2026屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)沖刺復(fù)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值1.會利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,解函數(shù)不等式.

2.會求函數(shù)的最值或值域.考點(diǎn)聚焦突破1KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一比較函數(shù)值的大小

D

(2)若a=ln3,b=lg5,c=log126,則(

)A.a>b>c

B.b>c>a C.c>b>a D.a>c>bD思維建模1.若題目條件中有具體的函數(shù),則先判斷已知函數(shù)的單調(diào)性,利用其單調(diào)性比較大小.2.若題目條件中無具體函數(shù),則需根據(jù)數(shù)值的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù),再利用其單調(diào)性比較大小.C

(2)若2x-2y<3-x-3-y,則(

)A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0 C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0A考點(diǎn)二利用單調(diào)性求函數(shù)的最值(值域)C

思維建模利用單調(diào)性求函數(shù)最值(值域)的基本方法(1)對于較為簡單的函數(shù),先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求最值.(2)對于較復(fù)雜函數(shù),可運(yùn)用導(dǎo)數(shù),求出在給定區(qū)間上的極值,最后結(jié)合端點(diǎn)值,求出最值.

1

考點(diǎn)三解函數(shù)不等式例3已知函數(shù)f(x)=lnx+2x,若f(x2-4)<2,則實數(shù)x的取值范圍是

.

思維建模求解函數(shù)不等式,其實質(zhì)是函數(shù)單調(diào)性的逆用,由條件脫去“f”,轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系,應(yīng)注意函數(shù)的定義域.

(-3,1)解析

根據(jù)所給的分段函數(shù),畫出圖象如圖.已知函數(shù)在整個定義域上是單調(diào)遞減的,由f(3-a2)<f(2a)可知,3-a2>2a,解得-3<a<1.微點(diǎn)突破

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性1.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判定原則:同增異減.2.設(shè)復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)],A是y=f[g(x)]定義域的某個區(qū)間,B是u=g(x)的值域; (1)若u=g(x)在A上是增(或減)函數(shù),y=f(u)在B上也是增(或減)函數(shù),則函數(shù)y=f[g(x)]在A上是增函數(shù); (2)若u=g(x)在A上是增(或減)函數(shù),而y=f(u)在B上是減(或增)函數(shù),則函數(shù)y=f[g(x)]在A上是減函數(shù).一、

求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3,g(x)=f(5-x2),試求g(x)的單調(diào)區(qū)間.

A(2)已知函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù),若f(ax2-2x)在(1,+∞)上是增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是

.

(-∞,0]課時對點(diǎn)精練2KESHIDUIDIANJINGLIAN

A

B解析

畫出函數(shù)f(x)的圖象(圖略),結(jié)合圖象可知f(x)在R上是增函數(shù),由f(a+1)≥f(2a-1),得a+1≥2a-1,解得a≤2.3.若函數(shù)f(x)=(m-1)x+1在R上是增函數(shù),則f(m)與f(1)的大小關(guān)系是(

) A.f(m)<f(1) B.f(m)>f(1) C.f(m)≤f(1) D.f(m)≥f(1)B解析

因為f(x)=(m-1)x+1在R上是增函數(shù),所以m>1,故f(m)>f(1).

B解析

易知f(x)是R上的減函數(shù),又π>3>2,故f(π)<f(3)<f(2).5.(2025·伊春調(diào)研)已知函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),若不等式f(-4x+a)>f(-3-x2)對?x∈(3,+∞)恒成立,則a的取值范圍為(

) A.[-1,+∞) B.[3,+∞) C.[0,+∞) D.(1,+∞)C解析

由題意,得-4x+a>-3-x2對?x∈(3,+∞)恒成立,則a>-x2+4x-3對?x∈(3,+∞)恒成立.設(shè)函數(shù)g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,則當(dāng)x>3時,g(x)<0,所以a的取值范圍為[0,+∞).6.已知函數(shù)y=x2-2x+3在區(qū)間[0,m]上有最大值3,最小值2,則實數(shù)m的取值范圍是(

) A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞,2] D.[1,2]D解析

令y=f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2.易知當(dāng)x=1時,f(x)取得最小值f(1)=2.因為f(0)=3,且函數(shù)f(x)在[0,m]上有最大值3,最小值2,由二次函數(shù)圖象的對稱性,知f(2)=f(0)=3,所以1≤m≤2,即實數(shù)m的取值范圍是[1,2].

C

二、多選題8.已知函數(shù)f(x)=-x2+2|x|+1,則下列說法正確的是(

) A.函數(shù)y=f(x)在(-∞,-1]上單調(diào)遞增 B.函數(shù)y=f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減 C.當(dāng)x=0時,函數(shù)y=f(x)有最小值 D.當(dāng)x=-1或x=1時,函數(shù)y=f(x)有最大值A(chǔ)BD解析

因為f(x)=-x2+2|x|+1,

作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,由圖象可知f(x)在(-∞,-1]上單調(diào)遞增,在[-1,0]上單調(diào)遞減,故A,B正確;由圖象可知f(x)在x=-1或x=1時,函數(shù)y=f(x)有最大值,沒有最小值,故C錯誤,D正確.

ACD解析

對于A,y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖①所示),可得函數(shù)的值域為[2,6).

三、填空題10.函數(shù)y=f(x)是定義在[-2,2]上的減函數(shù),且f(a+1)<f(2a),則實數(shù)a的取值范圍是

.

[-1,1)

所以實數(shù)a的取值范圍是[-1,1).

(-∞,-1]∪{0}解析

當(dāng)x≥a時,f(x)=x2-2ax+1圖象的對稱軸方程為x=a,要想f(x)存在最小值,當(dāng)x<a時,f(x)=ax-1單調(diào)遞減,且在x=a處,y=ax-1的函數(shù)值要大于等于y=x2-2ax+1的函數(shù)值,當(dāng)a<0時,需滿足a2-1≥a2-2a2+1,解得a≤-1.

此時f(x)min=-1,符合題意.當(dāng)a>0時,f(x)不存在最小值.綜上,a≤-1或a=0.

(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,求a的取值范圍.

14.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②當(dāng)x>0時,f(x)>-1. (1)求f(0)的值,并證明f(x)在R上是增函數(shù);解

令x=y=0,得f(0)=-1;在R上任取x1,x2,且令x1>x2,則x1-x2>0,f(x1-x2)>-1.又f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2),所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).(2)若f(1)=1,解關(guān)于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x