第3章規(guī)則金屬波導(dǎo)3.1矩形波導(dǎo)3.2圓形波導(dǎo)3.3同軸線3.4波導(dǎo)正規(guī)模的特性3.5波導(dǎo)的激勵(lì)本章提要習(xí)題3.1矩形波導(dǎo)

1.矩形波導(dǎo)的導(dǎo)模如圖3.1-1所示，采用直角坐標(biāo)系(x，y，z)，拉梅系數(shù)h1=h2=1。沿波導(dǎo)正z方向傳播的導(dǎo)波場可以寫成(略去時(shí)間因子ejωt):(3.1-1)式中，橫向場量E0t和H0t只是橫向坐標(biāo)的函數(shù)，軸向場量E0z和H0z也只是橫向坐標(biāo)的函數(shù)。圖3.1-1矩形波導(dǎo)由式(1.4-30)，可得橫-縱向場關(guān)系式為

(3.1-2a)寫成矩陣形式為(3.1-2b)式中(3.1-3)若介質(zhì)有損耗，ε為復(fù)數(shù)，ε=ε0εr(1-jtgδ)，其中tgδ是介質(zhì)材料的損耗正切。由式(1.4-23)，得到縱向場Ez和Hz滿足如下簡化的二維亥姆霍茲(Helmholtz)方程:(3.1-4)邊界條件為(3.1-5)(3.1-6)

(1)TE模(TEmodes)其Ez=0，Hz(x,y,z)=H0z(x,y)e-jβz≠0。應(yīng)用分離變量法，即令H0z(x,y)=X(x)Y(y)

(3.1-7)代入本征值方程，得到(3.1-8)此式要成立，每項(xiàng)必須等于常數(shù)。定義分離變數(shù)為kx和ky，則得到方程:(3.1-9)而

(3.1-10)由式(3.1-9)的解可得H0z(x,y)=(A1coskxx+A2sinkxx)(B1coskyy+B2sinkyy)(3.1-11)由式(3.1-2)可求得(3.1-12)將式(3.1-12)代入邊界條件式(3.1-5)，得到(3.1-13)于是得到Hz的基本解為

(3.1-14)式中，Hmn=A1B1為任意振幅常數(shù);m和n為任意正整數(shù)，稱為波型指數(shù)。任意一對(duì)m、n值對(duì)應(yīng)一個(gè)基本波函數(shù)。這些波函數(shù)的組合也是式(3.1-4)的解，故Hz的一般解為(3.1-15)將式(3.1-15)代入關(guān)系式(3.1-2)，最后可得傳輸型TE導(dǎo)模的場分量為(3.1-16)式中(3.1-17)結(jié)果表明，矩形波導(dǎo)中可以存在無窮多種TE導(dǎo)模，以TEmn表示;其最低型模是TE10模(a＞b)。需要指出的是，m和n不能同時(shí)為零。由式(3.1-17)可見，當(dāng)m=0，n=0時(shí)，成為一恒定磁場Hz，其余場分量均不存在，故m=0和n=0的解無意義。

(2)TM模(TMmodes)其Hz=0，Ez(x,y,z)=E0z(x,y)e-jβz≠0。用類似的分離變量法可以求得E0z(x,y)=(A1coskxx+A2sinkxx)(B1coskyy+B2sinkyy)(3.1-18)代入邊界條件式(3.1-6)，可得(3.1-19)于是得到Ez的基本解為

(3.1-20)式中Emn=A2B2為任意振幅常數(shù)。Ez的一般解則為

(3.1-21)代入關(guān)系式(3.1-2)，最后求得傳輸型TM導(dǎo)模的場分量為(3.1-22)式中(3.1-17)結(jié)果表明，矩形波導(dǎo)中可以存在無窮多種TM導(dǎo)模，以TMmn表示。最低型模為TM11模。

2.導(dǎo)模的場結(jié)構(gòu)導(dǎo)模的場結(jié)構(gòu)是分析和研究波導(dǎo)問題、模式的激勵(lì)，設(shè)計(jì)波導(dǎo)元件的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)。我們用電力線和磁力線的疏和密來表示波導(dǎo)中電場和磁場的弱和強(qiáng)。所謂場結(jié)構(gòu)便是指波導(dǎo)中電力線和磁力線的形狀與疏密分布情況。矩形波導(dǎo)中可能存在無窮多種TEmn和TMmn模，但其場結(jié)構(gòu)卻有規(guī)律可循。最基本的場結(jié)構(gòu)模型是TE10、TE01、TE11和TM11四個(gè)模。由式(3.1-16)和式(3.1-22)可見，導(dǎo)模在矩形波導(dǎo)橫截面上的場呈駐波分布，且在每個(gè)橫截面上的場分布是完全確定的。這一分布與頻率無關(guān)，并與此橫截面在導(dǎo)行系統(tǒng)上的位置無關(guān);整個(gè)導(dǎo)模以完整的場結(jié)構(gòu)(稱之為場型)沿軸向(z向)傳播。

(1)TE10模與TEm0模的場結(jié)構(gòu)

TE10(m=1,n=0)模的場分量由式(3.1-16１)求得為(3.1-23)可見TE10模只有Ey、Hx和Hz三個(gè)場分量。電場只有Ey分量，且不隨y變化;隨x呈正弦變化，在x=0和a處為零，在x=a/2處最大，即在a邊上有半個(gè)駐波分布。磁場有Hx和Hz兩個(gè)分量，且均與y無關(guān)，所以磁力線是xz平面內(nèi)的閉合曲線，其軌跡為橢圓。Hx隨x呈正弦變化，在x=0和a處為零，在x=a/2處最大;Hz隨x呈余弦變化，在x=0和a處最大，在x=a/2處為零。Hx和Hz在a邊上均有半個(gè)駐波分布。電場和磁場沿z向傳播，即整個(gè)場型沿z向傳播。TE10模的電場和磁場的結(jié)構(gòu)截面圖如圖3.1-2(a)所示。仿照TE10模，TEm0模的場結(jié)構(gòu)便是沿b邊不變化，沿a邊有m個(gè)半駐波分布;或者說是沿b邊不變化，沿a邊有m個(gè)TE10模場結(jié)構(gòu)“小巢”。圖3.1-2(b)表示TE20模的場結(jié)構(gòu)。

(2)TE01模與TE0n模的場結(jié)構(gòu)TE01模只有Ex、Hy和Hz三個(gè)場分量，其場結(jié)構(gòu)與TE10模的差別只是波的極化面旋轉(zhuǎn)了90°，即場沿a邊不變化，沿b邊有半個(gè)駐波分布，如圖3.1-2(c)所示。仿照TE01模，TE0n模的場結(jié)構(gòu)是沿a邊不變化，沿b邊有n個(gè)半駐波分布;或者說是沿a邊不變化，沿b邊有n個(gè)TE01模場結(jié)構(gòu)“小巢”。圖3.1-2(d)表示TE02模的場結(jié)構(gòu)。圖3.1-2矩形波導(dǎo)中TE和TM模場結(jié)構(gòu)截面圖圖3.1-2矩形波導(dǎo)中TE和TM模場結(jié)構(gòu)截面圖

(3)TE11模與TEmn(m、n＞1)模的場結(jié)構(gòu)

m和n均不為零的最簡單TE模是TE11模，其場沿a邊和b邊都有半個(gè)駐波分布，如圖3.1-2(e)所示。m和n都大于1的TEmn模的場結(jié)構(gòu)與TE11模的場結(jié)構(gòu)類似，其場型沿a邊有m個(gè)TE11模場結(jié)構(gòu)“小巢”，沿b邊有n個(gè)TE11模場結(jié)構(gòu)“小巢”。圖3.1-2(f)表示TE21模的場結(jié)構(gòu)。

(4)TM11模與TMmn模的場結(jié)構(gòu)

TM導(dǎo)模最簡單者為TM11模，其磁力線完全分布在橫截面內(nèi)，且為閉合曲線，電力線則是空間曲線。其場沿a邊和b邊均有半個(gè)駐波分布，如圖3.1-2(g)所示。仿照TM11模，m和n均大于1的TMmn模的場結(jié)構(gòu)便是沿a邊和b邊分別分布有m個(gè)和n個(gè)TM11模場結(jié)構(gòu)“小巢”。圖3.1-2(h)表示TM21模的場結(jié)構(gòu)。

3.管壁電流當(dāng)波導(dǎo)中傳輸微波信號(hào)時(shí)，在金屬波導(dǎo)內(nèi)壁表面上將產(chǎn)生感應(yīng)電流，稱之為管壁電流。在微波頻率，趨膚效應(yīng)將使這種管壁電流集中在很薄的波導(dǎo)內(nèi)壁表面流動(dòng)，其趨膚深度δs的典型數(shù)量級(jí)為10-4cm(例如銅波導(dǎo)，f=30GHz時(shí)，δs=3.8×10-4cm＜0.5μm)。故這種管壁電流可視為面電流。管壁電流的大小和方向由管壁附近的切線磁場決定，即有

(3.1-24)式中，是波導(dǎo)內(nèi)壁的單位法線矢量，Htan是內(nèi)壁附近的切線磁場。矩形波導(dǎo)幾乎都是以TE10模工作。由式(3.1-23)和式(3.1-24)可求得其管壁電流為:在波導(dǎo)底面(y=0)和頂面(y=b)，，則有

(3.1-25a)和(3.1-25b)在左側(cè)壁上，，則有(3.1-25c)在右側(cè)壁上，，則有(3.1-25d)結(jié)果表明，當(dāng)矩形波導(dǎo)中傳輸TE10模時(shí)，在左右兩側(cè)壁內(nèi)的管壁電流只有Jy分量，且大小相等方向相同;在上下寬壁內(nèi)的管壁電流由Jx和Jz合成，在同一x位置的上下寬壁內(nèi)的管壁電流大小相等方向相反，如圖3.1-3所示。圖3.1-3TE10模矩形波導(dǎo)的管壁電流與管壁上的輻射性和非輻射性槽研究波導(dǎo)管壁電流結(jié)構(gòu)有著重要的實(shí)際意義。除了波導(dǎo)損耗的計(jì)算需要知道管壁電流外，在實(shí)用中，波導(dǎo)元件需要相互連接;有時(shí)則需要在波導(dǎo)壁上開槽或孔以做成特定用途的元件。此時(shí)接頭與槽孔所在位置就不應(yīng)該破壞管壁電流的通路，否則將嚴(yán)重破壞原波導(dǎo)內(nèi)的電磁場分布，引起輻射和反射，影響功率的有效傳輸，如圖3.1-3中的非輻射性槽1和槽2。相反，有時(shí)則需要在波導(dǎo)壁上開槽做成裂縫天線，此時(shí)開槽就應(yīng)切斷管壁電流，如圖3.1-3中的輻射性槽3、槽4和槽5。此外，由上面分析可知，管壁電流在波導(dǎo)寬壁中央(x=a/2處)只有縱向電流。這一特點(diǎn)被用來在波導(dǎo)寬壁中央縱向開一長縫(圖3.1-3中的槽1)，制成駐波測量線，進(jìn)行各種微波測量。

4.矩形波導(dǎo)的傳輸特性

(1)導(dǎo)模的傳輸條件與截止由式(3.1-3)和(3.1-17)得到矩形波導(dǎo)中每個(gè)TEmn和TMmn導(dǎo)模的傳播常數(shù)為(3.1-26)對(duì)于傳輸模，β應(yīng)為實(shí)數(shù)，這要求;截止時(shí)，β=0，

。由式(1.4-42)和(3.1-26)得到導(dǎo)模的截止頻率為(3.1-27)相應(yīng)的截止波長為(3.1-28)由上述分析可得到如下重要結(jié)果:●導(dǎo)模的傳輸條件某導(dǎo)模在波導(dǎo)中能夠傳輸?shù)臈l件是該導(dǎo)模的截止波長λc大于工作波長λ，或截止頻率fc小于工作頻率f，即λc＞λ或fc＜f?！駥?dǎo)模的截止金屬波導(dǎo)中導(dǎo)模的截止是由于消失模(evanescentmode)的出現(xiàn)。由式(3.1-26)可見，λc＜λ或fc＞f的導(dǎo)模的β為虛數(shù)，相應(yīng)的模式稱為消失?；蚪刂鼓?cut-offmode)。其所有場分量的振幅將按指數(shù)規(guī)律衰減。這種衰減是由于截止模的電抗反射損耗所致。以截止模工作的波導(dǎo)稱為截止波導(dǎo)(cut-offwaveguide)，其傳播常數(shù)為衰減常數(shù):(3.1-29)近似與頻率無關(guān)。利用一段截止波導(dǎo)可做成截止衰減器。●模式簡并現(xiàn)象導(dǎo)行系統(tǒng)中不同導(dǎo)模的截止波長λc相同的現(xiàn)象稱為模式簡并現(xiàn)象。由式(3.1-27)可見，相同波型指數(shù)m和n的TEmn和TMmn模的λc相同，故除TEm0和TE0n模外，矩形波導(dǎo)的導(dǎo)模都具有雙重簡并。●主模TE10模導(dǎo)行系統(tǒng)中截止波長λc最長(或載止頻率fc最低)的導(dǎo)模稱為該導(dǎo)行系統(tǒng)的主模(dominantmode)，或稱基模、最低型模。其它模則稱為高次模(higher-ordermodes)。

由式(3.1-27)和式(3.1-28)可知，a＞b的矩形波導(dǎo)的主模是TE10模，其(3.1-30)(3.1-31)傳輸單一模式(通常是傳輸主模)的波導(dǎo)稱為單模波導(dǎo)。矩形波導(dǎo)實(shí)用時(shí)幾乎都以主模TE10模工作。允許主模和一個(gè)或多個(gè)高次模同時(shí)傳輸稱為多模傳輸;能夠維持多個(gè)模同時(shí)傳輸?shù)牟▽?dǎo)則稱為多模波導(dǎo)。

(2)相速度和群速度由式(1.4-44)，矩形波導(dǎo)導(dǎo)模的相速度為(3.1-32)式中v和λ分別表示媒質(zhì)中平面波的速度(，c為真空中的光速)和波長(，λ0為自由空間波長)。主模TE10模的相速度為(3.1-33)由式(1.4-45)，矩形波導(dǎo)導(dǎo)模的群速度為

(3.1-34)主模TE10模的群速度則為

(3.1-35)顯然有vp·vg=v2

(3.1-36)由式(3.1-32)和式(3.1-34)可見，矩形波導(dǎo)中導(dǎo)模的傳播速度與頻率有關(guān)，存在嚴(yán)重的色散現(xiàn)象。

(3)波導(dǎo)波長由式(1.4-47)，矩形波導(dǎo)導(dǎo)模的波導(dǎo)波長為(3.1-37)主模TE10模的波導(dǎo)波長則為(3.1-38)

(4)波阻抗由式(1.4-48)，矩形波導(dǎo)中TE導(dǎo)模的波阻抗為(3.1-39)主模TE10模的波阻抗則為(3.1-40)由式(1.4-49)，矩形波導(dǎo)中TM導(dǎo)模的波阻抗為(3.1-41)由式(3.1-39)和式(3.1-41)可見，對(duì)于傳輸模，β為實(shí)數(shù)，ZTE和ZTM亦為實(shí)數(shù);對(duì)于消失模，β為虛數(shù)，ZTE和ZTM亦為虛數(shù);呈電抗，因此金屬波導(dǎo)中消失模的出現(xiàn)將對(duì)信號(hào)源呈現(xiàn)電抗性反射。

(5)TE10模矩形波導(dǎo)的傳輸功率矩形波導(dǎo)實(shí)用時(shí)幾乎都是以TE10模工作，其(3.1-42)(3.1-43)于是傳輸TE10模的矩形波導(dǎo)的傳輸功率為(3.1-44a)(3.1-44b)式中E10是TE10模Ey分量的振幅常數(shù)，若|E10|以空氣的擊穿場強(qiáng)Ebr=30kV/cm代入，可得TE10?？諝饩匦尾▽?dǎo)的脈沖功率容量為(3.1-45)

(6)TE10模矩形波導(dǎo)的損耗

a.介質(zhì)損耗金屬波導(dǎo)中填充均勻介質(zhì)的損耗引起的導(dǎo)波的衰減常數(shù)由式(2.4-41)決定，即(3.1-46)

b.導(dǎo)體損耗

TE10模矩形波導(dǎo)的有限導(dǎo)電率金屬壁單位長度功率損耗為則由式(2.4-31)，TE10模矩形波導(dǎo)的導(dǎo)體衰減常數(shù)為(3.1-47a)(3.1-47b)

(7)TE10模矩形波導(dǎo)的等效阻抗由式(3.1-40)可見，TE10模的波阻抗只與寬邊尺寸a有關(guān)，而與窄邊尺寸無關(guān)。容易理解，寬邊尺寸相同而窄邊尺寸不相同的二段矩形波導(dǎo)連接時(shí)，波在連接處將產(chǎn)生反射，因此不能應(yīng)用波阻抗來處理不同尺寸波導(dǎo)的匹配問題，為此需引入波導(dǎo)的等效阻抗(equivalentimpedance)。根據(jù)電路理論，等效阻抗可以用如下三種形式定義:(3.1-48)定義等效電壓為波導(dǎo)寬邊中心電場從頂邊到底邊的線積分:(3.1-49)定義等效電流為波導(dǎo)寬邊縱向電流之和:(3.1-50)將式(3.1-49)、(3.1-50)和式(3.1-44b)代入定義式(3.1-48)，得到(3.1-51)(3.1-52)(3.1-53)可見三種定義得到的等效阻抗具有不同的系數(shù)。這說明等效電壓和電流定義的非唯一性;但它們與波導(dǎo)截面尺寸有關(guān)的部分相同。實(shí)踐證明，用上述任一種等效阻抗式計(jì)算的兩段不同尺寸矩形波導(dǎo)的連接，只要其等效阻抗相等，連接處的反射即最小。這說明上述等效阻抗可用于計(jì)算TE10模矩形波導(dǎo)的反射和匹配問題，并具有TEM傳輸線特性阻抗的功能。但應(yīng)注意，在工程計(jì)算時(shí)，同一問題的計(jì)算應(yīng)該始終采用同一種定義式，并且應(yīng)該說明采用的是哪一種定義式。為簡化計(jì)算，常以與截面尺寸有關(guān)的部分作為公認(rèn)的等效阻抗:(3.1-54)

而且令η=1，定義TE10模矩形波導(dǎo)的無量綱等效阻抗為(3.1-55)

5.矩形波導(dǎo)的截面尺寸選擇矩形波導(dǎo)截面尺寸選擇的首要條件是保證只傳輸主模TE10模，為此應(yīng)滿足關(guān)系

(3.1-56)即于是得到(3.1-57)若考慮到損耗要小，由式(3.1-47)可知，b應(yīng)當(dāng)小;但若考慮到傳輸功率要大，由式(3.1-44)可知，b應(yīng)當(dāng)大。綜合考慮抑制高次模、損耗小和傳輸功率大諸條件，矩形波導(dǎo)截面尺寸一般選擇(3.1-58)實(shí)用時(shí)通常按照工作頻率和用途，選用標(biāo)準(zhǔn)波導(dǎo)。其尺寸見附錄一。波導(dǎo)尺寸確定后，其工作頻率范圍便可確定。為使損耗不大，并不出現(xiàn)高次模，其工作波長范圍取(3.1-59)即1.05a≤λ≤1.6a例如BJ-100波導(dǎo)的工作波長范圍計(jì)算得到為24.003mm≤λ≤36.576mm，相應(yīng)的頻率范圍為8.20GHz～12.5GHz?？梢娋匦尾▽?dǎo)的通頻帶并不寬，不到倍頻程。這是矩形波導(dǎo)的缺點(diǎn)之一。為了能實(shí)現(xiàn)寬頻帶工作，可采用如圖3.1-4中所示脊波導(dǎo)(riddedwaveguide)。這種脊波導(dǎo)，由于其脊棱邊緣電容的作用，使其主模TE10模的截止頻率比矩形波導(dǎo)TE10模的低，而其TE20模的截止頻率卻比矩形波導(dǎo)TE20模的高，使脊波導(dǎo)單一模工作的頻帶寬，可達(dá)數(shù)倍頻程。同時(shí)，脊波導(dǎo)的等效阻抗低。脊的高度d愈小，TE10模的截止頻率愈低，等效阻抗也愈低。因此脊波導(dǎo)適于作寬頻帶饋線和元件以及高阻抗的矩形波導(dǎo)至低阻抗的同軸線或微帶線的過渡。但是，脊波導(dǎo)的損耗較大，功率容量較低，加工不方便，因而使用受到限制。脊波導(dǎo)的設(shè)計(jì)見參考書［1］。圖3.1-4脊波導(dǎo)的截止波長(a)單脊;(b)雙脊

例3.1-1

求x波段空氣銅制矩形波導(dǎo)BJ-100(a=2.286cm，b=1.016cm)前四個(gè)導(dǎo)模的截止頻率，以及工作頻率為10GHz時(shí)1m長波導(dǎo)的dB衰減值。

解由式(3.1-27)得到截止頻率公式為由此算得各導(dǎo)模的截止頻率如下: TE10模fc10=6.562GHz TE20模fc20=13.123GHz TE01模fc01=14.764GHz TE11和TM11模fc11=16.156GHz TE21和TM21模fc21=19.753GHz TE12和TM12模fc12=30.248GHz可見前四個(gè)導(dǎo)模是TE10、TE20、TE01和TE11(TM11和TE11的fc相同)。

f0=10GHz時(shí)，λ0=3cm，此時(shí)該波導(dǎo)只能傳輸TE10模，k=209.44m-1，而銅的導(dǎo)電率σ=5.8×107S/m，則。由式(3.1-47a)，得到3.2圓形波導(dǎo)圓形波導(dǎo)(circularwaveguide)簡稱圓波導(dǎo)，是截面形狀為圓形的空心金屬管，如圖3.2-1所示。其內(nèi)壁半徑為a。與矩形波導(dǎo)一樣，圓波導(dǎo)也只能傳輸TE和TM導(dǎo)波。圓波導(dǎo)的加工方便，具有損耗小和雙極化特性，常用于要求雙極化模的天線饋線中。圓波導(dǎo)段廣泛用作各種諧振腔、波長計(jì)。本節(jié)研究圓波導(dǎo)的導(dǎo)模及其傳輸特性，并著重討論三個(gè)常用模式(TE11、TE01和TM01)的特點(diǎn)及其應(yīng)用。圖3.2-1圓形波導(dǎo)

1.圓形波導(dǎo)的導(dǎo)模如圖3.2-1所示，采用圓柱坐標(biāo)系(r,φ,z)，其拉梅系數(shù)h1=1，h2=r，由式(1.4-30)可得橫-縱向場關(guān)系式為(3.2-1a)寫成矩陣形式為(3.2-1b)式中

(3.2-2)由式(1.4-23)得到縱向場分量滿足如下簡化的二維亥姆霍茲方程:(3.2-3)邊界條件為(3.2-4)(3.2-5)

a.TE模(TEmodes)對(duì)于TE模，Ez=0，Hz(r,φ,z)=H0z(r,φ)e-jβz≠0，令H0z(r,φ)=R(r)Φ(φ)

(3.2-6)代入方程(3.2-3)，得到令分離變量常數(shù)為，則得方程(3.2-7)和(3.2-8)式(3.2-7)的一般解為Φ(φ)=B1

coskφφ+B2sinkφφ

(3.2-9)由于H0z的解在φ方向必須是周期的(即應(yīng)有H0z(r,φ)=H0z

(r,φ±2mφ))，所以kφ必須為整數(shù)m，于是Φ(φ)的解變成(3.2-10)式(3.2-10)中的后一種表示形式是考慮到圓波導(dǎo)結(jié)構(gòu)具有軸對(duì)稱性，場的極化方向具有不確定性，使導(dǎo)波場在φ方向存在cosmφ和sinmφ兩種可能的分布。它們獨(dú)立存在，相互正交，截止波長相同，構(gòu)成同一導(dǎo)模的極化簡并(polarizationdegenerate)模。式(3.2-8)為貝塞爾方程，其解為R(r)=A1Jm(kcr)+A2Ym(kcr)

(3.2-11)考慮到圓波導(dǎo)中心處的場應(yīng)為有限，而，所以應(yīng)令A(yù)2=0，于是得到解

(3.2-12)由式(3.2-1)可得

(3.2-13)代入邊界條件(3.2-4)，則應(yīng)有令的根為，則有，因此得到本征值(3.2-14)這樣，Hz的基本解則為

(3.2-15a)式中Hmn=A1B為任意振幅常數(shù)。Hz的一般解應(yīng)為(3.2-15b)將式(3.2-15b)代入關(guān)系式(3.2-1)，最后可求得傳輸型TE導(dǎo)模的場分量為(3.2-16)圓波導(dǎo)中可以存在無窮多種TE導(dǎo)模，以TEmn表示。由式(3.2-16)可見，場沿半徑按貝塞爾函數(shù)或按其導(dǎo)數(shù)的規(guī)律變化，波型指數(shù)n表示場沿半徑分布的最大值個(gè)數(shù);場沿圓周方向按正弦或余弦函數(shù)形式變化，波型指數(shù)m表示場沿圓周分布的整波數(shù)。

TEmn導(dǎo)模的波阻抗為(3.2-17)由式(3.2-14)，得到TEmn模的傳播常數(shù)為(3.2-18)截止波長為(3.2-19)截止頻率為(3.2-20)具有最小值u'11=1.841的TE11模，其λc=3.41a，是圓波導(dǎo)最常用的導(dǎo)模。對(duì)應(yīng)于u'01=3.832的TE01模的λc=1.64a。

b.TM模(TMmodes)對(duì)于TM模，Hz=0，Ez(r,φ,z)=E0z(r,φ)e-jβz≠0，采用與TE模類似的分離變量法，可以求得

(3.2-21)由邊界條件式(3.2-5)，則要求Jm(kca)=0。令其根為umn，則得m=0,1,2,…;n=1,2,3,…(3.2-22)于是Ez的基本解為(3.2-23a)Ez的一般解應(yīng)為

(3.2-23b)將式(3.2-23b)代入式(3.2-1)，最后可得傳輸型TM導(dǎo)模的場分量為(3.2-24)結(jié)果表明，圓波導(dǎo)中可以存在無窮多種TM導(dǎo)模，以TMmn表示。波型指數(shù)m、n的意義與TEmn模相同。

TM導(dǎo)模的波阻抗為(3.2-25)由式(3.2-22)可得TMmn模的傳播常數(shù)為(3.2-26)截止波長為

(3.2-27)截止頻率為(3.2-28)具有最小值u01=2.405的TM01模的λc=2.62a。由上述分析結(jié)果可以得到如下重要結(jié)論:●圓波導(dǎo)中導(dǎo)模的傳輸條件是λc＞λ(工作波長)或fc＜f(工作頻率);導(dǎo)模的截止也是由于消失模的出現(xiàn)。圓波導(dǎo)中導(dǎo)模的傳輸特性與矩形波導(dǎo)相似。●圓波導(dǎo)的導(dǎo)模存在兩種模式簡并現(xiàn)象:一種是TE0n模與TM1n模簡并，即有λcTE0n=λcTM1n;另一種是m≠0的TEmn或TMmn模的極化簡并?！駡A波導(dǎo)的主模是TE11模，其截止波長最長，λcTE11=3.41a;TM01模為次主模，λcTM01=2.62a。

2.三個(gè)常用模

a.主模TE11模其λc=3.41a，由式(3.2-16)得到其場分量為(取sinφ解):(3.2-29)其場結(jié)構(gòu)如圖3.2-2(a)所示。由圖可見，TE11模場結(jié)構(gòu)與矩形波導(dǎo)TE10模場結(jié)構(gòu)相似。實(shí)用中，圓波導(dǎo)TE11模便是由矩形波導(dǎo)TE10模來激勵(lì);將矩形波導(dǎo)的截面逐漸過渡成圓形，則TE10模便會(huì)自然地過渡變成模。圖3.2-2圓波導(dǎo)TE11、TM01和TE01模的場結(jié)構(gòu)

TE11模雖然是圓波導(dǎo)的主模，但它存在極化簡并，當(dāng)圓波導(dǎo)出現(xiàn)橢圓度時(shí)，就會(huì)分裂出cosφ和sinφ模，如圖3.2-3所示。所以一般情況下不宜采用TE11模來傳輸微波能量和信號(hào)。這也是實(shí)用中不用圓波導(dǎo)而采用矩形波導(dǎo)作微波傳輸系統(tǒng)的基本原因。圖3.2-3因橢圓度而出現(xiàn)TE11模的極化簡并不過，利用TE11模的極化簡并特性可以構(gòu)成一些雙極化元件，如極化分離器、極化衰減器等。

TE11模圓波導(dǎo)的傳輸功率為(以sinφ模計(jì))(3.2-30)有限導(dǎo)電率金屬圓波導(dǎo)的單位長度功率損耗為(3.2-31)將式(3.2-30)和式(3.2-31)代入式(2.4-31)，得到TE11模圓波導(dǎo)的導(dǎo)體衰減常數(shù)為(3.2-32)其介質(zhì)衰減常數(shù)為(3.2-33)傳輸TE11模的圓波導(dǎo)的半徑一般選取為λ/3。

b.圓對(duì)稱TM01模

TM01模是圓波導(dǎo)的最低型橫磁模，是圓波導(dǎo)的次主模，沒有簡并，其λc=2.62a。將m=0，n=1代入式(3.2-24)，得到TM01模的場分量為

(3.2-34)其場結(jié)構(gòu)如圖3.2-2(b)所示。由圖3.2-2(b)和式(3.2-34)可見其場結(jié)構(gòu)有如下特點(diǎn):①電磁場沿φ方向不變化，場分布具有圓對(duì)稱性(或軸對(duì)稱性);②電場相對(duì)集中在中心線附近，磁場則相對(duì)集中于波導(dǎo)壁附近;③磁場只有Hφ分量，因而管壁電流只有Jz分量。由于TM01模具有上述特點(diǎn)，所以特別適于作天線掃描裝置的旋轉(zhuǎn)鉸鏈的工作模式。

c.低損耗TE01模

TE01模是圓波導(dǎo)的高次模，其λc=1.64a，由式(3.2-16)可得其場分量為(3.2-35)其場結(jié)構(gòu)如圖3.2-2(c)所示。由圖和式(3.2-35)可見，其場結(jié)構(gòu)有如下特點(diǎn):①電磁場沿φ方向不變化，亦具有軸對(duì)稱性;②電場只有Eφ分量，在中心和管壁附近為零;③在管壁附近只有Hz分量磁場，故管壁電流只有Jφ分量。因此，當(dāng)傳輸功率一定時(shí)，隨頻率增高，損耗將減小，衰減常數(shù)變小。這一特性使TE01模適用作毫米波長距離低損耗傳輸與高Q值圓柱諧振腔的工作模式。在毫米波段，TE01模圓波導(dǎo)的理論衰減約為TE10模矩形波導(dǎo)衰減的1/4～1/8。但是TE01模不是圓波導(dǎo)的主模，使用時(shí)需設(shè)法抑制其它的低次傳輸模。

例3.2-1

求半徑為0.5cm，填充εr為2.25的介質(zhì)(tgδ=0.001)的圓波導(dǎo)前兩個(gè)傳輸模的截止頻率;設(shè)其內(nèi)壁鍍銀，計(jì)算工作頻率為13.0GHz時(shí)50cm長波導(dǎo)的dB衰減值。

解前兩個(gè)傳輸模是TE11和TM01，其截止頻率分別為顯然，當(dāng)工作頻率f0=13.0GHz時(shí)該波導(dǎo)只能傳輸TE11模，其波數(shù)為TE11模的傳播常數(shù)為介質(zhì)衰減常數(shù)為銀的導(dǎo)電率σ=6.17×107S/m，其表面電阻，于是金屬導(dǎo)體衰減常數(shù)為總的衰減常數(shù)為α=αc+αd=0.536Np/m。50cm長波導(dǎo)的衰減值則為L=-20lge-αl=-20lge-(0.536)(0.5)=2.33(dB)3.3同軸線同軸線(coaxialline)是由兩根同軸的圓柱導(dǎo)體構(gòu)成的導(dǎo)行系統(tǒng)，內(nèi)導(dǎo)體外半徑為a，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b，兩導(dǎo)體之間填充空氣(硬同軸線)或相對(duì)介電常數(shù)為εr的高頻介質(zhì)(軟同軸線，即同軸電纜)，如圖3.3-1所示。同軸線是一種雙導(dǎo)體導(dǎo)行系統(tǒng)，顯然可以傳輸TEM導(dǎo)波。同軸線便是以TEM模工作，廣泛用作寬頻帶饋線，設(shè)計(jì)寬帶元件;但當(dāng)同軸線的橫向尺寸可與工作波長比擬時(shí)，同軸線中也會(huì)出現(xiàn)TE模和TM模。它們是同軸線的高次模。本節(jié)主要研究同軸線以TEM模工作時(shí)的傳輸特性，同時(shí)也要分析其高次模以便確定同軸線的尺寸。圖3.3-1同軸線的結(jié)構(gòu)

1.同軸線的TEM導(dǎo)波場如圖3.3-1所示，采用圓柱坐標(biāo)系(r,φ,z)，對(duì)于TEM模，Ez=Hz=0，電場為E(r,φ,z)=Et(r,φ,z)=E0t(r,φ)e-jβz，而▽t×Et=-jωμ

Hz=0，于是E0t(r,φ)可用標(biāo)量位函數(shù)Φ(r,φ)的梯度表示為E0t(r,φ)=-▽

tΦ(r,φ)

(3.3-1)又因?yàn)楱尅t=0，因此得到位函數(shù)Φ(r,φ)滿足拉普拉斯方程:

(3.3-2)用圓柱坐標(biāo)系表示則為(3.3-3)設(shè)邊界條件為(3.3-4)應(yīng)用分離變量法對(duì)式(3.3-3)求解，即令Φ(r,φ)=R(r)F(φ)

(3.3-5)代入方程(3.3-3)，得到(3.3-6)此式要成立，每項(xiàng)必須等于常數(shù)。令分離變量常數(shù)為kr和kφ，得到方程:(3.3-7)(3.3-8)而

(3.3-9)式(3.3-8)的一般解為F(φ)=Acosnφ+Bsinnφ

(3.3-10)這里kφ=n必須是整數(shù)，因?yàn)閳鲅卅辗较虺手芷谛宰兓?。而邊界條件式(3.3-4)不隨φ變化，所以位函數(shù)Φ(r,φ)也不應(yīng)隨φ變化，故n必須為零，則得F(φ)=A;又由式(3.3-9)，則kr也必須為零。因此方程(3.3-7)簡化為

(3.3-11)其解為R(r)=Clnr+D(3.3-12)因此位函數(shù)為Φ(r,φ)=(Clnr+D)A=C1lnr+C2(3.3-13)代入邊界條件式(3.3-4)，是有Φ(a,φ)=V0=C1lna+C2Φ(b,φ)=0=C1lnb+C2由此解得C1和C2，代入式(3.3-13)，最后得到解為

(3.3-14)橫向電場由式(3.3-1)可求得為因此電場為

(3.3-15)式中，Em=V0/rln(b/a)為電場的振幅，β為傳播常數(shù):(3.3-16)橫向磁場則為

(3.3-17)式中。根據(jù)式(3.3-15)和(3.3-17)可畫出同軸線中TEM導(dǎo)模的場結(jié)構(gòu)，如圖3.3-2所示。圖3.3-2同軸線TEM導(dǎo)模場結(jié)構(gòu)→E;→H

2.傳輸特性

(1)相速度和波導(dǎo)波長對(duì)于TEM模，kc=0，λc=∞，β=k，則由式(1.4-44)，相速度為(3.3-18)式中c為自由空間光速;由式(1.4-47)得到波導(dǎo)波長為(3.3-19)式中λ0為自由空間波長。

(2)特性阻抗同軸線內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位差可由式(3.3-15)求得為

(3.3-20)內(nèi)導(dǎo)體上的總電流由式(3.3-17)求得為(3.3-21)式中I0=2πV0/ηln(b/a)。特性阻抗則為(3.3-22)與由分布參數(shù)L1和C1求得的結(jié)果一致。

(3)衰減常數(shù)同軸線的導(dǎo)體衰減常數(shù)如式(2.4-40)所示，即(3.3-23)介質(zhì)衰減常數(shù)如式(2.4-42)所示，即(3.3-24)由αc/a=0(固定b不變)可求得空氣同軸線導(dǎo)體損耗最小的尺寸條件為(3.3-25)此尺寸相應(yīng)的空氣同軸線特性阻抗為76.71Ω。

(4)傳輸功率由式(3.3-15)和式(3.3-17)，同軸線上的功率流為(3.3-26)此結(jié)果與電路理論結(jié)果相符。這說明傳輸線上的功率流完全是通過導(dǎo)體之間的電場和磁場而不是導(dǎo)體本身傳輸?shù)?。由?3.3-15)可知，同軸線內(nèi)導(dǎo)體附近的電場最強(qiáng)。由此可得擊穿前最大電壓為Vmax=Ebraln(b/a)，Ebr是介質(zhì)的擊穿場強(qiáng);對(duì)于空氣，Ebr=3×106V/m。由式(2.4-17)，空氣同軸線的最大功率容量為(3.3-27)*似乎選用較大的同軸線(就相同的Z0而言，即對(duì)固定的b/a，采用較大的a和b)可增大功率容量，但這會(huì)導(dǎo)致高次模的出現(xiàn)，從而限制其最大工作頻率。因此，對(duì)于給定的最大工作頻率fmax，存在同軸線的功率容量上限:(3.3-28)例如10GHz時(shí)無高次模的任意同軸線的最大峰功率容量約為520kW。實(shí)用時(shí)，考慮到駐波的影響及安全系數(shù)，通常取式(3.3-27)或式(3.3-28)值的四分之一作為實(shí)用功率容量。由

(固定b不變)，可求得功率容量最大的尺寸條件為

(3.3-29)此尺寸相應(yīng)的空氣同軸線特性阻抗為30Ω。

3.同軸線的高次模在一定的尺寸條件下，除TEM模以外，同軸線中也會(huì)出現(xiàn)TE模和TM模。實(shí)用中，這些高次模(higher-ordermodes)通常是截止的，只是在不連續(xù)性或激勵(lì)源附近起電抗作用。重要的是要知道這些波導(dǎo)模式，特別是最低次波導(dǎo)模式(thelowest-orderwaveguide-typemode)的截止波長或截止頻率，以避免這些模式在同軸線中傳播。這正是我們分析同軸線高次模的目的。

(1)TM模同軸線TM模的分析方法與圓波導(dǎo)TM模的分析方法相似。由于r=0不屬于波的傳播區(qū)域，故Ez解應(yīng)為(3.3-30)邊界條件要求在r=a和b處，Ez=0，于是得到A1Jm(kca)+A2Ym(kca)=0A1Jm(kcb)+A2Ym(kcb)=0

(3.3-31)由此得到?jīng)Q定TM模本征值kc的方程為

(3.3-32)此為超越方程。滿足此式的kc值便決定同軸的TMmn模。用數(shù)值法求式(3.3-32)的近似解，可得

(3.3-33)由此得到TMmn模的截止波長近似為

(3.3-34)最低次TM01模的截止波長近似為

(3.3-35)

(2)TE模同軸線TE模的分析方法與圓波導(dǎo)TE模的分析方法相似。考慮到r=0不屬于波的傳播區(qū)域，故Hz解應(yīng)為(3.3-36)邊界條件要求在r=a和b處，

，則得到(3.3-37)由此得到?jīng)Q定TE模本征值kc的方程:(3.3-38)滿足此式的kc值決定同軸線的TEmn模。式(33-38)為超越方程，只能用數(shù)值法近似求解。常用的TE11模的近似解可求得為(3.3-39)由此可得TE11模的截止波長近似為(3.3-40)

4.同軸線尺寸選擇首要條件是保證同軸線只傳輸TEM模。由上述分析可知，同軸線中的最低次波導(dǎo)模式是TE11模，其截止波長最大，如式(3.3-40)所示，為此應(yīng)滿足(3.3-41)式中λmin是最小工作波長。在設(shè)計(jì)同軸線尺寸時(shí)，通常允許取5%的保險(xiǎn)系數(shù)。在滿足條件式(3.3-41)的前提下，再對(duì)同軸線的傳輸特性優(yōu)化，以確定尺寸a和b:若要求衰減最小，按式(3.3-25)取值，即取b/a=3.591;若要求功率容量最大，按式(3.3-29)取值，即取b/a=1.649;若折衷考慮，通常取(3.3-42)此尺寸相應(yīng)的空氣同軸線的特性阻抗為50Ω。同軸線已有標(biāo)準(zhǔn)化尺寸，見附錄二。

例3.3-1

同軸電纜的a=0.89mm，b=2.95mm，填充介質(zhì)的εr為2.2，求其最高可用頻率。

解

b/a=2.95/0.89=3.3，TE11模的截止頻率為實(shí)用時(shí)取5%的余量，因此最高可用頻率為3.4波導(dǎo)正規(guī)模的特性

1.對(duì)稱性波導(dǎo)正規(guī)模的電場和磁場對(duì)時(shí)間和距離具有對(duì)稱性和反對(duì)稱性:①正規(guī)模的電場和磁場波函數(shù)對(duì)時(shí)間t分別為對(duì)稱函數(shù)和反對(duì)稱函數(shù)，即有E2(r,t)=E1(r,-t)H2(r,t)=-H1(r,-t)

(3.4-1)或者(3.4-2)式中，E1(r,t)、H1(r,t)是時(shí)間為+t的場，E2(r,t)、H2(r,t)是時(shí)間為-t的場;符號(hào)*代表共軛復(fù)數(shù)。特性式(3.4-2)可根據(jù)麥克斯韋方程得到證明。②正規(guī)模的電場和磁場的波函數(shù)關(guān)于縱坐標(biāo)z的對(duì)稱性;橫向電場Et與縱向磁場Hz是坐標(biāo)z的對(duì)稱函數(shù);橫向磁場Ht與縱向電場Ez是坐標(biāo)z的反對(duì)稱函數(shù)，即有Et2(z)=Et1(-z)Ez2(z)=-Ez1(-z)Ht2(z)=-Ht1(-z)

(3.4-3)Hz2(z)=Hz1(-z)式中，Et1(z)、Ez1(z)、Ht1(z)和Hz1(z)是沿+z方向傳播的場;Et2(z)、Ez2(z)、Ht2(z)和Hz2(z)是沿-z方向傳播的場。特性式(3.4-3)也容易根據(jù)麥克斯韋方程得到證明。如果時(shí)間t和傳播方向(即坐標(biāo)z)同時(shí)變換符號(hào)，則電場和磁場應(yīng)同時(shí)滿足式(3.4-1)或式(3.4-2)和式(3.4-3)，對(duì)稱性則變成

(3.4-4)下標(biāo)m代表模式指數(shù)。由式(3.4-4)可以看出，Etm和Htm必須是實(shí)數(shù)，否則左右兩邊不可能相等。因此Etm和Htm必然是相位相同;而Ezm和Hzm必然是虛數(shù)，否則左右兩邊不能相等。由此可以得到結(jié)論:正規(guī)模的電場和磁場的橫向分量或縱向分量相互同相，而橫向分量與縱向分量成90°相位差。故對(duì)于正規(guī)模，Em×Hm是傳輸能量。③對(duì)于消失模，不存在變換z的符號(hào)問題，只有時(shí)間對(duì)稱關(guān)系:(3.4-5)可見Em是實(shí)數(shù)，而Hm是虛數(shù)，兩者相位差90°。故對(duì)于消失模，Em×Hm不是傳輸能量，而是虛功，是儲(chǔ)能。上述分析結(jié)果表明，正規(guī)模的對(duì)稱性是麥克斯韋方程對(duì)稱性和規(guī)則波導(dǎo)本身對(duì)稱性的必然結(jié)果。這種對(duì)稱性在研究波導(dǎo)的激勵(lì)、波導(dǎo)中的不連續(xù)性等問題時(shí)很有用。

2.正交性矩形波導(dǎo)的本征函數(shù)是正弦和余弦函數(shù)。圓波導(dǎo)的本征函數(shù)是貝塞爾函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)。這些本征函數(shù)都具有正交特性，由這些本征函數(shù)表征的矩形波導(dǎo)和圓波導(dǎo)的正規(guī)模也就具有正交特性。一般而言，若以i和j代表兩個(gè)特定的模式，則波導(dǎo)正規(guī)模的正交性可以表示成如下五種形式(證明從略):(3.4-6)(2)(3.4-7)(3)(3.4-8)(4)(3.4-9)(5)模式函數(shù)正交性

(3.4-10)式中ei和hj分別表示第i模橫向電場的本征函數(shù)(或稱模式函數(shù))和第j模橫向磁場的本征函數(shù)(或稱模式函數(shù))。

3.完備性波導(dǎo)中的電磁至至少是分段連續(xù)的，或者說是平方可積的。物理中碰到的電磁場是沒有無窮大的。如前所述，波導(dǎo)正規(guī)模是本征函數(shù)的乘積，而本征函數(shù)系是完備的，所以正規(guī)模必然是完備的。這就是說，波導(dǎo)中的任意電磁場都可以用正規(guī)模疊加來代表，即用正規(guī)模的展開式來表示。正規(guī)模的這種完備性也是正規(guī)模的重要特性。由于有這種特性，我們才有可能對(duì)波導(dǎo)的許多實(shí)際問題作出近似分析。如上所述，波導(dǎo)中的任意電磁場的橫向場可以表示為(沿正z方向傳播情況):(3.4-11)其中系數(shù)Ai和Bi可用正交關(guān)系像確定福里哀級(jí)數(shù)的系數(shù)那樣來確定。(E0t)i和(H0t)i可以屬于TE模或TM模。令

Zi是TE或TM模的波阻抗。則式(3.4-11)可以表示成(3.4-12)式中Vi(z)和Ii(z)稱為第i模式的模式電壓和模式電流。當(dāng)波導(dǎo)中傳輸任意場時(shí)，所傳輸?shù)目偣β蕿?3.4-13)由此得到模式函數(shù)正交性式(3.4-10)，即應(yīng)有(3.4-14)結(jié)果表明，波導(dǎo)中傳輸任意場時(shí)的總功率等于每個(gè)正規(guī)模所攜帶功率之總和，而各模式之間沒有能量耦合。3.5波導(dǎo)的激勵(lì)

1.波導(dǎo)激勵(lì)的一般方法與裝置波導(dǎo)中某種所需要模式的激勵(lì)是建立在已知此模式的場結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)之上的，激勵(lì)的一般方法與裝置如下:

(1)探針激勵(lì)將同軸線內(nèi)導(dǎo)體延伸一小段沿電場方向插入波導(dǎo)內(nèi)而構(gòu)成。通常置于所要激勵(lì)模式的電場最強(qiáng)處，以增強(qiáng)激勵(lì)度。典型的裝置是矩形波導(dǎo)主模TE10模常用的同軸-波導(dǎo)變換器，如圖3.5-1所示。圖3.5-1矩形波導(dǎo)TＥ10模的探針激勵(lì)

(2)環(huán)激勵(lì)將同軸線內(nèi)導(dǎo)體延伸后彎成環(huán)形，將其端部焊在外導(dǎo)體上，然后插入波導(dǎo)中所需激勵(lì)模式的磁場最強(qiáng)處，并使小環(huán)的法線平行于磁力線，以增強(qiáng)激勵(lì)度。圖3.5-2示出用小環(huán)激勵(lì)矩形波導(dǎo)TE10模的一個(gè)例子。圖3.5-2矩形波導(dǎo)TE10模的環(huán)激勵(lì)

(3)孔或縫激勵(lì)在兩個(gè)波導(dǎo)的公共壁上開孔或縫，使一部分能量輻射到另一波導(dǎo)中去，并建立起所需要的傳輸模式。圖3.5-3表示矩形波導(dǎo)TE10模的三種孔激勵(lì)裝置?？谆蚩p的激勵(lì)方法還可用于波導(dǎo)與諧振腔之間的耦合、兩條微帶線之間的耦合(在公共接地板上開孔)、波導(dǎo)與帶狀線之間的耦合等。圖3.5-3(a)公共窄壁上開雙孔;(b)公共寬壁上開單孔;(c)公共寬壁上開窄縫

(4)直接過渡通過波導(dǎo)截面形狀的逐漸變形，可將原波導(dǎo)中的模式轉(zhuǎn)換成另一種波導(dǎo)中所需要的模式。圖3.5-4即為矩形波導(dǎo)TE10模轉(zhuǎn)換成圓波導(dǎo)TE11模的方-圓過渡。這種直接過渡方式還常用于同軸線與微帶線之間的過渡和矩形波導(dǎo)與微帶線之間的過渡等。圖3.5-4矩形波導(dǎo)TE10模至圓波導(dǎo)TE11模過渡

2.電流源與磁流源的激勵(lì)

(1)僅激勵(lì)單一波導(dǎo)正規(guī)模的電流片首先以矩形波導(dǎo)為例來尋求僅激勵(lì)單一模式的電流形式?？紤]如圖3.5-5所示無限長矩形波導(dǎo)，設(shè)在z=0面上有表面電流密度為Js的電流片。要求此電流片在波導(dǎo)中僅激勵(lì)起向+z和-z兩個(gè)方向傳播的TE10模，其橫向場分量如式(3.1-23)所示，即有(3.5-1a)(3.5-1b)式中符號(hào)±分別表示具有振幅系數(shù)和的向+z和-z方向傳輸?shù)牟?。圖3.5-5激勵(lì)單-TE10模的電流片在z=0處必須滿足如下邊界條件:(3.5-2a)(3.5-2b)以式(3.5-1a)代入式(3.5-2a)，可得;以式(3.5-1b)代入式(3.5-2b)則得在此波導(dǎo)中僅激勵(lì)在兩個(gè)方向傳播TE10模所需的表面電流密度應(yīng)為(3.5-3)用同樣方法可以求得在此波導(dǎo)中僅激勵(lì)向兩個(gè)方向傳播的TE10模所需表面磁流Ms應(yīng)為(3.5-4)式(3.5-3)和式(3.5-4)表明，采用所示形式的電流片或磁流片可以有選擇地在矩形波導(dǎo)中僅激勵(lì)TE10模而排除所有其它的模。然而在實(shí)用中，這樣的電流或磁流不可能獲得。如上所述，通常是采用探針或小環(huán)來激勵(lì)，如圖3.5-1和圖3.5-2所示那樣。此種情況下將激勵(lì)出許多模式，其中大多數(shù)模式是消失的，只有滿足條件λc＞λ的某模式才能在波導(dǎo)中得到傳播。

(2)任意電流源或磁流源的模式激勵(lì)現(xiàn)在考慮由任意電流源或磁流源的激勵(lì)，如圖3.5-6所示。由位于z1和z2兩截面之間的電流源J在波導(dǎo)中將產(chǎn)生向+z方向傳輸?shù)膱鯡+、H+和向-z方向傳輸?shù)膱鯡-、H-。它們可以用波導(dǎo)正規(guī)模表示如下:(3.5-5a)(3.5-5b)(3.5-5c)(3.5-5d)式中足標(biāo)n表示第n個(gè)TE模或TM模。應(yīng)用羅侖茲(Lorentz)互易定理(注意到此時(shí)磁流源M1=M2=0):(3.5-6)式中，S是包圍源體積V的封閉表面，Ei、Hi是由電流源Ji(i=1或2)產(chǎn)生的場。圖3.5-6任意電流源或磁流源的激勵(lì)取體積V為z1和z2橫截面及波導(dǎo)壁之間的區(qū)域，令E1=E±，H1=H±，E2、H2為-z方向傳輸?shù)牡趎個(gè)正規(guī)模:代入互易定理式(3.5-6),注意到J1=J，J2=0，則得(3.5-7)考慮到在波導(dǎo)壁上切向電場為零，而在波導(dǎo)截面上波導(dǎo)正規(guī)模是正交的，則可由式(3.5-7)求得向+z方向傳輸?shù)牡趎正規(guī)模的振幅系數(shù)為(3.5-8)式中(3.5-9)是正比于第n正規(guī)模功率流的歸一化常數(shù)。若以

重復(fù)上述步驟，可得向-z方向傳輸?shù)牡趎正規(guī)模的振幅系數(shù)為(3.5-10)類似的推導(dǎo)可得到磁流源M激勵(lì)的向+z和-z方向傳輸?shù)牡趎正規(guī)模的振幅系數(shù)分別為(3.5-11)(3.5-12)式中Pn如式(3.5-9)所示。圖3.5-7矩形波導(dǎo)寬邊中心處的均勻電流探針激勵(lì)

例3.5-1

求圖3.5-7所示探針激勵(lì)矩形波導(dǎo)中+z和-z方向傳輸?shù)腡E10模的振幅與探針處的輸入電阻。假定此波導(dǎo)中只能傳輸TE10模。

解假定探針無限細(xì)，則其上電流密度可以表示成

TE10模的模式函數(shù)為式中Z1=k0η0/β1是TE10模的波阻抗。由式(3.5-9)，歸一化常數(shù)為由式(3.5-8)，振幅系數(shù)為由式(3.5-10)，振幅系數(shù)可求得為波導(dǎo)中TE10模的傳輸功率為于是探針的輸入電阻為

例3.5-2

求圖3.5-8(a)所示矩形波導(dǎo)端壁處小半環(huán)激勵(lì)的正向傳輸TE10模的振幅系數(shù)。圖3.5-8(a)矩形波導(dǎo)端壁處的半環(huán);(b)環(huán)的鏡像

解根據(jù)鏡像原理，圖3.5-8(a)所示端壁上的電流為I0的半環(huán)，可用去掉端壁的電流I0全環(huán)來代替，如圖3.5-8(b)所示。假定電流很小，則可等效為一磁偶極矩:此Pm與等效磁流密度M的關(guān)系是M=jωμ0Pm因此得到此環(huán)的等效磁流密度

TE10模的橫向磁場模式函數(shù)為由式(3.5-11)，便得到正向TE10模的振幅系數(shù)為

3.波導(dǎo)的孔激勵(lì)波導(dǎo)或其它導(dǎo)行系統(tǒng)也常用小孔或縫來激勵(lì)。用小孔或縫激勵(lì)可構(gòu)成定向耦合器和功率分配器等元件。要嚴(yán)格求解小孔激勵(lì)的場很困難，作為一級(jí)近似，小孔可以等效為一無限小的電偶極子和一無限小的磁偶極子。這樣就可以用上述結(jié)果來求其等效電流產(chǎn)生的場。圖3.5-9(a)表示小孔的電場耦合情況:法向電場通過小孔的激勵(lì)可用兩個(gè)相反方向的無限小電極化電流Pe來等效。此極化電流的強(qiáng)度與法向電場成正比，即

(3.5-13)式中，比例常數(shù)αe為小孔的電極化率，(x0,y0,z0)是小孔中心的坐標(biāo)。圖3.5-9小孔耦合及其等效(a)電場耦合;(b)磁場耦合圖3.5-9(b)表示小孔的磁場耦合情況:切向磁場通過小孔的激勵(lì)可用兩個(gè)相反方向的無限小極化磁流Pm來等效，而Pm=-αmHtanδ(x-x0)δ(y-y0)δ(z-z0)

(3.5-14)式中比例常數(shù)αm為小孔的磁極化率。

αe和αm是取決于小孔形狀和尺寸的常數(shù)。小圓孔的

，r0為小孔的半徑。

根據(jù)麥克斯韋方程可以證明，Pe和Pm分別與電流源J和磁流源M相當(dāng)，其等效關(guān)系為J=jωPeM=jωμ0Pm

(3.5-15)這樣我們就可以利用式(3.5-8)、(3.5-10)、(3.5-11)和式(3.5-12)來計(jì)算小孔激勵(lì)的場。下面以矩形波導(dǎo)橫向壁和寬邊壁上的小孔為例來說明上述結(jié)果的應(yīng)用。

(1)波導(dǎo)橫向膜片上的小孔考慮圖3.5-10(a)所示橫向膜片中央處的小圓孔，假定波導(dǎo)中僅傳輸TE10模。此模從z＜0入射到橫向膜片引起反射，在z＜0區(qū)域形成駐波場:(3.5-16)圖3.5-10波導(dǎo)橫向膜片中心的小圓孔(a)結(jié)構(gòu)示意圖;(b)小孔封閉以等效磁偶極子代替后的場;(c)小孔等效磁偶極子激勵(lì)的z＜0區(qū)域中的場;(d)小孔等效磁偶極子激勵(lì)的z＞0區(qū)域中的場式中β和Z10分別是TE10模的傳播常數(shù)和波阻抗。由式(3.5-13)和式(3.5-14)可求得小孔的等效電極化和磁極化電流為

(3.5-17)由式(3.5-15)求得等效磁流密度為(3.5-18)波導(dǎo)橫向膜片兩側(cè)區(qū)域中的場，可以看成是小孔封閉由-Pm和Pm產(chǎn)生的散射場，如圖3.5-10(b)所示。根據(jù)鏡象原理，波導(dǎo)壁的作用將使偶極子強(qiáng)度加強(qiáng)，于是小孔激勵(lì)的向-z和+z方向的場等效為-2Pm和2Pm產(chǎn)生的場，如圖3.10(c)、(d)所示。這樣，將式(3.5-18)代入式(3.5-11)和式(3.5-12)便得到向+z和-z方向傳輸?shù)腡E10模的振幅系數(shù)為(3.5-19)式中已代入。最后得到波導(dǎo)中完整的場為(3.5-20)和(3.5-21)波的反射系數(shù)和傳輸系數(shù)為(3.5-22)此波導(dǎo)橫向膜片上的小孔可等效為歸一化電納jb，如圖3.5-11所示。則由此膜片引起的反射系數(shù)為若此并聯(lián)電納很大(低阻抗)，則?？山票硎緸?3.5-23)與式(3.5-22)相比看出，小孔等效為一歸一化感性電納:(3.5-24)圖3.5-11橫向膜片上小孔的等效電路

(2)波導(dǎo)寬壁上的小孔如圖3.5-12所示，兩平行矩形波導(dǎo)公共寬壁中心有一小圓孔，假設(shè)TE10模從下面的波導(dǎo)①口入時(shí)，需要計(jì)算上面波導(dǎo)中的耦合場。圖3.5-12波導(dǎo)公共寬壁上的小孔圓耦合入射場可以寫成(3.5-25)則在小孔中心處(x=a/2，y=b，z=0)的激勵(lì)場為(3.5-26)由式(3.5-13)、(3.5-14)和式(3.5-15)，耦合到上面波導(dǎo)中的等效電流和磁流為(3.5-27)假設(shè)上面波導(dǎo)中的場為(3.5-28)(3.5-29)其中正向和反向傳輸波的振幅系數(shù)和可分別由式(3.5-8)、(3.5-11)和式(3.5-10)、(3.5-12)求得為(3.5-30)(3.5-31)式中P10=ab/Z10。結(jié)果表明寬壁中心處的小孔因既有Ey分量耦合，又有Hx分量耦合，分別等效為一個(gè)電偶極子和一個(gè)磁偶極子;電偶極子在上面波導(dǎo)的兩個(gè)方向激勵(lì)相同的場，而磁偶極子在兩個(gè)方向激勵(lì)大小相等極化相反的場。這樣，在③口方向的場相互加強(qiáng)，而在④口方向的場則相互削弱;若上面的波導(dǎo)相對(duì)下面的波導(dǎo)旋轉(zhuǎn)一定角度θ，④口方向的場將相互抵消，從而在上面的波導(dǎo)獲得定向傳輸，構(gòu)成所謂波導(dǎo)定向耦合器。本章提要關(guān)鍵詞:規(guī)則波導(dǎo)、矩形波導(dǎo)、圓波導(dǎo)、同軸線、TE模、TM模、傳輸條件與截止、主模、模式簡并。

1.規(guī)則金屬波導(dǎo)不能傳輸TEM模。其基本波型是TE模和TM模，并有無窮多種結(jié)構(gòu)不同的模式，即TEmn模和TMmn模。它們構(gòu)成規(guī)則金屬波導(dǎo)的正交完備模系。只有滿足條件λc＞λ或fc＜f的模才能在相應(yīng)波導(dǎo)中傳輸;導(dǎo)模的截止則是由于消失模的出現(xiàn)。

2.矩形波導(dǎo)是厘米波段和毫米波段使用最多的導(dǎo)行系統(tǒng)，使用時(shí)幾乎都是以主模TE10模工作。

3.圓波導(dǎo)具有加工方便、損耗低等優(yōu)點(diǎn)。其有用模式主要是TE11、TM01和TE01模。TE11模是圓波導(dǎo)的主模，但因具有極化簡并現(xiàn)象，使圓波導(dǎo)不宜用作傳輸系統(tǒng)。利用這三個(gè)模場結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)所構(gòu)成的一些特殊用途元件，在微波技術(shù)中有著很重要的應(yīng)用。

4.同軸線的主模是TEM模，可寬頻帶工作，廣泛用做寬頻帶饋線和寬帶元件。但在一定尺寸條件下，同軸線中會(huì)出現(xiàn)高次模。最低型高次模是TE11模，其λc=π(a+b)。因此，保證同軸線以TEM模工作的條件是λmin＞π(a+b)，由此得到同軸線的最高工作頻率fmax≤0.95fcTE11。

5.金屬波導(dǎo)中的微波能量是用激勵(lì)方式產(chǎn)生的。常用的激勵(lì)方法是探針激勵(lì)、環(huán)激勵(lì)、直接過渡和小孔(或縫)激勵(lì)。本章分析得到任意電流源、磁流源與小孔激勵(lì)的特定正規(guī)模振幅系數(shù)的近似公式。習(xí)題

3-1試定性解釋為什么空心金屬波導(dǎo)中不能傳輸TEM波。

3-2矩形波導(dǎo)的尺寸a為8cm，b為4cm，試求頻率分別為3GHz和5GHz時(shí)該波導(dǎo)能傳輸哪些模。

3-3尺寸為22.9×10.2mm2的空氣矩形波導(dǎo)以主模傳輸8.20GHz和12.40GHz的微波能量，求四個(gè)最低模式的截止頻率，并求此兩頻率時(shí)主模的λg/λ值。

3-4采用BJ-32作饋線:①當(dāng)工作波長為6cm時(shí)，波導(dǎo)中能傳輸哪些模②測得波導(dǎo)中傳輸TE10模時(shí)相鄰兩波節(jié)點(diǎn)之間的距離為10.9cm，求λg和λ0;③設(shè)工作波長為10cm，求導(dǎo)模的λc、λg、vp和vg。

3-5試以TE10模為例，證明波導(dǎo)中的能量傳播速度與群速度相等。

3-6尺寸為7.214×3.404cm2的矩形波導(dǎo)，工作頻率為5GHz，求TE10、TE01、TE11和TE02模的傳播常數(shù)和相速度。

3-7用BJ-100波導(dǎo)以主模傳輸10GHz的微波信號(hào):①求λc、λg、β和Zw;②若波導(dǎo)寬邊尺寸增大一倍，問上述各量如何變化③若波導(dǎo)窄邊尺寸增大一倍，上述各量又將如何變化④若尺寸不變，工