高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省天立集團2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題A一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線，，若，則實數(shù)的值為A.8 B.2 C. D.-2【答案】A【解析】∵直線l1：2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，l1∥l2，

∴，解得a=8．故選A.2.若，，則等于（）A.5 B.－5 C.7 D.－1【答案】B【解析】因為，，兩式相加得，解得；兩式相減得，解得，所以，故選：B.3.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2，3，4，，7，8（其中），若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，則該組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是（）A.4 B.4.5 C.5 D.6【答案】D【解析】由題意知，中位數(shù)是，極差為，由已知，解得，又，則第60百分位數(shù)是6.故選：D.4.已知圓：，若直線垂直于圓的一條直徑，且經(jīng)過這條直徑的一個三等分點，則（）A.2或10 B.4或8 C.4或6 D.2或4【答案】A【解析】根據(jù)題意，圓C：，其圓心，半徑，若直線垂直于圓C的一條直徑，且經(jīng)過這條直徑的一個三等分點，則圓心到直線的距離為，則有，變形可得，解可得：或10，故選:A．5.橢圓的左、右焦點分別為，則橢圓上滿足的點A.有2個 B.有4個 C.不一定存在 D.一定不存在【答案】D【解析】以為直徑作圓，圓與橢圓有幾個交點，就有幾個點滿足，，而，所以以為直徑作圓，即圓的半徑，圓與橢圓沒有交點，所以不存在點P滿足，故選：D.6.P為⊙C：上一點，Q為直線l：上一點，則線段PQ長度的最小值（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為圓，即，所以圓心，半徑，又因為長度的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，且圓心到直線距離，所以，故選：A.7.若半徑為的小球可以在棱長均為8的四棱錐內(nèi)部自由轉(zhuǎn)動，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記該四棱錐為，AC與BD的中點為E，內(nèi)切球球心為O，易知四棱錐為為正四棱錐，高為PE，的最大值為該四棱錐的內(nèi)切球的半徑．由題意得，該正四棱錐的表面積，則該正四棱錐的體積，由等體積可得，則，所以的最大值為．故選：B.8.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實上，很多代數(shù)問題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，列如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題.已知點在直線，點在直線上，且，結(jié)合上述觀點，的最小值為（）A. B. C. D.5【答案】D【解析】由已知表示點到點的距離，表示點到點的距離，所以，過點作，垂足為，因為直線的方程為，，所以，又直線與直線平行，，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，所以當(dāng)點為線段與直線的交點時，取最小值，最小值為，因為過點與直線垂直的直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以點的坐標(biāo)為，所以，所以的最小值為，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題正確的是（）A.若事件兩兩互斥，則成立.B.若事件兩兩獨立，則成立.C.若事件相互獨立，則與也相互獨立.D.若，則事件相互獨立與互斥不能同時成立.【答案】ACD【解析】對于A選項，若事件兩兩互斥，則與互斥，所以，，因此A正確；對于B，考慮投擲兩個骰子，記事件：第一個骰子的點數(shù)為奇數(shù)，事件：第二個骰子點數(shù)為奇數(shù)，事件：兩個骰子的點數(shù)之和為奇數(shù)，于是有，，，可以看出事件兩兩獨立，但不互相獨立，所以，因此B錯誤；對于C，若事件相互獨立，則，又，，則，因此C正確；對于D，若，事件相互獨立，則，若互斥，則，因此D正確.故選：ACD.10.設(shè)直線系：，則下面四個命題正確的是（）A.點到中的所有直線的距離恒為定值B.存在定點不在中的任意一條直線上C.對于任意整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上D.中的直線所能圍成的正三角形面積都相等【答案】ABC【解析】先點到中的直線的距離設(shè)為d，則為定值，故直線系：表示圓的切線的集合.顯然選項A正確；一定不在中的任意一條直線上，B選項正確；由于圓的所有外切正多邊形的邊都是圓的切線，所以對于任意整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上，C選項正確；如圖所示，中的直線所能圍成的正三角形有兩類，一種是圓的外切三角形，如△ADE，此類三角形面積均相等，另一種是在圓的同一側(cè)，如△ABC，這類三角形面積也相等，但兩類三角形面積不等，故D選項不正確.故選：ABC.11.如圖，正方體的棱長為是側(cè)面上的一個動點（含邊界），點在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有（）A.沿正方體的表面從點到點的最短距離為B.保持與垂直時，點的運動軌跡長度為C.若保持，則點的運動軌跡長度D.平面截正方體所得截面為等腰梯形【答案】BCD【解析】對于A，在棱長為4的正方體中，將正方形、正方形展開置于同一平面，如圖，

連接，則，A錯誤；對于B，在棱上分別取點，使，連接，如圖，

由，得平行四邊形，即，由，得，同理，于是，而平面，平面，，又，，平面，則平面，平面，有，同理，從而，又平面，因此平面，而平面平面，則的運動軌跡為線段，此時與始終垂直，，B正確；對于C，在棱上取點，使，連接，則，如圖，

而平面，則有平面，平面，則，而，于是，點在以為圓心，2為半徑的圓弧上，此時圓心角為，點的運動軌跡長度，C正確；對于D，在棱上取點，使，連接，如圖，

由，得，正方體的對角面為矩形，則，于是平面截正方體所得截面為梯形.又，，從而為等腰梯形.故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間的一組基底為，且滿足，則______．【答案】【解析】由題得存在實數(shù)滿足，則．又為空間的一組基底，則滿足，解得則．13.已知某三棱臺的高為，上、下底面分別為邊長為和的正三角形，若該三棱臺的各頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為__________．【答案】【解析】依題意，該三棱臺為正三棱臺，設(shè)為三棱臺，如圖，上底面正外接圓的半徑是，為正外接圓圓心，下底面正外接圓的半徑是，為正外接圓圓心，由正三棱臺的性質(zhì)知，其外接球的球心在直線上，令該球半徑為，于是，或，解得，所以球的表面積是．14.已知實數(shù)滿足，則的最大值為__________.【答案】【解析】因為，所以，所以點在圓上，其中圓心為，半徑為，又，其中表示點與點連線的斜率，又，所以點在圓外，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時，取得最值，設(shè)過點的直線的方程為，即，則，解得或，即的最大值為，最小值為，所以的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，已知三棱柱中，，平面，，M為邊上的動點．（1）當(dāng)時，求證：平面；（2）求三棱錐的體積．（1）證明：平面，又平面，，，，，又，平面，平面．（2）解：，，，則點C到平面距離為，在三棱柱中，平面，則四邊形為矩形，當(dāng)M點在上運動時，的面積是定值，又，，．16.為響應(yīng)國家“學(xué)習(xí)強國”的號召、培養(yǎng)同學(xué)們的“社會主義核心價值觀”，我校團委鼓勵全校學(xué)生積極學(xué)習(xí)相關(guān)知識，并組織知識競賽．今隨機對其中的1000名同學(xué)的初賽成績(滿分：分)作統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖(有數(shù)據(jù)缺失)．請大家完成下面的問題：（1）根據(jù)直方圖求以下表格中、的值；成績頻數(shù)

（2）求參賽同學(xué)初賽成績的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；（3）若從這1000名參加初賽同學(xué)中按等比例分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，再在該樣本中成績不低于分的同學(xué)里任選人繼續(xù)參加教育局組織的校際比賽，求抽到的人中恰好人的分?jǐn)?shù)低于分且人的分?jǐn)?shù)不低于分的概率．解：（1）因為個體在區(qū)間50,60內(nèi)的頻率是，所以頻數(shù)；在80,90內(nèi)的頻率是，所以頻數(shù).（2）平均數(shù)為，方差.（3）由等比例分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，則抽樣比例為，所以在區(qū)間80,90和90,100內(nèi)抽取的人數(shù)各為和，分別記這人為、、、、和、，則事件的總體是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中共有21個基本事件，記所求的事件為，則中包含的基本事件為：，，，，，，，，，共10個，所以．17.如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點，四棱錐的體積為.（1）若為棱的中點，求證：平面；（2）在棱上是否存在點，使得平面與平面所成夾角的余弦值為？若存在，求出線段的長度；若不存在，請說明理由.解：（1）取中點，連接分別為的中點，，底面四邊形是矩形，為棱的中點，，故四邊形是平行四邊形，，又平面平面，//平面.（2）假設(shè)在棱上存在點滿足題意，如圖：連接，，，在等邊中，為的中點，所以，又平面平面，平面平面平面，平面，則是四棱錐的高，設(shè)，則，∴，所以，以點為原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)，．設(shè)平面的一個法向量為，則所以可取.易知平面的一個法向量為，，，故存在點滿足題意.18.蝴蝶定理因其美妙的構(gòu)圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數(shù)學(xué)名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來．如圖，已知圓的方程為，直線與圓M交于，，直線與圓交于，．原點在圓內(nèi)．設(shè)交軸于點，交軸于點．（1）當(dāng)，，，時，分別求線段和的長度；（2）①求證：．②猜想OP和OQ的大小關(guān)系，并證明．解：（1）當(dāng)，，，時，圓：，直線：，由或，故，；直線：，由或，故，.所以直線:，令得，即；直線:，令得，即.所以：.（2）①由題意：.由，則，是該方程的兩個解，由韋達(dá)定理得：，所以.同理可得：，所以.②猜測，證明如下：設(shè)點，.因為三點共線，所以：，又因為點在直線上，所以；點在直線上，所以.所以；同理因為三點共線，可得：.由①可知：，所以.即，所以成立.19.已知直線和點，點到直線的有向距離用如下方法規(guī)定：若，，若，．（1）已知直線，直線，求原點到直線的有向距離；（2）已知點和點，是否存在通過點的直線，使得？如果存在，求出所有這樣的直線，如果不存在，說明理由；（3）設(shè)直線，問是否存在實數(shù)，使得對任意的參數(shù)都有：點到的有向距離滿足？如果滿足，求出所有滿足條件的實數(shù)；如果不存在，請說明理由．解：（1）由直線，直線，根據(jù)點到直線的有向距離公式得，，；即，（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，舍去；當(dāng)直線的斜率存在時，直線的方程為，由題意,所以直線可化為，假設(shè)，則，解得或．所以存在直線的方程為或；（3）當(dāng)時，直線，，由，整理得，，，，即，當(dāng)時，直線，得，由，即，或，解得或，由題意對任意的參數(shù)都有恒成立，所以，綜上所述，存在實數(shù)滿足題目條件，即.四川省天立集團2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題A一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線，，若，則實數(shù)的值為A.8 B.2 C. D.-2【答案】A【解析】∵直線l1：2x+y-2=0，l2：ax+4y+1=0，l1∥l2，

∴，解得a=8．故選A.2.若，，則等于（）A.5 B.－5 C.7 D.－1【答案】B【解析】因為，，兩式相加得，解得；兩式相減得，解得，所以，故選：B.3.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為2，3，4，，7，8（其中），若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，則該組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是（）A.4 B.4.5 C.5 D.6【答案】D【解析】由題意知，中位數(shù)是，極差為，由已知，解得，又，則第60百分位數(shù)是6.故選：D.4.已知圓：，若直線垂直于圓的一條直徑，且經(jīng)過這條直徑的一個三等分點，則（）A.2或10 B.4或8 C.4或6 D.2或4【答案】A【解析】根據(jù)題意，圓C：，其圓心，半徑，若直線垂直于圓C的一條直徑，且經(jīng)過這條直徑的一個三等分點，則圓心到直線的距離為，則有，變形可得，解可得：或10，故選:A．5.橢圓的左、右焦點分別為，則橢圓上滿足的點A.有2個 B.有4個 C.不一定存在 D.一定不存在【答案】D【解析】以為直徑作圓，圓與橢圓有幾個交點，就有幾個點滿足，，而，所以以為直徑作圓，即圓的半徑，圓與橢圓沒有交點，所以不存在點P滿足，故選：D.6.P為⊙C：上一點，Q為直線l：上一點，則線段PQ長度的最小值（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為圓，即，所以圓心，半徑，又因為長度的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，且圓心到直線距離，所以，故選：A.7.若半徑為的小球可以在棱長均為8的四棱錐內(nèi)部自由轉(zhuǎn)動，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記該四棱錐為，AC與BD的中點為E，內(nèi)切球球心為O，易知四棱錐為為正四棱錐，高為PE，的最大值為該四棱錐的內(nèi)切球的半徑．由題意得，該正四棱錐的表面積，則該正四棱錐的體積，由等體積可得，則，所以的最大值為．故選：B.8.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實上，很多代數(shù)問題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，列如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題.已知點在直線，點在直線上，且，結(jié)合上述觀點，的最小值為（）A. B. C. D.5【答案】D【解析】由已知表示點到點的距離，表示點到點的距離，所以，過點作，垂足為，因為直線的方程為，，所以，又直線與直線平行，，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，所以當(dāng)點為線段與直線的交點時，取最小值，最小值為，因為過點與直線垂直的直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以點的坐標(biāo)為，所以，所以的最小值為，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題正確的是（）A.若事件兩兩互斥，則成立.B.若事件兩兩獨立，則成立.C.若事件相互獨立，則與也相互獨立.D.若，則事件相互獨立與互斥不能同時成立.【答案】ACD【解析】對于A選項，若事件兩兩互斥，則與互斥，所以，，因此A正確；對于B，考慮投擲兩個骰子，記事件：第一個骰子的點數(shù)為奇數(shù)，事件：第二個骰子點數(shù)為奇數(shù)，事件：兩個骰子的點數(shù)之和為奇數(shù)，于是有，，，可以看出事件兩兩獨立，但不互相獨立，所以，因此B錯誤；對于C，若事件相互獨立，則，又，，則，因此C正確；對于D，若，事件相互獨立，則，若互斥，則，因此D正確.故選：ACD.10.設(shè)直線系：，則下面四個命題正確的是（）A.點到中的所有直線的距離恒為定值B.存在定點不在中的任意一條直線上C.對于任意整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上D.中的直線所能圍成的正三角形面積都相等【答案】ABC【解析】先點到中的直線的距離設(shè)為d，則為定值，故直線系：表示圓的切線的集合.顯然選項A正確；一定不在中的任意一條直線上，B選項正確；由于圓的所有外切正多邊形的邊都是圓的切線，所以對于任意整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上，C選項正確；如圖所示，中的直線所能圍成的正三角形有兩類，一種是圓的外切三角形，如△ADE，此類三角形面積均相等，另一種是在圓的同一側(cè)，如△ABC，這類三角形面積也相等，但兩類三角形面積不等，故D選項不正確.故選：ABC.11.如圖，正方體的棱長為是側(cè)面上的一個動點（含邊界），點在棱上，且，則下列結(jié)論正確的有（）A.沿正方體的表面從點到點的最短距離為B.保持與垂直時，點的運動軌跡長度為C.若保持，則點的運動軌跡長度D.平面截正方體所得截面為等腰梯形【答案】BCD【解析】對于A，在棱長為4的正方體中，將正方形、正方形展開置于同一平面，如圖，

連接，則，A錯誤；對于B，在棱上分別取點，使，連接，如圖，

由，得平行四邊形，即，由，得，同理，于是，而平面，平面，，又，，平面，則平面，平面，有，同理，從而，又平面，因此平面，而平面平面，則的運動軌跡為線段，此時與始終垂直，，B正確；對于C，在棱上取點，使，連接，則，如圖，

而平面，則有平面，平面，則，而，于是，點在以為圓心，2為半徑的圓弧上，此時圓心角為，點的運動軌跡長度，C正確；對于D，在棱上取點，使，連接，如圖，

由，得，正方體的對角面為矩形，則，于是平面截正方體所得截面為梯形.又，，從而為等腰梯形.故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間的一組基底為，且滿足，則______．【答案】【解析】由題得存在實數(shù)滿足，則．又為空間的一組基底，則滿足，解得則．13.已知某三棱臺的高為，上、下底面分別為邊長為和的正三角形，若該三棱臺的各頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為__________．【答案】【解析】依題意，該三棱臺為正三棱臺，設(shè)為三棱臺，如圖，上底面正外接圓的半徑是，為正外接圓圓心，下底面正外接圓的半徑是，為正外接圓圓心，由正三棱臺的性質(zhì)知，其外接球的球心在直線上，令該球半徑為，于是，或，解得，所以球的表面積是．14.已知實數(shù)滿足，則的最大值為__________.【答案】【解析】因為，所以，所以點在圓上，其中圓心為，半徑為，又，其中表示點與點連線的斜率，又，所以點在圓外，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時，取得最值，設(shè)過點的直線的方程為，即，則，解得或，即的最大值為，最小值為，所以的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，已知三棱柱中，，平面，，M為邊上的動點．（1）當(dāng)時，求證：平面；（2）求三棱錐的體積．（1）證明：平面，又平面，，，，，又，平面，平面．（2）解：，，，則點C到平面距離為，在三棱柱中，平面，則四邊形為矩形，當(dāng)M點在上運動時，的面積是定值，又，，．16.為響應(yīng)國家“學(xué)習(xí)強國”的號召、培養(yǎng)同學(xué)們的“社會主義核心價值觀”，我校團委鼓勵全校學(xué)生積極學(xué)習(xí)相關(guān)知識，并組織知識競賽．今隨機對其中的1000名同學(xué)的初賽成績(滿分：分)作統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖(有數(shù)據(jù)缺失)．請大家完成下面的問題：（1）根據(jù)直方圖求以下表格中、的值；成績頻數(shù)

（2）求參賽同學(xué)初賽成績的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；（3）若從這1000名參加初賽同學(xué)中按等比例分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，再在該樣本中成績不低于分的同學(xué)里任選人繼續(xù)參加教育局組織的校際比賽，求抽到的人中恰好人的分?jǐn)?shù)低于分且人的分?jǐn)?shù)不低于分的概率．解：（1）因為個體在區(qū)間50,60內(nèi)的頻率是，所以頻數(shù)；在80,90內(nèi)的頻率是，所以頻數(shù).（2）平均數(shù)為，方差.（3）由等比例分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，則抽樣比例為，所以在區(qū)間80,90和90,100內(nèi)抽取的人數(shù)各為和，分別記這人為、、、、和、，則事件的總體是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中共有21個基本事件，記所求的事件為，則中包含的基本事件為：，，，，，，，，，共10個，所以．17.如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點，四棱錐的體積為.（1）若為棱的中點，求證：平面；（2）在棱上是否存在點，使得平面與平面所成夾角的余弦值為？