PageSeq2026高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題106講52.數(shù)列中的不定方程含答案52.數(shù)列中的不定方程問(wèn)題數(shù)列中的子列存在性問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化成一個(gè)不定方程問(wèn)題來(lái)求解，此時(shí)把握住不定方程中數(shù)的離散性特征，通常配合一定的方法即可有效解決，本文梳理了幾類常見(jiàn)的求解方法，供大家參考.1.因式分解法通過(guò)對(duì)所求不定方程進(jìn)行因式分解，對(duì)另一側(cè)的常數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解，進(jìn)而將不定方程拆成多個(gè)方程的方程組，利用整數(shù)的離散性，進(jìn)而解出變量.設(shè)是各項(xiàng)均不為零的項(xiàng)等差數(shù)列，且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列（按原來(lái)的順序）是等比數(shù)列：求證：對(duì)于給定的正整數(shù),存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)(按原來(lái)順序)都不能組成等比數(shù)列.證明：假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)，存在一個(gè)公差為的項(xiàng)等差數(shù)列，其中為成等比數(shù)列的三項(xiàng)，則，即，化簡(jiǎn)得.①由知，與同時(shí)為或同時(shí)不為；當(dāng)與同時(shí)為時(shí)，有，與題設(shè)矛盾.故與同時(shí)不為，所以由①得因?yàn)椋覟檎麛?shù)，于是，對(duì)于任意的正整數(shù)，只要為無(wú)理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列.例2已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出所有的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析（1），過(guò)程略.假設(shè)存在正整數(shù)，，使得成等比數(shù)列，則，即，所以，即，即.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)槭钦麛?shù)，所以等式不成立，故不存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列.例3．已知等差數(shù)列的公差，設(shè)的前項(xiàng)和為，，．（1）求及；（2）求，的值，使得．解：（1）由，得，，即，化為，解得或，又公差，則，所以．（2）由（1）得，，由得，，即，又，，則，或，下面分類求解：當(dāng)時(shí)，，解得，；當(dāng)時(shí)，，解得，，故舍去；當(dāng)時(shí)，，解得，故舍去；當(dāng)時(shí)，，解得，，故舍去；綜上得，，．2.不等式分析法很多存在性問(wèn)題，其中的項(xiàng)數(shù)均有范圍，此時(shí)將一個(gè)字母視為變量（其余視為參數(shù)）并進(jìn)行參變分離，求出含變量函數(shù)的值域，進(jìn)而將參數(shù)置于一個(gè)范圍內(nèi)，再利用整數(shù)離散性求得參數(shù)的值.例4．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得，解得，；（2），，，若，則，整理得，又，，整理得，解得，又，，，∴存在滿足題意．例5．已知數(shù)列是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且滿足，．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和；（2）在數(shù)列中，是否存在正整數(shù)，，使得，，依次成等比數(shù)列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：（1）：時(shí)，，解得．時(shí)，，，解得或．時(shí)，，舍去．．，由，（2）由（1）知，，，，若，，依次成等比數(shù)列，則，整理可得，，解得，又，且，所以，此時(shí)．故可知：當(dāng)且僅當(dāng)，使數(shù)列中的，，成等比數(shù)列．例6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足且．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)，，，使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求出，，的關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：（1），．（2）由（1）知是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，．假設(shè)數(shù)列中存在不同的三項(xiàng)，，，使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列，．即．．即．，，，互不相同，不妨設(shè)，則，，與矛盾，數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)，，，使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列．存在或，使得，，成等差數(shù)列．3.奇偶分析法奇偶分析對(duì)于某些不定方程，可從不定方程等式兩邊的符號(hào)和奇偶性角度分析，尋求矛盾來(lái)否定存在性，或構(gòu)造等量關(guān)系來(lái)肯定存在性.例7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列滿足，且.求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；是否存在正整數(shù)，使成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：（1）（2）假設(shè)存在正整數(shù)，使成等差數(shù)列，則，即.若為偶數(shù)，則為奇數(shù)，而為偶數(shù)，上式不成立.若為奇數(shù)，設(shè)，則，于是，即.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與矛盾；當(dāng)時(shí)，上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，顯然不成立.綜上所述，滿足條件的正整數(shù)不存在.例8．在數(shù)列中，，．（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）中是否存在不同的三項(xiàng)，，，，恰好成等差數(shù)列？若存在，求出，，的關(guān)系；若不存在，說(shuō)明理由．解析：（1），又，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得．假設(shè)中是否存在不同的三項(xiàng)，，，，恰好成等差數(shù)列，不妨設(shè)，則，于是，所以．因，，，且，所以是奇數(shù)，是偶數(shù)，不可能成立，所以不存在不同的三項(xiàng)，，成等差數(shù)列．4.函數(shù)值域法可將所求不定方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)是自變量，一個(gè)是因變量的函數(shù)形式，利用函數(shù)求值域的方法找到可能的結(jié)果.例9.設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；（2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng).

解析：（1）設(shè)的公比為，則有，解得，或（舍．則，，．即數(shù)列和的通項(xiàng)公式為，．（2），令，所以，如果是數(shù)列中的項(xiàng)，設(shè)為第項(xiàng)，則有，那么為小于等于5的整數(shù)，所以，，1，．當(dāng)或時(shí)，，不合題意；當(dāng)或時(shí)，，符合題意．所以，當(dāng)或時(shí)，即或時(shí)，是數(shù)列中的項(xiàng)53.數(shù)列增減項(xiàng)問(wèn)題及應(yīng)用一．基本原理1.添加項(xiàng)問(wèn)題給定兩個(gè)數(shù)列，增添項(xiàng)問(wèn)題一般的形式為在數(shù)列中，將第項(xiàng)之間插入個(gè)（個(gè)）相同的數(shù)，或者其他的形式，構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.此時(shí)求和的方法就是分組（并項(xiàng)）求和，需要解決兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：第一個(gè)是數(shù)列的前項(xiàng)和有多少，第一個(gè)是數(shù)列的前項(xiàng)和有多少個(gè)插入項(xiàng)，第一個(gè)問(wèn)題很好計(jì)數(shù)，第二個(gè)問(wèn)題就涉及到先對(duì)求和，估計(jì)出最大的值，然后再確定會(huì)有多少個(gè)，最后分組求和即可.特別地，在求和項(xiàng)數(shù)較少的條件下，枚舉也是一個(gè)很好的方法.2.刪減項(xiàng)問(wèn)題給定兩個(gè)數(shù)列，刪減項(xiàng)問(wèn)題一般的形式為在數(shù)列中，刪掉后構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)中，有可能只是中的個(gè)別項(xiàng)被刪掉（類似函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題），或者有明顯的規(guī)律，核心就是做估計(jì)和找規(guī)律.3.方法點(diǎn)撥：這類問(wèn)題把握好兩點(diǎn)，先枚舉找規(guī)律，再做好滿足題意的估計(jì)，最后利用相關(guān)數(shù)列的求和公式分組求和即可.二．典例分析例1．某中學(xué)響應(yīng)政府號(hào)召，積極推動(dòng)“公益一小時(shí)”，鼓勵(lì)學(xué)生利用暑假時(shí)間積極參與社區(qū)服務(wù)，為了保障學(xué)生安全，與社區(qū)溝通實(shí)行點(diǎn)對(duì)點(diǎn)服務(wù)．原計(jì)劃第一批派遣18名學(xué)生，以后每批增加6人．由于志愿者人數(shù)暴漲，學(xué)校與社區(qū)臨時(shí)決定改變派遣計(jì)劃，具體規(guī)則為：把原計(jì)劃擬派遣的各批人數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列記為，在數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)與之間插入個(gè)2，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．按新數(shù)列的各項(xiàng)依次派遣支教學(xué)生．記為派遣了50批學(xué)生后參加公益活動(dòng)學(xué)生的總數(shù)，則的值為（

）A．198 B．200 C．240 D．242解析：由已知原計(jì)劃第一批派遣18名學(xué)生，以后每批增加6人．所以數(shù)列為等差數(shù)列，且，數(shù)列的公差，所以,數(shù)列為數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)與之間插入個(gè)2所得，所以數(shù)列滿足條件，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的前項(xiàng)的和為，故選：B.例2．已知數(shù)列滿足，在，之間插入首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A．105 B．125 C．220 D．240解析：由題意可得數(shù)列為：，記數(shù)列中及其后連續(xù)項(xiàng)的和為，則，則.故選：B.例3．已知數(shù)列滿足，在和之間插入個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前18項(xiàng)的和為（

）A．43 B．44 C．75 D．76解析：在，之間插入個(gè)1，構(gòu)成數(shù)列，所以共有個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由于，所以．故選：C.例4．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，對(duì)于任意的，均有，.若在數(shù)列中去掉的項(xiàng)，余下的項(xiàng)組成數(shù)列，則（

）A．599 B． C．554D．568解析：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即，所以，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，即，所以，，由得，所以，所以.故選：D.例5．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)順序不變，對(duì)任意的，在數(shù)列的與項(xiàng)之間，都插入個(gè)相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，則（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．8192解析：插入組共個(gè)，∵，∴前面插入12組數(shù)，最后面插入9個(gè)．，∵，∴，又?jǐn)?shù)列的前13項(xiàng)和為故選：C．例6．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，在數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)與之間插入個(gè)4，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記新數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為_(kāi)_________解析：因?yàn)榕c之間插入個(gè)4，，，，，，其中，之間插入2個(gè)4，，之間插入4個(gè)4，，之間插入8個(gè)4，，之間插入16個(gè)4，，之間插入32個(gè)4，由于，故數(shù)列的前60項(xiàng)含有的前5項(xiàng)和55個(gè)4，故.故答案為：370.例7．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在任意相鄰兩項(xiàng)與（其中）之間插入個(gè)3，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的值．解析：（1）由題設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由題意，在到之間3的個(gè)數(shù)為，故在處共有個(gè)元素，所以前36項(xiàng)中含及31個(gè)3，故.例8．已知是等差數(shù)列，是公比不為1的等比數(shù)列，，，，且是與的等差中項(xiàng)．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式．（2）若對(duì)于數(shù)列、，在和之間插入個(gè)，組成一個(gè)新的數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，，由，則，故，所以，則，由，則，又由是與的等差中項(xiàng)，所以，即，解得或（舍去），故，（2）根據(jù)題意可得，則，故，則，故當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，成立，所以共有項(xiàng)，共有個(gè)，則例9．已知等比數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列，記．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若在數(shù)列任意相鄰兩項(xiàng)之間插入一個(gè)實(shí)數(shù)，從而構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．若實(shí)數(shù)滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由于成等差數(shù)列，所以，則，由于，解得，所以，則.（2）由（1）得，則，所以，所以.例10．已知是正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和