第頁5.5三角恒等變換思維導(dǎo)圖新課標(biāo)要求①經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義。②能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。③能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶）。知識梳理一、兩角差的余弦公式公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ簡記符號C(α－β)使用條件α，β為任意角二、兩角和與差的余弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R兩角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβα，β∈R三、兩角和與差的正弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R兩角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R四、兩角和與差的正切公式名稱公式簡記符號條件兩角和的正切tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)兩角差的正切tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)五、二倍角公式六、半角公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).七、輔助角公式輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(b,a)))名師導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)1兩角和差公式及其應(yīng)用【例1-1】已知銳角，滿足，，求．【解】，，，，，.【例1-2】已知均為銳角，且，求.【解】因?yàn)闉殇J角，所以，又，，．∵．【例1-3】______．【答案】【分析】利用兩角差的正切公式化簡求值即可.【詳解】解：．故答案為：.【變式訓(xùn)練1-1】已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，再利用兩角差的正弦公式可求得的值.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，所以，.故選：B.【變式訓(xùn)練1-2】已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式可得，即可求解.【詳解】，.故選：C【變式訓(xùn)練1-3】已知均為銳角，則____________．【答案】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的和角公式，可得，由角的取值范圍，可得答案.【詳解】因?yàn)椋J角，，所以．故答案為：.知識點(diǎn)2二倍角與半角公式及其應(yīng)用【例2-1】若，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合正弦的二倍角公式，帶值計(jì)算即可.【詳解】.故選：D.【例2-2】證明：．【解】證明：，．【例2-3】已知，，，，求：(1)的值；(2)的值.【解】（1）因?yàn)?，，所以，，所以，，所?（2）因?yàn)?，，所以，所以，所?【變式訓(xùn)練2-1】若，則（

）.A． B． C． D．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡求值.【詳解】由已知，所以，故選：C.【變式訓(xùn)練2-2】若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合二倍角公式、誘導(dǎo)公式，由即可轉(zhuǎn)化求值【詳解】．故選：A【變式訓(xùn)練2-3】已知為第三象限角，，，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】A【詳解】∵，∴，即，∴或.為第三象限角，所以，，∵，∴為第四象限角，∴，∴.故選：A.知識點(diǎn)3三角恒等變換的綜合應(yīng)用【例3-1】函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由和差公式化簡函數(shù)，由整體法令，即可求解.【詳解】，令，即，故函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為．故選：C【例3-2】計(jì)算：（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將正切轉(zhuǎn)化為正余弦，并通分，結(jié)合特殊角以及兩角差的正弦公式化簡求解即可.【詳解】原式.故選：C.【變式訓(xùn)練3-1】函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將解析式用正余弦的和差角公式展開化簡，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/p>

所以，故選:B.【變式訓(xùn)練3-2】化簡：___________.【答案】【分析】利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡計(jì)算即可.【詳解】原式故答案為：【變式訓(xùn)練3-3】函數(shù)的最小值為___________，此時x的值為___________.【答案】

【分析】利用三角恒等變換將化為只含有一個三角函數(shù)的形式，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意得，∵，∴，∴，當(dāng)時，有最小值，此時，解得，故答案為：；名師導(dǎo)練A組-[應(yīng)知應(yīng)會]1．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及兩角和與差的余弦公式即可求解.【詳解】；；原式.故選：C2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用倍角公式，即得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.3．下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的和差公式、倍角公式逐一算出每個選項(xiàng)對應(yīng)式子的值，然后可選出答案.【詳解】，，，，故選：D.4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求出，再利用余弦函數(shù)的二倍角公式求解即可.【詳解】，，則，故選：D.5．在中，，則此三角形的形狀（

）A．是等腰三角形，但不一定是等邊三角形 B．是等邊三角形C．是不等腰的直角三角形 D．是邊長互不相等的三角形【答案】A【分析】由，結(jié)合三角函數(shù)和差公式可得，結(jié)合角的范圍即可得，即可得結(jié)果【詳解】，由，故，由，，故，則此三角形的形狀是等腰三角形，但不一定是等邊三角形.故選：A6．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對題干條件平方后相加，結(jié)合余弦的差角公式得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以?），因?yàn)?，所以?），（1）+（2）得，∴.故選：A．7．已知函數(shù)．設(shè)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得，，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，然后利用兩角和的余弦公式可求得的值.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，，所以，因?yàn)?，所以，，所以，故選：B8．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合式子中角的特點(diǎn)以及范圍，分別求，，再根據(jù)正切值縮小的范圍，從而得到的范圍，即可得到角的大小.【詳解】因?yàn)椋?，而，，所以，，，，所以．故選：D．9．（多選）下列計(jì)算中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式及正余弦的和差角公式分別進(jìn)行化簡，即可求解【詳解】解：對于A，，故正確；對于B，，正確；對于C，，正確；對于D，，正確.故選：ABCD10．（多選）下列命題中正確的是（

）A．存在這樣的和，使得B．不存在無窮多個和，使得C．對于任意的和，都有D．不存在這樣的和，使得【答案】ACD【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式逐一判斷即可.【詳解】對A，由兩角和的余弦定理為，當(dāng)或時，滿足，可知存在這樣的、，使得，故A正確；對B，由，得．或，故B錯誤；對C，對于任意的、，由兩角和的余弦公式可得：，故C正確；對D，不存在這樣的、，使得，若存在，，則與兩角和的余弦公式矛盾，故D正確.故選:ACD.11．的值是_____.【答案】##【分析】利用余弦的和差公式、誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值可解.【詳解】.故答案為：.12．化簡：__________．【答案】1【分析】使用二倍角公式及同角三角函數(shù)平方關(guān)系化簡求值.【詳解】因?yàn)?，，，所以．故答案為?13．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為.若，則______.【答案】【分析】根據(jù)，，求得，代入即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，所以，故答案為?14．若，，則________.【答案】##0.8【分析】先利用誘導(dǎo)公式可知，然后結(jié)合可求得，從而可求得，進(jìn)而求得答案.【詳解】解：由題意得：由題意得：由可知：，即，即故可知故答案為：15．已知.(1)求的值(2)求的值.【解】（1）解：因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以；?）解：由（1）得，所以，所以.16．已知，(1)求和的值(2)若，，求的大?。窘狻浚?），；（2），，∵，∴.17．已知函數(shù).(1)若函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且，求的值；(2)若，且，求的值.【解】（1）因?yàn)?所以.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以，所以，解?（2）因?yàn)椋?因?yàn)?，所?所以，又，所以.因?yàn)椋?，所?B組-[素養(yǎng)提升]1．中，若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函數(shù)恒等變換進(jìn)行化簡，可得，利用基本不等式得，利用兩角和的正切公式表示，結(jié)合以上條件即可求解的取值范圍．【詳解】∵，∴，∵，即，∴，兩邊同時除以，得，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴，即，，∵，∴，∴，∴，即的取值范圍是．故選：A．2．在中，，，則角（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可知，即，再將題干等式代入化簡，即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所?又，所以由得所以，所以，所以.又，所以.故選：C.3．（多選）在銳角三角形中，，則下列等式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】化簡已知得，故選項(xiàng)A正確；化簡得選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)CD可以假設(shè)推理分析得到兩個選項(xiàng)錯誤.【詳解】解：由，得等式兩邊同時除以，所以，故選項(xiàng)A正確；由，得，所以，故選項(xiàng)B正確．假設(shè)，由選項(xiàng)A得,因?yàn)槭卿J角三角形，所以,，與矛盾，所以選項(xiàng)C錯誤；假設(shè)，所以，由選項(xiàng)A得，化簡得,顯然不成立，所以選項(xiàng)D錯誤.故選：AB4．若，，則___________.【答案】-1【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角公式化簡可得到或，然后結(jié)合角的范圍分兩種情況求解,即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，即?當(dāng)時，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所?當(dāng)時，即，所以，所以，則.因?yàn)?，所以，所以，故不符合題意，應(yīng)舍去，綜合以上，故答案為：-15．求值：______