引言平面向量作為連接代數(shù)與幾何的橋梁，是高中數(shù)學(xué)的核心工具性知識(shí)之一。在高考中，平面向量既考查基礎(chǔ)的線性運(yùn)算、數(shù)量積等概念，又常與三角函數(shù)、解析幾何、不等式等知識(shí)綜合，考查學(xué)生的運(yùn)算能力、數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化與化歸能力。本文系統(tǒng)梳理2020—2024年高考數(shù)學(xué)中平面向量的典型試題，結(jié)合詳細(xì)解答與思路分析，總結(jié)命題趨勢(shì)，為備考提供實(shí)用參考。一、近五年高考平面向量典型試題及解答（一）2024年高考真題（新高考Ⅰ卷）題目：已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2)$，$\boldsymbol=(m,1)$，若$(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol)\perp\boldsymbol{a}$，則$m$的值為？解答：向量垂直的充要條件是數(shù)量積為$0$。先計(jì)算$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol$的坐標(biāo)：$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol=(1+2m,2+2\times1)=(1+2m,4)$。由$(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol)\perp\boldsymbol{a}$，得$(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol)\cdot\boldsymbol{a}=0$。根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式（若$\boldsymbol{u}=(x_1,y_1)$，$\boldsymbol{v}=(x_2,y_2)$，則$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}=x_1x_2+y_1y_2$），代入得：$(1+2m)\times1+4\times2=0$，化簡(jiǎn)得$1+2m+8=0$，即$2m=-9$，解得$m=-\frac{9}{2}$。思路分析：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算與垂直的性質(zhì)。核心是利用“垂直向量的數(shù)量積為$0$”，先通過坐標(biāo)運(yùn)算表示和向量，再代入數(shù)量積公式列方程求解，體現(xiàn)了代數(shù)運(yùn)算的直接應(yīng)用。（二）2023年高考真題（全國(guó)甲卷）題目：在$\triangleABC$中，$D$為$BC$中點(diǎn)，$E$為$AD$上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{ED}$。若$\overrightarrow{BE}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，求$x+y$的值。解答：利用向量的線性運(yùn)算，以$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$為基底表示$\overrightarrow{BE}$：因$D$是$BC$中點(diǎn)，由向量中點(diǎn)公式得：$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$（平行四邊形法則的應(yīng)用）。由$\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{ED}$，可知$\overrightarrow{AE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$（線段比例轉(zhuǎn)化為向量比例）。代入$\overrightarrow{AD}$的表達(dá)式，得$\overrightarrow{AE}=\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{3}{8}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{8}\overrightarrow{AC}$。接下來(lái)表示$\overrightarrow{BE}$：$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$（向量減法的三角形法則），代入$\overrightarrow{AE}$的表達(dá)式，得：$\overrightarrow{BE}=\left(\frac{3}{8}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{8}\overrightarrow{AC}\right)-\overrightarrow{AB}=-\frac{5}{8}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{8}\overrightarrow{AC}$。因此，$x=-\frac{5}{8}$，$y=\frac{3}{8}$，故$x+y=-\frac{5}{8}+\frac{3}{8}=-\frac{1}{4}$。思路分析：本題考查向量的線性表示，核心是“基底法”——選擇$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$作為基底，通過中點(diǎn)性質(zhì)和線段比例關(guān)系，將目標(biāo)向量$\overrightarrow{BE}$轉(zhuǎn)化為基底的線性組合。解題關(guān)鍵在于熟練應(yīng)用向量的線性運(yùn)算規(guī)則（加法、數(shù)乘）和幾何意義（中點(diǎn)、線段比例）。（三）2022年高考真題（新高考Ⅱ卷）題目：已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol$滿足$|\boldsymbol{a}|=1$，$|\boldsymbol|=2$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=1$，則$|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol|=$？解答：向量模長(zhǎng)的計(jì)算通常通過“平方消?！鞭D(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算。對(duì)$|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol|$平方：$|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol|^2=(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol)\cdot(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol)$（模長(zhǎng)平方等于向量自身的數(shù)量積）。根據(jù)數(shù)量積的分配律展開：$(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol)\cdot(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol)=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol+4\boldsymbol\cdot\boldsymbol$。利用數(shù)量積的性質(zhì)$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{u}=|\boldsymbol{u}|^2$，代入已知條件$|\boldsymbol{a}|=1$，$|\boldsymbol|=2$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=1$，得：$|\boldsymbol{a}|^2-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol+4|\boldsymbol|^2=1^2-4\times1+4\times2^2=1-4+16=13$。因此，$|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol|=\sqrt{13}$（模長(zhǎng)為非負(fù)數(shù)，取算術(shù)平方根）。思路分析：本題考查向量模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系，核心方法是“平方消模法”——通過平方將模長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算，避免直接求向量的坐標(biāo)或夾角。解題時(shí)需熟練掌握數(shù)量積的分配律和$\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{u}=|\boldsymbol{u}|^2$的性質(zhì)。（四）2021年高考真題（浙江卷）題目：已知平面向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol$，$\boldsymbol{c}$滿足$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol|=|\boldsymbol{c}|=1$，若$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=\frac{1}{2}$，則$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol-\boldsymbol{c})$的最大值為？解答：先展開數(shù)量積：$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol-\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}-\boldsymbol\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{c}$。利用$\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{c}=|\boldsymbol{c}|^2=1$和$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=\frac{1}{2}$，代入得：$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol-\boldsymbol{c})=\frac{1}{2}-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol)\cdot\boldsymbol{c}+1=\frac{3}{2}-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol)\cdot\boldsymbol{c}$。要最大化該表達(dá)式，需最小化$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol)\cdot\boldsymbol{c}$。設(shè)$\boldsymbol{a}+\boldsymbol$與$\boldsymbol{c}$的夾角為$\theta$，根據(jù)數(shù)量積的定義：$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol)\cdot\boldsymbol{c}=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol|\cdot|\boldsymbol{c}|\cdot\cos\theta$。先求$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol|$：$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol|^2=|\boldsymbol{a}|^2+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol+|\boldsymbol|^2=1+2\times\frac{1}{2}+1=3$，故$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol|=\sqrt{3}$。因?yàn)?|\boldsymbol{c}|=1$，$\cos\theta\in[-1,1]$，所以$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol)\cdot\boldsymbol{c}=\sqrt{3}\cos\theta$的最小值為$-\sqrt{3}$（當(dāng)$\cos\theta=-1$時(shí)）。因此，$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol-\boldsymbol{c})$的最大值為$\frac{3}{2}-(-\sqrt{3})=\frac{3}{2}+\sqrt{3}$。思路分析：本題考查向量數(shù)量積的最值問題，核心是“轉(zhuǎn)化與化歸”——將目標(biāo)表達(dá)式展開后，轉(zhuǎn)化為關(guān)于$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol)\cdot\boldsymbol{c}$的最值問題，再利用數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的有界性求解。解題關(guān)鍵在于熟練應(yīng)用數(shù)量積的分配律、模長(zhǎng)公式，以及對(duì)$\cos\theta$取值范圍的把握。（五）2020年高考真題（全國(guó)Ⅰ卷）題目：設(shè)向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol$滿足$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol|=\sqrt{10}$，$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol|=\sqrt{6}$，則$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=$？解答：對(duì)兩個(gè)模長(zhǎng)分別平方，利用“平方消?！鞭D(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算：$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol|^2=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol)\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol)=|\boldsymbol{a}|^2+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol+|\boldsymbol|^2=10$（記為①式）；$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol|^2=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol)\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol)=|\boldsymbol{a}|^2-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol+|\boldsymbol|^2=6$（記為②式）。用①式減去②式，消去$|\boldsymbol{a}|^2$和$|\boldsymbol|^2$：$(|\boldsymbol{a}|^2+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol+|\boldsymbol|^2)-(|\boldsymbol{a}|^2-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol+|\boldsymbol|^2)=10-6$，化簡(jiǎn)得$4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=4$，故$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol=1$。思路分析：本題考查向量模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系，核心方法是“平方消模法”的拓展——通過對(duì)兩個(gè)模長(zhǎng)平方后的式子作差，消去未知的$|\boldsymbol{a}|^2$和$|\boldsymbol|^2$，直接求解$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol$。解題時(shí)需注意平方展開的準(zhǔn)確性和式子的整體消元思想。二、命題趨勢(shì)分析（一）考查內(nèi)容：從基礎(chǔ)運(yùn)算到綜合應(yīng)用近五年高考中，平面向量的考查可分為三個(gè)層次：1.基礎(chǔ)層：直接考查線性運(yùn)算（如2023年的線性表示）、數(shù)量積與模長(zhǎng)的基本公式（如2022、2020年的模長(zhǎng)計(jì)算），占比約40%；2.綜合層：與三角函數(shù)、解三角形結(jié)合（如2021年的最值問題隱含三角函數(shù)有界性），或與解析幾何結(jié)合（如利用向量表示垂直、平行），占比約50%；3.創(chuàng)新層：涉及向量與不等式、函數(shù)的綜合（如2021年的最值問題），考查轉(zhuǎn)化思想，占比約10%。（二）題型分布：選擇、填空為主，工具性凸顯題型：選擇題、填空題占比超90%，多為中檔題；解答題中，向量常作為工具出現(xiàn)在立體幾何（向量法求角、距離）、解析幾何（向量表示位置關(guān)系）中，體現(xiàn)“工具性”。難度：基礎(chǔ)題側(cè)重公式記憶（如數(shù)量積公式），中檔題側(cè)重運(yùn)算能力（如坐標(biāo)運(yùn)算、基底法），難題側(cè)重思維能力（如最值轉(zhuǎn)化）。（三）核心能力：運(yùn)算、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化運(yùn)算能力：坐標(biāo)運(yùn)算、代數(shù)運(yùn)算（如平方消模、分配律展開）是考查重點(diǎn)；數(shù)形結(jié)合：向量的幾何意義（有向線段、平行四邊形法則）在線性表示中頻繁應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想：將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題（如模長(zhǎng)→數(shù)量積）、幾何問題（如數(shù)量積→夾角），或與三角函數(shù)、函數(shù)結(jié)合轉(zhuǎn)化為最值問題。三、備考策略與建議（一）夯實(shí)基礎(chǔ)：牢記核心公式與規(guī)則熟練掌握向量線性運(yùn)算的三角形法則、平行四邊形法則，及坐標(biāo)運(yùn)算公式；牢記數(shù)量積的定義、坐標(biāo)公式、模長(zhǎng)公式（$|\boldsymbol{u}|=\sqrt{\