2025年參數(shù)方程題庫及答案

一、單項選擇題1.方程$2x+3=5x-1$的解是（）A.$x=\frac{4}{3}$B.$x=\frac{2}{3}$C.$x=\frac{3}{4}$D.$x=\frac{3}{2}$答案：A2.已知方程$3x+a=2$的解是$x=1$，則$a$的值為（）A.$1$B.$-1$C.$5$D.$-5$答案：B3.方程$x^2-3x=0$的解是（）A.$x=0$B.$x=3$C.$x=0$或$x=3$D.$x=0$且$x=3$答案：C4.用配方法解方程$x^2+4x-1=0$，配方后得到的方程是（）A.$(x+2)^2=5$B.$(x-2)^2=5$C.$(x+2)^2=3$D.$(x-2)^2=3$答案：A5.方程$x^2-5x+6=0$的兩個根是（）A.$x_1=1$，$x_2=6$B.$x_1=2$，$x_2=3$C.$x_1=-2$，$x_2=-3$D.$x_1=-1$，$x_2=-6$答案：B6.若關(guān)于$x$的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的兩個根分別為$x_1=1$，$x_2=2$，那么拋物線$y=x^2+bx+c$的對稱軸為直線（）A.$x=1$B.$x=2$C.$x=\frac{3}{2}$D.$x=\frac{1}{2}$答案：C7.方程組$\begin{cases}x+y=3\\2x-y=6\end{cases}$的解是（）A.$\begin{cases}x=3\\y=0\end{cases}$B.$\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}$C.$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$D.$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$答案：A8.分式方程$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}$的解是（）A.$x=2$B.$x=-2$C.$x=1$D.$x=-1$答案：A9.若關(guān)于$x$的方程$kx^2-4x+3=0$有實數(shù)根，則$k$的取值范圍是（）A.$k\leq\frac{4}{3}$且$k\neq0$B.$k\lt\frac{4}{3}$且$k\neq0$C.$k\leq\frac{4}{3}$D.$k\lt\frac{4}{3}$答案：C10.方程$|x-3|=5$的解是（）A.$x=8$B.$x=-2$C.$x=8$或$x=-2$D.無解答案：C二、多項選擇題1.下列方程中，是一元一次方程的有（）A.$2x-3=1$B.$x+2y=5$C.$\frac{1}{x}+3=0$D.$x^2-2x=0$E.$3x-7=8$答案：AE2.以下哪些是二元一次方程組（）A.$\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}$B.$\begin{cases}x^2+y=3\\x-y=0\end{cases}$C.$\begin{cases}x+y=4\\xy=3\end{cases}$D.$\begin{cases}x=2y\\3x-y=5\end{cases}$E.$\begin{cases}x+\frac{1}{y}=2\\x-y=1\end{cases}$答案：AD3.一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$），當(dāng)判別式$\Delta=b^2-4ac\gt0$時，方程（）A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.根的情況不確定E.兩個根為$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$答案：AE4.用因式分解法解方程$x^2-3x-10=0$，可以分解為（）A.$(x-5)(x+2)=0$B.$(x+5)(x-2)=0$C.$x(x-3)-10=0$D.$(x-5)(x-2)=0$E.$(x+5)(x+2)=0$答案：A5.下列方程中，有實數(shù)解的是（）A.$x^2+1=0$B.$\sqrt{x-2}+1=0$C.$\frac{x}{x-1}=\frac{1}{x-1}$D.$x^2-2x-3=0$E.$x^2-4x+4=0$答案：DE6.方程組$\begin{cases}x+y=7\\3x-5y=-3\end{cases}$，求解過程中正確的有（）A.由$x+y=7$得$x=7-y$，代入$3x-5y=-3$，得$3(7-y)-5y=-3$B.由$x+y=7$得$y=7-x$，代入$3x-5y=-3$，得$3x-5(7-x)=-3$C.將$x+y=7$兩邊同時乘以$5$，得$5x+5y=35$，與$3x-5y=-3$相加可消去$y$D.將$3x-5y=-3$兩邊同時乘以$7$，$x+y=7$兩邊同時乘以$3$，再相減可消去$x$E.由$3x-5y=-3$得$x=\frac{5y-3}{3}$，代入$x+y=7$得$\frac{5y-3}{3}+y=7$答案：ABCE7.關(guān)于$x$的方程$mx^2-2x+1=0$有實數(shù)根，則$m$的取值可以是（）A.$0$B.$1$C.$-1$D.$2$E.$3$答案：ABC8.若方程$x^2-2x+k=0$的一個根是$3$，則（）A.$k=-3$B.方程的另一個根是$-1$C.方程的另一個根是$1$D.$k=3$E.方程的判別式$\Delta=16$答案：ABE9.方程$x^2-4x+4=0$的特點有（）A.可以用直接開平方法求解B.可以用因式分解法求解C.判別式$\Delta=0$D.有兩個相等的實數(shù)根E.根為$x=2$答案：ABCDE10.以下方程變形正確的有（）A.方程$2x+3=5$，移項得$2x=5-3$B.方程$3x-2=4x+1$，移項得$3x-4x=1+2$C.方程$\frac{1}{2}x=3$，兩邊同時乘以$2$得$x=6$D.方程$2(x-1)=3$，去括號得$2x-2=3$E.方程$\frac{x+1}{3}=2$，兩邊同時乘以$3$得$x+1=6$答案：ABCDE三、判斷題1.方程$3x-7=8$的解是$x=5$。（）答案：√2.方程$x^2+1=0$在實數(shù)范圍內(nèi)有解。（）答案：×3.方程組$\begin{cases}x+y=3\\xy=2\end{cases}$是二元一次方程組。（）答案：×4.一元二次方程$2x^2-3x+1=0$的二次項系數(shù)是$2$，一次項系數(shù)是$-3$，常數(shù)項是$1$。（）答案：√5.方程$\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x}$去分母后得到$x=3(x-2)$。（）答案：√6.用配方法解方程$x^2-4x+1=0$，配方后為$(x-2)^2=3$。（）答案：√7.方程$|x|=-1$無解。（）答案：√8.若關(guān)于$x$的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的一個根是$1$，則$1+b+c=0$。（）答案：√9.方程$x^2-6x+9=0$有兩個相等的實數(shù)根。（）答案：√10.方程組$\begin{cases}x+y=4\\x-y=2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$。（）答案：√四、簡答題1.解一元一次方程$3x-7=8$。答案：首先進(jìn)行移項，將常數(shù)項移到等號右邊，得到$3x=8+7$，即$3x=15$。然后兩邊同時除以$3$，可得$x=15\div3=5$。所以該方程的解為$x=5$。2.用因式分解法解一元二次方程$x^2-5x+6=0$。答案：對$x^2-5x+6$進(jìn)行因式分解，可得$(x-2)(x-3)=0$。那么$x-2=0$或者$x-3=0$。當(dāng)$x-2=0$時，$x=2$；當(dāng)$x-3=0$時，$x=3$。所以方程的解為$x_1=2$，$x_2=3$。3.解方程組$\begin{cases}2x+y=5\\x-y=1\end{cases}$。答案：將兩個方程相加，可消去$y$。即$(2x+y)+(x-y)=5+1$，$2x+y+x-y=6$，$3x=6$，解得$x=2$。把$x=2$代入$x-y=1$中，得到$2-y=1$，解得$y=1$。所以方程組的解為$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$。4.求方程$x^2-4x-5=0$的判別式的值，并判斷根的情況。答案：對于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$），判別式$\Delta=b^2-4ac$。在方程$x^2-4x-5=0$中，$a=1$，$b=-4$，$c=-5$。則$\Delta=(-4)^2-4\times1\times(-5)=16+20=36$。因為$\Delta=36\gt0$，所以該方程有兩個不相等的實數(shù)根。五、討論題1.討論一元一次方程和一元二次方程在解法和應(yīng)用上的區(qū)別與聯(lián)系。答案：解法上，一元一次方程通過移項、化簡等步驟求解；一元二次方程有直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法等。聯(lián)系在于都旨在求出未知數(shù)的值。應(yīng)用方面，一元一次方程常用于解決簡單的數(shù)量關(guān)系問題，如行程、工程問題中的單一變量關(guān)系。一元二次方程多應(yīng)用于涉及面積、增長率等復(fù)雜關(guān)系問題。二者都是解決實際數(shù)學(xué)問題和建立數(shù)學(xué)模型的重要工具，只是適用場景和復(fù)雜程度不同。2.對于分式方程，為什么要檢驗根的正確性？結(jié)合具體方程說明。答案：分式方程在去分母化為整式方程的過程中，可能會產(chǎn)生增根。因為去分母時方程兩邊同乘了一個含有未知數(shù)的整式，這個整式的值可能為零。例如分式方程$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}$，去分母化為整式方程$x=2(x-1)$，解得$x=2$。但當(dāng)$x=1$時，原分式方程分母為零無意義。所以檢驗根是為了排除增根，確保解是原分式方程的真正解，保證方程的嚴(yán)密性和正確性。3.舉例說明如何根據(jù)實際問題建立方程模型，并求解。答案：比如，一個矩形的面積是50平方米，長比寬多5米，求矩形的長和寬。設(shè)寬為$x$米，則長為$(x+5)$米，根據(jù)矩形面積公式可建立方程$x(x+5)=50$，即$x^2+5x-50=0$。因式分解得$(x-5)(x+10)=0$，解得$x=5$或$x=-10$。因為矩形的寬不能為負(fù)，所以舍去$x=-10$