分式方程典型例題講解與練習(xí)分式方程作為初中代數(shù)的核心內(nèi)容之一，不僅是整式方程的延伸，更在工程效率、行程問題、經(jīng)濟利潤等實際場景中有著廣泛應(yīng)用。掌握分式方程的解法與應(yīng)用，既能深化對“轉(zhuǎn)化思想”的理解，也能提升分析實際問題的能力。本文將通過典型例題的講解，結(jié)合針對性練習(xí)，幫助讀者系統(tǒng)掌握分式方程的核心要點。一、知識回顧：分式方程的定義與解法思路分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)（或含未知數(shù)的整式）的有理方程，例如$\boldsymbol{\frac{2}{x}+3=\frac{5}{x-1}}$。解法核心思路：“轉(zhuǎn)化思想”——通過去分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解。需注意：分式方程的解必須使原方程分母不為零（否則為增根，需舍去），因此求解后必須檢驗。二、典型例題講解（一）基礎(chǔ)分式方程的解法（不含參數(shù)）例題1：解方程$\boldsymbol{\frac{2}{x}+\frac{1}{x-1}=1}$分析：需通過“去分母”轉(zhuǎn)化為整式方程。步驟如下：1.找最簡公分母：觀察分母$x$和$x-1$，最簡公分母為$x(x-1)$（需保證$x\neq0$且$x\neq1$）。2.去分母：方程兩邊同乘$x(x-1)$（每一項都要乘，避免漏項），得：$$2(x-1)+x=x(x-1)$$3.解整式方程：展開并整理：$$2x-2+x=x^2-x$$$$3x-2=x^2-x$$移項得$x^2-4x+2=0$，用求根公式解得$x=\frac{4\pm\sqrt{16-8}}{2}=2\pm\sqrt{2}$。4.檢驗：將$x=2+\sqrt{2}$和$x=2-\sqrt{2}$分別代入最簡公分母$x(x-1)$，分母均不為零（計算略），因此原方程的根為$x=2+\sqrt{2}$和$x=2-\sqrt{2}$。（二）分式方程的增根問題例題2：若分式方程$\boldsymbol{\frac{x}{x-3}-2=\frac{m}{x-3}}$有增根，求$m$的值。分析：增根是“使原方程分母為零的根”，需先確定增根，再代入整式方程求參數(shù)。1.確定增根：原方程分母為$x-3$，令$x-3=0$，得增根$x=3$。2.去分母化整式方程：方程兩邊同乘$x-3$（$x\neq3$），得：$$x-2(x-3)=m$$3.代入增根求參數(shù)：增根$x=3$是整式方程的解，代入得：$$3-2(3-3)=m\impliesm=3$$（三）分式方程的實際應(yīng)用（工程問題）例題3：甲單獨完成一項工程需10天，乙單獨完成需15天。若兩人合作，幾天可完成這項工程？分析：工程問題中，“工作效率=工作總量÷工作時間”，通常設(shè)工作總量為“1”（或具體量）。1.設(shè)未知數(shù)：設(shè)兩人合作需$x$天完成。2.表示工作效率：甲的效率為$\frac{1}{10}$（每天完成$\frac{1}{10}$的工作量），乙的效率為$\frac{1}{15}$。3.列方程：合作時，“甲的工作量+乙的工作量=總工作量（1）”，即：$$\frac{x}{10}+\frac{x}{15}=1$$4.解方程：去分母（同乘30）得$3x+2x=30\implies5x=30\impliesx=6$。5.檢驗：$x=6$時，原方程分母（時間）不為零，且符合實際意義，因此合作需6天。三、針對性練習(xí)（一）基礎(chǔ)解法練習(xí)1.解方程：$\boldsymbol{\frac{3}{x-2}=\frac{2}{x}}$2.解方程：$\boldsymbol{\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-1}=\frac{4}{x^2-1}}$（提示：$x^2-1=(x+1)(x-1)$）（二）增根問題練習(xí)3.若分式方程$\boldsymbol{\frac{1}{x-2}+3=\frac{a-x}{2-x}}$有增根，求$a$的值。（三）實際應(yīng)用練習(xí)4.甲、乙兩人加工同一種零件，甲每小時比乙多加工2個。甲加工30個零件的時間與乙加工20個零件的時間相等，求甲、乙每小時各加工多少個零件？四、總結(jié)：解分式方程的關(guān)鍵步驟1.去分母：找最簡公分母，方程兩邊同乘公分母（每一項都要乘，不含分母的項也需乘），轉(zhuǎn)化為整式方程。2.解整式方程：按整式方程解法求解（注意符號、移項等細節(jié)）。3.檢驗：將整式方程的解代入原方程的分母（或最簡公分母），若分母為零則舍去（增根），否則為原方程的根。4.實際應(yīng)用：找準等量關(guān)系（如工程問題的“工作量和”、行程問題的“路程=速度×?xí)r間”），設(shè)未知數(shù)后列方程，求解后需檢驗是否符合實際意義（如時間、數(shù)量為正）。通過典型例題的拆解與練習(xí)，相信你已對分式方程的解法與應(yīng)用有了更清晰的認識。建議在練習(xí)中多關(guān)注“去分母漏項”“增根檢驗”“實際意義驗證”等易錯點，逐步提升代數(shù)運算與實際建模能力。練習(xí)答案提示（解題思路）：1.最簡公分母$x(x-2)$，去分母得$3x=2(x-2)$，解得$x=-4$（檢驗后成立）。2.最簡公分母$(x+1)(x-1)$，去分母得$(x-1)+2(x+1)=4$，解得$x=1$（檢驗時分母為零，增根，原方程無解）。3.增根為$x=2$，去分母得$1