）（1）若為純虛數，求的值：（2）若是關于的方程的一個根，求實數，的值.解：（1）由為純虛數，所以有，解得.（2）是關于的方程的一個根是的另一個根，，，.16.已知，，函數.（1）求函數的對稱中心及單調減區(qū)間；（2）若，且，求的值.解：（1）.由，得對稱中心為.由，解得，所以.函數的對稱中心為，單調減區(qū)間為（2）由，得，又，所以，所以..17.在中，已知，，.，分別是，上的點，且，，與相交于點，.（1）求實數的值；（2）求的余弦值.解：（1）由，可得，所以，由得，所以，解得.（2）因為，，，所以，由，所以，由（1）可知，所以，.，所以.18.如圖，四邊形中，，，，，，且.（1）求；（2）求的取值范圍；（3）求四邊形周長的最小值.解：（1）由，得，知，又，所以.（2）設，因為，，則，.又，，則，，.所以.（3）在中，由正弦定理，得，同理.所以四邊形周長為，由，，令，.則，由單調性性質可知在上單調遞增，所以當，有最小值，即時取得等號.所以四邊形周長的最小值為.19.已知在任意一個三角形的三邊上分別向外作出一個等邊三角形，則這三個等邊三角形的中心也構成等邊三角形，我們稱由這三個中心構成的三角形為外拿破侖三角形.在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，且，以的邊，，分別向外作的三個等邊三角形的中心分別記為，，，記為的外接圓半徑.（1）若，求的值；（2）在（1）的條件下，求邊長的最大值；（3）若的面積為，且，求面積的取值范圍.解：（1）在中，由正弦定理，得，又是銳角三角形，所以.而分別是以為邊的等邊三角形的中心，所以，從而.（2）由（1）知，在中，設，，由余弦定理得，即，故，故，同理，所以.而在中由余弦定理有，.當且僅當時等號成立，從而，由題意可得為等邊三角形，故邊長的最大值為.（3）由的面積為知，在，中分別由余弦定理有①，②.聯立①②，消去，可得.所以面積，又，所以.從而得面積的取值范圍是.湖北省云學名校聯盟2024-2025學年高一下學期期中聯考數學試題注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將答題卡上交.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題知，，則，故選：C.2.若復數滿足，其中為虛數單位.則（）A.10 B.5 C. D.【答案】C【解析】由，可得，所以，則.故選：C.3.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為向量，，所以，，則向量在向量上的投影向量為，故選：A.4.如圖，四邊形的斜二測畫法的直觀圖為等腰梯形，已知，，則四邊形的面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖①，過作于，由斜二測畫法知，，可得是等腰直角三角形，又是等腰梯形，則，所以，還原平面圖，如下圖：為直角梯形，則，所以四邊形ABCD的面積為．故選：D5.在中，點為線段的中點，點在線段上，且，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，又，所以，所以.故選：B6.設的面積為，角所對的邊分別為，且，若，則此三角形的形狀為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【答案】D【解析】因為，所以，則，因為，所以，又，所以，由，所以，，所以為等腰直角三角形.故選：D.7.已知，都是銳角，，，則（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】因為，是銳角，所以，所以，從而，所以.故選：A.8.法國數學家皮埃爾德費馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”它的答案是：當三角形的三個角均小于時，所求的點為三角形的正等角中心，即該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角：當三角形有一內角大于或等于時，所求點為三角形最大內角的頂點.在費馬問題中所求的點稱為費馬點.已知，，分別是三個內角，，的對邊，且，，若點為的費馬點，則（）A.6 B.4 C.3 D.2【答案】B【解析】，由正弦定理得，，，則有，即，，，有，得，因為，所以，所以，所以.由三角形內角和性質知：內角均小于，結合題設易知：P點一定在三角形的內部，再由余弦定理知，，又因為，所以，所以，所以.由，等號左右兩邊同時乘以可得：，.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知為虛數單位，則下列說法正確的是（）A.若復數，則B.若復數，則C.若復數，則實數或D.若復數滿足，則【答案】AD【解析】對于A選項，，則，故A正確；對于B選項，不妨設，故，但，故B錯誤；對于C選項，復數，則，解得，故C錯誤；對于D選項，復數滿足，即，即，化簡得，故D正確.故選：AD.10.已知三個內角的對邊分別為，且，則下列選項正確的是（）A.若，則邊上高的最大值為B.若，則周長的最小值為C.若的角平分線長為，且，則D.若是銳角三角形，且，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】由，可得，又，得到,又，所以，即，又，所以；對于選項A，時，由余弦定理得，所以，所以邊上的高，故選項A正確，對于選項B，因為，則，所以，得到，所以，則周長，周長的最大值為，所以選項B錯誤；對于選項C，由，得，又，所以，又，得到，則，又，所以，所以選項C正確；對于選項D，由正弦定理知，，又是銳角三角形，所以，得到，所以，則，所以，故選項D正確，故選：ACD.11.已知函數，若方程有三個不相等的實根，，，則下列選項正確的有（）A.B.C.D.方程有三個不相等的實數根【答案】BCD【解析】由函數，作出圖象：若方程有三個不相等的實根，，，因為，所以，所以，所以，所以，所以當時方程有一個不相等的實根，則，又因為關于對稱，所以，且，則，因為時，，因此可以取到1，所以A錯誤；則，所以B正確；又因為，所以，所以，，知，所以C正確，當方程有三個不相等的實根時，，則，所以D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，且，則______；【答案】【解析】因為向量，，且，所以，解得.故答案為：13.在中，已知，，且滿足條件的三角形有兩個，則邊的取值范圍是______；【答案】【解析】滿足三角形有兩個的條件為，又因為，，所以，所以.故答案為：.14.在中，邊長為4，為的中點，長為，點、分別為的重心和外心，則______.【答案】4【解析】因為為重心，則有，又為外心，故在方向上的投影向量為，且在方向上的投影向量為,根據數量積的幾何意義得故，又因為,兩式平方相加得，故,所以.故答案為：四、本題共5小題，第15小題13分，第16，17小題15分，第18，19小題17分，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步頻.15.已知復數，.（其中為虛數單位，）（1）若為純虛數，求的值：（2）若是關于的方程的一個根，求實數，的值.解：（1）由為純虛數，所以有，解得.（2）是關于的方程的一個根是的另一個根，，，.16.已知，，函數.（1）求函數的對稱中心及單調減區(qū)間；（2）若，且，求的值.解：（1）.由，得對稱中心為.由，解得，所以.函數的對稱中心為，單調減區(qū)間為（2）由，得，又，所以，所以..17.在中，已知，，.，分別是，