北師大版九年級數(shù)學(xué)春季期末測試題本學(xué)期是九年級數(shù)學(xué)知識整合與中考沖刺的關(guān)鍵階段，這份測試題緊扣北師大版教材核心內(nèi)容，覆蓋二次函數(shù)、反比例函數(shù)、圓、相似三角形、統(tǒng)計(jì)與概率等重點(diǎn)模塊，既考查基礎(chǔ)知識的掌握程度，也注重思維能力與綜合應(yīng)用的檢測。通過完成測試，學(xué)生可清晰定位知識漏洞，為后續(xù)復(fù)習(xí)規(guī)劃提供依據(jù)。一、選擇題（每題3分，共15分）1.二次函數(shù)\(y=-2(x-1)^2+3\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.\((1,3)\)B.\((-1,3)\)C.\((1,-3)\)D.\((-1,-3)\)*考點(diǎn)：二次函數(shù)頂點(diǎn)式的性質(zhì)*思路：頂點(diǎn)式\(y=a(x-h)^2+k\)的頂點(diǎn)為\((h,k)\)，因此本題中\(zhòng)(h=1,k=3\)，選A。2.反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖象過點(diǎn)\((2,-3)\)，則\(k\)的值為（）A.6B.-6C.\(\frac{2}{3}\)D.\(-\frac{2}{3}\)*考點(diǎn)：反比例函數(shù)的待定系數(shù)法*思路：將點(diǎn)\((2,-3)\)代入解析式，得\(-3=\frac{k}{2}\)，解得\(k=-6\)，選B。3.如圖，\(PA\)、\(PB\)是⊙\(O\)的切線，\(A\)、\(B\)為切點(diǎn)，若\(\angleAPB=60^\circ\)，則\(\angleAOB\)的度數(shù)為（）A.\(60^\circ\)B.\(90^\circ\)C.\(120^\circ\)D.\(150^\circ\)*考點(diǎn)：圓的切線性質(zhì)（切線垂直于半徑）*思路：切線性質(zhì)得\(OA\perpPA\)，\(OB\perpPB\)，四邊形\(OAPB\)內(nèi)角和為\(360^\circ\)，故\(\angleAOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-60^\circ=120^\circ\)，選C。4.下列條件中，能判定\(\triangleABC\sim\triangleA'B'C'\)的是（）A.\(\angleA=\angleB'\)，\(\angleC=\angleA'\)B.\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)，\(\angleB=\angleB'\)C.\(\frac{AB}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'B'}\)D.\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}\)，\(\angleA=\angleA'\)*考點(diǎn)：相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS）*思路：選項(xiàng)D符合“SAS”判定（兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等），選D；A中角對應(yīng)錯誤，B中夾角應(yīng)為\(\angleA\)，C中對應(yīng)邊比例關(guān)系錯誤。5.一個不透明的袋子中裝有3個紅球、2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機(jī)摸出1個球，摸到紅球的概率為（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)*考點(diǎn)：古典概型的概率計(jì)算*思路：總球數(shù)為\(3+2=5\)，紅球3個，概率為\(\frac{3}{5}\)，選C。二、填空題（每題3分，共15分）6.若二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)\((0,3)\)、\((1,0)\)、\((3,0)\)，則其解析式為\(y=\boldsymbol{x^2-4x+3}\)。*考點(diǎn)：二次函數(shù)的交點(diǎn)式*思路：設(shè)交點(diǎn)式\(y=a(x-1)(x-3)\)，代入\((0,3)\)得\(3=a(0-1)(0-3)\)，即\(3a=3\)，\(a=1\)，展開得\(y=x^2-4x+3\)。7.已知⊙\(O\)的半徑為2，圓心角\(\angleAOB=90^\circ\)，則弧\(AB\)的長為\(\boldsymbol{\pi}\)。*考點(diǎn)：弧長公式（\(l=\frac{n\pir}{180}\)）*思路：代入\(n=90\)，\(r=2\)，得\(l=\frac{90\pi\times2}{180}=\pi\)。8.如圖，\(DE\parallelBC\)，\(\triangleADE\sim\triangleABC\)，若\(AD=2\)，\(DB=4\)，則\(\frac{DE}{BC}=\boldsymbol{\frac{1}{3}}\)。*考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)（對應(yīng)邊成比例）*思路：\(AB=AD+DB=6\)，由相似得\(\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)。9.某班10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績（單位：分）為：85，90，92，88，95，86，93，89，91，94，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為\(\boldsymbol{90.5}\)。*考點(diǎn)：中位數(shù)的計(jì)算（先排序，再取中間值）*思路：排序后為85，86，88，89，90，91，92，93，94，95，中間兩個數(shù)為90和91，中位數(shù)為\(\frac{90+91}{2}=90.5\)。10.一次函數(shù)\(y=x+1\)與反比例函數(shù)\(y=\frac{2}{x}\)的交點(diǎn)坐標(biāo)為\(\boldsymbol{(1,2)}\)和\(\boldsymbol{(-2,-1)}\)。*考點(diǎn)：函數(shù)交點(diǎn)的求解（聯(lián)立方程）*思路：聯(lián)立\(\begin{cases}y=x+1\\y=\frac{2}{x}\end{cases}\)，得\(x+1=\frac{2}{x}\)，整理為\(x^2+x-2=0\)，解得\(x=1\)或\(x=-2\)，對應(yīng)\(y=2\)或\(y=-1\)。三、解答題（共70分）11.（10分）解方程：\(\frac{2}{x-1}+1=\frac{x}{x+1}\)*考點(diǎn)：分式方程的解法（去分母、檢驗(yàn)）*解：兩邊同乘\((x-1)(x+1)\)（最簡公分母）得：\(2(x+1)+(x-1)(x+1)=x(x-1)\)展開并化簡：\(2x+2+x^2-1=x^2-x\)，即\(2x+1=-x\)，解得\(x=-\frac{1}{3}\)。檢驗(yàn)：當(dāng)\(x=-\frac{1}{3}\)時，\((x-1)(x+1)\neq0\)，故\(x=-\frac{1}{3}\)是原方程的解。12.（12分）如圖，\(AB\)是⊙\(O\)的直徑，\(C\)是⊙\(O\)上一點(diǎn)，\(OD\perpBC\)于點(diǎn)\(D\)，交⊙\(O\)于點(diǎn)\(E\)，連接\(AE\)、\(AC\)。求證：\(AE=AC\)。*考點(diǎn)：圓的垂徑定理、等腰三角形的判定*證明：∵\(yùn)(OD\perpBC\)，由垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦所對的?。┑肻(\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}\)。連接\(OC\)，∵\(yùn)(OB=OC\)（半徑相等），\(OD\perpBC\)，∴\(\angleBOE=\angleCOE\)（等腰三角形“三線合一”）。又\(\angleAOE=180^\circ-\angleBOE\)，\(\angleAOC=180^\circ-\angleCOE\)，故\(\angleAOE=\angleAOC\)。在⊙\(O\)中，相等的圓心角所對的弦相等，因此\(AE=AC\)。13.（14分）某商店銷售一種成本為每件30元的商品，銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量\(y\)（件）與銷售單價\(x\)（元）之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)\(y=-10x+600\)。（1）設(shè)每月利潤為\(w\)（元），求\(w\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價為多少元時，每月獲得的利潤最大？最大利潤是多少？*考點(diǎn)：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（利潤問題）*解：（1）利潤公式為“利潤=（單價-成本）×銷售量”，代入已知得：\(w=(x-30)y=(x-30)(-10x+600)\)，展開化簡：\(w=-10x^2+900x-____\)。（2）將\(w=-10x^2+900x-____\)化為頂點(diǎn)式：\(w=-10(x^2-90x)-____=-10(x-45)^2+2250\)。∵二次項(xiàng)系數(shù)\(-10<0\)，拋物線開口向下，∴當(dāng)\(x=45\)時，\(w\)取得最大值\(2250\)。答：當(dāng)銷售單價為45元時，每月利潤最大，最大利潤為2250元。14.（16分）某校為了解學(xué)生對“垃圾分類”知識的掌握情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行測試，將測試成績分為A、B、C、D四個等級，繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖：（1）若B等級人數(shù)為40人，且占抽樣人數(shù)的40%，求本次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖（A等級占20%，C等級占30%，D等級占10%）；（3）若全校共有2000名學(xué)生，估計(jì)全校達(dá)到A等級的學(xué)生人數(shù)。*考點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)圖表的分析與應(yīng)用（條形圖、扇形圖）*解：（1）由“部分量÷對應(yīng)百分比=總量”，得抽樣人數(shù)為\(40\div40\%=100\)人。（2）A等級人數(shù)：\(100\times20\%=20\)人；C等級人數(shù)：\(100\times30\%=30\)人；D等級人數(shù)：\(100\times10\%=10\)人。補(bǔ)全條形圖（A畫20人，B畫40人，C畫30人，D畫10人）。（3）全校A等級人數(shù)估計(jì)為\(2000\times20\%=400\)人。15.（18分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線\(y=ax^2+bx+c\)過點(diǎn)\(A(-1,0)\)、\(B(3,0)\)、\(C(0,3)\)，點(diǎn)\(P\)是拋物線上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)\(P\)的橫坐標(biāo)為\(m\)。（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)\(P\)在直線\(BC\)上方時，求\(\trianglePBC\)面積的最大值；（3）是否存在點(diǎn)\(P\)，使\(\anglePCB=\angleABC\)？若存在，求出\(m\)的值；若不存在，說明理由。*考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合（解析式、面積最值、角度存在性）*解：（1）設(shè)拋物線的交點(diǎn)式為\(y=a(x+1)(x-3)\)，代入\(C(0,3)\)得：\(3=a(0+1)(0-3)\)，即\(-3a=3\)，解得\(a=-1\)。因此，拋物線的解析式為\(y=-x^2+2x+3\)。（2）先求直線\(BC\)的解析式：設(shè)\(y=kx+b\)，代入\(B(3,0)\)、\(C(0,3)\)得：\(\begin{cases}3k+b=0\\b=3\end{cases}\)，解得\(k=-1\)，\(b=3\)，故\(y=-x+3\)。點(diǎn)\(P(m,-m^2+2m+3)\)，過\(P\)作\(PD\perpx\)軸交\(BC\)于\(D\)，則\(D(m,-m+3)\)，∴\(PD=(-m^2+2m+3)-(-m+3)=-m^2+3m\)。\(\trianglePBC\)的面積\(S=\frac{1}{2}\timesOB\timesPD=