2025線性代數(shù)自考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)矩陣\(A\)為\(3\)階方陣，\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert2A\vert=(\)\)A.\(4\)B.\(8\)C.\(16\)D.\(32\)2.若\(A\)、\(B\)均為\(n\)階可逆矩陣，則下列等式成立的是（）A.\((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\)B.\((A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}\)C.\((AB)^{T}=A^{T}B^{T}\)D.\((kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}(k\neq0)\)3.向量組\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)的秩為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(0\)4.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若\(A\)滿足\(A^2-A-2E=0\)，則\(A^{-1}=(\)\)A.\(A-E\)B.\(A+E\)C.\(\frac{1}{2}(A-E)\)D.\(\frac{1}{2}(A+E)\)5.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^{}=(\)\)A.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}-4&2\\3&-1\end{pmatrix}\)6.齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充分必要條件是（）A.\(A\)的列向量組線性無關(guān)B.\(A\)的行向量組線性無關(guān)C.\(r(A)\ltn\)（\(n\)為未知數(shù)個數(shù)）D.\(r(A)=n\)7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(\lambda\)滿足（）A.\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)B.\(\vertA-\lambdaE\vert=0\)C.\(A\alpha=\lambda\alpha\)（\(\alpha\neq0\)）D.以上都對8.若矩陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)等價B.\(A\)與\(B\)合同C.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)D.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量9.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\)的矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)10.設(shè)\(A\)為正交矩陣，則\(\vertA\vert=(\)\)A.\(1\)B.\(-1\)C.\(\pm1\)D.\(0\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于矩陣運算正確的有（）A.\((A^T)^T=A\)B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)D.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)2.設(shè)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)，則（）A.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.向量組中至少有一個向量能由其余向量線性表示C.該向量組的秩小于\(s\)D.向量組中任意部分組線性相關(guān)3.對于\(n\)階方陣\(A\)，下列說法正確的是（）A.若\(A\)可逆，則\(\vertA\vert\neq0\)B.若\(A\)可逆，則\(A\)的行向量組線性無關(guān)C.若\(A\)可逆，則\(A\)的列向量組線性無關(guān)D.若\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)不可逆4.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則（）A.\(r(A)+r(B)\leqn\)B.\(A=0\)或\(B=0\)C.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)D.\(A\)與\(B\)都不可逆5.下列哪些是求矩陣\(A\)的特征值的方法（）A.解\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)B.利用相似矩陣有相同特征值C.求\(A\)的行最簡形D.計算\(A\)的行列式6.關(guān)于二次型，下列說法正確的是（）A.二次型的矩陣是對稱矩陣B.二次型經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形后，其矩陣為對角矩陣C.正定二次型的矩陣是正定矩陣D.二次型的秩等于其矩陣的秩7.設(shè)\(A\)、\(B\)為同階方陣，且\(A\)與\(B\)合同，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的秩B.\(A\)與\(B\)有相同的正負(fù)慣性指數(shù)C.存在可逆矩陣\(C\)，使得\(B=C^TAC\)D.\(A\)與\(B\)有相同的特征值8.下列向量組中，線性無關(guān)的有（）A.\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)B.\(\alpha_1=(1,1,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,1)\)，\(\alpha_3=(1,0,1)\)C.\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(2,4,6)\)D.\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(1,3,6)\)9.已知\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應(yīng)的特征向量，則（）A.\(A\alpha=\lambda\alpha\)B.\((A-\lambdaE)\alpha=0\)C.\(\lambda\)滿足\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)D.對于任意非零常數(shù)\(k\)，\(k\alpha\)也是\(A\)對應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列條件能保證\(A\)可對角化的有（）A.\(A\)有\(zhòng)(n\)個不同的特征值B.\(A\)的特征值都是實數(shù)C.\(A\)的每個特征值的代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù)D.\(A\)是實對稱矩陣三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，則\((AB)^k=A^kB^k\)（\(k\)為正整數(shù)）。（）2.向量組中含有零向量，則該向量組一定線性相關(guān)。（）3.若\(A\)為\(n\)階方陣，\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的行向量組線性相關(guān)。（）4.相似矩陣一定有相同的行列式。（）5.二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的。（）6.若\(A\)、\(B\)為同階方陣，且\(A\)與\(B\)等價，則\(A\)與\(B\)相似。（）7.正交矩陣的行列式的值為\(1\)。（）8.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩為\(r\)，則其中任意\(r\)個向量都線性無關(guān)。（）9.矩陣\(A\)的特征向量一定是唯一的。（）10.若\(A\)為正定矩陣，則\(A\)的主對角線元素都大于\(0\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的充要條件。答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)；或\(r(A)=n\)；或\(A\)可表示為若干個初等矩陣的乘積；或\(Ax=0\)只有零解。2.說明向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。答案：對于向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)，若存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，則線性相關(guān)；若僅當(dāng)\(k_1=k_2=\cdots=k_s=0\)時上式成立，則線性無關(guān)。3.簡述求矩陣特征值和特征向量的步驟。答案：先求特征方程\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)的根，即特征值\(\lambda\)。再對每個特征值\(\lambda\)，解齊次線性方程組\((\lambdaE-A)x=0\)，其非零解就是對應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量。4.什么是二次型的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)？答案：二次型經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形后，標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)為正的平方項的個數(shù)稱為正慣性指數(shù)，系數(shù)為負(fù)的平方項的個數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系。答案：矩陣的行秩等于列秩，且都等于矩陣的秩。矩陣的行向量組的秩就是矩陣的行秩，列向量組的秩就是矩陣的列秩?？赏ㄟ^對矩陣進行初等變換求秩，進而確定向量組的秩，向量組的秩也能反映矩陣的秩。2.探討相似矩陣在實際應(yīng)用中的意義。答案：相似矩陣有相同的特征值等性質(zhì)。在實際中，如在動力系統(tǒng)、圖像處理等領(lǐng)域，可通過相似變換將復(fù)雜矩陣化為簡單形式（若可對角化），方便計算和分析，簡化模型求解過程，更好地理解和處理相關(guān)問題。3.論述正交矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用。答案：正交矩陣性質(zhì)