PageSeq2026高考數(shù)學一輪復習微專題106講66.利用空間向量解決最值(范圍)問題含答案66.利用空間向量求最值或范圍問題本節(jié)的關鍵就是在前面空間角度計算的公式之上將所需問題表征成動點的函數(shù)關系來處理.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l．(1)證明：l⊥平面PDC；(2)已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．解析：（1）證明：在正方形中，，因為平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，因為在四棱錐中，底面是正方形，所以且平面，所以因為，所以平面；（2）如圖建立空間直角坐標系，因為，則有，設，則有，設平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于，當且僅當時取等號，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為．例2.已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點．（1）證明：；（2）當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?解析：（1）因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因為，，所以，又，所以平面．所以兩兩垂直．以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖．所以，．由題設（）．（1）因為，所以，所以．（2）設平面的法向量為，因為，所以，即．令，則因為平面的法向量為，設平面與平面的二面角的平面角為，則．當時，取最小值為，此時取最大值為．所以.例3．馬戲團的表演場地是一個圓錐形棚，如圖，為棚頂，是棚底地面的中心，為棚底直徑，，是棚底的內接正三角形，中間的支柱米，從支柱上的點向棚底周圍拉了4根繩子供動物攀爬表演，有一個節(jié)目表演的是猴子從點沿著繩子爬到點，再沿著爬到棚頂，然后從棚頂跳到中的某一根繩子上.（1）當點取在距離點米處時，證明拉繩所在直線和平面垂直；（2）經驗表明當拉繩所在直線和平面所成角的正弦值最大時，節(jié)目的觀賞性最佳，問此時應該把點取在什么位置.解析：（1）因為，，所以是正三角形，則，易知底面圓，而底面圓，所以，又在中，，所以，因為是正三角形，所以，且，，所以，，同理可證，又，平面，所以平面，即拉繩所在直線和平面垂直；（2）如圖，建立以為原點的空間直角坐標系，設，所以設平面的法向量為，則，令，則，故，設直線和平面所成的角為，則，當且僅當，即米時，拉繩所在直線和平面所成角的正弦值最大，故應該把點取在距離點米67.立體幾何中的軌跡問題一．武漢調考題匯編例1．（2023屆武漢二月調考）設是半徑為3的球體表面上兩定點，且，球體表面上動點滿足，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．解析：以所在的平面建立直角坐標系，為軸，的垂直平分線為軸，，則，，設，，則，整理得到，故軌跡是以為圓心，半徑的圓.轉化到空間中：當繞為軸旋轉一周時，不變，依然滿足，故空間中的軌跡為以為球心，半徑為的球，同時在球上，故在兩球的交線上，即為一個圓.球心距為，故而為直角三角形，對應圓的半徑為，周長為.故選：D點評：以阿氏球為背景考查了空間軌跡問題，對空間想象能力提出了很高的要求.例2.（2024屆武漢二月調考）在三棱錐中，，，，，且，則二面角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．解析：（方法1）因為，所以，點的軌跡方程為（橢球），

又因為，所以點的軌跡方程為，（雙曲線的一支）.過點作，而面，所以面，

設為中點，則二面角為，直角坐標系內設點、為焦點，則點的軌跡為橢圓方程為，點的軌跡為雙曲線一支方程為，過點作交于點，連接，將面沿直線折成二面角，則為二面角的平面角.設點橫坐標為，則，則于是可得：由于.（方法2）因為，所以，點的軌跡方程為（橢球），

又因為，所以點的軌跡方程為，（雙曲線的一支）.過點作，而面，所以面，

設為中點，則二面角為，所以不妨設，所以，所以，令，所以，等號成立當且僅當，所以當且僅當時，.故選：A.點評：以動點的軌跡約束范圍構建二面角的目標函數(shù)，對空間想象能力和空間與平面的轉化要求都很高.二．相關高考題目溯源例3.（2020新高考1卷16題）已知直四棱柱的棱長為2，，以為球心，為半徑的球面與側面的交線長為_________.解析：（方法1）如圖：解析：取的中點為，的中點為，的中點為，因為60°，直四棱柱的棱長均為2，所以△為等邊三角形，所以，<找到球在這個面的邊界點（利用已知數(shù)據(jù)計算）>.，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因為，所以側面，設為側面與球面的交線上的點，則，因為球的半徑為，，所以，所以側面與球面的交線上的點到的距離為，因為，所以側面與球面的交線是扇形的弧，因為，所以，所以根據(jù)弧長公式可得.故答案為：.（方法2）建立如圖1所示的直角坐標系，由已知條件，，則各點坐標分別為：.那么，設為面的法向量，則可得：，故面的方程為：，整理可得：①.而球的方程為：②.根據(jù)球的截面性質，先計算球心到平面的距離，根據(jù)公式可知：.進一步，假設球心在平面的小圓半徑為，則.最后，為了算得截線長，我們假設球心在小圓面的投影為，經過分析，球與面的交點在側棱上，設交點分別為.則聯(lián)立①②，以及，我們可計算得坐標分別為：，于是，那么，，則球與面的截線為例4.（2021年新高考1卷）在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（）A.當時，的周長為定值B.當時，三棱錐的體積為定值C.當時，有且僅有一個點，使得D.當時，有且僅有一個點，使得平面解析：易知，點在矩形內部（含邊界）．對于A，當時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當時，，取，中點分別為，，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；對于D，當時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確．故選：BD．三．習題演練1．已知平面上兩定點、，則所有滿足（且）的點的軌跡是一個圓心在上，半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知棱長為3的正方體表面上動點滿足，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．解析：在平面中，圖①中以B為原點以AB為x軸建系如圖，設阿氏圓圓心,半徑為，，設圓O與AB交于M,由阿氏圓性質知，，，P在空間內軌跡為以O為球心半徑為2的球，若P在四邊形內部時如圖②,截面圓與分別交于M，R，所以P在四邊形內的軌跡為，在中，，所以，當P在面內部的軌跡長為，同理，當P在面內部的軌跡長為，當P在面時,如圖③所示，面，平面截球所得小圓是以B為圓心，以BP為半徑的圓，截面圓與分別交于，且，所以P在正方形內的軌跡為，所以，綜上：P的軌跡長度為.故選：C2．在三棱錐中，，直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，則點在所在平面內的射影的軌跡長為_