高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省青島萊西市2024-2025學年高一下學期學業(yè)水平階段性檢測（三）數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】．故選：B．2.四邊形為矩形，對角線長為若則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知：，所以.故選：C.3.已知直線，平面，若平面平面，且，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則直線必垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線【答案】D【解析】對于A，若，則與也可能平行或者，故A錯誤，對于B，若，當至少有一條直線與垂直時才有，否則還有可能存在平行或異面及相交但不垂直的情況，B錯誤，對于C，若，且，才會有，否則還有可能存在平行或相交但不垂直的情況，故C錯誤，對于D，當直線，且，此時，故滿足條件的直線有無數(shù)條，故D正確，故選：D4.已知，為坐標原點，則下列說法正確的是（）A. B.三點共線C.三點共線 D.【答案】B【解析】由題意，所以，A錯誤；因為，，所以，所以三點共線，B正確；又，而，所以不共線，從而三點不共線，C錯；，D錯誤，故選：B．5.已知角是的內(nèi)角，向量且與共線，則可以判斷的形狀為（）A.等腰三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等邊三角形【答案】A【解析】因為與共線，所以，所以因為，所以，所以，即，所以為等腰三角形，故選：A6.如圖，圓錐的底面直徑，母線長，點在母線長上，且，有一只螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點到點，則這只螞蟻爬行的最短距離是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，底面圓的直徑為，故底面周長等于，設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為，根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得，解得，所以，則，過作，因為為的三等分點，，所以,，所以，所以，所以，因為，所以，在直角中，利用勾股定理得：，則，故選B．7.如圖所示，為測量山高選擇和另一座山的山頂為測量觀測點，從點測得點的仰角點的仰角以及從點測得，若山高米，則山高等于（）A.米 B.米C.米 D.米【答案】A【解析】因為在中，，，所以，在中，，由正弦定理得：，即，所以，在中，，所以（米）故選：A8.設(shè)，則大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，因為，所以故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知平面向量，且，則（）A. B.或C.與夾角的大小為 D.【答案】AC【解析】由題意得：，因為，所以，解得，故A正確，B錯誤；所以，所以，因為，所以，即與夾角的大小為，故C正確；，所以，，所以，故D錯誤.故選：AC10.在中，角的對邊分別是，．則下列說法正確的是（）A.為銳角三角形 B.面積為或C.長度為 D.外接圓的面積為【答案】BD【解析】由，所以，因為，所以，又，所以，解得或，故C錯誤；當時，，所以為鈍角，故A錯誤；當時，；當時，，故B正確；，所以，所以外接圓的面積，故D正確；故選：BD11.如圖，正方體的棱長為4，是的中點，點為正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法正確的是（）A.四棱錐的體積為定值B.當時，點的軌跡長度為C.當直線與平面所成的角為時，則點的軌跡長度為D.若直線平面，則點的軌跡長度為【答案】ACD【解析】對于A，點到側(cè)面的距離即為，，，四棱錐的體積為定值，A正確；對于B，由平面，平面，得，則，點的軌跡是以點為圓心，為半徑的四分之一圓，其軌跡長度為，B錯誤；對于C，由與平面所成的角為，則為等腰直角三角形，，則點的軌跡是以點為圓心，為半徑為半徑的四分之一圓，其軌跡長度為，C正確；對于D，取的中點，連接，由為的中點，得，由平面，平面，得平面，由且，得四邊形為平行四邊形，則，而，則，由平面，平面，得平面，由，平面，得平面平面，當點在線段上運動時，平面，則平面，因此點的軌跡為線段，其長度為，D正確.故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)在區(qū)間上的值域為________________．【答案】【解析】由輔助角公式可得：，因為，所以，由正弦型函數(shù)性質(zhì)可得，當，即時，，當，即時，，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.故答案為：13.在中，已知，則________________．【答案】【解析】，．故答案為：．14.已知，是兩個不重合的平面，給出下列條件：①，是平面內(nèi)的兩條直線，且，；②，都平行于平面；③內(nèi)不共線的三點到的距離相等；④，是兩條異面直線，，，且，．其中可判斷的是__________．（填序號）【答案】②④【解析】，，，是平面內(nèi)的兩條直線，此條件沒有排除兩條直線平行的情況，故不能得出面面平行，故①不行；平行于同一個平面的兩個平面平行，故②正確；內(nèi)不共線的三點到的距離相等，此三點在兩平面相交時也可以找出，故不能保證兩平面平行，故③不對；，是兩條異面直線，，，且，，能得到，故④正確.故答案為：②④.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）將函數(shù)化為形式，求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若為的內(nèi)角，恰為的最大值，求；（3）若，求．解：（1）所以的最小正周期由，得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），因為所以所以當，即當時，恰為的最大值；（3）因為所以又因為所以.16.在中，分別為角的對邊，（1）求；（2）若為延長線上一點，連接，求的面積．解：（1）由題意，根據(jù)正弦定理，可得：，所以，即所以因為，所以，所以，即所以.（2）因為，所以，由余弦定理知，解得因為，所以，在中，因為所以所以又因為所以17.在中，為所在平面內(nèi)的兩點，，，．（1）以和作為一組基底表示，并求；（2）為直線上一點，設(shè)，若直線經(jīng)過的垂心，求．解：（1）由，所以為線段上靠近的三等分點．由，所以為線段的中點，，因為，所以；（2）為直線上一點，設(shè)，則，所以，，因為直線經(jīng)過的垂心，所以，即，所以，解得，所以，因為，所以．18.如圖所示，在直角梯形中，，，，，，邊上一點滿足．現(xiàn)將沿折起到的位置，使平面平面，如圖所示．（1）求證：；（2）求四棱錐的體積；（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．（1）證明：在平面圖形中，連接CE，由勾股定理得，因為且，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形ABCE為菱形，在圖中，連接交于點，則，在立體圖形中，，，又，平面，平面．又平面，；（2）在平面圖形中，由勾股定理得，由（1）知，四邊形ABCE為菱形，結(jié)合題設(shè)易得，故，平面平面，且平面平面，平面，．平面，其中梯形的面積為，；（3）在立體圖形中延長，設(shè)，連接．平面，平面．又平面，平面．是平面與平面的交線，平面平面BCDE，，平面平面，平面，又平面，，，作，垂足為，連接CH，又，平面，平面OCH，又平面OCH，．即為平面與平面所成銳二面角的平面角．由勾股定理得，，故，為等邊三角形，在Rt中，，，所以，又，故，由勾股定理得，所以，又，在中，，．平面與平面所成銳二面角的余弦值．19.在平面直角坐標系中，已知．（1）若為軸上的一動點，點．①當三點共線時，求點的坐標；②求的最小值﹔（2）若，且與的夾角，求的取值范圍．解：（1）①設(shè)，則，所以，因為與共線，所以，解得，所以當三點共線時，點的坐標為②因為關(guān)于軸的對稱點為所以，所以當三點共線時，取得最小值，最小值即為所以取得最小值.（2）因為，所以，所以，因為與的夾角，所以恒成立，所以，又因為，所以，所以，即恒成立，又因為，所以恒成立，令，則，換元可得，，因為，當且僅當時等號成立，所以當時，有最小值，所以的取值范圍是：山東省青島萊西市2024-2025學年高一下學期學業(yè)水平階段性檢測（三）數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】．故選：B．2.四邊形為矩形，對角線長為若則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知：，所以.故選：C.3.已知直線，平面，若平面平面，且，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則直線必垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線【答案】D【解析】對于A，若，則與也可能平行或者，故A錯誤，對于B，若，當至少有一條直線與垂直時才有，否則還有可能存在平行或異面及相交但不垂直的情況，B錯誤，對于C，若，且，才會有，否則還有可能存在平行或相交但不垂直的情況，故C錯誤，對于D，當直線，且，此時，故滿足條件的直線有無數(shù)條，故D正確，故選：D4.已知，為坐標原點，則下列說法正確的是（）A. B.三點共線C.三點共線 D.【答案】B【解析】由題意，所以，A錯誤；因為，，所以，所以三點共線，B正確；又，而，所以不共線，從而三點不共線，C錯；，D錯誤，故選：B．5.已知角是的內(nèi)角，向量且與共線，則可以判斷的形狀為（）A.等腰三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等邊三角形【答案】A【解析】因為與共線，所以，所以因為，所以，所以，即，所以為等腰三角形，故選：A6.如圖，圓錐的底面直徑，母線長，點在母線長上，且，有一只螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點到點，則這只螞蟻爬行的最短距離是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，底面圓的直徑為，故底面周長等于，設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為，根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得，解得，所以，則，過作，因為為的三等分點，，所以,，所以，所以，所以，因為，所以，在直角中，利用勾股定理得：，則，故選B．7.如圖所示，為測量山高選擇和另一座山的山頂為測量觀測點，從點測得點的仰角點的仰角以及從點測得，若山高米，則山高等于（）A.米 B.米C.米 D.米【答案】A【解析】因為在中，，，所以，在中，，由正弦定理得：，即，所以，在中，，所以（米）故選：A8.設(shè)，則大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，因為，所以故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知平面向量，且，則（）A. B.或C.與夾角的大小為 D.【答案】AC【解析】由題意得：，因為，所以，解得，故A正確，B錯誤；所以，所以，因為，所以，即與夾角的大小為，故C正確；，所以，，所以，故D錯誤.故選：AC10.在中，角的對邊分別是，．則下列說法正確的是（）A.為銳角三角形 B.面積為或C.長度為 D.外接圓的面積為【答案】BD【解析】由，所以，因為，所以，又，所以，解得或，故C錯誤；當時，，所以為鈍角，故A錯誤；當時，；當時，，故B正確；，所以，所以外接圓的面積，故D正確；故選：BD11.如圖，正方體的棱長為4，是的中點，點為正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法正確的是（）A.四棱錐的體積為定值B.當時，點的軌跡長度為C.當直線與平面所成的角為時，則點的軌跡長度為D.若直線平面，則點的軌跡長度為【答案】ACD【解析】對于A，點到側(cè)面的距離即為，，，四棱錐的體積為定值，A正確；對于B，由平面，平面，得，則，點的軌跡是以點為圓心，為半徑的四分之一圓，其軌跡長度為，B錯誤；對于C，由與平面所成的角為，則為等腰直角三角形，，則點的軌跡是以點為圓心，為半徑為半徑的四分之一圓，其軌跡長度為，C正確；對于D，取的中點，連接，由為的中點，得，由平面，平面，得平面，由且，得四邊形為平行四邊形，則，而，則，由平面，平面，得平面，由，平面，得平面平面，當點在線段上運動時，平面，則平面，因此點的軌跡為線段，其長度為，D正確.故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)在區(qū)間上的值域為________________．【答案】【解析】由輔助角公式可得：，因為，所以，由正弦型函數(shù)性質(zhì)可得，當，即時，，當，即時，，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.故答案為：13.在中，已知，則________________．【答案】【解析】，．故答案為：．14.已知，是兩個不重合的平面，給出下列條件：①，是平面內(nèi)的兩條直線，且，；②，都平行于平面；③內(nèi)不共線的三點到的距離相等；④，是兩條異面直線，，，且，．其中可判斷的是__________．（填序號）【答案】②④【解析】，，，是平面內(nèi)的兩條直線，此條件沒有排除兩條直線平行的情況，故不能得出面面平行，故①不行；平行于同一個平面的兩個平面平行，故②正確；內(nèi)不共線的三點到的距離相等，此三點在兩平面相交時也可以找出，故不能保證兩平面平行，故③不對；，是兩條異面直線，，，且，，能得到，故④正確.故答案為：②④.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）將函數(shù)化為形式，求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若為的內(nèi)角，恰為的最大值，求；（3）若，求．解：（1）所以的最小正周期由，得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），因為所以所以當，即當時，恰為的最大值；（3）因為所以又因為所以.16.在中，分別為角的對邊，（1）求；（2）若為延長線上一點，連接，求的面積．解：（1）由題意，根據(jù)正弦定理，可得：，所以，即所以因為，所以，所以，即所以.（2）因為，所以，由余弦定理知，解得因為，所以，在中，因為所以所以又因為所以17.在中，為所在平面內(nèi)的兩點，，，．（1）以和作為一組基底表示，并求；（2）為直線上一點，設(shè)，若直線經(jīng)過的垂心，求．解：（1）由，所以為線段上靠近的三等分點．由，所以為線段的中點，，因為，所以；（2）為直線上一點，設(shè)，則，所以，，因為直線經(jīng)過的垂心，所以，即，所以，解得，所以，因為，所以．18.如圖所示，在直角