單位根與協(xié)整關系的聯(lián)合檢驗方法一、引言：從時間序列分析的“地基”說起記得剛入行做金融數(shù)據(jù)研究時，師傅曾說過一句話：“做時間序列分析，就像蓋房子，單位根檢驗是打地基，協(xié)整關系是看房子能不能穩(wěn)當立住。地基沒打牢，房子蓋得再漂亮也會塌；只看地基不看結構，可能根本建不成能住人的房子。”這句話讓我對單位根與協(xié)整檢驗的關系有了最直觀的理解。在計量經(jīng)濟學中，尤其是涉及多變量時間序列分析時，單位根檢驗（檢驗序列是否平穩(wěn)）與協(xié)整檢驗（檢驗非平穩(wěn)序列間是否存在長期均衡關系）是兩大核心步驟。但傳統(tǒng)研究中，這兩個步驟往往被割裂處理——先做單位根檢驗，再做協(xié)整檢驗。這種“分階段”方法看似邏輯清晰，卻隱藏著一個關鍵問題：單位根檢驗的結果會直接影響協(xié)整檢驗的設定，而協(xié)整關系的存在又可能反哺單位根檢驗的結論。就像蓋房子時，地基的承重能力會影響結構設計，而結構設計反過來也會要求地基調(diào)整施工方案。因此，越來越多的研究開始關注“聯(lián)合檢驗”方法——將單位根與協(xié)整關系放在同一框架下檢驗，以提高結論的可靠性。本文將圍繞這一主題，從基礎概念出發(fā)，逐步深入探討聯(lián)合檢驗的邏輯、方法與應用價值。二、單位根與協(xié)整：理解二者的“共生關系”2.1單位根檢驗：識別時間序列的“穩(wěn)定性基因”要理解單位根檢驗，首先得明白什么是“平穩(wěn)性”。簡單來說，一個時間序列如果均值、方差和自協(xié)方差不隨時間推移而顯著變化，就是平穩(wěn)的；反之，若存在趨勢項、截距項或隨機游走特征（如股價的“今天漲明天可能繼續(xù)漲”），則是非平穩(wěn)的。非平穩(wěn)序列的典型特征是含有“單位根”——在AR(1)模型(y_t=y_{t-1}+_t)中，若(||=1)（即()），則序列存在單位根，表現(xiàn)為隨機游走（()時）或爆炸式增長（(>1)時，但現(xiàn)實中少見）。為什么要檢驗單位根？因為經(jīng)典回歸模型要求變量平穩(wěn)，否則會出現(xiàn)“偽回歸”——兩個完全無關的非平穩(wěn)序列可能因趨勢相似而呈現(xiàn)高擬合度，但這種關系沒有實際意義。例如，用某國GDP增長和某城市咖啡店數(shù)量做回歸，若兩者都是非平穩(wěn)的，可能得到“咖啡店越多GDP越高”的荒謬結論。因此，單位根檢驗是時間序列分析的“入門關卡”，常用方法包括ADF檢驗（擴展迪基-富勒檢驗）、PP檢驗（菲利普斯-佩龍檢驗）和KPSS檢驗（凱韋特-菲利普斯-施密特-申檢驗）等。2.2協(xié)整關系：非平穩(wěn)序列的“長期均衡紐帶”如果多個非平穩(wěn)序列各自含有單位根（即都是I(1)序列），但它們的線性組合是平穩(wěn)的（即I(0)），則稱這些序列存在協(xié)整關系。協(xié)整的本質(zhì)是“非平穩(wěn)中的平穩(wěn)”——雖然單個變量會隨機游走，但它們的偏離不會太遠，總會被某種機制拉回均衡。比如，商品的現(xiàn)貨價格和期貨價格，雖然每天波動，但長期看期貨價格是現(xiàn)貨價格的“錨”，兩者不會無限背離，這種關系就是協(xié)整的體現(xiàn)。協(xié)整檢驗的意義在于揭示變量間的長期均衡關系，這是建立誤差修正模型（ECM）的前提。傳統(tǒng)協(xié)整檢驗方法主要有兩種：一是Engle-Granger兩步法（先做靜態(tài)回歸得到殘差，再檢驗殘差是否平穩(wěn)）；二是Johansen檢驗（基于向量自回歸模型，通過特征根跡檢驗或最大特征值檢驗判斷協(xié)整秩）。但無論是哪種方法，都默認“已通過單位根檢驗，確認變量是I(1)序列”這一前提。2.3割裂檢驗的“阿喀琉斯之踵”傳統(tǒng)“先單位根檢驗，再協(xié)整檢驗”的分階段方法看似合理，實則存在兩大隱患：

第一，單位根檢驗的“勢”（檢驗功效）不足。單位根檢驗是“拒絕原假設困難”的檢驗——原假設是“存在單位根”，備擇假設是“平穩(wěn)”。當樣本量較小時，即使序列實際平穩(wěn)，也可能因檢驗功效低而無法拒絕原假設，導致錯誤地認為序列非平穩(wěn)，進而影響后續(xù)協(xié)整檢驗的結論。

第二，協(xié)整關系的存在可能改變單位根檢驗的前提。如果變量間存在協(xié)整關系，那么它們的差分序列可能存在短期動態(tài)調(diào)整，這會影響單位根檢驗中對滯后階數(shù)的選擇。例如，在ADF檢驗中需要設定滯后項來消除殘差自相關，但如果變量間存在協(xié)整，滯后項的最優(yōu)階數(shù)可能與單獨檢驗時不同，導致單位根檢驗結果出現(xiàn)偏差。

打個比方，就像醫(yī)生給病人做檢查，先查血常規(guī)再查心電圖，但如果血常規(guī)的結果依賴于心臟功能（而心臟功能又需要心電圖判斷），分開檢查就可能漏診。單位根與協(xié)整的關系正是如此——它們相互影響，需要聯(lián)合考察。三、聯(lián)合檢驗的方法論框架：從“分步走”到“協(xié)同作戰(zhàn)”3.1聯(lián)合檢驗的核心邏輯：信息共享與誤差修正聯(lián)合檢驗的基本思想是：將單位根檢驗與協(xié)整檢驗放在同一模型框架下，同時考慮變量的單整階數(shù)（是否含單位根）和協(xié)整關系（線性組合是否平穩(wěn)），通過最大化似然函數(shù)或最小化信息準則來同時估計這兩個維度的參數(shù)。這種方法的優(yōu)勢在于，它能利用協(xié)整關系提供的額外信息來提高單位根檢驗的功效，同時通過單位根檢驗的結果來約束協(xié)整檢驗的設定，避免“偽協(xié)整”或“漏協(xié)整”。3.2主要聯(lián)合檢驗方法解析3.2.1Johansen協(xié)整檢驗的擴展：從協(xié)整秩到單整階數(shù)Johansen檢驗原本是在變量為I(1)的假設下檢驗協(xié)整秩（即有多少個協(xié)整關系）。但后續(xù)研究將其擴展為同時檢驗變量的單整階數(shù)和協(xié)整秩。具體來說，向量自回歸模型（VAR）的誤差修正形式為：

(Y_t=Y_{t-1}+_{i=1}^{p-1}iY{t-1}+_t)

其中(=’)，()是調(diào)整系數(shù)矩陣，()是協(xié)整向量矩陣。若()的秩(r=0)，說明變量間無協(xié)整關系，且每個變量都是I(1)；若(0<r<k)（k為變量個數(shù)），則存在r個協(xié)整關系，變量是I(1)且協(xié)整；若(r=k)，則所有變量都是I(0)（平穩(wěn)）。通過檢驗()的秩，可以同時推斷變量的單整階數(shù)和協(xié)整關系。這種方法的優(yōu)勢是將單位根檢驗（判斷是否I(1)）與協(xié)整檢驗（判斷r）統(tǒng)一在VAR模型中，避免了分階段檢驗的誤差累積。3.2.2基于面板數(shù)據(jù)的聯(lián)合檢驗：跨截面信息的利用對于面板數(shù)據(jù)（多個個體的時間序列），聯(lián)合檢驗可以進一步利用跨截面的信息。例如，Levin-Lin-Chu（LLC）檢驗原本是面板單位根檢驗，但后續(xù)研究將其與面板協(xié)整檢驗結合，提出了“面板聯(lián)合檢驗”方法。其邏輯是：如果面板中多個個體的時間序列都存在單位根，且它們的線性組合在跨截面和時間維度上都是平穩(wěn)的，則可以認為這些序列在面板層面存在協(xié)整關系。這種方法尤其適用于分析多個經(jīng)濟體、多個行業(yè)或多個資產(chǎn)的共同趨勢，比如檢驗“一帶一路”沿線國家的經(jīng)濟增長是否存在長期協(xié)同性。3.2.3考慮結構突變的聯(lián)合檢驗：現(xiàn)實復雜性的應對現(xiàn)實中的時間序列往往存在結構突變（如政策調(diào)整、金融危機），這會影響單位根和協(xié)整關系的判斷。例如，一次重大金融危機可能使原本協(xié)整的兩個變量出現(xiàn)暫時背離，若忽略這種突變，可能誤判為協(xié)整關系消失。因此，部分學者提出了“帶結構突變的聯(lián)合檢驗”，將突變點作為未知參數(shù)納入模型，同時檢驗單位根、協(xié)整關系和突變點位置。這種方法的典型代表是Perron檢驗的擴展版，通過在模型中加入虛擬變量表示突變前后的截距或趨勢變化，再通過極大似然估計同時估計單位根參數(shù)、協(xié)整向量和突變點。3.3聯(lián)合檢驗的實施步驟：以VAR模型為例為了更直觀地理解聯(lián)合檢驗的操作，這里以VAR模型下的聯(lián)合檢驗為例，梳理具體步驟：

1.模型設定：確定變量個數(shù)k和滯后階數(shù)p，建立VAR(p)模型，并轉(zhuǎn)換為誤差修正形式（VECM）。

2.秩檢驗：通過Johansen提出的跡檢驗（TraceTest）或最大特征值檢驗（MaximumEigenvalueTest），檢驗矩陣()的秩r。若r=0，說明無協(xié)整關系，變量均為I(1)；若0<r<k，存在r個協(xié)整關系，變量I(1)且協(xié)整；若r=k，變量均為I(0)。

3.單整階數(shù)驗證：若r=0，進一步對每個變量做ADF檢驗（此時可利用VAR模型提供的滯后階數(shù)信息，提高檢驗功效）；若0<r<k，通過檢驗協(xié)整向量的顯著性（如t檢驗）確認協(xié)整關系的可靠性；若r=k，直接確認變量平穩(wěn)。

4.穩(wěn)健性檢驗：改變滯后階數(shù)p，或使用不同的信息準則（如AIC、BIC）重新估計模型，觀察秩r和單整階數(shù)的結論是否一致，確保結果穩(wěn)健。這一過程中，單位根檢驗不再是孤立的步驟，而是與協(xié)整檢驗共享模型信息，從而減少了“先驗假設”帶來的偏差。四、應用實例：聯(lián)合檢驗在金融套利中的“實戰(zhàn)價值”4.1案例背景：跨市場套利的“協(xié)整前提”在金融市場中，跨市場套利（如現(xiàn)貨與期貨、A股與H股）的核心邏輯是“價格收斂”——當兩個相關資產(chǎn)的價格偏離長期均衡時，套利者會入場交易，推動價格回歸。但這一邏輯成立的前提是兩個價格序列存在協(xié)整關系。如果僅做單獨的單位根檢驗，可能出現(xiàn)兩種錯誤：

-錯誤1：單位根檢驗誤判某序列為I(1)（實際是I(0)），導致后續(xù)協(xié)整檢驗無意義（I(0)和I(1)的線性組合是I(1)，不可能協(xié)整）。

-錯誤2：單位根檢驗正確判斷兩序列為I(1)，但協(xié)整檢驗因樣本量小而漏判協(xié)整關系，錯過套利機會。聯(lián)合檢驗能有效解決這些問題，下面以某PairsTrading策略（配對交易）為例展開分析。4.2數(shù)據(jù)與方法：某兩只股票的價格序列假設我們選取兩只高度相關的股票（如同一行業(yè)的龍頭股A和跟隨股B），獲取其日收盤價數(shù)據(jù)（樣本量n=1000）。傳統(tǒng)方法會先對A和B分別做ADF檢驗，若均為I(1)，再用Engle-Granger兩步法檢驗協(xié)整。但聯(lián)合檢驗會直接建立VAR(2)模型，轉(zhuǎn)換為VECM形式，通過Johansen檢驗同時判斷單整階數(shù)和協(xié)整秩。4.3結果對比：單獨檢驗vs聯(lián)合檢驗單獨檢驗結果：A的ADF檢驗p值=0.12（大于0.05，不拒絕單位根原假設），B的ADF檢驗p值=0.15（同樣不拒絕），因此認為A和B均為I(1)。接著用Engle-Granger法，對A=α+βB+ε做回歸，得到殘差序列ε的ADF檢驗p值=0.07（接近但不小于0.05），無法拒絕“殘差有單位根”的原假設，結論是“無協(xié)整關系”。

聯(lián)合檢驗結果：在VECM模型中，Johansen跡檢驗顯示秩r=1（p值=0.03<0.05），說明存在1個協(xié)整關系。進一步檢驗()矩陣的秩，確認r=1，因此A和B均為I(1)且協(xié)整。此時，殘差序列的ADF檢驗p值=0.02（因利用了VAR模型的滯后信息，檢驗功效提高），拒絕單位根原假設，確認協(xié)整關系存在。4.4結論與啟示：聯(lián)合檢驗如何“拯救”套利策略在這個案例中，單獨檢驗因單位根檢驗的低功效（小樣本下p值接近臨界值）和協(xié)整檢驗的信息損失（未利用變量間的動態(tài)關系），錯誤地否定了協(xié)整關系，導致套利策略被放棄。而聯(lián)合檢驗通過共享模型信息，提高了單位根檢驗的功效（利用VAR模型的滯后項消除殘差自相關），同時直接通過秩檢驗確認協(xié)整關系，最終得出“存在協(xié)整”的正確結論。這一結果對實際交易的意義重大——套利者可以基于協(xié)整關系設計策略，當A和B的價格偏離均衡時開倉，回歸時平倉，從而獲得穩(wěn)定收益。五、總結與展望：聯(lián)合檢驗的“現(xiàn)在與未來”5.1聯(lián)合檢驗的核心優(yōu)勢從理論到實踐，聯(lián)合檢驗的價值主要體現(xiàn)在三個方面：

-提高檢驗功效：通過共享單位根與協(xié)整的信息，減少單階段檢驗的“勢損失”，尤其在小樣本或弱協(xié)整情況下效果顯著。

-降低誤判風險：避免因單位根檢驗的錯誤結論（如將I(0)誤判為I(1)）導致協(xié)整檢驗的無意義，或因協(xié)整關系的存在未被考慮而誤判單位根。

-增強模型可靠性：聯(lián)合檢驗的結果直接為后續(xù)建模（如VECM）提供更準確的參數(shù)，提高預測和政策分析的可信度。5.2未來發(fā)展方向盡管聯(lián)合檢驗已取得重要進展，仍有一些問題值得深入探索：

-高頻數(shù)據(jù)的適用性：隨著金融市場進入“毫秒級”高頻交易時代，高頻數(shù)據(jù)的單位根與協(xié)整特性可能與低頻數(shù)據(jù)不同（如存在“微觀結構噪聲”），聯(lián)合檢驗需要針對高頻數(shù)據(jù)的特性（如強自相關、非正態(tài)分布）進行改進。

-非線性協(xié)整的聯(lián)合檢驗：現(xiàn)有方法主要針對線性協(xié)整，而現(xiàn)實中變量間可能存在非線性均衡關系（如閾值協(xié)整、平滑轉(zhuǎn)換協(xié)整），如何將單位根檢驗與非線性協(xié)整檢驗聯(lián)合，是未來的研