高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省漢中市普通高中十校聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線，則直線在軸上的截距為（）A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】令直線中，則.故選：C.2.若向量是直線的一個方向向量，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由直線的一個方向向量為，則斜率，故選：B.3.直線被圓：截得的弦長是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，圓心到直線的距離為，所以，所截弦長為.故選：D.4.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.內(nèi)含【答案】C【解析】圓化為標準方程得，圓心為，半徑為，圓化為標準方程得，圓心為，半徑為，因為，，所以兩圓相交.故選：C.5.已知橢圓的兩焦點分別為，，直線過交橢圓于M，N兩點，則的周長為（）A. B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】由題知，，由橢圓定義可知，的周長.故選：B.6.雙曲線上一點到該雙曲線的一個焦點的距離為，則點到另一個焦點的距離是（）A. B. C.， D.，【答案】A【解析】由已知雙曲線，可知，，設(shè)雙曲線的兩焦點分別為，，不妨設(shè)，則,解得或，又雙曲線上的點到焦點的距離，所以，故選：A.7.若點是橢圓某條弦的中點，則實數(shù)的值可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，點在橢圓內(nèi)，所以，解得或.故選：D.8.在平面內(nèi)作直線，使得點、點到直線的距離分別為1和2，則這樣的直線有（）條A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】易知，當直線的斜率不存在時不滿足題意；過點作垂直于直線，垂直分別，則，所以，所以，又，所以直線過原點，設(shè)直線方程為，即，由題知，，解得或或，所以滿足條件的直線有4條.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分（3個正確選項的每選對1個得2分；2個正確選項的選對1個得3分）．9.已知橢圓的長軸的端點是雙曲線的焦點，且橢圓的焦點在雙曲線上，則（）A.橢圓的一個焦點坐標是 B.橢圓的長軸長為2C.橢圓的離心率是 D.橢圓的離心率是【答案】AD【解析】雙曲線焦點為，所以橢圓的長半軸，又因為橢圓的焦點在雙曲線上，所以橢圓的焦點為雙曲線的頂點，則，，對于A，橢圓的焦點坐標是，，故A正確；對于B，橢圓的長軸長為，故B錯誤；對于CD，橢圓的離心率是，故C錯誤，D正確；故選：AD.10.拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（）A.l與相切B.當P，A，B三點共線時，C.當時，D.滿足的點有且僅有2個【答案】ABD【解析】A選項，拋物線的準線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準線和相切，A選項正確；B選項，三點共線時，即，則的縱坐標，由，得到，故，此時切線長，B選項正確；C選項，當時，，此時，故或，當時，，，，不滿足；當時，，，，不滿足；于是不成立，C選項錯誤；D選項，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，，這里，于是時點的存在性問題轉(zhuǎn)化成時點的存在性問題，，中點，中垂線的斜率為，于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，，即的中垂線和拋物線有兩個交點，即存在兩個點，使得，D選項正確.方法二：（設(shè)點直接求解）設(shè)，由可得，又，又，根據(jù)兩點間的距離公式，，整理得，，則關(guān)于的方程有兩個解，即存在兩個這樣的點，D選項正確.故選：ABD.11.某數(shù)學興趣小組的同學在探究“雙”函數(shù)的圖象和性質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)該函數(shù)的圖象是雙曲線，且存在實數(shù)，使得對恒成立．據(jù)此，下面的結(jié)論成立的是（）A.實數(shù)的最大值為 B.該雙曲線的離心率為C.該雙曲線的一個頂點是 D.該雙曲線的焦距為【答案】ABD【解析】由，恒成立，即，則，又當時，，所以，A選項正確；雙曲線的一條漸近線為，傾斜角為，另一條漸近線為，則兩條漸近線的夾角為，設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，焦距為，則，則雙曲線離心率，B選項正確；雙曲線實軸所在直線為兩條漸近線夾角的角分線，即傾斜角，即，聯(lián)立，解得，或，所以雙曲線的頂點為，，C選項錯誤；則，即，則，即焦距為，D選項正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.拋物線的焦點坐標是______.【答案】【解析】因為拋物線方程，焦點坐標為，且，所以焦點坐標為.13.設(shè)，是橢圓的兩焦點，點在橢圓上，如果線段的中點在軸上，那么______．【答案】【解析】如圖，因為線段的中點在軸上，所以，由橢圓可知，，所以令，可得，所以，由橢圓定義可知：，所以，所以.14.設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點，點是的右支上的一點，且，則______．【答案】【解析】由雙曲線的方程為：，由雙曲線的定義可得：，所以，①又因為，所以，即，②將①代入②可得：，則，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線．（1）求經(jīng)過點，且垂直于直線的直線的方程；（2）求與直線平行，且到直線的距離為的直線的方程．解：（1）由題知，直線的斜率為，所以，所求直線的斜率為，又直線過點，由點斜式方程得所求直線方程為，整理得．（2）設(shè)所求直線方程為：，則，，或，或為所求．16.已知圓的圓心為，且圓經(jīng)過直線與的交點．（1）求圓的標準方程；（2）求過點且與圓相切的直線的方程．解：（1）由得，記，圓的半徑，圓的標準方程為：．（2）易知，當直線斜率不存在時，直線與圓相切，方程為；當直線斜率不存在時，設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離，解得，為所求．綜上所述，所求切線方程：或．17.已知中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線過點，且其離心率為．（1）求雙曲線的標準方程；（2）若直線與雙曲線有且只有一個公共點，求實數(shù)的值．解：（1）由題意知雙曲線的焦點在軸上，且其實半軸長為2，設(shè)雙曲線的標準方程為則，由得，雙曲線的標準方程．（2）由得（※），當，即：時，方程（※）有且只有一解，合題意；當時，由，得，方程（※）有且只有一解，也合題意；綜上所述：實數(shù)的值為：，．18.已知拋物線的焦點為，直線與交于A，B兩點．（1）若，求實數(shù)的值；（2）設(shè)直線，分別過點A，B，且均與相切，記直線，的斜率分別為，．①過點作的垂線AM，點為直線AM與軸的交點，證明：；②求的值．解：（1）由得，顯然，，設(shè)，，則，，，，，．（2）設(shè)，由得，由得，又，，；①設(shè)直線AM的方程為：，取，得，則，而，．②同理可得，，而，．19.已知焦點在軸上的橢圓滿足：短軸長為2，過點．（1）求橢圓的標準方程；（2）橢圓的左、右焦點分別為、，過作不與坐標軸垂直的直線l，l交于A，B兩點，點關(guān)于軸的對稱點記為．①證明：直線恒過軸上的一定點，并求出該定點的坐標；②求面積的最大值．解：（1）焦點在軸上的橢圓短軸長為2，可設(shè)橢圓的標準方程為：，橢圓過點，則，得，橢圓的標準方程為：；（2）橢圓的標準方程為：，則，，設(shè)直線，，由得，．設(shè)，，則，，，．①解法一：，，直線恒過定點；①解法二：，取，得．直線恒過定點；②由①知直線恒過定點，故設(shè)直線的方程為：，由得，，，設(shè)，，則，，，設(shè)，則，，當且僅當，即時，的面積取得最大值．陜西省漢中市普通高中十校聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線，則直線在軸上的截距為（）A.3 B.2 C. D.【答案】C【解析】令直線中，則.故選：C.2.若向量是直線的一個方向向量，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由直線的一個方向向量為，則斜率，故選：B.3.直線被圓：截得的弦長是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，圓心到直線的距離為，所以，所截弦長為.故選：D.4.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切 C.相交 D.內(nèi)含【答案】C【解析】圓化為標準方程得，圓心為，半徑為，圓化為標準方程得，圓心為，半徑為，因為，，所以兩圓相交.故選：C.5.已知橢圓的兩焦點分別為，，直線過交橢圓于M，N兩點，則的周長為（）A. B.8 C.12 D.16【答案】B【解析】由題知，，由橢圓定義可知，的周長.故選：B.6.雙曲線上一點到該雙曲線的一個焦點的距離為，則點到另一個焦點的距離是（）A. B. C.， D.，【答案】A【解析】由已知雙曲線，可知，，設(shè)雙曲線的兩焦點分別為，，不妨設(shè)，則,解得或，又雙曲線上的點到焦點的距離，所以，故選：A.7.若點是橢圓某條弦的中點，則實數(shù)的值可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，點在橢圓內(nèi)，所以，解得或.故選：D.8.在平面內(nèi)作直線，使得點、點到直線的距離分別為1和2，則這樣的直線有（）條A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】易知，當直線的斜率不存在時不滿足題意；過點作垂直于直線，垂直分別，則，所以，所以，又，所以直線過原點，設(shè)直線方程為，即，由題知，，解得或或，所以滿足條件的直線有4條.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分（3個正確選項的每選對1個得2分；2個正確選項的選對1個得3分）．9.已知橢圓的長軸的端點是雙曲線的焦點，且橢圓的焦點在雙曲線上，則（）A.橢圓的一個焦點坐標是 B.橢圓的長軸長為2C.橢圓的離心率是 D.橢圓的離心率是【答案】AD【解析】雙曲線焦點為，所以橢圓的長半軸，又因為橢圓的焦點在雙曲線上，所以橢圓的焦點為雙曲線的頂點，則，，對于A，橢圓的焦點坐標是，，故A正確；對于B，橢圓的長軸長為，故B錯誤；對于CD，橢圓的離心率是，故C錯誤，D正確；故選：AD.10.拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（）A.l與相切B.當P，A，B三點共線時，C.當時，D.滿足的點有且僅有2個【答案】ABD【解析】A選項，拋物線的準線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準線和相切，A選項正確；B選項，三點共線時，即，則的縱坐標，由，得到，故，此時切線長，B選項正確；C選項，當時，，此時，故或，當時，，，，不滿足；當時，，，，不滿足；于是不成立，C選項錯誤；D選項，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，，這里，于是時點的存在性問題轉(zhuǎn)化成時點的存在性問題，，中點，中垂線的斜率為，于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，，即的中垂線和拋物線有兩個交點，即存在兩個點，使得，D選項正確.方法二：（設(shè)點直接求解）設(shè)，由可得，又，又，根據(jù)兩點間的距離公式，，整理得，，則關(guān)于的方程有兩個解，即存在兩個這樣的點，D選項正確.故選：ABD.11.某數(shù)學興趣小組的同學在探究“雙”函數(shù)的圖象和性質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)該函數(shù)的圖象是雙曲線，且存在實數(shù)，使得對恒成立．據(jù)此，下面的結(jié)論成立的是（）A.實數(shù)的最大值為 B.該雙曲線的離心率為C.該雙曲線的一個頂點是 D.該雙曲線的焦距為【答案】ABD【解析】由，恒成立，即，則，又當時，，所以，A選項正確；雙曲線的一條漸近線為，傾斜角為，另一條漸近線為，則兩條漸近線的夾角為，設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，焦距為，則，則雙曲線離心率，B選項正確；雙曲線實軸所在直線為兩條漸近線夾角的角分線，即傾斜角，即，聯(lián)立，解得，或，所以雙曲線的頂點為，，C選項錯誤；則，即，則，即焦距為，D選項正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.拋物線的焦點坐標是______.【答案】【解析】因為拋物線方程，焦點坐標為，且，所以焦點坐標為.13.設(shè)，是橢圓的兩焦點，點在橢圓上，如果線段的中點在軸上，那么______．【答案】【解析】如圖，因為線段的中點在軸上，所以，由橢圓可知，，所以令，可得，所以，由橢圓定義可知：，所以，所以.14.設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點，點是的右支上的一點，且，則______．【答案】【解析】由雙曲線的方程為：，由雙曲線的定義可得：，所以，①又因為，所以，即，②將①代入②可得：，則，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知直線．（1）求經(jīng)過點，且垂直于直線的直線的方程；（2）求與直線平行，且到直線的距離為的直線的方程．解：（1）由題知，直線的斜率為，所以，所求直線的斜率為，又直線過點，由點斜式方程得所求直線方程為，整理得．（2）設(shè)所求直線方程為：，則，，或，或為所求．16.已知圓的圓心為，且圓經(jīng)過直線與的交點．（1）求圓的標準方程；（2）求過點且與圓相切的直線的方程．解：（1）由得，記，圓的半徑，圓的標準方程為：．（2）易知，當直線斜率不存在時，直線與圓相切，方程為；當直線斜率不存在時，設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離，解得，為所求．綜上所述，所求切線方程：或．17.已知中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線過點，