山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)中學(xué)2026屆高三上學(xué)期開學(xué)摸底測試數(shù)學(xué)試題及答案解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）....2.設(shè)隨機(jī)事件滿足，，則（）....3.設(shè)，則中最大的是（）....4.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）....5.函數(shù)的大致圖象如圖所示，設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，則的解集為（）....6.有4對雙胞胎共8人，從中隨機(jī)選4人，則其中恰有一對雙胞胎的選法種數(shù)為（）....7.設(shè)，函數(shù)，則下面正確的是（）.有兩個極值點(diǎn).若，則當(dāng)時，.若有3個零點(diǎn)，則的取值范圍是.若存在，滿足，則8.已知函數(shù)，則的極值點(diǎn)的個數(shù)情況可能為（）.沒有極值點(diǎn).有無窮多個極值點(diǎn).恰有2025個極值點(diǎn).恰有2026個極值點(diǎn)二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.甲、乙兩組各有8名同學(xué)，某項(xiàng)體能測試的成績（單位：分）如下表：則關(guān)于甲、乙兩組該項(xiàng)體能測試成績的說法正確的為（）.甲、乙兩組成績的平均數(shù)相等.甲組成績的上四分位數(shù)大于乙組成績的上四分位數(shù).甲組成績的極差小于乙組成績的極差.甲組成績的方差小于乙組成績的方差10.兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占40%，次品率3%，；第二批占60%，次品率為2%，則（）.從兩批產(chǎn)品中各取1件，都取到次品的概率為0.06%.從兩批產(chǎn)品中各取1件，都取到次品的概率為2.4%.兩批產(chǎn)品混合后任取1件，該產(chǎn)品是次品的概率為2.4%.兩批產(chǎn)品混合后任取1件，若取到的是次品，則它取自第一批產(chǎn)品的概率為0.3%11.已知函數(shù)和的最小值相等，則下列說法正確的是（）..的最小值為2.在上單調(diào)遞增.若直線與和的圖象從左到右的交點(diǎn)分別為，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一組數(shù)據(jù)1,2,3,4，的上四分位數(shù)是，則的取值范圍為.13.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，，則.14.不等式對任意成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本題共3小題，共47分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）若有極小值，且極小值小于0，求的取值范圍.16.無人駕駛技術(shù)是汽車研發(fā)領(lǐng)域的一個重要方向.某學(xué)校技術(shù)俱樂部研發(fā)了一個感知路況障礙的小汽車模型。該模型通過三個傳感器共同判斷路段是否有路障.在對該模型進(jìn)行測試中，該俱樂部同學(xué)尋找了80個不同的路段作為測試樣本，數(shù)據(jù)如下表：（1）從這80個路段中隨機(jī)抽取一個路段，求傳感器1對該路況判斷正確的概率；（2）從這80個路段中隨機(jī)抽取一個有障礙的路段進(jìn)行測試，設(shè)為傳感器1和傳感器2判斷正確的總路段數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）現(xiàn)有一輛小汽車同時裝載了以上3種傳感器.在通過某路段時，只要3個傳感器中一個判斷有障礙或無法識別，則小汽車減速.那么是否可以通過提高傳感器3的判斷正確率，使得小汽車在無障礙的道路上減速的概率小于？（結(jié)論不要求證明）17.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).（1）若在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）若當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.答案解析一、選擇題1.D解析：，，.2.B解析：，，則.3.B解析：∵展開式的通項(xiàng)公式為，∴展開式各項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)相等或互為相反數(shù)，又由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5、第六項(xiàng)，即，，∴中最大的是.4.A解析：的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.5.C解析：由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)和時，；當(dāng)時，；又由圖可知當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，則；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，則，∴的解集為.6.A解析：第一步：選一對雙胞胎有種；第二步：再選兩對雙胞胎，并從每對雙胞胎中各選一人共有種；利用分步計(jì)數(shù)乘法原理可知：從中隨機(jī)選4人，則其中恰有一對雙胞胎的選法種數(shù)為.7.C解析：對于A，∵，∴，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；當(dāng)時，由得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時有兩個極值點(diǎn)，∴不一定有兩個極值點(diǎn)，故A錯誤；對于B，當(dāng)，時，由上述知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，單調(diào)遞增，至多只有一個零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時，若有3個零點(diǎn)，則由單調(diào)性可知必然有，解得.而當(dāng)，時，，，∴在區(qū)間，，中分別各有一個零點(diǎn)，故C正確；對于D，∵，∴等價于或，∴，故D錯誤.8.C解析：對求導(dǎo)，可得.令，即，移項(xiàng)可得.則的極值點(diǎn)個數(shù)等價于函數(shù)與圖象的交點(diǎn)（不算切點(diǎn)）的個數(shù)，當(dāng)時，，與只有一個交點(diǎn)，且在該點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號改變，∴此時有1個極值點(diǎn)；當(dāng)時，與都是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，是周期函數(shù)，是過原點(diǎn)的直線，隨著的取值不同，由正弦函數(shù)的對稱性及有界性，兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)（不算切點(diǎn)）的個數(shù)只能是有限個，且是奇數(shù)個（因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱），∴該函數(shù)可能恰有2025個極值點(diǎn).二、選擇題9.ACD解析：對于A，甲組成績的平均數(shù)為，乙組成績的平均數(shù)為，∴甲、乙兩組成績的平均數(shù)相等，故A正確；對于B，將甲組成績從小到大排序?yàn)椋?,7,7,8,8,8,9,10，∵，∴甲組成績的上四分位數(shù)為，將乙組成績從小到大排序?yàn)椋?,6,7,8,9,9,10,10，∴乙組成績的上四分位數(shù)為，則甲組成績的上四分位數(shù)小于乙組成績的上四分位數(shù)，故B錯誤；對于C，甲組成績的極差為，乙組成績的極差為，∴甲組成績的極差小于乙組成績的極差，故C正確；對于D，甲組成績的方差為：，乙組成績的方差為：，∴甲組成績的方差小于乙組成績的方程，故D正確.10.AC解析：依題意，從兩批產(chǎn)品中各取1件，都取到次品的概率為，故A正確，B錯誤；設(shè)事件“次品來自第一批產(chǎn)品”，“次品來自第二批產(chǎn)品”，而“從混合后的產(chǎn)品中取出一件是次品”，則，，，，∴，故C正確；∵，故D錯誤.11.ACD解析：對于A，∵，∴易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，即，解得，故A正確；對于B，∵當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，兩者不能同時取等號，∴，故B錯誤；對于C，，，則，當(dāng)時，∵，，∴；當(dāng)時，∵，，∴，總之，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，如圖所示，當(dāng)直線在和交點(diǎn)的上方時，不妨設(shè)，，，，則，∵，，，∴，即，∴，同理，，∴，∴，即.同理，當(dāng)直線在和交點(diǎn)的下方時，，故D正確.三、填空題12.解析：∵，且數(shù)據(jù)1,2,3,4，的上四分位數(shù)是，因此，數(shù)據(jù)由小到大依次為：，故.因此，的取值范圍為.13.解析：已知，∴該正態(tài)分布曲線關(guān)于直線對稱，∵正態(tài)分布曲線關(guān)注與直線對稱，∴，由于隨機(jī)變量取所有可能值的概率之和為1，即.∴，解得.14.解析：由不等式，可得，要使得不等式對任意成立，可分為兩種情況：①不等式，且對任意成立，由不等式恒成立，即，可得；由不等式恒成立，即在恒成立，令，可得恒成立，∴在上單調(diào)遞增，∴，則，∴；②方程，且有相同的解，即且的零點(diǎn)重合，由，可得，將代入，可得，解得.綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題15.解：（1）當(dāng)時，，則，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，∴切線方程為.（2）的定義域?yàn)?，且，若，則對任意恒成立.∴在上單調(diào)遞減，無極值，不合題意，若，令，解得，令，解得，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則有極小值，無極大值，由題意可得：，令，則，∴在上單調(diào)遞增，又，不等式等價于，解得，又，綜上的取值范圍是.16.解：（1）80個路段中，傳感器1判斷正確的路段有個，設(shè)“傳感器1對該路況判斷正確”為事件A，則.（2）80個路段中共有60個有障礙的路段，60個有障礙的路段中，傳感器1判斷正確的路段有40個，錯誤的有個，傳感器2判斷正確的路段有45個，判斷錯誤的路段有個，的可能取值為0,1,2，；；，則的分布列為012隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（3）可以通過提高傳感器3的判斷正確率，使得小汽車在無障礙的道路上減速的概率小于.分析：共有20個無障礙地路段，傳感器1判斷無障礙的有15個，由頻率估計(jì)概率，故無障礙路段上，估計(jì)傳感器1判斷無障礙的概率為.傳感器2判斷無障礙的有15個，由頻率估計(jì)概率，故無障礙路段上，估計(jì)傳感器2判斷無障礙的概率為.若傳感器3在無障礙路段上，判斷為無障礙的概率為1.小汽車在無障礙的道路上減速的概率：.故可以通過提高傳感器3的判斷正確率，使小汽車在無障礙的道路上減速的概率小于