高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省菏澤市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（B）注意事項：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必將姓名、班級等個人信息填寫在答題卡指定位置．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答。超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．一、單項選擇題：本大題共8題，每小題5分，共計40分．每小題列出的四個選項中只有一項是最符合題目要求的．1.下面命題中，正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】對于，若，但兩向量方向不確定，則不成立，故選項錯誤；對于，向量無法比較大小，故選項錯誤；對于，若，則兩向量反向，因此，故選項正確；對于，若，則，故選項錯誤.故選：C2.復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】因為，虛部為.故選：B.3.已知向量在上的投影向量為，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，向量在上的投影向量為，則，由，得，于是，又，所以.故選：A4.設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由于，故，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第二象限.故選：B.5.在中，，．若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，又，所以，所以，又，、不共線，所以，所以.故選：C6.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】因為，所以.故選：A7.在日常生活中，我們會看到這樣的情境：兩個人共提一個行李包.假設(shè)行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為，則下列結(jié)論中正確的是（）A.越小越費力，越大越省力 B.的范圍為C.當時， D.當時，【答案】C【解析】如圖所示，根據(jù)題意依次分析選項：對于A，由于，且，則有，即.又為定值，故越小越省力，越大越費力，A錯誤；對于B，當時，，行李包不會處于平衡狀態(tài)，即，B錯誤；對于C，當時，有，則，C正確；對于D，當時，有，則，D錯誤.故選：C8.在中，內(nèi)角的對邊分別為，為BC邊上一點，且，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為在中，，又為邊上一點，且，所以，又，所以，所以，解得，所以.故選:D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若是復(fù)數(shù)，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，下列說法正確的是（）A.為純虛數(shù)B.若，則C.若，則的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓D.若，則【答案】BCD【解析】對于A，若，不是純虛數(shù)，故A錯誤對于B，因為，所以，故B正確對于C，設(shè)即，表示圓心在，半徑為1的圓，故C正確對于D，，設(shè)，則，，，故D正確故選：BCD.10.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若在上的投影向量為，則向量與的夾角為D.的最大值為3【答案】ACD【解析】對于A，由，得，因此，故A正確；對于B，若，則，所以，所以，故B錯誤；對于C，因，，由在上的投影向量為，解得，又，，故C正確；對于D，因，故，當，即時，也即時，取得最大值9，即的最大值為3，故D正確.故選：ACD.11.在中，角所對的邊分別為，，，O為外接圓圓心，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.外接圓面積為C. D.的最大值為【答案】ACD【解析】在中，由正弦定理及得：，而，則有，即，又，，則，所以，即，A正確；由正弦定理得外接圓半徑，該圓面積，B錯誤；如圖，，C正確；由余弦定理得：，當且僅當時取等號，因此，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.請寫出一個滿足的復(fù)數(shù)______．（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【解析】令，則，故答案為：（答案不唯一）13.如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，，若P為線段BE上的動點，則的最小值為_________________．【答案】【解析】在正方形中，建立如圖所示坐標系，由正方形邊長為3且，可得，設(shè)，，則，則，故，故當時，取得最小值為．故答案為：．14.深圳實驗學(xué)校高中園高一年級設(shè)計了一個“水滴狀”園徽的平面圖（如圖），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所圍成的弓形所組成，其中，劣弧所在的圓為三角形的外接圓，圓心為．已知，外接圓的半徑是2，則該圖形的面積為______．【答案】【解析】如圖將圓O補充完整，連接OB，OC，取BC中點為D，連接AD.因，為對應(yīng)的圓周角，為對應(yīng)的圓心角，則，為正三角形，又外接圓半徑為2，則弓形面積為.因，則三角形為等腰三角形，AD平分角.則，又，則.又，則，則.則圖形面積為：.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，．（1）若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在虛軸上，求實數(shù)的取值范圍；（2）若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限或第四象限，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意得，解得或；（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，依題意可得，則或解得或，即實數(shù)的取值范圍為或．16.已知向量.（1）若向量與共線，求實數(shù)的值；（2）若向量與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意可得，，若向量與共線，可得，解得.（2）若向量與的夾角為銳角可得且與不共線，即可得，解得且，即實數(shù)的取值范圍為且17.如圖，在中，.設(shè).（1）用表示；（2）若為內(nèi)部一點，且.求證：三點共線.解：（1），；（2），又，故，故三點共線.18.已知復(fù)數(shù)，，．（1）若，求角；（2）復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，（?。┣蟮娜≈捣秶唬áⅲ┐嬖谑沟仁匠闪?，求實數(shù)的取值范圍．解：（1），，且，，，即，，又，故.（2）（ⅰ）由復(fù)數(shù)的坐標表示可得，，，，又，則.當時，取最大值為，當時，取最小值為，的取值范圍為；（ⅱ），，，又，則，化簡得，，，由小問（?。┑慕Y(jié)論可知，，解得或，綜上所述，的取值范圍為：.19.“費馬點”是由十七世紀法國數(shù)學(xué)家費馬提出并征解的一個問題，該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于120°時，使得的點O即為費馬點；當有一個內(nèi)角大于或等于120°時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點.試用以上知識解決下面問題：已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A；（2）若，設(shè)點P為的費馬點，求；（3）設(shè)點P為的費馬點，，求實數(shù)t的最小值.解：（1）由，得，故.由正弦定理可得，故直角三角形，即.（2）由（1）可得，所以三角形的三個角都小于，則由費馬點定義可知：，設(shè)，由，得，整理得，則.（3）如圖，點為的費馬點，則，設(shè)，則由，得；由余弦定理得，，，故由，得，即，而，，故，當且僅當，結(jié)合，解得時，等號成立.又，即有，解得或（舍去），故實數(shù)的最小值為.山東省菏澤市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（B）注意事項：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必將姓名、班級等個人信息填寫在答題卡指定位置．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答。超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．一、單項選擇題：本大題共8題，每小題5分，共計40分．每小題列出的四個選項中只有一項是最符合題目要求的．1.下面命題中，正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】對于，若，但兩向量方向不確定，則不成立，故選項錯誤；對于，向量無法比較大小，故選項錯誤；對于，若，則兩向量反向，因此，故選項正確；對于，若，則，故選項錯誤.故選：C2.復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】因為，虛部為.故選：B.3.已知向量在上的投影向量為，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，向量在上的投影向量為，則，由，得，于是，又，所以.故選：A4.設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由于，故，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第二象限.故選：B.5.在中，，．若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，又，所以，所以，又，、不共線，所以，所以.故選：C6.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】因為，所以.故選：A7.在日常生活中，我們會看到這樣的情境：兩個人共提一個行李包.假設(shè)行李包所受重力為，作用在行李包上的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為，則下列結(jié)論中正確的是（）A.越小越費力，越大越省力 B.的范圍為C.當時， D.當時，【答案】C【解析】如圖所示，根據(jù)題意依次分析選項：對于A，由于，且，則有，即.又為定值，故越小越省力，越大越費力，A錯誤；對于B，當時，，行李包不會處于平衡狀態(tài)，即，B錯誤；對于C，當時，有，則，C正確；對于D，當時，有，則，D錯誤.故選：C8.在中，內(nèi)角的對邊分別為，為BC邊上一點，且，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為在中，，又為邊上一點，且，所以，又，所以，所以，解得，所以.故選:D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若是復(fù)數(shù)，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，下列說法正確的是（）A.為純虛數(shù)B.若，則C.若，則的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓D.若，則【答案】BCD【解析】對于A，若，不是純虛數(shù)，故A錯誤對于B，因為，所以，故B正確對于C，設(shè)即，表示圓心在，半徑為1的圓，故C正確對于D，，設(shè)，則，，，故D正確故選：BCD.10.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若在上的投影向量為，則向量與的夾角為D.的最大值為3【答案】ACD【解析】對于A，由，得，因此，故A正確；對于B，若，則，所以，所以，故B錯誤；對于C，因，，由在上的投影向量為，解得，又，，故C正確；對于D，因，故，當，即時，也即時，取得最大值9，即的最大值為3，故D正確.故選：ACD.11.在中，角所對的邊分別為，，，O為外接圓圓心，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.外接圓面積為C. D.的最大值為【答案】ACD【解析】在中，由正弦定理及得：，而，則有，即，又，，則，所以，即，A正確；由正弦定理得外接圓半徑，該圓面積，B錯誤；如圖，，C正確；由余弦定理得：，當且僅當時取等號，因此，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.請寫出一個滿足的復(fù)數(shù)______．（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【解析】令，則，故答案為：（答案不唯一）13.如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，，若P為線段BE上的動點，則的最小值為_________________．【答案】【解析】在正方形中，建立如圖所示坐標系，由正方形邊長為3且，可得，設(shè)，，則，則，故，故當時，取得最小值為．故答案為：．14.深圳實驗學(xué)校高中園高一年級設(shè)計了一個“水滴狀”園徽的平面圖（如圖），徽章由等腰三角形及以弦和劣弧所圍成的弓形所組成，其中，劣弧所在的圓為三角形的外接圓，圓心為．已知，外接圓的半徑是2，則該圖形的面積為______．【答案】【解析】如圖將圓O補充完整，連接OB，OC，取BC中點為D，連接AD.因，為對應(yīng)的圓周角，為對應(yīng)的圓心角，則，為正三角形，又外接圓半徑為2，則弓形面積為.因，則三角形為等腰三角形，AD平分角.則，又，則.又，則，則.則圖形面積為：.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，．（1）若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在虛軸上，求實數(shù)的取值范圍；（2）若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第二象限或第四象限，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意得，解得或；（2）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，依題意可得，則或解得或，即實數(shù)的取值范圍為或．16.已知向量.（1）若向量與共線，求實數(shù)的值；（2）若向量與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意可得，，若向量與共線，可得，解得.（2）若向量與的夾角為銳角可得且與不共線，即可得，解得且，即實數(shù)的取值范圍為且17.如圖，在中，.設(shè).（1）用