§5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示課標(biāo)要求1.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝.

若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.2.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)的向量，叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝，a－b＝，λa＝，|a|＝.

(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝，|AB|＝.

4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一個(gè)基底.()(2)設(shè){a，b}是平面內(nèi)的一個(gè)基底，若實(shí)數(shù)λ1，μ1，λ2，μ2滿足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成x1x2＝(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＝b?x1＝x2且y1＝y(tǒng)2.()2.設(shè)平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，則2a－3b等于()A.(6，3) B.(－2，－6)C.(2，1) D.(7，2)3.在正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若AE＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為()A.12 B.－1C.1 D.－14.已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為.

1.熟記以下常用結(jié)論(1)基底{e1，e2}給定，同一向量的分解形式唯一.特別地，若λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0.(2)已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為x1(3)已知△ABC的重心為G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則G點(diǎn)坐標(biāo)為x12.謹(jǐn)防三個(gè)易誤點(diǎn)(1)基底{e1，e2}必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量.因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我庀蛄?，所以零向量不能作為基底中的向?(2)向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.題型一平面向量基本定理的應(yīng)用例1(1)(2025·鹽城模擬)若{a，b}是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列能作為平面向量的基底的是()A.{a－b，b－a} B.2C.{2b－3a，6a－4b} D.{a＋b，a－b}(2)(2024·贛州模擬)在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別滿足DC＝2DE＝4EF，BC＝2BG，若AF＝λAE＋μAG(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝.

思維升華(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·北京模擬)在△ABC中，M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，若AB＝λCM＋μBN(λ，μ∈R)，則λ＋μ等于()A.－2 B.－1C.1 D.2(2)已知e1與e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且{a，b}是一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.

題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2(1)(多選)(2025·沈陽(yáng)模擬)如圖，已知A(2，1)，B(－3，4)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OACB為平行四邊形，下列結(jié)論正確的是()A.點(diǎn)C坐標(biāo)為(－1，5)B.OC2＋C.若AE＝13ABD.△ABC重心的坐標(biāo)為2(2)(2025·山西聯(lián)考)圖1是古代中國(guó)的太極八卦模型圖，圖2(正八邊形ABCDEFGH)是由圖1抽象并以正八邊形ABCDEFGH的中心O為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π8而得到的，若OG＝xOH＋yOF，則x＋y等于(A.2 B.3C.2 D.3思維升華(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則，然后根據(jù)“兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等”這一原則，化歸為方程(組)進(jìn)行求解.(2)向量的坐標(biāo)表示使向量運(yùn)算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算.跟蹤訓(xùn)練2(1)(2024·成都模擬)在正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn).若AC＝λAM＋μBD，則λ＋μ的值為()A.43 B.C.158 (2)在△ABC中，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，1)，邊BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－3，1)，則△ABC重心的坐標(biāo)為.

題型三向量共線的坐標(biāo)表示例3(1)(2024·漢中模擬)已知向量m＝(2，λ)，n＝(2－λ，－4)，若m與n共線且同向，則實(shí)數(shù)λ的值為()A.2 B.4C.－2 D.－2或4(2)已知點(diǎn)A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

思維升華平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.(2)在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R).跟蹤訓(xùn)練3(1)(2025·景德鎮(zhèn)模擬)已知向量a＝(2，3)，b＝(2，sinα－3)，c＝(2，cosα)，若(a＋b)∥c，則tanα的值為()A.2 B.－2C.12 D.－(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若點(diǎn)A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.

答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.不共線λ1e1＋λ2e22.互相垂直3.(1)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x12＋y②(x2－x1，y2－y1)(4.x1y2－x2y1＝0自主診斷1.(1)×(2)√(3)×(4)√2.B[2a－3b＝2(－1，0)－3(0，2)＝(－2，－6).]3.A[因?yàn)镋為DC的中點(diǎn)，所以AC＝AB＋AD＝12AB＋12AB＋AD＝12AB＋DE4.(1，5)解析設(shè)D(x，y)，則AB＝得(3－(－1)，－1－(－2))＝(4，1)＝(5－x，6－y)，即4＝5-即D(1，5).探究核心題型例1(1)D[A選項(xiàng)，b－a＝－(a－b)，所以a－b，b－a共線，不能作為基底向量.B選項(xiàng)，2a＋b＝2a＋12b，所以2a＋b，a＋C選項(xiàng)，6a－4b＝－2(2b－3a)，所以2b－3a，6a－4b共線，不能作為基底向量.D選項(xiàng)，易知a＋b，a－b不共線，可以作為基底向量.](2)7解析以{AB，AD}為基底向量，則可得AF＝AE＝AG＝所以AF＝λAE＋μAG＝λ12AB＋＝12可得12λ＋μ＝34,λ＋12μ＝1,跟蹤訓(xùn)練1(1)A[CM＝AM－故AB＝λCM＋μBN＝λ12AB-＝12故12λ所以λ＋μ＝－23－4(2)-∞，解析因?yàn)閑1與e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，若a與b共線，則a＝μb，μ∈R，即a＝e1＋2e2＝μ(λe1＋e2)，所以λμ＝1因?yàn)閧a，b}是一個(gè)基底，所以a與b不共線，所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍是-∞，1例2(1)AB[設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a，b)，OA＝(2，1)，OB＝(－3，4)，OC＝(a，b)，∵四邊形OACB為平行四邊形，∴OC＝OA＋OB＝(2，1)＋(－＝(－1，5)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－1，5)，選項(xiàng)A正確；又AB＝(－5，3)，∴OC2＋AB2＝1＋25＋25＋9＝設(shè)點(diǎn)E(x，y)，∵AE＝則(x－2，y－1)＝13(－5，3)∴x-2＝∴點(diǎn)E13，2由重心公式可得，△ABC重心的坐標(biāo)為2-3-13，1＋4＋5(2)A[分別以射線OE，OG為x軸，y軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)OE＝OG＝2，則G(0，2)，∵∠HOG＝∠FOG＝π4∴F(2，2)，H(－2，2)，由OG＝xOH＋yOF，得(0，2)＝x(－2，2)＋y(2，2)，∴-解得x＝y(tǒng)＝22，∴x＋y＝2.跟蹤訓(xùn)練2(1)B[在正方形ABCD中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，令A(yù)B＝2，則B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，AC＝(2，2)，AM＝(2，1)，BD＝(－2，2)，λAM＋μBD＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因?yàn)锳C＝λAM＋μBD，所以2解得λ＝43，μ＝13，λ＋μ＝所以λ＋μ的值為53(2)(－1，1)解析設(shè)△ABC的重心為G(x，y)，因?yàn)锳(3，1)，D(－3，1)，所以AD＝(－6，0)，AG＝(x－3，y－1)，由題意知AG＝所以(x－3，y－1)＝23(－6，0)即x解得x即G(－1，1)，即△ABC重心的坐標(biāo)為(－1，1).例3(1)C[∵m與n共線，∴2×(－4)－λ(2－λ)＝0，即λ2－2λ－8＝0，解得λ＝4或λ＝－2，當(dāng)λ＝4時(shí)，m＝(2，4)，n＝(－2，－4)，∴m＝－n，∴m與n反向，不符合題意；當(dāng)λ＝－2時(shí)，m＝(2，－2)，n＝(4，－4)，∴n＝2m，∴m與n同向，符合題意.](2)(3，3)解析方法一OA＝(4，0)，OB＝(4，4)，OC＝(2，6)，由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)OP＝λOB＝(4λ，4λ)，則AP＝OP－OA＝(4λ－4，4λ).又AC＝OC－OA由AP與AC共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以O(shè)P＝34OB＝(所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，3).方法二設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則OP＝(x，y)，因?yàn)镺B＝(4，4)，且OP與OB共線，所以x4＝y(tǒng)4，即x＝y(tǒng).又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2，6)，且AP與AC共線，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以