課時(shí)3球的接、切、截問(wèn)題一、課標(biāo)要求1．掌握幾何體的外接球和內(nèi)切球問(wèn)題.2．體驗(yàn)解決多面體“接”“切”問(wèn)題的思維過(guò)程，感悟不同方法的要領(lǐng).二、知識(shí)梳理1、常用的球的截面的性質(zhì)(1)球的任何截面圓面；(2)球心和截面(不過(guò)球心)圓心的連線于截面；(3)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r的關(guān)系為2.幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R①若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝③若球與正方體的各棱相切，則2R＝(2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R=.(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為三、基礎(chǔ)回顧1．已知一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，它的棱長(zhǎng)是acm，則該球的體積為（）A．cm3 B．cm3C．cm3 D．cm32．已知一圓錐的底面周長(zhǎng)，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐的內(nèi)切球的體積為（）A． B． C． D．3．（多選題）用一個(gè)平面去截如圖所示的圓柱體，則所得的截面可能是（）A．B．C．D．4．將一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的正方體鐵塊磨制成一個(gè)球體零件，則可制作的最大零件的體積為．四、考點(diǎn)掃描考點(diǎn)一幾何體的外接球考向1利用球的定義例1（1）(2024·安徽合肥市第八中學(xué)期末)在三棱錐中，底面，，，若三棱錐外接球的表面積為，則（

）A．1 B． C． D．（2）已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2) B.2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D.3eq\r(10)規(guī)律方法：對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（1）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，B＝60°.將△ABC沿AC折起，折起后記點(diǎn)B為P，連接PD，得到三棱錐P－ACD，如圖所示，則當(dāng)三棱錐P－ACD的表面積最大時(shí)，三棱錐P－ACD外接球的體積為()A.eq\f(5\r(2)π,3)B.eq\f(4\r(3)π,3)C．2eq\r(3)πD.eq\f(8\r(2)π,3)（2）某建筑的形狀可視為內(nèi)、外兩個(gè)同軸圓柱，某愛好者制作了一個(gè)實(shí)心模型，如圖，已知模型內(nèi)層底面圓直徑為12cm，外層底面圓直徑為16cm，且內(nèi)、外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為20cm的球面上，則此模型的體積為________cm3.考向2補(bǔ)成長(zhǎng)方體或棱柱例2（1）(2024·浙江湖州市調(diào)研)已知三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是棱PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A.eq\r(6)π B.6π C.24π D.8eq\r(6)π（2）(2024·河南焦作市模擬)已知三棱錐P－ABC的每條側(cè)棱與它所對(duì)的底面邊長(zhǎng)相等，且PA＝3eq\r(2)，PB＝PC＝5，則該三棱錐的外接球的表面積為________.規(guī)律方法：對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（1）在四面體SABC中，SA⊥平面ABC，在△ABC中，內(nèi)角B，A，C的大小成等差數(shù)列，SA＝AC＝2，AB＝1，則該四面體的外接球的表面積為________．（2）在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面積分別為eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，則三棱錐A－BCD的外接球的體積為________.考點(diǎn)二球的截面問(wèn)題例3（1）已知某正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3eq\r(3)和4eq\r(3)，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．100π B．128πC．144π D．192π(2)四棱錐P－ABCD的頂點(diǎn)都在球O的表面上，△PAD是等邊三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，則球O的表面積為()A.12π B.16π C.20π D.32π規(guī)律方法：對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（1）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為eq\f(32π,3)，兩個(gè)圓錐的高之比為1∶3，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為()A.3π B.4π C.9π D.12π（2）已知正四棱臺(tái)的上、下底面的頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上，上、下底面正方形的外接圓半徑分別為1和2，棱臺(tái)的兩底面在球心的同側(cè)，則此正四棱臺(tái)的體積為________．考點(diǎn)三幾何體的內(nèi)切球例4（1）(2024·安徽淮北市模擬)半球內(nèi)放三個(gè)半徑為eq\r(3)的小球，三小球兩兩相切，并且與球面及半球底面的大圓面也相切，則該半球的半徑是()A．1＋eq\r(3) B.eq\r(3)＋eq\r(5)C.eq\r(5)＋eq\r(7) D.eq\r(3)＋eq\r(7)（2）（2023·湖南卷）定義：與圓錐的底面和各母線均相切的球，稱為圓錐的內(nèi)切球，此圓錐稱為球的外切圓錐．已知某圓錐的內(nèi)切球半徑為1，則該圓錐體積的最小值為（