4.1正弦量4.2相量法的基本概念4.3電路定律的相量形式4.4阻抗與導(dǎo)納4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率4.6互感耦合電路4.7變壓器4.8三相電路4.9應(yīng)用實(shí)例4.10電路設(shè)計(jì)與故障診斷習(xí)題44.1正弦量4.1.1正弦量的三要素按正弦或余弦規(guī)律隨時(shí)間作周期變化的電壓、電流稱為正弦電壓、電流，統(tǒng)稱為正弦量(或正弦交流電)。正弦量可以用正弦函數(shù)表示，也可用余弦函數(shù)表示。本書用余弦函數(shù)表示正弦量。正弦電壓、電流的大小和方向是隨時(shí)間變化的，其在任意時(shí)刻的值稱為瞬時(shí)值，表示為(4.1-1)式中Um(Im)、ω、φu(φi)是正弦量的三要素。

(1)Um(Im)稱為正弦電壓u(電流i)的振幅，它是正弦電壓(電流)在整個(gè)變化過程中所能達(dá)到的最大值，如圖4.1-1所示。圖4.1-1正弦電壓與電流

(ωt+φu)、(ωt+φi)，反映了正弦量變化的進(jìn)程，稱為相位角或相位，單位為弧度(rad)或度(°)。

(2)ω是相位角隨時(shí)間變化的速率，即(4.1-2)稱為角頻率，單位是rad/s，它反映了正弦量變化的速率。ω與周期T的關(guān)系是(4.1-3)或?yàn)榱朔奖悖诿枥L正弦量的波形時(shí)，通常取ωt為橫坐標(biāo)，如圖4.1-1所示。當(dāng)t=T時(shí)，ωt=2π。由于頻率f=，因此ω與f的關(guān)系是(4.1-4)頻率的單位是赫茲(Hz)。我國電力系統(tǒng)的正弦交流電其頻率是50Hz，周期為0.02s。頻率較高時(shí)，其單位常用千赫茲(kHz)、兆赫茲(MHz)和吉赫茲(GHz)表示；相應(yīng)的周期單位分別為毫秒(ms)、微秒(μs)和納秒(ns)。

(3)φu(φi)稱為正弦電壓(電流)的初相角，簡稱初相，它是正弦量t=0時(shí)刻的相角，即(ωt+

u)|t=0=u(ωt+

i)|t=0=i初相角的單位為弧度(rad)或度(°)，通常在-π≤φu(或φi)≤π的主值范圍內(nèi)取值。初相角的大小與計(jì)時(shí)起點(diǎn)有關(guān)，如果正弦量正最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)(t=0)之前，則φu(φi)>0，如圖4.1-2(a)所示；如發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)之后，則φu(或φi)<0，如圖4.1-2(c)所示；如果正最大值恰發(fā)生在t=0處，則φu(或φi)=0，如圖4.1-2(b)所示。圖4.1-2初相角4.1.2相位差任意兩個(gè)同頻率正弦量的相位角之差稱為相位差，它是區(qū)別同頻率正弦量的重要標(biāo)志之一。例如，設(shè)相同頻率的電壓和電流(4.1-5)二者相角之差(用θ表示)為

θ=(ωt+φ1)-(ωt+φ2)=φ1-φ2

(4.1-6)

可見，對于兩個(gè)同頻率的正弦量來說，其相位差在任何瞬時(shí)都是常數(shù)，并等于初相位之差，而與時(shí)間t無關(guān)。相位差θ的值也取主值范圍，單位為弧度或度。如果θ=φ1-φ2>0，如圖4.1-3(a)所示，稱電壓u超前電流i，其相位差為θ；或者說，電流i落后于電壓uθ度(或弧度)。圖4.1-3相位差如果θ=φ1-φ2=0，即相位差為零，稱電壓u與電流i同相，如圖4.1-4(a)所示；如果θ=φ1-φ2=±,稱電壓u與電流i正交，如圖4.1-4(b)所示；如果θ=φ1-φ2=±π,稱電壓與電流反相，如圖4.1-4(c)所示。圖4.1-4同相、正交與反相不同頻率的兩個(gè)正弦量之間的相位差是隨時(shí)間變化的，而不再是常數(shù)。我們主要關(guān)心的是同頻率正弦量之間的相位差。4.1.3正弦量的有效值周期電壓、電流的瞬時(shí)值是隨時(shí)間變化的。為了簡單地衡量其大小，常采用有效值。我們知道，若直流電流I通過電阻R，在一段時(shí)間(譬如由t1到t2)電阻消耗的能量為

wDC=I2R(t2-t1)(4.1-7)設(shè)有一周期為T的電流i通過上述電阻R，在一個(gè)周期內(nèi)消耗的能量為

wAC=(4.1-8)如果直流電流I和周期電流i通過相同的電阻R，在相同的時(shí)間區(qū)間T內(nèi)，電阻所消耗的能量相等，那么就平均效應(yīng)(譬如熱效應(yīng))而言，二者是相同的。我們稱周期電流的有效值就等于該直流電流的值I。于是在式(4.1-7)中，令T=t2-t1，并令wDC=wAC，得于是得周期電流i的有效值(4.1-9a)上式表示，周期量的有效值等于其瞬時(shí)值的平方在一個(gè)周期內(nèi)的平均值的平方根，因此有效值又稱均方根值(rootmeansquare，簡記為r.m.s)。同樣，周期電壓u的有效值(4.1-9b)如果周期電流為正弦量i=Imcos(ωt+φi)，將它代入式(4.1-9a)得

上式積分中的第一項(xiàng)等于；因積分區(qū)間為一個(gè)周期，故第二項(xiàng)積分為零。于是得正弦電流i的有效值(4.1-10a)

同樣，正弦電壓u的有效值(4.1-10b)可見，對于正弦量，其最大值(Um或Im)與有效值(U或I)之間有確定的關(guān)系。因此，有效值可以代替最大值作為正弦量的要素之一。引入有效值后，正弦電壓、電流可寫為(4.1-11)通常所說的正弦交流電壓、電流的大小都是指有效值。譬如民用交流電壓220V、工業(yè)用電電壓380V等。交流測量儀表所指示的讀數(shù)、電氣設(shè)備的額定值等都是指有效值。但各種器件和電氣設(shè)備的耐壓值應(yīng)按最大值考慮。4.2相量法的基本概念

4.2.1正弦量與相量根據(jù)歐拉公式，正弦電壓可寫為(4.2-1)

這樣，一個(gè)余弦時(shí)間函數(shù)(它是實(shí)函數(shù))可以用一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)來表示，式中復(fù)常數(shù)(4.2-2)

的模是正弦電壓的振幅Um，輻角是正弦電壓的初相角φu，我們稱其為電壓u的振幅相量。為了將相量(它也是復(fù)數(shù))與一般復(fù)數(shù)相區(qū)別，符號Um上加“·”。

相量和復(fù)數(shù)一樣，它可以在復(fù)平面上用矢量表示，如圖4.2-1(a)所示。這種表示相量的圖稱為相量圖。有時(shí)為了簡練、醒目，常省去坐標(biāo)軸，如圖4.2-1(b)所示。圖4.2-1相量圖式(4.2-1)中的ejωt稱為旋轉(zhuǎn)因子，它是模等于1，初相為零，并以角速度ω逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的復(fù)值函數(shù)。式(4.2-1)中的復(fù)指數(shù)函數(shù)ejωt等于相量乘以旋轉(zhuǎn)因子ejωt，稱為旋轉(zhuǎn)相量，稱為旋轉(zhuǎn)相量的復(fù)振幅。引入旋轉(zhuǎn)相量的概念后，可以說明式(4.2-1)對應(yīng)關(guān)系的幾何意義，即一個(gè)正弦量在任意時(shí)刻的瞬時(shí)值，等于對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)相量同一時(shí)刻在實(shí)軸上的投影。圖4.2-2畫出了旋轉(zhuǎn)相量ejωt與正弦量Umcos(ωt+φu)的對應(yīng)關(guān)系。當(dāng)t=0時(shí)，旋轉(zhuǎn)相量=Um

，它在實(shí)軸上的投影為Umcosφu，對應(yīng)于正弦量u在t=0時(shí)的值；在t=t1時(shí)，旋轉(zhuǎn)相量=Um

，它在實(shí)軸上的投影為Umcos(ωt1+φu)，對應(yīng)于正弦量u在t=t1時(shí)的值。依此類推，對任意時(shí)刻t，旋轉(zhuǎn)相量它在實(shí)軸上的投影對應(yīng)于正弦電壓

u=Umcos(ωt+φu)

旋轉(zhuǎn)相量的角速度ω就是正弦量的角頻率。圖4.2-2旋轉(zhuǎn)相量與正弦量

式(4.2-1)實(shí)質(zhì)上是一種線性變換，這種變換也有齊次性和可加性(請參看本書末附錄一式(F1-17)和式(F1-21))。對于任何正弦時(shí)間函數(shù)都有唯一的旋轉(zhuǎn)相量(復(fù)指數(shù)函數(shù))與其相對應(yīng)；反之，任意旋轉(zhuǎn)相量也有唯一的正弦量與其相對應(yīng)。因此，可以用相量來表示正弦量。這種對應(yīng)關(guān)系簡單，可以直接寫出。正弦電壓也可用有效值表示(4.2-3)式中(4.2-4)稱為電壓的有效值相量。它與振幅相量也有固定的關(guān)系同樣地，正弦電流也可寫為(4.2-5)

同樣地，正弦電流也可寫為(4.2-6)分別稱為電流的振幅相量和有效值相量，它們的關(guān)系為4.2.2正弦量的相量運(yùn)算在電路分析中，常常遇到正弦量的加、減運(yùn)算和微分、積分運(yùn)算，如果用與正弦量相對應(yīng)的相量進(jìn)行運(yùn)算將比較簡單。關(guān)于復(fù)指數(shù)函數(shù)實(shí)部的運(yùn)算規(guī)則見附錄一。

例4.2-1

如有兩個(gè)同頻率的正弦電壓分別為求u1+u2和u1-u2

。解若令則其所對應(yīng)的相量分別為u1、u2的和與差為根據(jù)附錄一的公式(F1-21)，上式可寫為圖4.2-3例4.2-1圖相量、的和與差是復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算?？梢郧蟮闷湎嗔繄D如圖4.2-3所示。根據(jù)以上相量，可直接寫出圖4.2-4例4.2-2圖

例4.2-2

如圖4.2-4所示的電路，已知R=2Ω,L=1H，激勵(lì)us(t)=8cosωtV，ω=2rad/s,求電流i(t)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解按圖4.2-4所示的電路，列出其電路方程為由第3章可知，電路i(t)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是該微分方程的特解。當(dāng)激勵(lì)us為正弦量時(shí)，方程的特解是與us同頻率的正弦量。設(shè)電流和激勵(lì)電壓分別為式中=8∠0°V。將它們代入微分方程，得根據(jù)Re的求導(dǎo)和數(shù)乘運(yùn)算式(F1-22)、(F1-17)，上式可寫為根據(jù)實(shí)部運(yùn)算式(F1-21)，上式可簡化為由式(F1-19)，得

可見，采用相量后，以i(t)為未知量的微分方程變換為以相量為未知量的代數(shù)方程。由上式，得根據(jù)相量可寫出圖4.2-4中電流的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)4.3電路定律的相量形式基爾霍夫定律和各種元件的伏安關(guān)系是分析電路問題的基礎(chǔ)，為了用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路，這里研究基爾霍夫定律和元件伏安關(guān)系的相量形式。4.3.1KCL和KVL的相量形式

KCL的時(shí)域形式為(4.3-1)如果各支路電流都是同頻率的正弦量，將它們都用相對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)相量表示，則上式可寫為根據(jù)附錄一式(F1-21)，上式可寫為由附錄一式(F1-19)，得式(4.3-2)稱為KCL的相量形式。它表明，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，對任一節(jié)點(diǎn)(或割集)，各支路電流相量的代數(shù)和等于零。(4.3-2)同樣地，KVL的時(shí)域形式為(4.3-3)如果各電壓均為同頻率的正弦量，則有(4.3-4)式(4.3-4)稱為KVL的相量形式。它表明，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，對任一回路，各支路電壓相量的代數(shù)和等于零。由于振幅相量是有效值相量的倍，故有(4.3-5)4.3.2基本元件VAR的相量形式一二端元件的端電壓u和電流i(u和i取關(guān)聯(lián)參考方向)分別為(4.3-6)式中、分別是電壓、電流的有效值相量。

1.電阻元件電阻元件R(見圖4.3-1(a))的伏安特性的時(shí)域形式，即歐姆定律為

u(t)=Ri(t)

t(4.3-7)

當(dāng)正弦激勵(lì)時(shí)，有其波形如圖4.3-1(b)所示。根據(jù)附錄一式(F1-17)，上式可寫為由附錄一式(F1-18)，可得(4.3-8)式(4.3-8)是電阻元件伏安關(guān)系的相量形式，根據(jù)它可畫出電阻元件的相量模型，如圖4.3-1(c)所示。圖4.3-1電阻元件

式(4.3-8)是復(fù)數(shù)方程，考慮到=U，=I

，上式可分解為(4.3-9)這表明，電阻端電壓有效值等于電阻R與電流有效值的乘積，而且電壓與電流同相。電阻元件的相量圖如圖4.3-1(d)所示。

2.電感元件電感元件L(見圖4.3-2(a))的伏安特性的時(shí)域形式為(4.3-10)當(dāng)正弦激勵(lì)時(shí)，有其波形如圖4.3-2(b)所示。根據(jù)實(shí)部Re的運(yùn)算規(guī)則附錄一式(F1-22)，上式可寫為由附錄一式(F1-19)得(4.3-11)式(4.3-11)是電感元件伏安關(guān)系的相量形式。據(jù)此可畫出電感元件的相量模型，如圖4.3-2(c)所示。圖4.3-2電感元件考慮到=U

，=I

，式(4.3-11)可寫為即有(4.3-12)

這表明，電感端電壓的有效值等于ωL與電流有效值的乘積，而且電流落后于電壓π/2。電感元件相量圖如圖4.3-2(d)所示。式(4.3-11)和(4.3-12)中的ωL具有電阻的量綱，稱其為電抗(感抗)，用XL表示，即

XL=ωL

(4.3-13)電抗的單位為Ω。

3.電容元件電容元件C(見圖4.3-3(a))的伏安關(guān)系的時(shí)域形式為(4.3-14)當(dāng)正弦激勵(lì)時(shí)，有其波形如圖4.3-3(b)所示。根據(jù)附錄一式(F1-22)，上式可寫為由附錄一式(F1-18)，得或(4.3-15)

式(4.3-15)是電容元件伏安關(guān)系的相量形式，其相量模型如圖4.3-3(c)所示。將和代入式(4.3-15)，得

這表明，電容端電壓的有效值等于與電流有效值的乘積，而且電流超前于電壓。電容元件的相量圖如圖4.3-3(d)所示。即有(4.3-16)圖4.3-3電容元件式(4.3-15)和(4.3-16)中，也具有電阻的量綱，定義其為電抗(容抗)，用XC表示，即(4.3-17)

最后，將R、L、C伏安關(guān)系的相量形式歸納見表4-1。表4-1R、L、C伏安關(guān)系的相量形式由上可見，KCL和KVL方程的相量形式、電路元件伏安關(guān)系的相量形式都是代數(shù)方程。這樣，在分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時(shí)，各元件用相量模型表示，各激勵(lì)源用相量表示，就可得到原電路圖的相量模型。根據(jù)KCL、KVL以及元件的VAR就可列出電路方程，并用代數(shù)方法求得所需的電流、電壓。

例4.3-1

如圖4.3-4(a)所示的電路，已知i=

2cos5t(A)，求電壓u。圖4.3-4例4.3-1圖解取電流i的相量(有效值相量)為令未知電壓相量為。由于ω=5rad/s，根據(jù)各元件值可得jωL=j5×2.4=j12(Ω)R=4Ω于是可畫出圖4.3-4(a)電路的相量模型，如圖4.3-4(b)所示。由圖4.3-4(b)可得各元件電壓分別為由KVL，得其相量圖如圖4.3-4(c)所示。將電壓相量變換為正弦函數(shù)形式，得

例4.3-2

如圖4.3-5(a)所示的電路，已知I1=4A，I2=3A，求總電流I。

解在分析計(jì)算正弦穩(wěn)態(tài)電路的各種問題時(shí)，要特別注意，各電流、電壓均為相量。本題已知I1、I2的有效值，而初相角未知。圖4.3-5例4.3-2圖由于圖4.3-5(a)是并聯(lián)電路，我們假設(shè)電壓的初相為零，即令=U∠0°V。根據(jù)電阻和電容的伏安特性可知根據(jù)KCL，得其相量圖如圖4.3-5(b)所示。于是得總電流

I=5A4.4阻抗與導(dǎo)納4.4.1阻抗有一不含獨(dú)立源的一端口電路N，如圖4.4-1(a)所示。在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，其端口電壓、電流將是同頻率的正弦量。設(shè)其端口電壓、電流(按關(guān)聯(lián)參考方向)分別為其所對應(yīng)的相量分別為(4.4-1)圖4.4-1阻抗

我們把有效值相量與之比定義為阻抗，用Z表示，即(4.4-2)

其模型如圖4.4-1(b)所示。顯然，它也是電壓與電流的振幅相量之比，即。阻抗的單位為Ω(歐姆)。阻抗Z是復(fù)數(shù)，但不是相量，因而不加“·”。式(4.4-2)可改寫為(4.4-3)它與電阻元件的伏安關(guān)系(歐姆定律)有相似的形式。阻抗是一個(gè)復(fù)數(shù)量，它可寫成代數(shù)型或指數(shù)型，即(4.4-4)式中R是阻抗的實(shí)部，稱為電阻；X是阻抗的虛部，稱為電抗；|Z|稱為阻抗的模；θz稱為阻抗角。它們之間的關(guān)系是(4.4-5)(4.4–6)以上關(guān)系可表示為阻抗三角形，如圖4.4-2所示。圖4.4-2阻抗三角形考慮到式(4.4-1)，阻抗式中(4.4-7)

根據(jù)以上定義，單個(gè)元件R、L和C的阻抗ZR、ZL、ZC分別為(4.4-8)對于僅包含有R、L、C的電路，其阻抗角。當(dāng)≤θz<0時(shí)，X<0，電流超前于電壓，電路呈電容性；當(dāng)θz=0時(shí)，X=0，電流、電壓同相，電路呈電阻性；當(dāng)0<θz≤時(shí)，X>0，電流落后于電壓，電路呈電感性。引入阻抗的概念后，多個(gè)阻抗相串聯(lián)的計(jì)算與電阻串聯(lián)的形式相同。圖4.4-3(a)所示為n個(gè)阻抗串聯(lián)，其等效阻抗(見圖(b))(4.4-9)各阻抗上的電壓為(4.4-10)圖4.4-3阻抗的串聯(lián)4.4.2導(dǎo)納

如一不含獨(dú)立源的一端口電路N，如圖4.4-4(a)所示。在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，其端口電壓相量和電流相量如式(4.4-1)所示。圖4.4-4導(dǎo)納端口電流與電壓之比定義為導(dǎo)納，用Y表示，即(4.4-11)其模型如圖4.4-4(b)所示。導(dǎo)納Y的單位是西門子(S)。式(4.4-11)也可寫為(4.4-12)這是導(dǎo)納的伏安關(guān)系的另一種形式。導(dǎo)納是一個(gè)復(fù)數(shù)量，它可寫成代數(shù)型或指數(shù)型，即(4.4-13)式中G是導(dǎo)納的實(shí)部，稱為電導(dǎo)；B是導(dǎo)納的虛部，稱為電納；|Y|稱為導(dǎo)納的模；θy稱為導(dǎo)納角。它們之間的關(guān)系是(4.4-14)(4.4-15)考慮到式(4.4-1)，導(dǎo)納式中(4.4-16)

根據(jù)以上定義，單個(gè)元件R、L和C的導(dǎo)納YG、YL和YC分別為(4.4-17)對于由n個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)的計(jì)算與電導(dǎo)并聯(lián)形式相同。圖4.4-5(a)所示為n個(gè)導(dǎo)納相并聯(lián)，其等效導(dǎo)納(見圖4.4-5(b))(4.4-18)其各導(dǎo)納的電流(4.4-19)圖4.4-5導(dǎo)納的并聯(lián)

例4.4-1

如圖4.4-6(a)所示的電路，已知G=0.4S，L=0.1mH，C=4μF，電流源is(t)=

5cos105t(A)，求電流iG、iL、iC和端電壓u。圖4.4-6例4.4-1圖

解圖4.4-6(a)是并聯(lián)電路，用導(dǎo)納計(jì)算較為方便。取電流源的相量S=5∠0°A。令各電流的相量分別為、和，端電壓相量為。根據(jù)給定的電源角頻率ω=105rad/s，計(jì)算出各元件的導(dǎo)納分別為

YG=G=0.4S于是畫出圖4.4-6(a)的相量模型，如圖4.4-6(b)所示?？倢?dǎo)納

Y=YG+YL+YC=0.4+j0.3=0.5∠36.9°V

根據(jù)式(4.4-12)，端電壓各電流分別為各電流的相量關(guān)系如圖4.4-6(c)所示。端電壓和各電流的瞬時(shí)值表示式分別為4.4.3阻抗與導(dǎo)納的關(guān)系如前所述，一個(gè)無源一端口電路N(見圖4.4-7(a))，在正弦穩(wěn)態(tài)下，用相量分析計(jì)算時(shí)，可等效為阻抗或?qū)Ъ{，即(4.4-20)

顯然，對同一電路，阻抗或?qū)Ъ{互為倒數(shù)，即有(4.4-21)或

由式(4.4-20)可見，阻抗Z與導(dǎo)納Y的模和相位角的關(guān)系是(4.4-22)圖4.4-7阻抗與導(dǎo)納阻抗和導(dǎo)納可以等效互換，由式(4.4-20)可得(4.4-23)式中同樣地，式中

例4.4-2

RL串聯(lián)電路如圖4.4-8(a)所示。若電源角頻率ω=106rad/s，把它等效成R′L′并聯(lián)電路，如圖4.4-8(b)所示。試求R′和L′的大小。

解首先計(jì)算圖4.4-8(a)的阻抗

XL=ωL=106×50×10-6=50Ω

Z=R+jXL=50+j50=70.7∠45°Ω圖4.4-8例4.4-2圖圖4.4-8(a)電路的導(dǎo)納圖4.4-(b)電路的導(dǎo)納為使二者等效，令Ya=Yb得于是得4.4.4正弦穩(wěn)態(tài)電路的計(jì)算電路分析計(jì)算的基本依據(jù)是KCL、KVL和元件端口電壓、電流的關(guān)系，即伏安關(guān)系(VAR)。對于線性電阻電路，有(4.4-25)對于正弦穩(wěn)態(tài)電路，當(dāng)用相量法時(shí)，其基本約束關(guān)系是KCL、KVL和元件端口VAR的相量形式，即(4.4-26)

例4.4-3

如圖4.4-9(a)所示的電路，已知r=10Ω，L=20mH，C=10μF，R=50Ω，電源電壓U=100V，其角頻率ω=103rad/s。求電路的等效阻抗和各元件的電壓、電流，并畫出其相量圖。圖4.4-9例4.4-3圖解首先求電路的等效阻抗。電感和電容的電抗分別為由圖4.4-9(a)可見，R和C是并聯(lián)的，其等效阻抗

XL=ωL=103×20×10–3=20Ωr、L與ZRC是串聯(lián)的，故總阻抗

Z=r+jXL+ZRC=10+j20+40-j20=50Ω

設(shè)電源電壓=100∠0°V，則電路的總電流電阻r和電感L上的電壓分別為由KVL，電容C和電阻R上的電壓電容和電阻的電流各電流、電壓的相量關(guān)系如圖4.4-9(b)所示。電流和也可由分流公式求得，即

電壓和也可利用分壓公式求得，即

例4.4-4

求圖示4.4-10電路的端口等效阻抗Zab。

解求端口等效阻抗，實(shí)際上就是求出其端口伏安關(guān)系。我們設(shè)想在端口處加一電流源(或電壓源)，求出其端口電壓(或電流)，則圖4.4-10例4.4-4圖而。將它代入上式，得

例4.4-5

如圖4.4-11(a)所示的電路，已知V，=

A，求。

解法一用等效電源定理。圖4.4-11(a)中把除電感支路以外的部分看做是一端口電路，如圖4.4-11(b)所示。求圖4.4-11(b)電路的戴維南電路或諾頓電路，實(shí)際上就是求出該一端口電路的端口伏安關(guān)系。圖4.4-11例4.4-5圖(4.4-27)設(shè)圖4.4-11(b)的端口電壓為，端口電流為。根據(jù)KVL，有對于節(jié)點(diǎn)a，根據(jù)KVL，有(4.4-28)而(因該電阻為1Ω)，將它代入式(4.4-28)，得于是得將它代入式(4.4-27)，得即將(V)和A代入，可解得圖4.4-11(b)電路的VAR為由以上方程可知，開路電壓V，等效內(nèi)阻抗Ω。于是得等效電路，如圖4.4-11(c)所示。根據(jù)圖4.4-11(c)可得

當(dāng)然，開路電壓和等效內(nèi)阻抗Z0也可分別求出。解法二用節(jié)點(diǎn)法。設(shè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)a的電壓為(參看圖4.4-11(a))。可列出節(jié)點(diǎn)方程為即而將它代入上式，得即所以

例4.4-6

如圖4.4-12所示的電路，已測得IR=5A，IC=5A，電壓U=70.7V，并且與同相，求R、XL和XC。對于節(jié)點(diǎn)a，根據(jù)KVL，有(4.4-28)而(因該電阻為1Ω)，將它代入式(4.4-28)，得圖4.4-12例4.4-6圖由于電容與電阻相并聯(lián)，二者端電壓是同一電壓，電阻端電壓與其電流同相，而電容電流超前于其電壓，所以根據(jù)KCL，有由于電壓與同相，因此

另一方面，由KVL，有故得5(R-XL)+j5XL=50+j50

這是一個(gè)復(fù)數(shù)方程，按復(fù)數(shù)相等的定義可得

5(R-XL)=505XL=50于是可得

XL=10Ω

R=20Ω

由于R和XC的端電壓相同，且IC=IR，故

XC=20Ω

例4.4-7

為了降低小功率單相交流電動(dòng)機(jī)(如風(fēng)扇)的轉(zhuǎn)速，可在電源和電動(dòng)機(jī)之間串接一電感線圈L(線圈內(nèi)阻可忽略不計(jì))，以降低電動(dòng)機(jī)的端電壓，其電路如圖4.4-13所示。已知電動(dòng)機(jī)內(nèi)阻r=190Ω，XD=260Ω,電源電壓U=220V，頻率f=50Hz。為使電動(dòng)機(jī)端電壓UD=180V，求其所需串聯(lián)的電感L。圖4.4-13例4.4-7圖

解電動(dòng)機(jī)的端電壓UD=180V，故流經(jīng)電動(dòng)機(jī)的電流電路的總阻抗為它的模所以電感線圈L的感抗線圈的電感此題也可用相量圖輔助計(jì)算。設(shè)電流的初相為零，則r上的電壓與同相，而、均超前于，如圖4.4-14(a)所示。同時(shí)，也可畫出阻抗ZD和總阻抗Z與其實(shí)部和虛部，其與r和XD、XL的三角形關(guān)系如圖4.4-14(b)所示。由于r、XD，XL是串聯(lián)的，通過它們的電流是同一電流，因而各電壓與有關(guān)阻抗成正比，所以圖4.4-14(a)的相量圖與圖4.4-14(b)的阻抗三角形相似。于是有圖4.4-14相量圖與阻抗三角形即由圖4.4-14(b)可見

XL+XD=|Z|sinφ

而所以

XL+XD=|Z|sinφ=393.6sin61.64°=344.7ΩXL=344.7-260=84.7Ω所以電感

例4.4-8

如圖4.4-15(a)所示的電路，已知us(t)=15+

10cosωt+

10cos2ωtV，式中ω=103rad/s，求輸出電壓u(t)。圖4.4-15例4.4-8圖

解相量法是用以分析單一頻率的正弦穩(wěn)態(tài)電路的方法，這時(shí)電路中各處電流、電壓都是同一頻率的正弦量。本例中電壓源us由三項(xiàng)不同頻率的信號所組成，根據(jù)疊加定理，我們把us看做是由三個(gè)不同頻率的電壓源相串聯(lián)組成的，而us產(chǎn)生的響應(yīng)是三個(gè)電源單獨(dú)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)之和。設(shè)

us(t)=us1(t)+us2(t)+us3(t)式中uS1(t)=15V下面分別求出us1、us2和us3產(chǎn)生的響應(yīng)。圖4.4-15(b)是對不同角頻率的相量模型。

(1)us1單獨(dú)作用于電路。us1是直流電壓源，它相當(dāng)于ω=0。電感可看做短路，電容可看做開路，因而其響應(yīng)

u1(t)=us1(t)=15V

(2)us2單獨(dú)作用于電路。令us2所對應(yīng)的相量為，電源角頻率ω=103rad/s。根據(jù)圖4.4-15(b)的相量模型，有R與C并聯(lián)的阻抗總阻抗Z2=jXL2+ZRC2=250+j250Ω輸出電壓相量其瞬時(shí)值為

(3)us3單獨(dú)作用于電路。令us3所對應(yīng)的相量為=10∠0°V，電源角頻率為2ω=2×103rad/s,由圖4.4-15(b)的相量模型，有R與C并聯(lián)的阻抗總阻抗

Z3=jXL3+ZRC3=100+j800Ω

輸出電壓相量其瞬時(shí)值為根據(jù)疊加定理，輸出電壓4.5正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率4.5.1一端口電路的功率如圖4.5-1(a)所示的一端口電路N，設(shè)其端口電壓(4.5-1)其端口電流i(u與i為關(guān)聯(lián)參考方向)是同頻率的正弦量，設(shè)電流(4.5-2)式中，θ=φu-φi，是電壓u超前于電流i的相位差。如果一端口電路N不含獨(dú)立源，則θ就是阻抗角θz。在任一瞬間，一端口電路N吸收的功率(4.5-3)由上式可見，瞬時(shí)功率有兩個(gè)分量，第一個(gè)為恒定分量，第二個(gè)為正弦分量，其頻率為電壓或電流頻率的兩倍。圖4.5-1(b)畫出了電壓u、電流i和瞬時(shí)功率p的波形。圖4.5-1瞬時(shí)功率瞬時(shí)功率也可以改寫為(4.5-4)

p(t)=UIcosθ[1+cos2(ωt+

u)]+UIsinθsin2(ωt+

u)4.5.2平均功率、無功功率和視在功率瞬時(shí)功率是時(shí)間的正弦函數(shù)，使用不便。為了簡明地反映正弦穩(wěn)態(tài)電路中能量消耗與交換的情況，常采用以下幾種功率表現(xiàn)形式。

1.平均功率(有功功率)P

平均功率又稱有功功率，是瞬時(shí)功率在一周期內(nèi)的平均值，即(4.5-5)式中T為電壓(或電流)的周期。對于正弦量而言，將式(4.5-3)代入上式，得由于是在一周期內(nèi)積分，故上式第二項(xiàng)積分為零，于是得平均功率(4.5-6)

2.無功功率Q無功功率(4.5-7)如果電路N中不含獨(dú)立源，θ就是阻抗角θz，式(4.5-6)可寫為(4.5-8)式(4.5-7)可寫為(4.5-9)如果一端口電路N是純電阻電路，θz=0，則P=UI，Q=0，說明電阻吸收有功功率，電阻的無功功率為零。

如果一端口電路N是純電感電路，θz=，則P=0，QL=UI；如果電路是純電容電路，θz=-，P=0，QC=-UI。這說明電感(電容)的平均功率為零，它們不消耗能量，但與外界有能量交換。如電路N是電感性的，則θz>0，這時(shí)Q>0；如N是電容性的，則θz<0，這時(shí)Q<0。

3.視在功率S視在功率(4.5-10)即S等于端口電壓與電流有效值的乘積，其單位為伏安(V·A)。由于發(fā)電機(jī)、變壓器等電器設(shè)備，其功率因數(shù)cosθ取決于負(fù)載情況，因而通常用視在功率S表示其容量。例如某變壓器的容量為560kV·A。如果負(fù)載是純電阻，則λ=cosθ=1，其傳輸功率為560kW；如果負(fù)載是感性的，譬如λ=cosθ=0.5時(shí)，則它所傳輸?shù)挠泄β蕿?80kW。因此，對于這類設(shè)備只能用視在功率S來衡量其容量。4.5.3復(fù)功率為了分析計(jì)算的方便，將有功功率P與無功功率Q組成一復(fù)數(shù)量，稱為復(fù)功率，它既不同于相量(

)，又不同于阻抗(導(dǎo)納)類型的復(fù)數(shù)，故用表示，即(4.5-11)將式(4.5-6)和(4.5-7)代入上式，并考慮到θ=φu-φi，可得

在用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時(shí)，式(4.5-1)中的電壓u和式(４.5-２)中的電流i，其相量分別為和。因此電流相量的共軛值，于是，一端口電路N的復(fù)功率可寫為(4.5-12)對于正弦穩(wěn)態(tài)電路，利用特勒根定理可以證明電路中的復(fù)功率守恒，即有(4.5-13a)這包含有(4.5-13b)(4.5–13c)

例4.5-1

如圖4.5-2所示的電路，求:

(1)各元件吸收的功率。

(2)電源供給的功率。

解

(1)支路1的阻抗為Z1=2+j1(Ω)，故電流R1吸收的有功功率和L吸收的無功功率分別為圖4.5-2例4.5-1圖或者支路2的阻抗Z2=1-j3(Ω)，故電流R2吸收的有功功率和C吸收的無功功率分別為或者(2)圖4.5-2電路的總電流

電源供給的復(fù)功率(因與為非關(guān)聯(lián)參考方向)

容易驗(yàn)證

例4.5-2

圖4.5-3是某輸電線路的電路圖，其中r1和X1分別為輸電線的損耗電阻和等效感抗，已知r1=X1=6Ω。Z2為感性負(fù)載，其消耗功率為P=500kW，Z2的端電壓U2=5.5kV，功率因數(shù)cosθz2=0.91。求輸入端電壓的有效值U和輸電線損耗的功率(即r1消耗的功率)。圖4.5-3例4.5-2圖由于負(fù)載吸收功率P=U2Icosθz2，故線路電流其初相角

解設(shè)負(fù)載端電壓的初相為零，即θZ2=arccos0.91=±24.50因?yàn)閆2為感性負(fù)載，所以θz2應(yīng)取正值，即從而φi=-24.5°(因已知φu2=0)。所以電流相量θZ2=

u2－i=24.50

輸入電壓即輸入電壓U=6302V。輸電線損耗功率

4.5.4最大功率傳輸條件現(xiàn)在分析，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，負(fù)載阻抗?jié)M足什么條件才能從給定電源獲得最大功率。圖4.5-4(a)所示電路為含源一端口電路N向負(fù)載ZL傳輸功率。根據(jù)戴維南定理，圖4.5-4(a)電路可化簡為圖4.5-4(b)電路。圖4.5-4功率傳輸

設(shè)Z0=R0+jX0，ZL=RL+jXL，電路中的電流(4.5-14)其模值(4.5-15)負(fù)載吸收的功率(4.5-16)由于負(fù)載阻抗包括電阻和電抗(或模和相角)兩部分，因而調(diào)節(jié)不同的參數(shù)其獲得最大功率的條件也不相同。一般而言，電源電壓及等效內(nèi)阻抗Z0是給定的，不能改變。當(dāng)RL一定，僅調(diào)節(jié)XL時(shí)，由式(4.5-16)可見，當(dāng)X0+XL=0時(shí)，即

XL=-X0

(4.5-17)(4.5-18)

在XL=-X0的條件下，如果再調(diào)節(jié)RL，將式(4.5-18)對RL求導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，可得，當(dāng)

RL=R0

(4.5-19)時(shí)負(fù)載獲得功率為最大，將式(4.5-19)代入式(4.5-18)，得(4.5-20)如果XL和RL均可調(diào)節(jié)，則由(4.5-17)和式(4.5-19)得當(dāng)XL=-X0，RL=R0，即

ZL=Z*0(4.5-21)設(shè)電源內(nèi)阻抗式中，|Z0|為電源內(nèi)阻抗Z0的模，θ0為其輻角。設(shè)負(fù)載阻抗為

ZL=RL+jXL=|ZL|cosθL+j|ZL|sinθL

Z0=R0+jX0=│Z0│cosθ0+j│Z0│sinθ0

式中，|ZL|為負(fù)載阻抗的模，θL為其輻角。將Z0和ZL

代入式(4.5-16)，得負(fù)載吸收的功率為(4.5-22)如果θL保持不變，而調(diào)節(jié)ZL的模|ZL|，由式(4.5-22)可見，由于分子和分母中的第三項(xiàng)都不是|ZL|的函數(shù)，因而當(dāng)分母中前兩項(xiàng)(即)為最小時(shí)，PL為最大。于是，由得|ZL|2=|Z0|2，即(4.5-23)(4.5-24)這種情況常稱為模匹配。顯然，如果負(fù)載為純電阻RL，那么負(fù)載獲得最大功率的條件為

在|ZL|=|Z0|的條件下，若θL也能調(diào)節(jié)，那么，由d/dθL=0可以求得當(dāng)θL=-θ0時(shí)負(fù)載獲得功率為最大。這時(shí)的功率可表示為(4.5-25)

例4.5-3

如圖4.5-5(a)所示的電路，在下列情況下，如何選擇負(fù)載ZL才能使負(fù)載吸收功率為最大？并求此時(shí)的功率。

(1)負(fù)載由RL和XL串聯(lián)組成，即ZL=RL+jXL。

(2)負(fù)載為純電阻RL。圖4.5-5例4.5-3圖

解將圖4.5-5(a)中除ZL以外的部分看做是一端口電路，如圖4.5-5(b)所示。按圖4.5-5(b)，電阻與電容相并聯(lián)的阻抗可求得開路電壓等效內(nèi)阻抗于是可畫出其戴維南等效電路，如圖4.5-5(c)所示。

Z0=ZRC+j5=4+j3=5∠36.90Ω

(1)如果ZL=RL+jXL，由式(4.5-21)和(4.5-20)得，當(dāng)ZL=Z*0=4-j3=5∠-36.9°Ω時(shí)，負(fù)載吸收功率最大，此時(shí)

(2)如果負(fù)載為純電阻，即ZL=RL。由式(4.5-23)可知，當(dāng)|ZL|=RL=|Z0|=5Ω時(shí)，負(fù)載吸收功率最大。這時(shí)電流它的模負(fù)載吸收功率或按式(4.5-24)，考慮到θL=0°，得=I

2RL=4.44W4.5.5多頻電路的平均功率和有效值電路分析中，常會(huì)遇到幾個(gè)不同頻率的電源作用于電路的情形，這時(shí)電流、電壓的分析計(jì)算可用疊加定理(參見例4.4-8)。下面討論平均功率的計(jì)算。圖4.5-6多電源功率的說明如圖4.5-6所示的電路，由疊加定理知，通過電阻R的電流i是電源us1與us2單獨(dú)作用產(chǎn)生的電流i1與i2的疊加，即i(t)=i1(t)+i2(t)電阻吸收的瞬時(shí)功率(4.5-26)式中p1(t)=分別為us1或us2

單獨(dú)作用時(shí)電阻吸收的瞬時(shí)功率。一般對所有的時(shí)間t，i1(t)i2(t)≠0，故p(t)≠p1(t)+p2(t)，即疊加定理不適用于計(jì)算瞬時(shí)功率。下面討論平均功率，設(shè)(4.5-27)在一個(gè)周期T內(nèi)，電阻R上的平均功率(4.5-28)式中P1、P2分別為us1或us2單獨(dú)作用時(shí)電阻吸收的平均功率。上式中第三項(xiàng)(將式(4.5-27)代入)如圖4.5-7所示的一端口電路，設(shè)其端口電壓、電流分別為(4.5-29a)(4.5–29b)圖4.5-7一端口電路式中，U0、I0為電壓、電流的直流分量；角頻率為ω(即k=1)的項(xiàng)稱為基波，角頻率為kω(k=2，3，…，N)的項(xiàng)稱為k次諧波；Uk(Ik)為k次諧波電壓(電流)的有效值。設(shè)對各頻率的阻抗角為θk=

-

(k=1，2，…，N)，則該一端口電路吸收的平均功率為(4.5-30)如果將式(4.5-29)代入式(4.1-9)，也可推導(dǎo)出多頻周期電壓和電流的有效值(4.5-31a)(4.5–31b)

例4.5-4

電阻R=10Ω，若其端電壓

(1)u(t)=u1(t)+u2(t)=10cos2t+20cos(2t+30°)V。

(2)u(t)=u1(t)+u2(t)+u3(t)=10+20cos2t+30cos3tV。分別求以上兩種情況下電阻R吸收的平均功率和電壓的有效值。

解

(1)由于u(t)中的兩項(xiàng)頻率相同，故可先將電壓疊加求出總電壓。用相量法有即

u(t)=u1(t)+u2(t)=29.1cos(2t+20.1°)V于是得電阻R吸收的平均功率電壓u(t)的有效值為

(2)由于u(t)中的各項(xiàng)頻率不同，且各角頻率的比為有理數(shù)(不難看出其基波角頻率ω=1),故可用疊加法計(jì)算平均功率。在直流單獨(dú)作用時(shí)，電阻R吸收的平均功率

在二次諧波(ω=2)的正弦電壓單獨(dú)作用時(shí)，有在三次諧波(ω=3)的正弦電壓單獨(dú)作用時(shí)，有故電阻R吸收的平均功率

P=P0+P2+P3=10+20+45=75W

電壓u(t)的有效值為也可以用有效值U計(jì)算電阻R吸收的平均功率4.6互感耦合電路4.6.1耦合電感如有兩個(gè)相互耦合的線圈，如圖4.6-1所示，設(shè)線圈1有N1匝，線圈2有N2匝。當(dāng)線圈1通以電流i1時(shí)，在線圈1中產(chǎn)生自感磁通Φ11，在線圈密繞的情況下，Φ11與線圈的各匝都相交鏈，這時(shí)有Ψ11=N1Φ11=L1i1

圖4.6-1互感

Ψ11稱為自感磁通鏈(自感磁鏈)，L1為線圈1的自感。線圈1產(chǎn)生的磁通Φ11的一部分Φ21(顯然，Φ21≤Φ11)將與線圈2相交鏈，有

Ψ21=N2Φ21=M21i1

(4.6-2)

Ψ21稱為互感磁鏈，M21是線圈1與線圈2的互感。同樣地，當(dāng)線圈2通以電流i2時(shí)，在線圈2中將產(chǎn)生自感磁通Φ22，并有一部分磁通Φ12(顯然，Φ12≤Φ22)與線圈1相交鏈，于是線圈2的自感磁鏈Ψ22和線圈2對線圈1的互感磁鏈Ψ12分別為

Ψ22=N2Φ22=L2i2

(4.6-3)

Ψ12=N1Φ12=M12i2

(4.6-4)式中，L2為線圈2的自感；M12為線圈2與線圈1的互感。可以證明，在線性條件下，有

M12=M21=M(4.6-5)為了定量描述兩個(gè)線圈耦合的緊疏程度，把兩個(gè)線圈的互感磁鏈與自感磁鏈比值的幾何平均值定義為耦合系數(shù)，用k表示，即(4.6-6)將式(4.6-1)~(4.6-4)代入上式，并考慮到M12=M21=M，可得耦合系數(shù)(4.6-7)

耦合系數(shù)k的大小與線圈的結(jié)構(gòu)、相互位置以及周圍的磁介質(zhì)有關(guān)。由于Φ21≤Φ11，Φ12≤Φ22，所以耦合系數(shù)0≤k≤1，M2≤L1L2。當(dāng)k=0時(shí)，M=0，兩線圈互不影響；當(dāng)k=1時(shí),M2=L1L2，稱為全耦合。4.6.2耦合電感的伏安關(guān)系由以上分析可知，各線圈的總磁鏈包含自感磁鏈和互感磁鏈兩部分。對于圖4.6-2(a)所示的兩個(gè)線圈，其自感磁通與互感磁通方向一致，我們稱之為磁通相助。設(shè)線圈1和線圈2的總磁鏈分別為Ψ1和Ψ2，則有(4.6-8)

如各線圈的端口電壓與本線圈的電流方向相關(guān)聯(lián)，電流與磁通符合右手螺旋關(guān)系，則兩線圈的端口電壓分別為(4.6-9)圖4.6-2耦合電感的磁通

對于圖4.6-2(b)所示的兩個(gè)線圈，其自感磁通與互感磁通方向相反，稱磁通相消。在這種情況下，線圈1和線圈2的總磁鏈(4.6-10)兩線圈的端口電壓分別為(4.6-11)如果像圖4.6-2(a)和(b)那樣，各線圈的繞向?yàn)橐阎?，那么按i1、i2的參考方向，根據(jù)右手螺旋關(guān)系，就可判斷自感磁通與互感磁通是相助還是相消。不過，實(shí)際線圈的繞向通常不能從外部認(rèn)出，也不便畫在電路圖上。為此，人們規(guī)定了一種標(biāo)志，即同名端。根據(jù)同名端和電流參考方向，就可判定磁通是相助還是相消。兩線圈的同名端是這樣規(guī)定的:當(dāng)電流從兩線圈各自的某端子同時(shí)流入(或流出)時(shí)，若兩線圈產(chǎn)生的磁通相助，就稱這兩個(gè)端子為互感線圈的同名端，并標(biāo)以記號“·”或“*”。如圖4.6-3(a)所示，若電流i1從a端流入，i2從c端流入，這時(shí)它們產(chǎn)生的磁通是相助的，稱端子a、c為同名端，并用黑點(diǎn)“·”標(biāo)示。顯然，端子b、d也是同名端。對于圖4.6-3(b)，若電流i1從a端流入，i2從c端流入，這時(shí)產(chǎn)生的磁通是相消的，因而a與c是異名端，而端子a與d是同名端。顯然，端子b與c也是同名端。標(biāo)定了同名端以后，圖4.6-3(a)和(b)的互感線圈可用圖4.6-3(c)和(d)的電路模型來表示。圖4.6-3耦合電感的同名端在耦合電感的端口電壓和電流均為關(guān)聯(lián)參考方向的條件下，若電流均從同名端流入，如圖4.6-4(a)所示，則互感電壓與自感電壓極性相同，互感電壓取“+”號，即(4.6-12)若電流分別從異名端流入，如圖4.6-4(b)所示，則互感電壓與自感電壓極性相反，互感電壓取“-”號，即(4.6-13)

由式(4.6-12)和式(4.6-13)可以看出，當(dāng)電流(譬如i1)從某端子流入時(shí)，在另一線圈同名端處，為該電流產(chǎn)生的互感電壓的“+”極，而異名端處為“-”極?；ジ须妷旱淖饔靡部捎秒娏骺刂齐妷涸磥肀硎荆瑢τ趫D4.6-4(a)和(b)所示的耦合電感可分別用圖4.6-5(a)和(b)的電路來等效。容易看出，其伏安方程也與式(4.6-12)和(4.6-13)相同。圖4.6-4耦合電感的伏安關(guān)系圖4.6-5耦合電感的等效電路

例4.6-1

圖4.6-6(a)和(b)是互相耦合的兩電感串聯(lián)的電路，其中圖4.6-6(a)電流i均從同名端流入，常稱為順接；圖4.6-6(b)稱為反接。求兩電路的等效電感。

解首先規(guī)定各線圈電流、電壓的參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)參考方向，如圖所示。圖4.6-6例4.6-1圖在圖4.6-6(a)中，對于L1和L2，電流均從同名端流入。根據(jù)KVL，有因此，在順接串聯(lián)時(shí)(見圖4.6-6(a))，其等效電感(見圖4.6-6(c))為

Leq=L1+L2+2M(4.6–14)對于反接的圖4.6-6(b)所示的情況，電流從異名端流入L1和L2，根據(jù)KVL，有因此，在反接串聯(lián)時(shí)(見圖4.6-6(b))，其等效電感Leq=L1+L2-2M(4.6-15)

例4.6-2

如圖4.6-7(a)所示的電路，L1、L2、M和is

均為已知，確定線圈的同名端，并求電壓u。

解根據(jù)圖4.6-7(a)中兩個(gè)線圈的繞向可以判定，端子a、c為同名端，于是可畫出電路模型如圖4.6-7(b)所示。在圖4.6-7(b)中，流過L1的電流i1=0，流過L2的電流為is，按指定的參考方向，電壓圖4.6-7例4.6-2圖4.6.3去耦等效電路當(dāng)兩個(gè)耦合電感有一端相連接時(shí)，如圖4.6-8(a)和(b)所示，可以用無耦合的電感電路來等效。圖4.6-8(a)是同名端相連的情形，其電路方程為(4.6-16)圖4.6-8(b)是異名端相連接的情形，用同樣的方法可推得其等效電路如圖4.6-8(d)所示。

例4.6–3

圖4.6-9(a)和(c)中兩個(gè)耦合電感相并聯(lián)，求其等效電感。

解圖4.6-9(a)是同名端相連接的情形。按由圖4.6-8(a)到(c)的去耦等效方法，可畫出其等效電路如圖4.6-9(b)所示。按電感串、并聯(lián)的方法，可求得其等效電感(4.6-17)圖4.6-8去耦等效電路圖4.6-9例4.6-3圖圖4.6-9(a)是同名端相連接的情形。按由圖4.6-8(a)到(c)的去耦等效方法，可畫出其等效電路如圖4.6-9(b)所示。按電感串、并聯(lián)的方法，可求得其等效電感(4.6–1８)4.6.4互感電路的正弦穩(wěn)態(tài)計(jì)算如果通過耦合線圈的電流i1和i2是同頻率的正弦電流，其相量分別為和，端口電壓相量分別為和(各端口電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向)，則耦合電感的相量模型如圖4.6-10(a)和(b)所示，其端口伏安關(guān)系為(4.6-19)

若、均從同名端流入(見圖4.6-10(a))，則互感電壓取“+”號；若、從異名端流入(見圖4.6-10(b))，則互感電壓取“-”號。式(4.6-19)中ωM稱為互感抗。如果耦合電感各有一端相連接，也可采用T形去耦等效電路進(jìn)行分析。圖4.6-10耦合電感的相量模型

例4.6-4

如圖4.6-11(a)所示的電路，已知R1=R2=10Ω，L1=50.5μH，L2=50μH,

M=0.5μH，C1=C2=50pF，Us=10V，ω=2×107rad/s，求和，并用PSpice進(jìn)行驗(yàn)證。圖4.6-11例4.6-4圖

解選網(wǎng)孔電流和如圖所示。根據(jù)KVL列出回路方程。需要注意的是，對于含有互感的電路，在列寫回路方程時(shí)應(yīng)考慮到互感電壓。圖4.6-11(a)中，電流和分別從異名端流入，故互感電壓取“-”號。按圖可列出回路方程為式中各電抗值為將以上各值及R1、R2代入方程，并設(shè)V，得簡化后，得由以上兩式可解得用PSpice驗(yàn)證的步驟如下:

(1)用Capture繪制出如圖4.6-11(b)所示的仿真電路圖。耦合電感的繪制方法:先從ANALOG庫中取出兩個(gè)電感L1和L2，放入指定位置，并設(shè)置其參數(shù)。然后從ALOG庫中取出線性互感K_Linear放到L1和L2附近；雙擊打開互感屬性對話框，在Coupling欄內(nèi)輸入耦合系數(shù)(此處m=10-3)

(2)設(shè)置分析類型和參數(shù)。選取ACSweep/Noise作分析類型；在ACSweepType內(nèi)選中Linear；在StartFrequency和EndFrequency框內(nèi)都輸入3183101.5(f=ω/(2π))，在TotalPoints框內(nèi)輸入1，點(diǎn)擊確定按鈕結(jié)束設(shè)置。

(3)點(diǎn)擊Run按鈕，啟動(dòng)PSpice仿真。仿真結(jié)束后，查看輸出文件Probe，執(zhí)行View/OutputFile，有下列結(jié)果:

例4.6-5

如圖4.6-12所示的電路，已知=10∠0°(V)，R1=R2=3Ω，ωL1=ωL2=4Ω，ωM=2Ω，求:

(1)ab端開路時(shí)的電壓。

(2)ab端短路后的短路電流。圖4.6-12例4.6-5圖

解圖4.6-12的耦合電感為異名端相連接，畫出其T形去耦電路如圖4.6-13(a)所示。

(1)求開路電壓ab。由于ab端開路(見圖4.6-13(a))，因而流過R2及L2+M的電流為零，其端電壓也為零。利用分壓公式，可得代入各電抗和電阻值，得

(2)求短路電流。將ab端短路，如圖4.6-13(b)所示。這時(shí)，電源端的總阻抗為圖4.6-13例4.6-5的求解總電流利用分流公式可得如果相互耦合的兩個(gè)線圈是繞在非鐵磁性材料上的，則常稱其為空芯變壓器。圖4.6-14(a)是兩個(gè)相互耦合的電感，與電源相連的一邊稱為初級(原邊)，與負(fù)載相連的一邊稱為次級(副邊)。為了簡便，如果初級線圈和電源有損耗電阻，我們把它統(tǒng)歸于圖4.6-14(a)的R1中，如有電抗元件也統(tǒng)歸于圖4.6-14(a)的L1或C1中，如果次級線圈有損耗電阻也統(tǒng)歸于R2中?，F(xiàn)在我們把R2看做負(fù)載。圖4.6-14空芯變壓器及其等效電路

令初級回路電流為，次級回路電流為，如圖4.6-14(a)所示。根據(jù)KVL可列出如下方程(4.6-20)式中，是回路1的自阻抗；是回路2的自阻抗；jωM是回路1與回路2的互阻抗。由式(4.6-20)可解得(4.6-21a)(4.6–21b)式中(4.6-22)(4.6-23)按式(4.6-21a)，可畫出其電路模型如圖4.6-14(b)所示，稱為初級等效回路。用它分析初級回路的問題，常常比較方便。當(dāng)已求得后，可以方便地由式(4.6-21b)求得次級電流。如果僅研究次級回路的問題，則將式(4.6-21a)代入式(4.6-21b)，消去，得次級電流(4.6-24)按式(4.6-24)，可畫出其電路模型如圖4.6-14(c)所示，稱為次級等效回路。不難看出，該等效回路中的電壓源就是戴維南等效電路的開路電壓。式(4.6-24)中(4.6-25)(4.6–26)

例4.6-6

如圖4.6-15(a)所示的電路，已知Us=10V，ω=106rad/s，L1=L2=1mH,C1=C2=1000pF，R1=10Ω，R2=40Ω，為使R2上吸收的功率為最大，求所需互感M，并計(jì)算此時(shí)R2上的功率及C2上的電壓。圖4.6-15例4.6-6圖

解改變初級回路元件或互感M等這類問題，一般用初級等效回路計(jì)算可能是方便的。初級和次級回路的自阻抗分別為和故得反映阻抗因此可知，Z11和Zf1均為純電阻，可畫出圖4.6-15(a)電路的初級等效回路，如圖4.6-15(b)所示。這時(shí)，初級等效回路為純電阻電路。根據(jù)最大功率傳輸條件，得這時(shí)，電流(設(shè)的初相為零)由上式可解得由于除R2外次級回路中各元件及互感均不消耗功率，因此Rf1上吸收的有功功率也就是R2上吸收的有功功率，故得R2吸收的最大功率為求得C2上的電壓