極限求法考試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.當(dāng)\(x→0\)時(shí)，\(\sinx\)與\(x\)的關(guān)系是（）A.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小C.等價(jià)無(wú)窮小D.同階但不等價(jià)無(wú)窮小2.\(\lim\limits_{x→0}\frac{e^x-1}{x}\)的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在3.\(\lim\limits_{x→∞}(1+\frac{1}{x})^x\)等于（）A.eB.1C.0D.∞4.已知\(\lim\limits_{x→a}f(x)=A\)，\(\lim\limits_{x→a}g(x)=B\)，則\(\lim\limits_{x→a}[f(x)+g(x)]\)等于（）A.\(A-B\)B.\(A+B\)C.\(AB\)D.\(\frac{A}{B}\)5.當(dāng)\(x→0\)時(shí)，\(x^2\)是\(x\)的（）A.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小C.等價(jià)無(wú)窮小D.同階但不等價(jià)無(wú)窮小6.\(\lim\limits_{x→1}\frac{x^2-1}{x-1}\)的值為（）A.0B.1C.2D.不存在7.\(\lim\limits_{x→∞}\frac{\sinx}{x}\)的值是（）A.1B.0C.-1D.不存在8.若\(\lim\limits_{x→x_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處（）A.一定有定義B.一定無(wú)定義C.不一定有定義D.以上都不對(duì)9.\(\lim\limits_{x→0}\frac{\tanx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.-1D.不存在10.\(\lim\limits_{x→∞}\frac{3x^2+2x+1}{2x^2+3x+2}\)的值為（）A.\(\frac{3}{2}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.0D.∞多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列屬于等價(jià)無(wú)窮小的是（）A.\(x→0\)時(shí)，\(\sinx\)與\(x\)B.\(x→0\)時(shí)，\(\tanx\)與\(x\)C.\(x→0\)時(shí)，\(1-\cosx\)與\(\frac{1}{2}x^2\)D.\(x→0\)時(shí)，\(e^x-1\)與\(x\)2.求極限的方法有（）A.等價(jià)無(wú)窮小替換B.洛必達(dá)法則C.重要極限D(zhuǎn).因式分解3.當(dāng)\(x→∞\)時(shí)，下列極限為0的有（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(\frac{\sinx}{x}\)C.\(\frac{1}{x^2}\)D.\(e^{-x}\)4.極限存在的準(zhǔn)則有（）A.夾逼準(zhǔn)則B.單調(diào)有界準(zhǔn)則C.柯西準(zhǔn)則D.羅爾準(zhǔn)則5.以下極限計(jì)算正確的是（）A.\(\lim\limits_{x→0}\frac{\sin2x}{x}=2\)B.\(\lim\limits_{x→∞}(1+\frac{2}{x})^x=e^2\)C.\(\lim\limits_{x→0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}\)D.\(\lim\limits_{x→1}\frac{x^2-1}{x-1}=2\)6.已知\(\lim\limits_{x→a}f(x)=A\)，\(\lim\limits_{x→a}g(x)=B\)，則（）A.\(\lim\limits_{x→a}[f(x)g(x)]=AB\)B.\(\lim\limits_{x→a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B≠0)\)C.\(\lim\limits_{x→a}[f(x)-g(x)]=A-B\)D.\(\lim\limits_{x→a}[kf(x)]=kA\)（\(k\)為常數(shù)）7.當(dāng)\(x→0\)時(shí)，與\(x\)同階的無(wú)窮小量有（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\sqrt{x}\)D.\(\sinx\)8.利用洛必達(dá)法則可求的極限類(lèi)型有（）A.\(\frac{0}{0}\)型B.\(\frac{∞}{∞}\)型C.\(0·∞\)型D.\(∞-∞\)型9.極限\(\lim\limits_{x→0}\frac{f(x)}{x}\)存在，則（）A.\(f(0)=0\)B.\(f(x)\)在\(x=0\)處可導(dǎo)C.\(\lim\limits_{x→0}f(x)=0\)D.\(f(x)\)在\(x=0\)處連續(xù)10.下列極限中，極限值為1的是（）A.\(\lim\limits_{x→0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim\limits_{x→0}(1+x)^{\frac{1}{x}}\)C.\(\lim\limits_{x→∞}(1+\frac{1}{x})^x\)D.\(\lim\limits_{x→0}\frac{e^x-1}{x}\)判斷題（每題2分，共10題）1.無(wú)窮小量就是0。（）2.若\(\lim\limits_{x→x_0}f(x)\)與\(\lim\limits_{x→x_0}g(x)\)都不存在，則\(\lim\limits_{x→x_0}[f(x)+g(x)]\)一定不存在。（）3.當(dāng)\(x→0\)時(shí)，\(x\)與\(x+x^2\)是等價(jià)無(wú)窮小。（）4.重要極限\(\lim\limits_{x→∞}(1+\frac{1}{x})^x=e\)中的\(x\)只能是正整數(shù)。（）5.極限\(\lim\limits_{x→a}f(x)\)存在的充要條件是\(\lim\limits_{x→a^-}f(x)=\lim\limits_{x→a^+}f(x)\)。（）6.洛必達(dá)法則可以無(wú)限次使用。（）7.當(dāng)\(x→∞\)時(shí)，\(\frac{1}{x}\)是無(wú)窮小量，\(x\)是無(wú)窮大量，它們互為倒數(shù)。（）8.若\(f(x)\)在\(x_0\)處有定義，則\(\lim\limits_{x→x_0}f(x)\)一定存在。（）9.等價(jià)無(wú)窮小替換只能在乘除運(yùn)算中使用。（）10.\(\lim\limits_{x→0}\frac{\sin(x^2)}{x^2}=1\)。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述等價(jià)無(wú)窮小替換的條件。答案：在求極限的乘除運(yùn)算中，當(dāng)變量趨于某值時(shí)，函數(shù)中的無(wú)窮小量可用其等價(jià)無(wú)窮小替換，加減運(yùn)算中一般不能隨意替換。2.說(shuō)明重要極限\(\lim\limits_{x→0}\frac{\sinx}{x}=1\)的應(yīng)用要點(diǎn)。答案：需將所求極限變形為\(\frac{\sinx}{x}\)的形式（\(x\)趨于0），通過(guò)換元等方法，讓式子符合該重要極限形式從而計(jì)算極限值。3.簡(jiǎn)述洛必達(dá)法則適用的極限類(lèi)型。答案：適用于\(\frac{0}{0}\)型和\(\frac{∞}{∞}\)型極限。對(duì)于\(0·∞\)型、\(∞-∞\)型等可通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為上述兩種類(lèi)型后使用。4.求極限\(\lim\limits_{x→0}\frac{1-\cosx}{x^2}\)時(shí)如何運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小替換？答案：當(dāng)\(x→0\)時(shí)，\(1-\cosx\)等價(jià)于\(\frac{1}{2}x^2\)，將原式中的\(1-\cosx\)替換為\(\frac{1}{2}x^2\)，則\(\lim\limits_{x→0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\lim\limits_{x→0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2}=\frac{1}{2}\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論在極限計(jì)算中，等價(jià)無(wú)窮小替換和洛必達(dá)法則各自的優(yōu)勢(shì)與局限。答案：等價(jià)無(wú)窮小替換優(yōu)勢(shì)是在乘除運(yùn)算中簡(jiǎn)化計(jì)算，快速得出結(jié)果；局限是只能在特定運(yùn)算且要準(zhǔn)確判斷等價(jià)關(guān)系。洛必達(dá)法則優(yōu)勢(shì)是適用于特定類(lèi)型極限，無(wú)需復(fù)雜變形；局限是可能多次求導(dǎo)變復(fù)雜，且有些極限不適用。2.舉例說(shuō)明極限存在準(zhǔn)則在實(shí)際求極限中的應(yīng)用思路。答案：比如求\(\lim\limits_{n→∞}(\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\cdots+\frac{1}{n^2+n})\)，利用夾逼準(zhǔn)則。\(\frac{n}{n^2+n}\leq\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\cdots+\frac{1}{n^2+n}\leq\frac{n}{n^2+1}\)，兩端極限為1，所以所求極限為1。3.探討極限概念在高等數(shù)學(xué)其他知識(shí)板塊中的作用。答案：在導(dǎo)數(shù)定義中，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量比值的極限，極限是基礎(chǔ)。在定積分中，通過(guò)極限思想劃分區(qū)間求面積。在級(jí)數(shù)斂散性判斷中，也借助極限判斷斂散，是很多概念的基石。4.當(dāng)遇到復(fù)雜極限計(jì)算時(shí)，如何綜合運(yùn)用多種方法求解？答案：先觀察式子特點(diǎn)，若有可替換的等價(jià)無(wú)窮小先替換簡(jiǎn)化。若為\(\frac{0}{0}\)或\(\frac{∞}{∞}\)型，考慮用洛必達(dá)法則。也可結(jié)合重要極限、因式分解、變量代換等方法，多種方法靈活組合求解。答案