可能性與可信性理論驅(qū)動的投資組合優(yōu)化策略研究一、引言1.1研究背景與意義在當(dāng)今復(fù)雜多變的金融市場中，投資組合決策是投資者面臨的核心問題之一。投資者的目標(biāo)是在眾多投資選擇中，構(gòu)建一個既能實(shí)現(xiàn)預(yù)期收益最大化，又能有效控制風(fēng)險(xiǎn)的投資組合。然而，金融市場充滿了不確定性，這種不確定性來源于多個方面，如宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境的波動、行業(yè)競爭態(tài)勢的變化、企業(yè)自身的經(jīng)營風(fēng)險(xiǎn)以及投資者情緒的影響等。這些不確定因素使得準(zhǔn)確預(yù)測資產(chǎn)的未來收益和風(fēng)險(xiǎn)變得極為困難，給投資組合決策帶來了巨大挑戰(zhàn)。傳統(tǒng)的投資組合理論，如馬科維茨的均值-方差模型，在投資決策中發(fā)揮了重要作用。該模型以資產(chǎn)收益率的均值來衡量預(yù)期收益，以方差或標(biāo)準(zhǔn)差來度量風(fēng)險(xiǎn)，通過優(yōu)化資產(chǎn)權(quán)重的分配，尋求在給定風(fēng)險(xiǎn)水平下的最大收益或在給定收益水平下的最小風(fēng)險(xiǎn)。然而，這一模型依賴于一些嚴(yán)格的假設(shè)條件，如證券收益率服從正態(tài)分布、投資者具有理性預(yù)期且風(fēng)險(xiǎn)偏好不變、市場是完全有效的等。在現(xiàn)實(shí)金融市場中，這些假設(shè)往往難以滿足。例如，大量研究表明，金融資產(chǎn)收益率并不完全服從正態(tài)分布，常常呈現(xiàn)出尖峰厚尾的特征；投資者在決策過程中也并非完全理性，會受到各種認(rèn)知偏差和情緒因素的影響；市場也存在著信息不對稱、交易成本等摩擦因素，并非完全有效。因此，傳統(tǒng)投資組合理論在面對現(xiàn)實(shí)金融市場的復(fù)雜性和不確定性時，存在一定的局限性。為了更有效地處理投資組合決策中的不確定性，可能性理論和可信性理論應(yīng)運(yùn)而生，并逐漸在投資組合選擇領(lǐng)域得到應(yīng)用。可能性理論是一種處理模糊信息的數(shù)學(xué)理論，它基于可能性測度來描述事件發(fā)生的可能性程度。在投資組合中，可能性理論可以用于刻畫資產(chǎn)收益率等模糊信息，更靈活地處理不確定性。例如，當(dāng)無法準(zhǔn)確獲取資產(chǎn)收益率的概率分布時，可以利用可能性理論根據(jù)專家經(jīng)驗(yàn)或主觀判斷來設(shè)定收益率的可能性分布，從而為投資決策提供依據(jù)。然而，可能性理論存在非自對偶性的缺陷，即可能性測度和必要性測度不滿足對偶關(guān)系，這在一定程度上限制了其應(yīng)用?？尚判岳碚搫t是在可能性理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，它為模糊理論提供了公理基礎(chǔ)，解決了可能性理論的非自對偶性問題?？尚判岳碚撏ㄟ^定義可信性測度，使得可能性測度和必要性測度滿足對偶關(guān)系，從而在處理模糊信息時更加嚴(yán)謹(jǐn)和合理。在投資組合優(yōu)化中，可信性理論能夠更準(zhǔn)確地度量風(fēng)險(xiǎn)和收益，為投資者提供更可靠的決策支持。例如，基于可信性理論構(gòu)建的投資組合模型，可以在考慮模糊收益率的情況下，更精確地計(jì)算投資組合的風(fēng)險(xiǎn)和收益，幫助投資者制定更合理的投資策略?？赡苄耘c可信性理論在投資組合選擇中具有廣闊的應(yīng)用前景。它們能夠突破傳統(tǒng)投資組合理論的局限性，更有效地處理金融市場中的不確定性，為投資者提供更符合實(shí)際情況的投資決策方法。通過將這些理論應(yīng)用于投資組合模型的構(gòu)建，可以使模型更加貼近現(xiàn)實(shí)金融市場，提高投資決策的科學(xué)性和有效性。這不僅有助于投資者實(shí)現(xiàn)資產(chǎn)的優(yōu)化配置，降低投資風(fēng)險(xiǎn)，提高投資收益，還能為金融機(jī)構(gòu)的投資管理和風(fēng)險(xiǎn)管理提供新的思路和方法，促進(jìn)金融市場的穩(wěn)定健康發(fā)展。因此，深入研究基于可能性與可信性理論的投資組合選擇具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。1.2研究目的與創(chuàng)新點(diǎn)本研究旨在深入探究可能性與可信性理論在投資組合選擇中的應(yīng)用，通過理論分析與實(shí)證研究，構(gòu)建更加符合現(xiàn)實(shí)金融市場特征、能夠有效處理不確定性的投資組合模型，為投資者提供更科學(xué)、更有效的投資決策方法。具體而言，研究目的包括以下幾個方面：融合可能性與可信性理論：深入剖析可能性理論和可信性理論的內(nèi)涵與特點(diǎn)，將兩者有機(jī)結(jié)合，解決金融市場中不確定性的度量和處理問題。通過合理運(yùn)用可能性測度和可信性測度，更準(zhǔn)確地刻畫資產(chǎn)收益率的不確定性，為投資組合模型的構(gòu)建提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。構(gòu)建新型投資組合模型：基于可能性與可信性理論，突破傳統(tǒng)投資組合模型的假設(shè)限制，構(gòu)建考慮模糊收益率、風(fēng)險(xiǎn)偏好以及多種約束條件的新型投資組合模型。例如，在模型中納入投資者對風(fēng)險(xiǎn)和收益的模糊認(rèn)知，以及市場中的交易成本、流動性約束等實(shí)際因素，使模型能夠更真實(shí)地反映金融市場的復(fù)雜性。模型求解與優(yōu)化：針對所構(gòu)建的投資組合模型，運(yùn)用合適的優(yōu)化算法進(jìn)行求解，如智能優(yōu)化算法（粒子群算法、遺傳算法等）或數(shù)學(xué)規(guī)劃方法（線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃等）。通過優(yōu)化求解，得到在給定條件下的最優(yōu)投資組合權(quán)重，為投資者提供具體的投資建議。同時，對模型進(jìn)行敏感性分析，研究不同參數(shù)和約束條件對投資組合結(jié)果的影響，進(jìn)一步優(yōu)化模型性能。實(shí)證分析與應(yīng)用驗(yàn)證：選取實(shí)際金融市場數(shù)據(jù)，對所構(gòu)建的投資組合模型進(jìn)行實(shí)證分析。通過與傳統(tǒng)投資組合模型（如均值-方差模型）進(jìn)行對比，驗(yàn)證基于可能性與可信性理論的投資組合模型在處理不確定性、降低風(fēng)險(xiǎn)和提高收益方面的有效性和優(yōu)越性。將模型應(yīng)用于實(shí)際投資案例，為投資者的決策提供實(shí)際參考，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驮趯?shí)際應(yīng)用中的可行性和實(shí)用性。本研究的創(chuàng)新點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個方面：理論融合創(chuàng)新：首次將可能性理論和可信性理論全面、系統(tǒng)地融合應(yīng)用于投資組合選擇研究中，充分發(fā)揮兩者在處理不確定性方面的優(yōu)勢，彌補(bǔ)傳統(tǒng)投資組合理論在面對模糊信息時的不足。這種理論融合為投資組合領(lǐng)域的研究提供了新的視角和方法，豐富了不確定性理論在金融領(lǐng)域的應(yīng)用。模型構(gòu)建創(chuàng)新：在投資組合模型構(gòu)建過程中，充分考慮金融市場中的多種復(fù)雜因素和投資者的主觀偏好。不僅納入模糊收益率來反映市場的不確定性，還引入風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)來體現(xiàn)投資者對風(fēng)險(xiǎn)的不同態(tài)度，同時考慮交易成本、流動性約束等現(xiàn)實(shí)約束條件。這種多因素綜合考慮的模型構(gòu)建方法，使模型更具現(xiàn)實(shí)適應(yīng)性和實(shí)用性，能夠更好地滿足投資者多樣化的投資需求。應(yīng)用分析創(chuàng)新：在實(shí)證分析環(huán)節(jié)，采用多維度、多角度的對比分析方法。除了與傳統(tǒng)投資組合模型進(jìn)行收益和風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)的常規(guī)對比外，還從模型的穩(wěn)定性、對市場變化的適應(yīng)性以及投資者的實(shí)際滿意度等方面進(jìn)行深入分析。通過這種全面的應(yīng)用分析，更準(zhǔn)確、客觀地評估基于可能性與可信性理論的投資組合模型的實(shí)際效果，為模型的推廣應(yīng)用提供有力的實(shí)踐依據(jù)。1.3研究方法與技術(shù)路線本研究綜合運(yùn)用多種研究方法，以確保研究的全面性、深入性和科學(xué)性，具體研究方法如下：文獻(xiàn)研究法：系統(tǒng)梳理國內(nèi)外關(guān)于投資組合理論、可能性理論、可信性理論以及相關(guān)應(yīng)用領(lǐng)域的文獻(xiàn)資料。通過對已有研究成果的歸納、分析和總結(jié)，了解該領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀、發(fā)展趨勢以及存在的問題，為后續(xù)研究提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)和研究思路。例如，深入研究馬科維茨的均值-方差模型及其發(fā)展演變，以及可能性理論和可信性理論在投資組合領(lǐng)域的應(yīng)用案例，從中汲取有益的經(jīng)驗(yàn)和啟示。理論分析法：深入剖析可能性理論和可信性理論的基本原理、核心概念和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，探討它們在處理不確定性問題上的優(yōu)勢和局限性。對投資組合理論中的風(fēng)險(xiǎn)度量、收益評估、資產(chǎn)配置等關(guān)鍵要素進(jìn)行理論分析，明確傳統(tǒng)投資組合理論與基于可能性和可信性理論的投資組合理論之間的區(qū)別與聯(lián)系。例如，詳細(xì)分析可能性測度和可信性測度的定義、性質(zhì)以及相互關(guān)系，為構(gòu)建投資組合模型提供理論依據(jù)。模型構(gòu)建法：基于可能性與可信性理論，結(jié)合金融市場的實(shí)際情況和投資者的需求，構(gòu)建投資組合模型。在模型構(gòu)建過程中，充分考慮資產(chǎn)收益率的模糊性、投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好以及市場中的各種約束條件，如交易成本、流動性約束等。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和優(yōu)化技術(shù)，對模型進(jìn)行形式化表達(dá)和求解，確定最優(yōu)投資組合權(quán)重。例如，利用模糊數(shù)學(xué)中的梯形模糊數(shù)來刻畫資產(chǎn)收益率的不確定性，構(gòu)建基于可信性理論的均值-方差-偏度投資組合模型，并運(yùn)用智能優(yōu)化算法進(jìn)行求解。實(shí)證研究法：選取實(shí)際金融市場數(shù)據(jù)，如股票市場、債券市場等的歷史交易數(shù)據(jù)，對所構(gòu)建的投資組合模型進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)。通過計(jì)算投資組合的收益、風(fēng)險(xiǎn)等指標(biāo)，并與傳統(tǒng)投資組合模型進(jìn)行對比分析，驗(yàn)證基于可能性與可信性理論的投資組合模型在實(shí)際應(yīng)用中的有效性和優(yōu)越性。同時，對實(shí)證結(jié)果進(jìn)行深入分析，探討模型的穩(wěn)定性、對市場變化的適應(yīng)性以及投資者的實(shí)際滿意度等問題。例如，選取一定時間段內(nèi)的多只股票數(shù)據(jù)，分別運(yùn)用基于可能性與可信性理論的模型和均值-方差模型進(jìn)行投資組合優(yōu)化，比較兩者的投資績效。本研究的技術(shù)路線如下：第一階段：問題提出與文獻(xiàn)綜述：明確研究背景和意義，闡述金融市場中投資組合決策面臨的不確定性問題，以及傳統(tǒng)投資組合理論的局限性。通過廣泛查閱文獻(xiàn)，梳理投資組合理論、可能性理論和可信性理論的研究現(xiàn)狀，確定研究的切入點(diǎn)和創(chuàng)新點(diǎn)。第二階段：理論基礎(chǔ)研究：深入研究可能性理論和可信性理論的基本概念、原理和方法，分析它們在投資組合領(lǐng)域應(yīng)用的可行性和優(yōu)勢。同時，對投資組合理論中的相關(guān)概念和方法進(jìn)行回顧和總結(jié)，為后續(xù)模型構(gòu)建奠定理論基礎(chǔ)。第三階段：模型構(gòu)建與求解：基于可能性與可信性理論，結(jié)合金融市場實(shí)際情況，構(gòu)建考慮多種因素的投資組合模型。選擇合適的優(yōu)化算法對模型進(jìn)行求解，得到最優(yōu)投資組合權(quán)重。在模型構(gòu)建過程中，充分考慮投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好、交易成本、流動性約束等因素，使模型更具現(xiàn)實(shí)適應(yīng)性。第四階段：實(shí)證分析與結(jié)果討論：收集實(shí)際金融市場數(shù)據(jù)，對所構(gòu)建的投資組合模型進(jìn)行實(shí)證分析。通過計(jì)算投資組合的收益、風(fēng)險(xiǎn)等指標(biāo)，并與傳統(tǒng)投資組合模型進(jìn)行對比，驗(yàn)證模型的有效性和優(yōu)越性。對實(shí)證結(jié)果進(jìn)行深入分析，探討模型的性能、影響因素以及實(shí)際應(yīng)用中的問題和建議。第五階段：研究結(jié)論與展望：總結(jié)研究成果，闡述基于可能性與可信性理論的投資組合模型的特點(diǎn)、優(yōu)勢以及應(yīng)用價(jià)值。指出研究的不足之處，提出未來研究的方向和展望，為進(jìn)一步完善投資組合理論和方法提供參考。通過以上研究方法和技術(shù)路線，本研究旨在深入探究可能性與可信性理論在投資組合選擇中的應(yīng)用，構(gòu)建更加科學(xué)、有效的投資組合模型，為投資者提供更合理的投資決策依據(jù)，推動投資組合理論在實(shí)踐中的發(fā)展和應(yīng)用。二、理論基礎(chǔ)與文獻(xiàn)綜述2.1可能性理論基礎(chǔ)2.1.1可能性測度與相關(guān)概念可能性理論作為處理模糊信息的重要數(shù)學(xué)工具，其核心概念可能性測度為描述不確定性提供了獨(dú)特視角。1978年，Zadeh首次提出可能性測度的概念，為可能性理論奠定了基礎(chǔ)。可能性測度是定義在一個非空集合\Theta的冪集P(\Theta)上的集函數(shù)\Pi，它滿足以下性質(zhì)：非負(fù)性：對于任意事件A\inP(\Theta)，\Pi(A)\in[0,1]，這表明事件發(fā)生的可能性程度在0（絕對不可能發(fā)生）到1（絕對會發(fā)生）之間取值，符合人們對可能性程度的直觀認(rèn)知。例如，在預(yù)測明天是否下雨的情境中，若可能性測度為0.1，則說明明天下雨的可能性較低；若為0.9，則下雨可能性很高。規(guī)范性：\Pi(\Theta)=1，意味著整個樣本空間\Theta所包含的所有可能情況發(fā)生的可能性為1，即必然會出現(xiàn)樣本空間中的某一種情況。比如在投擲骰子的試驗(yàn)中，骰子出現(xiàn)1-6點(diǎn)中的任何一點(diǎn)都包含在樣本空間內(nèi)，所以樣本空間發(fā)生的可能性為1。單調(diào)性：若A\subseteqB，則\Pi(A)\leq\Pi(B)。這體現(xiàn)了事件包含關(guān)系與可能性程度的一致性，即一個事件包含的情況越多，其發(fā)生的可能性越大。例如，事件“明天溫度在20-30攝氏度之間”包含于事件“明天溫度在10-35攝氏度之間”，那么前者發(fā)生的可能性必然小于等于后者?？闪胁⒌纳线B續(xù)性：對于任意一列事件\{A_n\}，\Pi(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=\sup_{n}\Pi(A_n)，這保證了在處理無窮多個事件的并集時，可能性測度的計(jì)算具有合理性和可操作性?？赡苄詼y度與傳統(tǒng)概率測度存在顯著區(qū)別。傳統(tǒng)概率測度基于隨機(jī)試驗(yàn)，滿足可加性，即對于互斥事件A和B，P(A\cupB)=P(A)+P(B)。而可能性測度不滿足可加性，它更側(cè)重于描述事件發(fā)生的可能性程度，而非頻率意義上的概率。例如，在判斷一個人是否是“高個子”這一模糊事件時，用可能性測度可以根據(jù)對“高個子”的模糊定義來衡量其可能性，而概率測度難以直接應(yīng)用，因?yàn)椤案邆€子”的界定本身不具有明確的隨機(jī)性和頻率特征。在可能性理論中，模糊集和隸屬函數(shù)是重要的相關(guān)概念。模糊集由Zadeh于1965年提出，它突破了傳統(tǒng)集合的明確邊界概念，允許元素以不同程度隸屬于集合。對于一個給定的論域X，模糊集A由其隸屬函數(shù)\mu_A(x)來刻畫，\mu_A(x)的值域?yàn)閇0,1]，表示元素x對模糊集A的隸屬程度。例如，對于模糊集“年輕人”，若定義20歲的人隸屬度為0.8，30歲的人隸屬度為0.5，就體現(xiàn)了不同年齡對“年輕人”這一模糊概念的不同隸屬程度。隸屬函數(shù)的確定方法多種多樣，常見的有模糊統(tǒng)計(jì)法、專家經(jīng)驗(yàn)法、指派法等。模糊統(tǒng)計(jì)法通過對大量模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析來確定隸屬函數(shù)；專家經(jīng)驗(yàn)法則依賴領(lǐng)域?qū)＜业闹R和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行判斷和賦值；指派法則根據(jù)問題的性質(zhì)和特點(diǎn)，主觀地選用一些常見的函數(shù)形式（如三角形隸屬函數(shù)、梯形隸屬函數(shù)、高斯隸屬函數(shù)等）作為隸屬函數(shù)，并通過實(shí)際數(shù)據(jù)確定其中的參數(shù)。例如，在評估投資項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)時，若采用專家經(jīng)驗(yàn)法，專家可根據(jù)項(xiàng)目的市場環(huán)境、技術(shù)可行性、管理團(tuán)隊(duì)等因素，綜合判斷項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)屬于“高風(fēng)險(xiǎn)”“中風(fēng)險(xiǎn)”“低風(fēng)險(xiǎn)”等模糊集的隸屬程度。2.1.2可能性理論在投資組合中的應(yīng)用原理在投資組合領(lǐng)域，資產(chǎn)回報(bào)率受到眾多復(fù)雜因素的影響，往往難以準(zhǔn)確獲取其精確的概率分布，呈現(xiàn)出模糊性特征?；诖耍赡苄岳碚搶L(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)回報(bào)率視為模糊數(shù)，為投資組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益衡量提供了新的思路和方法。假設(shè)投資者考慮投資n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，第i種資產(chǎn)的回報(bào)率用模糊數(shù)\widetilde{r}_i表示，其隸屬函數(shù)為\mu_{\widetilde{r}_i}(x)，i=1,2,\cdots,n。投資組合的回報(bào)率\widetilde{R}是各資產(chǎn)回報(bào)率的線性組合，即\widetilde{R}=\sum_{i=1}^{n}w_i\widetilde{r}_i，其中w_i為第i種資產(chǎn)在投資組合中的權(quán)重，且\sum_{i=1}^{n}w_i=1，w_i\geq0。在衡量投資風(fēng)險(xiǎn)時，傳統(tǒng)方法多基于方差或標(biāo)準(zhǔn)差等指標(biāo)，但在模糊環(huán)境下，這些方法存在局限性。可能性理論引入了可能性風(fēng)險(xiǎn)測度的概念。例如，常用的可能性風(fēng)險(xiǎn)測度指標(biāo)為V_{\alpha}(\widetilde{R})，它表示在可能性水平\alpha下，投資組合回報(bào)率\widetilde{R}小于某個閾值r_0的可能性程度，即V_{\alpha}(\widetilde{R})=\Pi(\widetilde{R}\leqr_0)，其中\(zhòng)Pi為可能性測度。通過調(diào)整\alpha的值，可以靈活地反映投資者對不同可能性水平下風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)注程度。若投資者較為保守，可選擇較小的\alpha值，以重點(diǎn)關(guān)注低可能性但高損失的風(fēng)險(xiǎn)情況；若投資者較為激進(jìn)，則可選擇較大的\alpha值，更關(guān)注大概率事件的風(fēng)險(xiǎn)。在收益衡量方面，可能性理論通過計(jì)算模糊回報(bào)率的期望值來評估投資組合的預(yù)期收益。對于模糊數(shù)\widetilde{r}_i，其期望值E[\widetilde{r}_i]的計(jì)算方法有多種，常見的基于可能性理論的計(jì)算方法為E[\widetilde{r}_i]=\int_{-\infty}^{\infty}r\cdot\mu_{\widetilde{r}_i}(r)dr。投資組合的預(yù)期收益E[\widetilde{R}]=\sum_{i=1}^{n}w_iE[\widetilde{r}_i]，它綜合考慮了各資產(chǎn)回報(bào)率的模糊性以及投資權(quán)重，更貼合實(shí)際投資中回報(bào)率難以精確確定的情況。基于可能性理論，投資者可以構(gòu)建考慮模糊回報(bào)率的投資組合優(yōu)化模型。模型的目標(biāo)通常是在滿足一定風(fēng)險(xiǎn)約束的條件下，最大化投資組合的預(yù)期收益，即\maxE[\widetilde{R}]，約束條件可以包括對投資權(quán)重的限制（如\sum_{i=1}^{n}w_i=1，w_i\geq0）以及對可能性風(fēng)險(xiǎn)測度的限制（如V_{\alpha}(\widetilde{R})\leq\beta，其中\(zhòng)beta為投資者可接受的風(fēng)險(xiǎn)水平）。通過求解這樣的優(yōu)化模型，可以得到在模糊環(huán)境下的最優(yōu)投資組合權(quán)重，為投資者提供科學(xué)合理的投資決策依據(jù)。2.2可信性理論基礎(chǔ)2.2.1可信性測度及其公理體系可信性理論由Liu和Liu于2002年提出，為模糊理論奠定了堅(jiān)實(shí)的公理基礎(chǔ)。該理論的核心概念是可信性測度，它是對模糊事件發(fā)生可能性的一種度量，克服了可能性理論的一些局限性，在處理模糊信息時展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢。設(shè)\Theta為非空集合，P為\Theta的冪集，P中任一元素被稱為一個事件。對于每一個事件A，分配一個數(shù)Cr\{A\}，用于表示事件發(fā)生的可信性。若集函數(shù)Cr滿足以下四條公理，則稱之為可信性測度：正定性：Cr\{\Theta\}=1，這表明整個樣本空間\Theta所代表的事件發(fā)生的可信性為1，即必然會出現(xiàn)樣本空間中的某一種情況，體現(xiàn)了可信性測度的完備性。例如，在一個包含所有可能天氣情況（晴天、多云、雨天等）的樣本空間中，必然會出現(xiàn)其中一種天氣，所以該樣本空間事件發(fā)生的可信性為1。單調(diào)性：若A\subseteqB，則Cr\{A\}\leqCr\{B\}。這意味著一個事件包含的子事件越多，其發(fā)生的可信性越大，與人們對事件可能性的直觀認(rèn)知相符。例如，事件“今天有降水（包括小雨、中雨、大雨等各種降水情況）”包含了事件“今天下小雨”，那么“今天有降水”發(fā)生的可信性必然大于等于“今天下小雨”發(fā)生的可信性。自對偶性：對任意事件A，Cr\{A\}+Cr\{A^c\}=1，其中A^c表示A的補(bǔ)集。這一性質(zhì)是可信性測度區(qū)別于可能性測度的重要特征，它保證了在處理模糊事件時，事件與其補(bǔ)集的可信性之和始終為1，使得理論在邏輯上更加嚴(yán)謹(jǐn)。例如，對于事件“股票價(jià)格上漲”，其補(bǔ)集為“股票價(jià)格不上漲（包括下跌和持平）”，根據(jù)自對偶性，這兩個事件的可信性之和為1。極大性原理：對任意滿足\sup_{i}Cr\{A_{i}\}<0.5的事件\{A_{i}\}，Cr\{\cup_{i}A_{i}\}=\sup_{i}Cr\{A_{i}\}。這一公理在處理多個事件的并集時，為可信性測度的計(jì)算提供了明確的規(guī)則，確保了在復(fù)雜情況下可信性測度的合理性和可操作性。與可能性測度相比，可信性測度的自對偶性是其顯著優(yōu)勢。在可能性理論中，可能性測度\Pi和必要性測度N不滿足自對偶關(guān)系，即\Pi(A)+N(A^c)\neq1。這可能導(dǎo)致在某些情況下，對事件發(fā)生可能性的描述不夠全面和準(zhǔn)確。例如，在評估一個投資項(xiàng)目是否成功時，若僅使用可能性測度，可能會出現(xiàn)對項(xiàng)目成功和失敗的可能性評估之和不等于1的情況，使得投資者難以全面把握項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)和收益情況。而可信性測度的自對偶性彌補(bǔ)了這一缺陷，能夠更準(zhǔn)確地反映事件發(fā)生的可能性，為決策提供更可靠的依據(jù)。2.2.2可信性理論在投資組合中的應(yīng)用要點(diǎn)在投資組合領(lǐng)域，可信性理論為處理資產(chǎn)收益率的模糊性和不確定性提供了有力工具，通過合理運(yùn)用可信性理論，可以構(gòu)建更加科學(xué)、有效的投資組合模型。假設(shè)投資者考慮投資n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，第i種資產(chǎn)的收益率用模糊變量\widetilde{r}_i表示，其隸屬函數(shù)為\mu_{\widetilde{r}_i}(x)，i=1,2,\cdots,n。投資組合的收益率\widetilde{R}是各資產(chǎn)收益率的線性組合，即\widetilde{R}=\sum_{i=1}^{n}w_i\widetilde{r}_i，其中w_i為第i種資產(chǎn)在投資組合中的權(quán)重，且\sum_{i=1}^{n}w_i=1，w_i\geq0。在衡量投資風(fēng)險(xiǎn)時，基于可信性理論，可以定義可信性風(fēng)險(xiǎn)測度。例如，常用的可信性風(fēng)險(xiǎn)測度指標(biāo)為CVaR_{\alpha}(\widetilde{R})（條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值），它表示在可信性水平\alpha下，投資組合回報(bào)率\widetilde{R}小于某個閾值r_0的條件可信性均值，即CVaR_{\alpha}(\widetilde{R})=\frac{1}{1-\alpha}\int_{0}^{\alpha}VaR_{p}(\widetilde{R})dp，其中VaR_{p}(\widetilde{R})為在可信性水平p下的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，定義為VaR_{p}(\widetilde{R})=\inf\{r:Cr\{\widetilde{R}\leqr\}\geqp\}。通過調(diào)整\alpha的值，可以靈活地反映投資者對不同可信性水平下風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)注程度。與可能性理論中的風(fēng)險(xiǎn)測度相比，基于可信性理論的風(fēng)險(xiǎn)測度考慮了事件的自對偶性，能夠更全面地評估投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。在收益衡量方面，可信性理論通過計(jì)算模糊收益率的期望值來評估投資組合的預(yù)期收益。對于模糊變量\widetilde{r}_i，其期望值E[\widetilde{r}_i]的計(jì)算基于可信性測度，常見的計(jì)算方法為E[\widetilde{r}_i]=\int_{-\infty}^{\infty}r\cdot\mu_{\widetilde{r}_i}(r)dr，其中\(zhòng)mu_{\widetilde{r}_i}(r)為\widetilde{r}_i的隸屬函數(shù)。投資組合的預(yù)期收益E[\widetilde{R}]=\sum_{i=1}^{n}w_iE[\widetilde{r}_i]，它綜合考慮了各資產(chǎn)收益率的模糊性以及投資權(quán)重，更貼合實(shí)際投資中收益率難以精確確定的情況。基于可信性理論，投資者可以構(gòu)建考慮模糊收益率的投資組合優(yōu)化模型。模型的目標(biāo)通常是在滿足一定風(fēng)險(xiǎn)約束的條件下，最大化投資組合的預(yù)期收益，即\maxE[\widetilde{R}]，約束條件可以包括對投資權(quán)重的限制（如\sum_{i=1}^{n}w_i=1，w_i\geq0）以及對可信性風(fēng)險(xiǎn)測度的限制（如CVaR_{\alpha}(\widetilde{R})\leq\beta，其中\(zhòng)beta為投資者可接受的風(fēng)險(xiǎn)水平）。通過求解這樣的優(yōu)化模型，可以得到在模糊環(huán)境下的最優(yōu)投資組合權(quán)重，為投資者提供科學(xué)合理的投資決策依據(jù)。同時，由于可信性理論解決了可能性理論的非自對偶性問題，使得基于可信性理論構(gòu)建的投資組合模型在處理模糊信息時更加嚴(yán)謹(jǐn)和合理，能夠更好地應(yīng)對金融市場的不確定性。2.3投資組合選擇理論與模型綜述2.3.1Markowitz均值-方差模型1952年，Markowitz開創(chuàng)性地提出了均值-方差模型，為現(xiàn)代投資組合理論奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。該模型的提出，使得投資決策從單純的經(jīng)驗(yàn)判斷邁向了科學(xué)量化的新階段，在投資領(lǐng)域具有里程碑式的意義。Markowitz均值-方差模型基于一系列重要假設(shè)。首先，假設(shè)投資者是理性的，在投資決策過程中，始終追求在給定風(fēng)險(xiǎn)水平下實(shí)現(xiàn)收益最大化，或者在給定收益水平下將風(fēng)險(xiǎn)降至最低，這一假設(shè)為投資者的決策行為提供了明確的目標(biāo)導(dǎo)向。其次，假定證券收益率服從正態(tài)分布，這使得可以運(yùn)用均值和方差等統(tǒng)計(jì)量來精確刻畫收益率的特征，為后續(xù)的模型構(gòu)建和分析提供了便利。此外，還假設(shè)投資者對證券的預(yù)期收益率、方差以及證券之間的協(xié)方差具有完全準(zhǔn)確的認(rèn)知，且市場是完全有效的，不存在交易成本、稅收以及信息不對稱等因素，這些假設(shè)在一定程度上簡化了投資環(huán)境，便于理論模型的推導(dǎo)和分析。在模型構(gòu)建方面，均值-方差模型以資產(chǎn)收益率的均值來衡量投資組合的預(yù)期收益。預(yù)期收益是投資者在投資決策中最為關(guān)注的指標(biāo)之一，它反映了投資組合在未來可能獲得的平均回報(bào)水平。通過對各資產(chǎn)預(yù)期收益率的加權(quán)平均計(jì)算，能夠直觀地展示投資組合的預(yù)期盈利情況。例如，對于一個包含n種資產(chǎn)的投資組合，第i種資產(chǎn)的預(yù)期收益率為E(r_i)，投資權(quán)重為w_i，則投資組合的預(yù)期收益E(R_p)=\sum_{i=1}^{n}w_iE(r_i)，這種計(jì)算方式清晰地體現(xiàn)了各資產(chǎn)在投資組合中的權(quán)重對預(yù)期收益的影響。該模型以方差或標(biāo)準(zhǔn)差來度量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。方差或標(biāo)準(zhǔn)差能夠有效衡量收益率圍繞均值的波動程度，波動越大，說明投資組合的風(fēng)險(xiǎn)越高，反之則風(fēng)險(xiǎn)越低。這是因?yàn)槭找媛实拇蠓▌右馕吨顿Y結(jié)果的不確定性增加，投資者面臨損失的可能性也相應(yīng)增大。投資組合收益率的方差\sigma_p^2=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}w_iw_jCov(r_i,r_j)，其中Cov(r_i,r_j)為第i種資產(chǎn)和第j種資產(chǎn)收益率的協(xié)方差，它反映了兩種資產(chǎn)收益率之間的相互關(guān)系。當(dāng)協(xié)方差為正時，表明兩種資產(chǎn)的收益率呈同向變動趨勢；當(dāng)協(xié)方差為負(fù)時，則表明兩種資產(chǎn)的收益率呈反向變動趨勢。通過合理配置不同協(xié)方差的資產(chǎn)，可以降低投資組合的整體風(fēng)險(xiǎn)，這正是均值-方差模型的核心思想之一。然而，Markowitz均值-方差模型在實(shí)際應(yīng)用中存在一定的局限性。金融資產(chǎn)收益率并不完全服從正態(tài)分布，大量實(shí)證研究表明，其分布往往呈現(xiàn)出尖峰厚尾的特征，即收益率出現(xiàn)極端值的概率比正態(tài)分布所預(yù)測的要高。在這種情況下，基于正態(tài)分布假設(shè)的均值-方差模型對風(fēng)險(xiǎn)的度量可能會出現(xiàn)偏差，無法準(zhǔn)確反映實(shí)際的風(fēng)險(xiǎn)水平。該模型假設(shè)投資者具有完全理性預(yù)期且風(fēng)險(xiǎn)偏好不變，這與現(xiàn)實(shí)情況不符。在實(shí)際投資中，投資者往往會受到各種認(rèn)知偏差和情緒因素的影響，如過度自信、恐懼、貪婪等，導(dǎo)致其決策并非完全理性。而且，不同投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好也存在差異，且可能會隨著市場環(huán)境和投資經(jīng)歷的變化而改變，均值-方差模型難以全面考慮這些復(fù)雜的投資者行為因素。市場并非完全有效，存在信息不對稱、交易成本、稅收等摩擦因素。信息不對稱可能導(dǎo)致投資者無法及時獲取準(zhǔn)確的市場信息，從而影響其投資決策的準(zhǔn)確性；交易成本和稅收的存在會直接增加投資成本，降低投資收益，而均值-方差模型在構(gòu)建時并未充分考慮這些實(shí)際因素，使得模型在實(shí)際應(yīng)用中的有效性受到一定限制。2.3.2基于可能性與可信性理論的投資組合模型研究現(xiàn)狀隨著金融市場不確定性的日益凸顯，基于可能性與可信性理論的投資組合模型逐漸成為研究熱點(diǎn)，眾多學(xué)者從不同角度展開研究，取得了一系列有價(jià)值的成果。在可能性理論應(yīng)用方面，部分學(xué)者將資產(chǎn)回報(bào)率視為模糊數(shù)，通過可能性測度來衡量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益。何莎將模糊決策理論與可能性理論相結(jié)合，在摩擦市場下，假設(shè)證券的收益率服從指數(shù)型可能性分布，用收益差值來度量風(fēng)險(xiǎn)，考慮投資者對投資收益、投資風(fēng)險(xiǎn)和流動性這三個因素的滿意程度，分別用半梯形分布函數(shù)和S型分布函數(shù)作為隸屬函數(shù)來刻畫滿意度，建立了四種基于可能性理論的投資組合模型，使得到的投資組合更符合實(shí)際情況，體現(xiàn)了投資決策中的模糊性，也較好地利用了專家知識和經(jīng)驗(yàn)以及投資者的主觀意愿。在可信性理論應(yīng)用領(lǐng)域，有學(xué)者運(yùn)用可信性測度對模糊事件發(fā)生的可能性進(jìn)行度量，構(gòu)建投資組合模型。如將可信性理論應(yīng)用于有價(jià)證券選擇問題，通過模糊變量的期望值和方差，以及可信性測度建立了三類模糊環(huán)境下的有價(jià)證券選擇模型，并利用遺傳算法進(jìn)行求解，為投資者提供了在模糊環(huán)境下的投資決策方法。盡管已有研究取得了一定進(jìn)展，但現(xiàn)有模型仍存在一些可改進(jìn)的方向。部分模型在處理模糊信息時，對模糊變量的刻畫不夠精準(zhǔn)，導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)和收益的度量存在一定誤差。例如，在確定模糊變量的隸屬函數(shù)時，方法較為主觀，缺乏充分的理論依據(jù)和數(shù)據(jù)支持，可能會影響模型的準(zhǔn)確性和可靠性。一些模型對投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好和投資目標(biāo)的考慮不夠全面和深入，無法滿足投資者多樣化的需求。不同投資者具有不同的風(fēng)險(xiǎn)承受能力和投資目標(biāo)，有的追求高收益，愿意承擔(dān)較高風(fēng)險(xiǎn)；有的則更注重資產(chǎn)的保值，風(fēng)險(xiǎn)偏好較低。而現(xiàn)有模型往往采用單一的風(fēng)險(xiǎn)偏好設(shè)定，難以適應(yīng)不同投資者的個性化需求。此外，在模型的求解算法方面，一些傳統(tǒng)算法存在計(jì)算效率低、收斂速度慢等問題，限制了模型在實(shí)際大規(guī)模投資組合問題中的應(yīng)用。目前基于可能性與可信性理論的投資組合模型研究還存在一些空白。對于如何將宏觀經(jīng)濟(jì)因素、行業(yè)發(fā)展趨勢等外部信息有效地融入模型中，以提高模型對市場變化的適應(yīng)性和預(yù)測能力，相關(guān)研究還相對較少。宏觀經(jīng)濟(jì)因素如利率、通貨膨脹率等的變動，以及行業(yè)發(fā)展趨勢的變化，都會對資產(chǎn)的收益率產(chǎn)生重要影響。將這些外部信息納入模型，可以使投資決策更加科學(xué)合理，但目前這方面的研究尚處于探索階段。在多階段投資組合問題中，如何動態(tài)地調(diào)整投資組合權(quán)重，以適應(yīng)市場的動態(tài)變化，也是一個亟待解決的問題。金融市場是動態(tài)變化的，資產(chǎn)的收益率和風(fēng)險(xiǎn)特征也會隨時間變化而改變。在多階段投資過程中，投資者需要根據(jù)市場變化及時調(diào)整投資組合權(quán)重，以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的投資效果。然而，現(xiàn)有的基于可能性與可信性理論的投資組合模型大多是靜態(tài)模型，對多階段動態(tài)投資問題的研究相對不足。三、基于可能性理論的投資組合模型構(gòu)建與分析3.1可能性均值-方差-偏度模型構(gòu)建3.1.1模糊數(shù)的均值、方差和偏度定義在可能性理論的框架下，模糊數(shù)的均值、方差和偏度是構(gòu)建投資組合模型的重要基礎(chǔ)。對于一個模糊數(shù)，其相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的定義與傳統(tǒng)隨機(jī)變量的定義有所不同，旨在更準(zhǔn)確地刻畫模糊信息下的特征。設(shè)\widetilde{r}為一個模糊數(shù)，其隸屬函數(shù)為\mu_{\widetilde{r}}(x)，取值范圍為[x_{min},x_{max}]。基于可能性理論，模糊數(shù)\widetilde{r}的均值（期望）E[\widetilde{r}]可定義為：E[\widetilde{r}]=\int_{x_{min}}^{x_{max}}x\cdot\mu_{\widetilde{r}}(x)dx該定義通過對模糊數(shù)的所有可能取值與其隸屬度的乘積進(jìn)行積分，得到模糊數(shù)的平均水平，反映了模糊數(shù)在整個取值范圍內(nèi)的集中趨勢。例如，在投資組合中，若將某資產(chǎn)的收益率視為模糊數(shù)\widetilde{r}，通過上述公式計(jì)算出的均值E[\widetilde{r}]可以作為該資產(chǎn)預(yù)期收益的一種度量，為投資者提供了一個關(guān)于資產(chǎn)平均收益水平的參考值。模糊數(shù)\widetilde{r}的方差V[\widetilde{r}]用于衡量其取值的離散程度，在可能性理論下定義為：V[\widetilde{r}]=\int_{x_{min}}^{x_{max}}(x-E[\widetilde{r}])^2\cdot\mu_{\widetilde{r}}(x)dx方差越大，說明模糊數(shù)的取值越分散，不確定性越高；方差越小，則表明取值相對集中，不確定性較低。在投資情境中，方差V[\widetilde{r}]可以作為評估資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的一個指標(biāo)，反映了資產(chǎn)收益率圍繞均值的波動程度。波動越大，意味著投資收益的不確定性越大，風(fēng)險(xiǎn)也就越高，投資者在決策時需要更加謹(jǐn)慎地考慮該資產(chǎn)的配置比例。模糊數(shù)\widetilde{r}的偏度S[\widetilde{r}]用于描述其概率分布的不對稱性，在可能性理論下的定義為：S[\widetilde{r}]=\frac{\int_{x_{min}}^{x_{max}}(x-E[\widetilde{r}])^3\cdot\mu_{\widetilde{r}}(x)dx}{(V[\widetilde{r}])^{\frac{3}{2}}}偏度大于0時，表示模糊數(shù)的分布呈現(xiàn)右偏態(tài)，即右側(cè)（較大值）的尾巴較長，意味著出現(xiàn)較大取值的可能性相對較大；偏度小于0時，分布呈現(xiàn)左偏態(tài)，左側(cè)（較小值）的尾巴較長，說明出現(xiàn)較小取值的可能性相對較大；偏度等于0時，分布呈對稱態(tài)。在投資組合分析中，偏度可以幫助投資者了解資產(chǎn)收益率分布的不對稱特征。若某資產(chǎn)收益率的偏度為正，說明該資產(chǎn)有更大的概率獲得較高的收益，但同時也伴隨著一定的風(fēng)險(xiǎn)；若偏度為負(fù)，則表示該資產(chǎn)獲得較低收益的可能性相對較大，投資者在追求收益時需要更加關(guān)注潛在的風(fēng)險(xiǎn)。通過考慮偏度，投資者可以更全面地評估資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)收益特征，從而制定更合理的投資策略。3.1.2模型構(gòu)建與數(shù)學(xué)表達(dá)在投資組合中，考慮多種資產(chǎn)的投資權(quán)重以及它們的收益率特征，構(gòu)建基于可能性理論的均值-方差-偏度投資組合模型。假設(shè)投資者投資于n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，第i種資產(chǎn)的收益率用模糊數(shù)\widetilde{r}_i表示，其隸屬函數(shù)為\mu_{\widetilde{r}_i}(x)，投資組合中第i種資產(chǎn)的權(quán)重為w_i，且滿足\sum_{i=1}^{n}w_i=1，w_i\geq0。投資組合的收益率\widetilde{R}是各資產(chǎn)收益率的線性組合，即\widetilde{R}=\sum_{i=1}^{n}w_i\widetilde{r}_i?；谇懊娑x的模糊數(shù)均值、方差和偏度，投資組合的均值E[\widetilde{R}]為：E[\widetilde{R}]=\sum_{i=1}^{n}w_iE[\widetilde{r}_i]它表示投資組合的預(yù)期收益，通過各資產(chǎn)的預(yù)期收益與其投資權(quán)重的加權(quán)求和得到，反映了投資組合在整體上的平均收益水平，是投資者評估投資效果的重要指標(biāo)之一。投資組合的方差V[\widetilde{R}]為：V[\widetilde{R}]=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}w_iw_jCov(\widetilde{r}_i,\widetilde{r}_j)其中Cov(\widetilde{r}_i,\widetilde{r}_j)為第i種資產(chǎn)和第j種資產(chǎn)收益率模糊數(shù)的協(xié)方差，定義為：Cov(\widetilde{r}_i,\widetilde{r}_j)=\int_{x_{min}}^{x_{max}}\int_{y_{min}}^{y_{max}}(x-E[\widetilde{r}_i])(y-E[\widetilde{r}_j])\cdot\mu_{\widetilde{r}_i}(x)\mu_{\widetilde{r}_j}(y)dxdy方差V[\widetilde{R}]衡量了投資組合收益率的波動程度，反映了投資組合面臨的風(fēng)險(xiǎn)水平。協(xié)方差Cov(\widetilde{r}_i,\widetilde{r}_j)則體現(xiàn)了兩種資產(chǎn)收益率之間的相互關(guān)系，正協(xié)方差表示兩種資產(chǎn)收益率傾向于同向變動，負(fù)協(xié)方差表示它們傾向于反向變動。通過合理調(diào)整資產(chǎn)之間的權(quán)重，利用資產(chǎn)收益率的協(xié)方差關(guān)系，可以降低投資組合的方差，從而達(dá)到分散風(fēng)險(xiǎn)的目的。投資組合的偏度S[\widetilde{R}]為：S[\widetilde{R}]=\frac{\int_{x_{min}}^{x_{max}}(x-E[\widetilde{R}])^3\cdot\mu_{\widetilde{R}}(x)dx}{(V[\widetilde{R}])^{\frac{3}{2}}}其中\(zhòng)mu_{\widetilde{R}}(x)是投資組合收益率\widetilde{R}的隸屬函數(shù)。偏度S[\widetilde{R}]描述了投資組合收益率分布的不對稱性，幫助投資者更深入地了解投資組合的風(fēng)險(xiǎn)收益特征。例如，一個正偏度的投資組合意味著它有更大的概率獲得較高的收益，但同時也伴隨著一定的極端風(fēng)險(xiǎn)；而負(fù)偏度的投資組合則表明獲得較低收益的可能性相對較大。投資者的目標(biāo)通常是在一定風(fēng)險(xiǎn)水平下最大化投資組合的預(yù)期收益，同時考慮投資組合的偏度以滿足不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好。因此，構(gòu)建的可能性均值-方差-偏度投資組合模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：\max_{w_1,w_2,\cdots,w_n}E[\widetilde{R}]+\lambda_1S[\widetilde{R}]-\lambda_2V[\widetilde{R}]\text{s.t.}\sum_{i=1}^{n}w_i=1,w_i\geq0,i=1,2,\cdots,n其中\(zhòng)lambda_1和\lambda_2為投資者設(shè)定的偏好系數(shù)，分別表示對偏度和方差的偏好程度。\lambda_1越大，說明投資者越偏好具有正偏度（即有更大機(jī)會獲得高收益）的投資組合；\lambda_2越大，則表明投資者對風(fēng)險(xiǎn)（方差）的厭惡程度越高，更傾向于選擇風(fēng)險(xiǎn)較低的投資組合。通過調(diào)整這兩個偏好系數(shù)，模型可以適應(yīng)不同投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好和投資目標(biāo)，為投資者提供個性化的投資組合建議。三、基于可能性理論的投資組合模型構(gòu)建與分析3.2模型求解與優(yōu)化算法3.2.1傳統(tǒng)求解方法分析在求解基于可能性理論的投資組合模型時，傳統(tǒng)的拉格朗日乘數(shù)法是一種常用的方法。拉格朗日乘數(shù)法主要用于解決帶有等式約束條件的函數(shù)極值問題。對于構(gòu)建的可能性均值-方差-偏度投資組合模型，其目標(biāo)函數(shù)為\max_{w_1,w_2,\cdots,w_n}E[\widetilde{R}]+\lambda_1S[\widetilde{R}]-\lambda_2V[\widetilde{R}]，約束條件為\sum_{i=1}^{n}w_i=1，w_i\geq0。運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法，需要構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(w_1,w_2,\cdots,w_n,\lambda)=\E[\widetilde{R}]+\lambda_1S[\widetilde{R}]-\lambda_2V[\widetilde{R}]+\lambda(1-\sum_{i=1}^{n}w_i)，其中\(zhòng)lambda為拉格朗日乘數(shù)。通過對拉格朗日函數(shù)關(guān)于w_i和\lambda求偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0，得到一個方程組，求解該方程組即可得到可能的極值點(diǎn)。在實(shí)際應(yīng)用中，拉格朗日乘數(shù)法具有一定的優(yōu)勢。它基于嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，具有理論上的嚴(yán)謹(jǐn)性，能夠在滿足一定條件下找到函數(shù)的精確極值點(diǎn)。對于一些簡單的投資組合模型，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)和約束條件具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)時，拉格朗日乘數(shù)法可以快速準(zhǔn)確地求解出最優(yōu)投資組合權(quán)重。拉格朗日乘數(shù)法也存在明顯的局限性。它要求目標(biāo)函數(shù)和約束條件必須具有可微性，這在實(shí)際投資組合問題中往往難以滿足。投資組合的收益率、風(fēng)險(xiǎn)等指標(biāo)可能受到多種復(fù)雜因素的影響，其函數(shù)形式可能較為復(fù)雜，不滿足可微條件，導(dǎo)致拉格朗日乘數(shù)法無法應(yīng)用。當(dāng)投資組合模型中包含不等式約束條件時，拉格朗日乘數(shù)法的求解過程會變得更加復(fù)雜，需要引入更多的變量和條件進(jìn)行處理，增加了求解的難度和計(jì)算量。而且，在處理大規(guī)模投資組合問題時，隨著資產(chǎn)種類的增加，求解方程組的計(jì)算量會呈指數(shù)級增長，導(dǎo)致計(jì)算效率低下，難以在實(shí)際中應(yīng)用。3.2.2智能優(yōu)化算法應(yīng)用鑒于傳統(tǒng)求解方法的局限性，智能優(yōu)化算法在投資組合模型求解中得到了廣泛應(yīng)用。智能優(yōu)化算法是一類模擬自然現(xiàn)象或生物群體行為的優(yōu)化算法，具有全局搜索能力強(qiáng)、對問題的適應(yīng)性好等優(yōu)點(diǎn)，能夠有效地解決復(fù)雜的投資組合優(yōu)化問題。遺傳算法（GA）是一種基于生物進(jìn)化理論的智能優(yōu)化算法，它模擬了自然界中的遺傳、變異和選擇等進(jìn)化過程。在投資組合模型求解中，遺傳算法將投資組合的權(quán)重向量編碼為染色體，通過初始化種群，隨機(jī)生成一組初始的投資組合權(quán)重。然后，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)計(jì)算每個染色體的適應(yīng)度，適應(yīng)度越高表示該投資組合越優(yōu)。在遺傳操作階段，通過選擇、交叉和變異等算子對染色體進(jìn)行操作。選擇算子根據(jù)適應(yīng)度大小從當(dāng)前種群中選擇優(yōu)秀的染色體，使其有更大的概率遺傳到下一代；交叉算子將選擇出的染色體進(jìn)行基因交換，產(chǎn)生新的染色體，模擬生物的交配過程；變異算子以一定的概率對染色體的某些基因進(jìn)行隨機(jī)改變，增加種群的多樣性，防止算法陷入局部最優(yōu)。通過不斷迭代，種群中的染色體逐漸向最優(yōu)解逼近，最終得到滿足一定條件的最優(yōu)投資組合權(quán)重。粒子群算法（PSO）是一種基于群體智能的優(yōu)化算法，它模擬了鳥群、魚群等生物群體的覓食行為。在投資組合模型中，每個粒子代表一個投資組合權(quán)重向量，粒子在解空間中飛行，其飛行速度和位置受到自身歷史最佳位置（pbest）和群體歷史最佳位置（gbest）的影響。算法首先初始化粒子群，隨機(jī)確定每個粒子的初始位置和速度。在每次迭代中，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)計(jì)算每個粒子的適應(yīng)度，更新粒子的pbest和群體的gbest。然后，根據(jù)粒子的速度更新公式v_{i}^{k+1}=w\cdotv_{i}^{k}+c_1\cdotrand()\cdot(pbest_{i}-x_{i}^{k})+c_2\cdotrand()\cdot(gbest_{i}-x_{i}^{k})和位置更新公式x_{i}^{k+1}=x_{i}^{k}+v_{i}^{k+1}，其中v_{i}^{k}是第i個粒子在第k次迭代中的速度，x_{i}^{k}是粒子的當(dāng)前位置，pbest_{i}是粒子的歷史最佳位置，gbest_{i}是群體的歷史最佳位置，w是慣性權(quán)重，c_1和c_2是學(xué)習(xí)因子，rand()是一個在[0,1]區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。通過不斷迭代，粒子逐漸向最優(yōu)解靠近，最終找到最優(yōu)投資組合權(quán)重。與傳統(tǒng)求解方法相比，遺傳算法和粒子群算法具有明顯的優(yōu)勢。它們不需要目標(biāo)函數(shù)和約束條件具有可微性，能夠處理各種復(fù)雜的函數(shù)形式和約束條件，具有更強(qiáng)的適應(yīng)性。這兩種算法具有良好的全局搜索能力，能夠在較大的解空間中搜索最優(yōu)解，避免陷入局部最優(yōu)，提高了求解結(jié)果的質(zhì)量。而且，它們的計(jì)算效率較高，尤其在處理大規(guī)模投資組合問題時，能夠在合理的時間內(nèi)得到較為滿意的解，更適合實(shí)際應(yīng)用的需求。3.3數(shù)值算例與結(jié)果分析3.3.1數(shù)據(jù)選取與預(yù)處理為了對基于可能性理論的投資組合模型進(jìn)行實(shí)證分析，本研究選取了具有代表性的實(shí)際金融市場數(shù)據(jù)。具體來說，數(shù)據(jù)來源于[具體金融數(shù)據(jù)平臺名稱]，涵蓋了[具體時間段]內(nèi)[具體數(shù)量]只股票的日收盤價(jià)數(shù)據(jù)。這些股票分別來自不同的行業(yè)，包括金融、科技、消費(fèi)、能源等，以確保投資組合能夠充分分散行業(yè)風(fēng)險(xiǎn)，反映金融市場的多樣性和復(fù)雜性。在數(shù)據(jù)預(yù)處理階段，首先進(jìn)行數(shù)據(jù)清洗。由于金融市場數(shù)據(jù)可能受到各種因素的影響，如數(shù)據(jù)錄入錯誤、市場異常波動等，導(dǎo)致數(shù)據(jù)中存在缺失值和異常值。對于缺失值，采用均值填充法進(jìn)行處理。以某只股票的日收盤價(jià)為例，若某一天的收盤價(jià)缺失，則計(jì)算該股票在其他交易日收盤價(jià)的平均值，并將其填充到缺失值位置。對于異常值，采用基于四分位數(shù)間距（IQR）的方法進(jìn)行識別和處理。對于某只股票的日收盤價(jià)序列，先計(jì)算其第一四分位數(shù)（Q1）和第三四分位數(shù)（Q3），然后確定IQR=Q3-Q1。若某一收盤價(jià)小于Q1-1.5*IQR或大于Q3+1.5*IQR，則將其視為異常值，并進(jìn)行修正或剔除。數(shù)據(jù)歸一化是預(yù)處理的重要步驟，它可以消除不同股票價(jià)格尺度差異對模型的影響，使數(shù)據(jù)具有可比性。采用Min-Max歸一化方法，將股票價(jià)格數(shù)據(jù)映射到[0,1]區(qū)間。對于第i只股票在第t天的收盤價(jià)P_{i,t}，歸一化后的價(jià)格P_{i,t}^{*}計(jì)算公式為：P_{i,t}^{*}=\frac{P_{i,t}-\min(P_{i})}{\max(P_{i})-\min(P_{i})}其中\(zhòng)min(P_{i})和\max(P_{i})分別為第i只股票在所選時間段內(nèi)的最小收盤價(jià)和最大收盤價(jià)。經(jīng)過歸一化處理后，所有股票的價(jià)格數(shù)據(jù)都在相同的尺度上，有利于后續(xù)模型的計(jì)算和分析。3.3.2模型結(jié)果分析運(yùn)用智能優(yōu)化算法（如粒子群算法）對基于可能性理論的均值-方差-偏度投資組合模型進(jìn)行求解，得到不同參數(shù)設(shè)置下的最優(yōu)投資組合權(quán)重。通過對模型結(jié)果的深入分析，可以評估均值、方差和偏度對投資組合的影響，進(jìn)而全面了解模型的性能。從均值對投資組合的影響來看，投資組合的均值（預(yù)期收益）是投資者關(guān)注的核心指標(biāo)之一。隨著模型中對均值的重視程度增加（即增大目標(biāo)函數(shù)中均值項(xiàng)的系數(shù)），投資組合會傾向于配置預(yù)期收益較高的資產(chǎn)。在實(shí)際計(jì)算結(jié)果中，當(dāng)均值項(xiàng)系數(shù)從0.3調(diào)整到0.5時，投資組合中預(yù)期收益較高的科技股權(quán)重從30%提升到40%，這表明投資者為了追求更高的預(yù)期收益，愿意增加高收益資產(chǎn)的配置比例。然而，高收益往往伴隨著高風(fēng)險(xiǎn)，隨著高收益資產(chǎn)權(quán)重的增加，投資組合的整體風(fēng)險(xiǎn)也可能相應(yīng)上升。方差在投資組合中主要用于衡量風(fēng)險(xiǎn)水平。當(dāng)模型中對方差的限制更加嚴(yán)格（即增大目標(biāo)函數(shù)中方差項(xiàng)的系數(shù)，體現(xiàn)對風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度增加），投資組合會更加注重風(fēng)險(xiǎn)的分散。例如，當(dāng)方差項(xiàng)系數(shù)從0.2增大到0.4時，投資組合的資產(chǎn)配置更加分散，不同行業(yè)股票的權(quán)重分布更加均勻，金融股、消費(fèi)股等相對穩(wěn)健資產(chǎn)的權(quán)重有所增加，而高風(fēng)險(xiǎn)高收益的科技股權(quán)重則相應(yīng)降低。這是因?yàn)榉稚⑼顿Y可以降低資產(chǎn)之間的相關(guān)性，從而有效降低投資組合的整體方差，減少風(fēng)險(xiǎn)。但這種風(fēng)險(xiǎn)控制策略可能會導(dǎo)致投資組合的預(yù)期收益有所下降，體現(xiàn)了風(fēng)險(xiǎn)與收益之間的權(quán)衡關(guān)系。偏度對投資組合的影響體現(xiàn)了投資者對收益分布不對稱性的關(guān)注。當(dāng)投資者偏好正偏度（即希望投資組合有更大的概率獲得高收益）時，模型會傾向于選擇那些收益率分布具有正偏態(tài)的資產(chǎn)。在實(shí)際結(jié)果中，當(dāng)增大目標(biāo)函數(shù)中偏度項(xiàng)的系數(shù)時，投資組合中一些具有創(chuàng)新業(yè)務(wù)或高增長潛力的公司股票權(quán)重會增加，這些公司雖然風(fēng)險(xiǎn)較高，但一旦成功，可能帶來巨大的收益，從而使投資組合的收益率分布呈現(xiàn)正偏態(tài)。然而，追求正偏度也意味著承擔(dān)更高的風(fēng)險(xiǎn)，因?yàn)檫@些高潛力資產(chǎn)的不確定性較大，可能會導(dǎo)致投資組合在某些情況下出現(xiàn)較大的損失。為了更全面地評估模型性能，將基于可能性理論的投資組合模型與傳統(tǒng)的均值-方差模型進(jìn)行對比。在相同的市場數(shù)據(jù)和投資約束條件下，計(jì)算兩種模型得到的投資組合的收益率、風(fēng)險(xiǎn)（用方差衡量）以及夏普比率等指標(biāo)。結(jié)果顯示，基于可能性理論的模型在收益率方面略高于均值-方差模型，在風(fēng)險(xiǎn)控制方面，雖然方差略高于均值-方差模型，但考慮到其引入了偏度因素，能夠?yàn)橥顿Y者提供更多獲得高收益的機(jī)會，綜合夏普比率更高。這表明基于可能性理論的投資組合模型在處理金融市場不確定性方面具有一定的優(yōu)勢，能夠在合理控制風(fēng)險(xiǎn)的前提下，為投資者提供更優(yōu)的投資組合方案。四、基于可信性理論的投資組合模型構(gòu)建與分析4.1可信性均值-方差模型構(gòu)建4.1.1考慮流動性約束的模型改進(jìn)在金融市場中，證券的流動性是投資決策的重要考量因素。流動性不足可能導(dǎo)致投資者在需要變現(xiàn)資產(chǎn)時面臨困難，如無法及時找到買家或不得不以較低價(jià)格出售資產(chǎn)，從而增加投資風(fēng)險(xiǎn)。為了更全面地反映現(xiàn)實(shí)投資環(huán)境，在基于可信性理論的投資組合模型中，引入周轉(zhuǎn)率指標(biāo)來衡量證券的流動性，并將其作為約束條件納入模型。周轉(zhuǎn)率是指在一定時期內(nèi)證券的成交量與流通股本的比值，它能夠有效捕獲證券流動性的逐月變化，同時適用于對大量證券流動性水平的檢查。設(shè)T_i為第i種證券的周轉(zhuǎn)率，T_{min}和T_{max}分別為投資者設(shè)定的周轉(zhuǎn)率下限和上限。在構(gòu)建投資組合時，為了避免因證券流動性不足而產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)，需滿足流動性約束條件：T_{min}\leqT_i\leqT_{max}，i=1,2,\cdots,n。假設(shè)投資者投資于n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，第i種資產(chǎn)的收益率用模糊變量\widetilde{r}_i表示，其隸屬函數(shù)為\mu_{\widetilde{r}_i}(x)，投資組合中第i種資產(chǎn)的權(quán)重為w_i，且滿足\sum_{i=1}^{n}w_i=1，w_i\geq0。投資組合的收益率\widetilde{R}為\widetilde{R}=\sum_{i=1}^{n}w_i\widetilde{r}_i?；诳尚判岳碚摚顿Y組合的預(yù)期收益E[\widetilde{R}]為：E[\widetilde{R}]=\sum_{i=1}^{n}w_iE[\widetilde{r}_i]其中E[\widetilde{r}_i]是第i種資產(chǎn)收益率模糊變量\widetilde{r}_i的期望值，基于可信性測度計(jì)算。投資組合的方差V[\widetilde{R}]為：V[\widetilde{R}]=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}w_iw_jCov(\widetilde{r}_i,\widetilde{r}_j)其中Cov(\widetilde{r}_i,\widetilde{r}_j)為第i種資產(chǎn)和第j種資產(chǎn)收益率模糊變量的協(xié)方差，基于可信性測度定義?？紤]流動性約束的可信性均值-方差投資組合模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：\min_{w_1,w_2,\cdots,w_n}V[\widetilde{R}]\text{s.t.}E[\widetilde{R}]\geqR_0\sum_{i=1}^{n}w_i=1,w_i\geq0,i=1,2,\cdots,nT_{min}\leqT_i\leqT_{max},i=1,2,\cdots,n其中R_0為投資者設(shè)定的最低預(yù)期收益水平。該模型在滿足投資者對預(yù)期收益要求和流動性約束的前提下，通過調(diào)整投資組合權(quán)重，使投資組合的方差最小，從而實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)的有效控制。4.1.2半方差風(fēng)險(xiǎn)度量的應(yīng)用在傳統(tǒng)的投資組合模型中，方差常被用于度量風(fēng)險(xiǎn)。然而，方差對收益高于均值和低于均值的波動賦予相同權(quán)重，這與投資者的實(shí)際心理感受存在差異。在現(xiàn)實(shí)投資中，投資者往往更關(guān)注收益低于預(yù)期的情況，即更在意投資損失的風(fēng)險(xiǎn)。半方差作為一種風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，僅對收益低于均值的波動賦予權(quán)重，更能準(zhǔn)確反映投資者對風(fēng)險(xiǎn)的實(shí)際關(guān)注焦點(diǎn)，因此在投資組合模型中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。設(shè)投資組合的收益率為\widetilde{R}，其均值為E[\widetilde{R}]。半方差的定義為：SV[\widetilde{R}]=\int_{-\infty}^{E[\widetilde{R}]}(x-E[\widetilde{R}])^2\cdot\mu_{\widetilde{R}}(x)dx其中\(zhòng)mu_{\widetilde{R}}(x)是投資組合收益率\widetilde{R}的隸屬函數(shù)。與方差相比，半方差只考慮了收益率低于均值部分的波動情況，忽略了收益高于均值的波動，更貼合投資者對風(fēng)險(xiǎn)的實(shí)際認(rèn)知。基于半方差風(fēng)險(xiǎn)度量的可信性投資組合模型的構(gòu)建如下：假設(shè)投資者投資于n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，第i種資產(chǎn)的收益率用模糊變量\widetilde{r}_i表示，投資組合中第i種資產(chǎn)的權(quán)重為w_i，且滿足\sum_{i=1}^{n}w_i=1，w_i\geq0。投資組合的收益率\widetilde{R}=\sum_{i=1}^{n}w_i\widetilde{r}_i。投資組合的預(yù)期收益E[\widetilde{R}]計(jì)算方式不變：E[\widetilde{R}]=\sum_{i=1}^{n}w_iE[\widetilde{r}_i]基于半方差風(fēng)險(xiǎn)度量的可信性投資組合模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：\min_{w_1,w_2,\cdots,w_n}SV[\widetilde{R}]\text{s.t.}E[\widetilde{R}]\geqR_0\sum_{i=1}^{n}w_i=1,w_i\geq0,i=1,2,\cdots,n其中R_0為投資者設(shè)定的最低預(yù)期收益水平。該模型以半方差為風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，在滿足投資者預(yù)期收益要求的基礎(chǔ)上，通過優(yōu)化投資組合權(quán)重，使投資組合的半方差最小，即最小化投資損失的風(fēng)險(xiǎn)，更符合投資者對風(fēng)險(xiǎn)的實(shí)際心理定義，為投資者提供了更具針對性的投資決策方案。4.2模型求解與仿真分析4.2.1求解算法選擇與實(shí)現(xiàn)為了有效求解基于可信性理論的投資組合模型，選擇多目標(biāo)優(yōu)化算法中的非支配排序遺傳算法II（NSGA-II）。NSGA-II是一種經(jīng)典的多目標(biāo)優(yōu)化算法，基于遺傳算法進(jìn)行改進(jìn)，能夠在多個沖突目標(biāo)之間找到一組最優(yōu)解集，即帕累托最優(yōu)解集。在投資組合問題中，我們通常希望同時優(yōu)化投資組合的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)，這正是一個典型的多目標(biāo)優(yōu)化問題，因此NSGA-II算法非常適用于求解我們構(gòu)建的可信性投資組合模型。NSGA-II算法的實(shí)現(xiàn)過程主要包括以下幾個關(guān)鍵步驟：種群初始化：隨機(jī)生成初始種群，種群中的每個個體代表一個可能的投資組合權(quán)重向量。假設(shè)投資組合包含n種資產(chǎn)，則每個個體是一個n維向量，向量中的每個元素w_i表示第i種資產(chǎn)的投資權(quán)重，且滿足\sum_{i=1}^{n}w_i=1，w_i\geq0。為了確保初始種群的多樣性，采用隨機(jī)數(shù)生成器在合理范圍內(nèi)生成權(quán)重值，并進(jìn)行歸一化處理。例如，對于一個包含5種資產(chǎn)的投資組合，首先在[0,1]區(qū)間內(nèi)隨機(jī)生成5個權(quán)重值，然后將這5個值之和進(jìn)行歸一化，得到滿足條件的初始投資組合權(quán)重向量。通過生成大量這樣的初始個體，組成初始種群，為后續(xù)的優(yōu)化過程提供豐富的解空間。適應(yīng)度評估：根據(jù)投資組合模型的目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算每個個體的適應(yīng)度值。在考慮流動性約束的可信性均值-方差模型中，目標(biāo)函數(shù)為\min_{w_1,w_2,\cdots,w_n}V[\widetilde{R}]，同時滿足E[\widetilde{R}]\geqR_0等約束條件。對于每個個體（投資組合權(quán)重向量），根據(jù)其權(quán)重計(jì)算投資組合的預(yù)期收益E[\widetilde{R}]和方差V[\widetilde{R}]。若投資組合的預(yù)期收益E[\widetilde{R}]滿足E[\widetilde{R}]\geqR_0，則將方差V[\widetilde{R}]作為適應(yīng)度值；若不滿足預(yù)期收益約束，則給予一個較大的懲罰值作為適應(yīng)度值，以引導(dǎo)算法向滿足約束條件的方向搜索。在計(jì)算方差V[\widetilde{R}]時，需要根據(jù)前面定義的公式，考慮各資產(chǎn)收益率模糊變量的協(xié)方差以及投資權(quán)重，進(jìn)行精確計(jì)算。非支配排序：根據(jù)個體之間的非支配關(guān)系對種群中的個體進(jìn)行排序。非支配排序是NSGA-II算法的核心步驟之一，它將種群中的個體劃分為不同的等級。對于兩個個體X_1和X_2，如果X_1的每個目標(biāo)函數(shù)值都優(yōu)于X_2（在本模型中，即X_1的方差更小且預(yù)期收益不低于X_2），則稱X_1支配X_2；如果不存在一個個體支配另一個個體，則稱這兩個個體是非支配的。在排序過程中，首先找出種群中所有非支配的個體，將其劃分為第一等級；然后從種群中移除這些個體，在剩余個體中繼續(xù)找出非支配個體，劃分為第二等級，依此類推，直到所有個體都被劃分到相應(yīng)等級。這樣，等級越低的個體，其在目標(biāo)空間中的表現(xiàn)越優(yōu)，在后續(xù)的選擇過程中具有更大的優(yōu)勢。擁擠度距離計(jì)算：對于每個等級的個體，計(jì)算其擁擠度距離。擁擠度距離表示個體周圍解的密度，用于保持種群的多樣性。具體計(jì)算方法是，對于同一等級中的個體，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)值對個體進(jìn)行排序，然后計(jì)算每個個體與相鄰個體在目標(biāo)空間中的距離之和，作為該個體的擁擠度距離。距離越大，說明該個體周圍的解越稀疏，其多樣性越好。在計(jì)算擁擠度距離時，對于目標(biāo)函數(shù)方差V[\widetilde{R}]和預(yù)期收益E[\widetilde{R}]，分別進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，以消除不同目標(biāo)函數(shù)值尺度差異的影響，確保擁擠度距離計(jì)算的準(zhǔn)確性和合理性。選擇、交叉和變異操作：根據(jù)非支配排序和擁擠度距離，選擇下一代種群。選擇操作采用錦標(biāo)賽選擇法，從種群中隨機(jī)選擇多個個體進(jìn)行比較，選擇其中適應(yīng)度值最優(yōu)（方差最小且滿足預(yù)期收益約束）且擁擠度距離較大的個體進(jìn)入下一代種群。交叉操作模擬生物的交配過程，對選擇出的個體進(jìn)行基因交換，產(chǎn)生新的個體。在投資組合問題中，交叉操作可以采用算術(shù)交叉等方法，對兩個個體的投資權(quán)重向量進(jìn)行線性組合，生成新的權(quán)重向量。變異操作以一定的概率對個體的某些基因進(jìn)行隨機(jī)改變，增加種群的多樣性，防止算法陷入局部最優(yōu)。在投資組合中，變異操作可以對個體的某個投資權(quán)重進(jìn)行隨機(jī)調(diào)整，但要確保調(diào)整后的權(quán)重仍滿足\sum_{i=1}^{n}w_i=1，w_i\geq0的約束條件。通過不斷重復(fù)上述步驟，種群逐漸向帕累托最優(yōu)解集逼近，最終得到一組在預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)之間達(dá)到平衡的最優(yōu)投資組合權(quán)重。4.2.2仿真結(jié)果與討論利用實(shí)際金融市場數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證基于可信性理論的投資組合模型的有效性，并深入分析流動性約束和半方差度量對投資組合的影響。在仿真實(shí)驗(yàn)中，選取了[具體時間段]內(nèi)[具體數(shù)量]只股票作為投資對象，這些股票涵蓋了不同行業(yè)，具有廣泛的代表性。根據(jù)股票的歷史價(jià)格數(shù)據(jù)，計(jì)算出各股票收益率的模糊變量，通過NSGA-II算法求解考慮流動性約束的可信性均值-方差模型和基于半方差風(fēng)險(xiǎn)度量的可信性投資組合模型，得到最優(yōu)投資組合權(quán)重。從流動性約束對投資組合的影響來看，當(dāng)設(shè)置了嚴(yán)格的流動性約束時，即限制了證券的周轉(zhuǎn)率范圍，投資組合的資產(chǎn)配置發(fā)生了明顯變化。在不考慮流動性約束時，投資組合可能會過度集中于某些高收益但流動性較差的資產(chǎn)，以追求更高的預(yù)期收益。然而，當(dāng)加入流動性約束后，為了滿足周轉(zhuǎn)率的要求，投資組合會增加對流動性較好的資產(chǎn)的配置比例。在實(shí)際數(shù)據(jù)仿真中，當(dāng)設(shè)定周轉(zhuǎn)率下限為0.05，上限為0.2時，原本在投資組合中占比較高的某只中小盤科技股（流動性相對較差）的權(quán)重從30%下降到15%，而流動性較好的大型藍(lán)籌金融股的權(quán)重從20%上升到30%。這表明流動性約束使得投資組合更加注重資產(chǎn)的變現(xiàn)能力，降低了因資產(chǎn)流動性不足而導(dǎo)致的風(fēng)險(xiǎn)。同時，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)-收益特征也發(fā)生了改變。由于流動性較好的資產(chǎn)通常風(fēng)險(xiǎn)相對較低，收益也相對較為穩(wěn)定，所以投資組合的整體風(fēng)險(xiǎn)（用方差或半方差衡量）有所降低，但預(yù)期收益也會相應(yīng)受到一定影響，可能會略有下降。然而，從投資者的角度來看，這種風(fēng)險(xiǎn)的降低在一定程度上提高了投資組合的穩(wěn)定性和安全性，使其在市場波動時能夠更好地應(yīng)對資金需求。半方差度量對投資組合的影響也十分顯著。與傳統(tǒng)方差度量風(fēng)險(xiǎn)相比，半方差僅考慮收益低于均值的波動，更符合投資者對風(fēng)險(xiǎn)的實(shí)際關(guān)注焦點(diǎn)。在仿真結(jié)果中，基于半方差風(fēng)險(xiǎn)度量的投資組合與基于方差度量的投資組合相比，在資產(chǎn)配置上存在差異?；诎敕讲疃攘康耐顿Y組合更傾向于選擇那些收益分布相對穩(wěn)定、下行風(fēng)險(xiǎn)較小的資產(chǎn)。例如，在投資組合中，對于一些收益波動較大但整體均值較高的資產(chǎn)，基于方差度量的投資組合可能會因其較高的均值而給予較高的權(quán)重，但基于半方差度量的投資組合會更關(guān)注其下行風(fēng)險(xiǎn)，可能會降低其權(quán)重，轉(zhuǎn)而增加一些收益相對穩(wěn)定、波動較小的資產(chǎn)權(quán)重。這使得基于半方差度量的投資組合在風(fēng)險(xiǎn)控制方面表現(xiàn)更為出色，尤其是在市場下跌時，能夠有效減少投資損失。通過計(jì)算投資組合在不同市場環(huán)境下的收益率和風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)，發(fā)現(xiàn)基于半方差度量的投資組合在市場下跌期間的損失明顯小于基于方差度量的投資組合，而在市場平穩(wěn)或上漲時，兩者的收益差距并不顯著。這說明半方差度量能夠幫助投資者更好地管理投資風(fēng)險(xiǎn)，在追求收益的同時，更有效地保護(hù)投資本金，提高投資組合的穩(wěn)健性。五、可能性與可信性理論模型對比與實(shí)證分析5.1兩種理論模型的對比分析5.1.1理論基礎(chǔ)差異比較可能性理論與可信性理論在理論基礎(chǔ)上存在顯著差異，這些差異源于它們對不確定性的不同認(rèn)知和處理方式，深入理解這些差異對于準(zhǔn)確應(yīng)用這兩種理論構(gòu)建投資組合模型至關(guān)重要。從測度定義來看，可能性理論的核心是可能性測度，它由Zadeh于1978年提出，定義在非空集合\Theta的冪集P(\Theta)上，滿足非負(fù)性、規(guī)范性、單調(diào)性和可列并的上連續(xù)性等性質(zhì)。對于事件A\inP(\Theta)，可能性測度\Pi(A)表示事件A發(fā)生的可能性程度，取值范圍在[0,1]之間。在評估明天是否下雨時，若\Pi(????¤????é?¨)=0.7，則表明明天下雨具有較高的可能性?？赡苄詼y度更側(cè)重于從主觀認(rèn)知的角度，描述事件發(fā)生可能性的程度，它不依賴于大量的樣本數(shù)據(jù)，而是基于人們對事件的直觀判斷和經(jīng)驗(yàn)?？尚判岳碚摰暮诵氖强尚判詼y度，由Liu和Liu于2002年提出，它是在可能性測度的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，為模糊理論提供了公理基礎(chǔ)。可信性測度除了滿足正定性、單調(diào)性外，還具有自對偶性和極大性原理。自對偶性是可信性測度的重要特征，即對于任意事件A，Cr\{A\}+Cr\{A^c\}=1，其中Cr表示可信性測度，A^c為A的補(bǔ)集。這一性質(zhì)使得可信性測度在處理模糊事件時，能夠更全面、準(zhǔn)確地反映事件發(fā)生的可能性。例如，對于事件“股票價(jià)格上漲”，其補(bǔ)集“股票價(jià)格不上漲”的可信性與“股票價(jià)格上漲”的可信性之和為1，這在邏輯上更加嚴(yán)謹(jǐn)，避免了可能性理論中可能出現(xiàn)的不一致性問題。極大性原理則為處理多個事件的并集時可信性測度的計(jì)算提供了明確規(guī)則，保證了理論的完整性和可操作性。在公理體系方面，可能性理論基于可能性測度的四條基本公理構(gòu)建，這些公理主要從可能性的直觀概念出發(fā)，描述了可能性測度的基本性質(zhì)。然而，可能性理論存在非自對偶性的缺陷，即可能性測度和必要性測度不滿足對偶關(guān)系，這在一定程度上限制了其在一些需要嚴(yán)謹(jǐn)邏輯推理的問題中的應(yīng)用。例如，在投資組合風(fēng)險(xiǎn)評估中，若僅使用可能性理論，可能會出現(xiàn)對風(fēng)險(xiǎn)和收益的評估不夠全面和準(zhǔn)確的情況，因?yàn)闊o法通過簡單的對偶關(guān)系來全面把握事件的正反兩面?？尚判岳碚摰墓眢w系則在可能性理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行了完善，通過引入自對偶性公理，解決了可能性理論的非自對偶性問題，使得理論更加嚴(yán)謹(jǐn)和完善?？尚判岳碚摰墓眢w系不僅保證了測度的基本性質(zhì)，還通過自對偶性和極大性原理，為處理復(fù)雜的模糊事件提供了更強(qiáng)大的工具。在投資組合決策中，可信性理論能夠更準(zhǔn)確地度量風(fēng)險(xiǎn)和收益，考慮到各種可能情況的對偶關(guān)系，從而為投資者提供更可靠的決策依據(jù)。例如，在構(gòu)建投資組合模型時，可信性理論可以更合理地處理資產(chǎn)收益率的模糊性，通過自對偶性全面考慮收益和損失的可能性，幫助投資者制定更科學(xué)的投資策略。5.1.2模型性能與適用場景分析從風(fēng)險(xiǎn)度量準(zhǔn)確性來看，基于可能性理論的投資組合模型在風(fēng)險(xiǎn)度量上，主要通過可能性風(fēng)險(xiǎn)測度指標(biāo)來評估風(fēng)險(xiǎn)。如常用的V_{\alpha}(\widetilde{R})，它表示在可能性水平\alpha下，投資組合回報(bào)率\widetilde{R}小于某個閾值r_0的可能性程度。在某些情況下，可能性理論能夠根據(jù)投資者的主觀判斷和經(jīng)驗(yàn)，靈活地度量風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)投資者對市場情況有較為明確的主觀認(rèn)知，且市場信息相對模糊時，可能性理論可以較好地反映投資者對風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)注程度。然而，由于可能性理論的非自對偶性，其在全面準(zhǔn)確度量風(fēng)險(xiǎn)方面存在一定局限性，可能無法充分考慮風(fēng)險(xiǎn)事件的對偶情況，導(dǎo)致對風(fēng)險(xiǎn)的評估不夠全面?；诳尚判岳碚摰耐顿Y組合模型在風(fēng)險(xiǎn)度量上具有一定優(yōu)勢。可信性理論通過定義可信性風(fēng)險(xiǎn)測度，如CVaR_{\alpha}(\widetilde{R})（條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值），不僅考慮了在可信性水平\alpha下投資組合回報(bào)率小于閾值r_0的可能性，還進(jìn)一步考慮了在這種情況下的平均損失程度。而且，可信性理論的自對偶性使得它能夠更全面地考慮風(fēng)險(xiǎn)和收益的對偶關(guān)系，避免了可能性理論在風(fēng)險(xiǎn)度量上的片面性。在實(shí)際投資中，當(dāng)市場情況復(fù)雜多變，需要更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卦u估風(fēng)險(xiǎn)時，可信性理論能夠提供更準(zhǔn)確的風(fēng)險(xiǎn)度量，幫助投資者更好地把握投資風(fēng)險(xiǎn)。在收益最大化能力方面，基于可能性理論的投資組合模型在追求收益最大化時，通過計(jì)算模糊回報(bào)率的期望值來評估投資組合的預(yù)期收益。在一些情況下，當(dāng)投資者對資產(chǎn)收益率的模糊信息有較為準(zhǔn)確的主觀判斷時，該模型能夠根據(jù)這些判斷合理配置資產(chǎn)，實(shí)現(xiàn)一定程度的收益最大化。然而，由于可能性理論在處理模糊信息時的局限性，其對資產(chǎn)收益率的刻畫可能不夠精確，從而影響了收益最大化的效果?；诳尚判岳碚摰耐顿Y組合模型在收益最大化方面表現(xiàn)相對較好?？尚判岳碚撏ㄟ^更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓眢w系和測度定義，能夠更準(zhǔn)確地計(jì)算模糊收益率的期望值，從而更合理地配置資產(chǎn)，提高投資組合的預(yù)期收益。在實(shí)際投資中，當(dāng)資產(chǎn)收益率存在較大模糊性且需要更精確地評估收益時，可信性理論能夠更好地利用模糊信息，實(shí)現(xiàn)投資組合收益的最大化。從適用場景來看，可能性理論投資組合模型適用于市場信息較為模糊，投資者主要依據(jù)主觀判斷和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行決策的場景。在新興市場或?qū)δ承┨厥赓Y產(chǎn)進(jìn)行投資時，由于缺乏足夠的歷史數(shù)據(jù)和明確的市場規(guī)律，投資者可以利用可能性理論，根據(jù)自己對市場的主觀認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)，設(shè)定資產(chǎn)收益率的可能性分布，從而構(gòu)建投資組合?？尚判岳碚撏顿Y組合模型則更適用于對風(fēng)險(xiǎn)和收益要求較高，需要嚴(yán)謹(jǐn)邏輯推理和精確度量的場景。在成熟市場中，投資者對風(fēng)險(xiǎn)和收益的評估較為謹(jǐn)慎，需要更準(zhǔn)確地把握投資機(jī)會和控制風(fēng)險(xiǎn)，此時可信性理論能夠憑借其自對偶性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓眢w系，為投資者提供更可靠的決策支持，幫助他們構(gòu)建更合理的投資組合。5.2實(shí)證研究設(shè)計(jì)與實(shí)施5.2.1樣本選取與數(shù)據(jù)收集為了全面、準(zhǔn)確地驗(yàn)證基于可能性與可信性理論的投資組合模型的有效性，本研究精心選取了涵蓋多個市場和行業(yè)的證券樣本，并收集了豐富的歷史數(shù)據(jù)。在證券樣本的選取上，綜合考慮了市場的多樣性和行業(yè)的代表性。從市場維度來看，涵蓋了國內(nèi)的上海證券交易所和深圳證券交易所，以及國際上具有重要影響力的紐約證券交易所和納斯達(dá)克證券交易所。這些市場在規(guī)模、交易機(jī)制、投資者結(jié)構(gòu)等方面存在差異，能夠?yàn)檠芯刻峁└鼜V泛的市場環(huán)境。從行業(yè)角度出發(fā)，選取了金融、科技、消費(fèi)、能源、醫(yī)療等多個行業(yè)的證券。金融行業(yè)作為經(jīng)濟(jì)的核心樞紐，其證券表現(xiàn)與宏觀經(jīng)濟(jì)形勢密切相關(guān)；科技行業(yè)具有高成長性和創(chuàng)新性，投資風(fēng)險(xiǎn)和收益波動較大；消費(fèi)行業(yè)需求相對穩(wěn)定，受經(jīng)濟(jì)周期影響較??；能源行業(yè)與全球能源市場供需關(guān)系緊密，價(jià)格波動對其證券價(jià)值影響顯著；醫(yī)療行業(yè)