1/72025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷01全解全析（考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊第一章~第二章第三節(jié)。5．難度系數(shù)：0.68。一、單項(xiàng)選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列命題中，為真命題的是（

）①若，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，共線；②若非零向量，，不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則四點(diǎn)共面；③若向量，，構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則空間內(nèi)的任意向量可表示為，．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【詳解】對①，若，不共線，則存在向量使得不在，所組成的面上，此時(shí)有，，不共面，可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故，共線，故①正確；對②，若非零向量，，不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，，共面，即四點(diǎn)共面，故②正確對③，由空間向量的基本定理可得③正確.綜上有①②③正確.故選：D2．“”是“直線與直線平行”的（

）．A．必要非充分條件B．充分非必要條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，兩直線方程為，，所以兩直線平行.當(dāng)直線與直線平行時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線方程為，，兩直線平行，當(dāng)時(shí)，兩直線方程為，，兩直線平行，所以由直線與直線平行，得或.綜上，“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：B.3．在長方體中，已知，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，連接.因?yàn)樵陂L方體中，平面，所以平面，平面，得.又，且E為線段BC的中點(diǎn)，所以，且平面，所以平面，故就是直線與面所成的角.在直角三角形中，，，所以.故直線與平面所成角的正弦值為.故選：D.4．點(diǎn)到直線的最大距離是（

）A． B．2 C． D．不存在【答案】D【詳解】直線即，令，解得，即直線過定點(diǎn)，設(shè)為B，當(dāng)直線與l垂直時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，即為，此時(shí)的斜率為，則l的斜率為2，故，方程無解，即直線l和不可能垂直，則點(diǎn)到直線l的距離小于，不存在最大值，故選：D5．設(shè)正四面體的棱長為2，是的中點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【詳解】.故選：B6．已知，兩點(diǎn)到直線l：的距離相等，則a的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【詳解】法一：因?yàn)辄c(diǎn)，到直線l：的距離相等，所以，即，化簡得，解得或；法二：若，由，，得直線AB的斜率為，又直線l的斜率為，故；若在兩側(cè)，線段AB的中點(diǎn)，代入直線l：，得，則．經(jīng)檢驗(yàn)，或均符合題意.故選：C7．已知兩點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線l與線段AB（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖所示：，而，故直線的取值范圍為.故選：A.8．已知正三棱錐的側(cè)棱長為，為線段上一點(diǎn)，，．設(shè)三棱錐外接球?yàn)榍?，過點(diǎn)作球的截面，則截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖在正三棱錐中，平面，且為的中心，為中線，如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，的平行線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則所以，由于，所以，則，所以，因?yàn)?，則解得，設(shè)，則，則，得，所以，過點(diǎn)作球的截面，當(dāng)時(shí)，截面面積的最小，，所以截面圓半徑為，則面積為.故選：B9．已知點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（）A．（0，1） B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得，三角形ABC的面積為1，由于直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點(diǎn)為M（，0），由直線y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b＞0，故0，故點(diǎn)M在射線OA上．設(shè)直線y＝ax+b和BC的交點(diǎn)為N，則由可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）．①若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，如圖：則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，故N（，），把A、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y＝ax+b，求得a＝b．②若點(diǎn)M在點(diǎn)O和點(diǎn)A之間，如圖：此時(shí)b，點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，即，即，可得a0，求得b，故有b．③若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，則b，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)1，求得b＞a．設(shè)直線y＝ax+b和AC的交點(diǎn)為P，則由求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），此時(shí)，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即?（1﹣b）?|xN﹣xP|，即（1﹣b）?||，化簡可得2（1﹣b）2＝|a2﹣1|．由于此時(shí)b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2＝|a2﹣1|＝1﹣a2．兩邊開方可得（1﹣b）1，∴1﹣b，化簡可得b＞1，故有1b．綜上可得b的取值范圍應(yīng)是，故選B．二、填空題（共6小題，滿分30分，每小題5分）10．直線l經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線l的方程為．【答案】或【詳解】當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0時(shí)，直線的方程為，即；當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，解得，所以直線方程為，即．所以直線的方程為或．故答案為：或.11．若，，為空間兩兩夾角都是120°的三個(gè)單位向量，則.【答案】3【詳解】由.故答案為：312．已知空間向量，，若的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【詳解】因?yàn)?，且的夾角為鈍角，所以且與不共線（反向），由，則，解得，當(dāng)與共線時(shí)，，則，解得，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：13．已知在直線上，則的最小值為．【答案】3【詳解】因?yàn)楸硎军c(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而點(diǎn)在直線上，所以的最小值即為原點(diǎn)到直線的距離，.所以的最小值為3.故答案為：.14．如圖，在直三棱柱中，△ABC是正三角形，D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱上，且，若，，則點(diǎn)到平面BDE的距離為.【答案】【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)槿切问堑冗吶切?，點(diǎn)是中點(diǎn)，所以，所以兩兩互相垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，，D為AC的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，令，解得，所以可取，點(diǎn)到平面BDE的距離為.故答案為：.15．設(shè)，點(diǎn)、分別是直線與上的任意動(dòng)點(diǎn)，若時(shí)，皆有，則的最小值為．【答案】/0.2【詳解】由題設(shè)，，且恒成立，所以在上恒成立，則，整理得，故，所以，當(dāng)，時(shí)，最小值為.故答案為：三、解答題（共5小題，滿分75分）16．（14分）已知直線：.(1)若直線垂直于直線：，求的值；(2)求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)；(3)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得，故的值為；?）因?yàn)?，所以，所以，解得，所以直線恒過定點(diǎn)；（3）因?yàn)?，所以直線，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.17．（15分）已知空間中三點(diǎn)，，．(1)求平行四邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求向量在向量上的投影向量；(3)求以CB，CA為鄰邊的平行四邊形的面積．【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?，由，，，得，，所以，故．?）因?yàn)?，，，所以，，所以，，所以向量在向量上的投影向量，所以．?）因?yàn)椋?，所以，，所以，即，又，所以，所以的面積，所以以為鄰邊的平行四邊形的面積為3．18．（15分）如圖，四棱錐中，平面，，，，.(1)證明：平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，①求線段的長；②求平面與平面所成角的余弦值.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，又，所以，，所以，所以，則，即，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，、平面，所以平面；?）①取中點(diǎn)，連接、，則由（1）得，且，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，、平面，所以平面，所以為直線與平面所成角，所以，②由題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，顯然是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，取，則，所以，所以平面與平面所成角的余弦值為.19．（15分）如圖，已知直線過點(diǎn)，且與直線垂直，與軸、軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，且，交于點(diǎn)．(1)求線段的垂直平分線方程；(2)若的面積與四邊形的面積滿足，請你確定點(diǎn)在上的位置，并求出線段的長；(3)判斷在軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【詳解】（1）因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，即．令，得，即；令，得，即．則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又直線的斜率，所以線段的垂直平分線方程為，即；（2）由（1）知直線的方程為，，因?yàn)?，所以，又，則與相似，于是有，即，得，此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以時(shí)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且；（3）假定在軸上存在點(diǎn)，使為等腰直角三角形，由（1）知直線的方程為，如圖1，當(dāng)時(shí)，而點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，則點(diǎn)必與原點(diǎn)O重合，設(shè)，因?yàn)?，所以，于是有，解得，此時(shí)滿足題意；如圖2，當(dāng)時(shí)，由，，知四邊形為正方形，設(shè)，則，，于是有，解得，此時(shí)滿足題意；如圖3，當(dāng)時(shí)，由，,得，即，設(shè)，則，，顯然直線QM斜率為，則直線PM斜率必為1，即，解得，此時(shí)滿足題意．綜上，y軸上存在點(diǎn)或或，使為等腰直角三角形．20．（16分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面平面，是邊長為2的等邊三角形，底面為直角梯形，其中，，．(1)求證：．(2)求線段中點(diǎn)到平面的距離．(3)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【詳解】（1）由于平面平面，平面平面，且平面，平面，平面，