第8章動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析8.1拉普拉斯變換8.2復(fù)頻域電路模型8.3動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析

重點(diǎn)和難點(diǎn)

1、拉氏變換的定義、求象函數(shù)

2、用部分分式法由象函數(shù)求原函數(shù)

3、將電路的時(shí)域模型轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域模型

4、線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域解法

一個(gè)定義在[0，∞）區(qū)間的時(shí)間函數(shù)f(t)，它的拉普拉斯變換式F(s)定義為8.1拉普拉斯變換8.1.1拉普拉斯變換定義F(s)稱為的象函數(shù)，f(t)稱為的原函數(shù)。s=σ+jω——為復(fù)變量，稱為復(fù)頻率。通常用符號(hào)?[]表示對(duì)方括號(hào)里的時(shí)域函數(shù)作拉式變換。例8-1求單位階躍函數(shù)的象函數(shù)。例8-2求單位沖激函數(shù)的象函數(shù)。例8-3求（α為實(shí)數(shù)）的象函數(shù)。解：解：?解：?8.1.2拉普拉斯變換的性質(zhì)1、線性性質(zhì)設(shè)f1(t)

和f2(t)是兩個(gè)任意的時(shí)間函數(shù)，它們的象函數(shù)分別為F1(s)和F2(s)，A1和A2

是兩個(gè)任意實(shí)常數(shù)，則結(jié)論：若干個(gè)原函數(shù)的線性組合的象函數(shù)，等于各個(gè)原函數(shù)的象函數(shù)的線性組合。例8-4已知，求其象函數(shù)。解根據(jù)線性性質(zhì)例8-5

已知，求其象函數(shù)。解因?yàn)樗?、微分性質(zhì)的像函數(shù)是設(shè)f(t)的象函數(shù)是為F(s)，則其導(dǎo)數(shù)微分性質(zhì)對(duì)于f(t)的二階導(dǎo)數(shù)有以此類推，對(duì)于高階導(dǎo)數(shù)有

例8-6

已知，求其象函數(shù)。解因?yàn)樗?、積分性質(zhì)的像函數(shù)是設(shè)f(t)的象函數(shù)是為F(s)，則其積分例8-7

已知，求其象函數(shù)。解因?yàn)?，而所?、延遲性質(zhì)的像函數(shù)是設(shè)f(t)的象函數(shù)是為F(s)，則其延遲函數(shù)解

根據(jù)拉式變換的線性性質(zhì)和延遲性質(zhì)有例8-8求圖8-1所示矩形脈沖的象函數(shù)。常見時(shí)間函數(shù)的象函數(shù)見書上表8-1。如果象函數(shù)F(s)已知，要求出與它對(duì)應(yīng)的原函數(shù)f(t)，則由F(s)到f(t)的變換稱為拉普拉斯反變換，它定義為8.1.3拉普拉斯反變換式中c為正的有限值常數(shù)。通常用符號(hào)?-1[]表示對(duì)方括號(hào)里的復(fù)變函數(shù)作拉式反變換。

動(dòng)態(tài)電路響應(yīng)的象函數(shù)一般可表示為兩個(gè)實(shí)系數(shù)的s多項(xiàng)式之比，即復(fù)頻率s的有理分式，因此常將其展開成若干簡(jiǎn)單項(xiàng)之和的形式，然后通過(guò)查拉式變換表得到其原函數(shù)，這種方法稱為部分分式展開法。設(shè)s的有理分式如下：用部分分式展開法求原函數(shù)

式中m和n為正整數(shù)，且n≥m。為了將F(s)展開成部分分式，首先將分母D(s)進(jìn)行因式分解D(s)=0的根可以分為單根、共軛復(fù)根和重根的幾種情況。1．單根如果D(s)=0有n個(gè)單根s1、s2、…、sn，則F(s)可以展開成式中A1、A2、…、An為待定系數(shù)，如果將上式兩邊都乘以(s-s1)，再令s=s1，即可求得系數(shù)A1同理可得各待定系數(shù)的計(jì)算公式為k=1、2、……、n由此得F(s)原函數(shù)為f(t)=L例8-9求

的原函數(shù)。解將分母進(jìn)行因式分解得所以D(s)=0的根為s1=-1和s2=-2，將F(s)展開成部分分式為其中原函數(shù)2．共軛復(fù)根如果D(s)=0有一對(duì)共軛復(fù)根s1=α+jω，s2=α-jω，因?yàn)楣曹棌?fù)根也屬于一種單根，因此仍可用上面的方法來(lái)計(jì)算待定系數(shù)由于F(s)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式之比，故A1、A2必為共軛復(fù)數(shù)。設(shè)因此由此得F(s)所對(duì)應(yīng)的原函數(shù)為例8-10

求

的原函數(shù)。解

D(s)=0的根為共軛復(fù)根s1=-1+j2、s2=-1-j2。則F(s)展開式為其中原函數(shù)3．重根如果D(s)=0有重根，假設(shè)D(s)中含有(s-s1)2的因式，s1為D(s)的將上式兩邊乘以(s-s1)2，得當(dāng)s=s1時(shí)，可求出二重根，其余為單根，則F(s)的部分分式為（8-10）當(dāng)s=s1時(shí)，可求出（8-10）將式（8-10）兩邊對(duì)s求一階導(dǎo)數(shù)，則由此可求出其中當(dāng)D(s)=0中含有(s-s1)k因式，s1為D(s)的k階重根時(shí)，則F(s)的部分分式為……例8-11

求

的原函數(shù)。解

D(s)=0的根有s1=0為單根、s2=-2為三重根則F(s)展開式為A1=2.5，A23=-10，A22=-5，A21=-2.5，代入上式原函數(shù)8.2復(fù)頻域電路模型時(shí)域法分析動(dòng)態(tài)電路是根據(jù)電路定律和元件電壓、電流的時(shí)域關(guān)系式建立描述電路的微分方程，求解微分方程即可得到電路變量在時(shí)域的解。動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析是利用電路的復(fù)頻域模型列寫復(fù)頻域電路的代數(shù)方程，求出復(fù)頻域代數(shù)方程的解F(s)，再通過(guò)拉式反變換回到時(shí)域，即可得到時(shí)域形式的解f(t)。本節(jié)介紹復(fù)頻域的電路模型，包括1、基爾霍夫定律的復(fù)頻域形式2、R、L、C元件的復(fù)頻域形式8.2.1基爾霍夫的復(fù)頻域形式基爾霍夫定律的時(shí)域表示形式為對(duì)于任一節(jié)點(diǎn)對(duì)于任一回路

對(duì)上面兩式取拉氏變換可得出基爾霍夫定律的復(fù)頻域形式(或運(yùn)算形式)為對(duì)于任意節(jié)點(diǎn)，流入（或流出）電流的象函數(shù)代數(shù)和等于零；對(duì)于任意閉合回路，各電壓的象函數(shù)代數(shù)和等于零。時(shí)域形式8.2.2電阻的復(fù)頻域形式兩邊取拉氏變換得復(fù)頻域形式復(fù)頻域電路模型8.2.3電感的復(fù)頻域形式時(shí)域形式將上式兩邊進(jìn)行拉式變換并根據(jù)拉式變換的微分性質(zhì)，得復(fù)頻域電路模型sL——為電感元件的運(yùn)算阻抗Li(0-)——附加電壓源電壓，反應(yīng)電感中初始電流的作用上式還可以表示成得另一復(fù)頻域模型復(fù)頻域電路模型——為電感元件的運(yùn)算導(dǎo)納——表示附加電流源的電流8.2.4電容的復(fù)頻域形式時(shí)域形式將上式兩邊進(jìn)行拉式變換并根據(jù)拉式變換的積分性質(zhì)，得復(fù)頻域電路模型——為電容元件的運(yùn)算阻抗——附加電壓源電壓，反應(yīng)電容中初始電壓的作用上式還可以表示成得另一復(fù)頻域模型sC——為電容元件的運(yùn)算導(dǎo)納Cu(0-)——表示附加電流源的電流8.3動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析復(fù)頻域法分析動(dòng)態(tài)電路的一般步驟如下：（1）由換路前的電路求出uC(0-)和iL(0-)；（2）畫出換路后電路的復(fù)頻域模型，把其中的各獨(dú)立電源由時(shí)間函數(shù)變換成相應(yīng)的象函數(shù)，各電路元件（電阻、電感、電容）用其復(fù)頻域電路模型表示，電路中各處電壓和電流均用象函數(shù)表示；（3）利用復(fù)頻域形式的KCL、KVL以及電路定律，建立復(fù)頻域電路方程，解出待求量的象函數(shù)；（4）進(jìn)行拉式反變換，求出待求量的原函數(shù)。例8-12圖8-5a所示電路中，開關(guān)S原來(lái)閉合，t=0時(shí)打開，求換路后電路中的電流和兩電感元件上的電壓。已知US=10V，R1=2Ω，R2=3Ω，L1=0.3H，L2=0.1H。解：（1）兩電感電流初始值為（2）畫出換路后電路的復(fù)頻域模型（3）計(jì)算電路中電流的象函數(shù)計(jì)算兩電感元件上電壓的象函數(shù)（4）進(jìn)行拉式反變換，得例8-13圖8-6a所示電路中，iL(0-)=0，R1=6Ω，R2=3Ω，L=0.1H，求沖激響應(yīng)iL和uL。解：畫出電路的復(fù)頻域模型用節(jié)點(diǎn)分析法，列節(jié)點(diǎn)電壓方程由拉式反變換得例8-14圖8-7a所示電路中，us(t)=5ε(t)，R=1/3Ω，C=1uF，L=0.5H，求電路的響應(yīng)uC