第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年遼寧省朝陽一中聯(lián)盟校九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列三角函數(shù)值是有理數(shù)的是（）A.sin60° B.cos60° C.tan60° D.sin45°2.如果一個(gè)一元二次方程的根是x1=x2=-3，那么這個(gè)方程可以是（）A.x2+9=0 B.x2+6x+9=0 C.x2=9 D.x2-6x+9=03.下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.4.下列式子運(yùn)算正確的是（）A.33+32=35 B.（-a2）3=-a6

C.（-a2b）2=-a3b2 D.（-2）-2=45.在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+4與直線y=kx-5相交于點(diǎn)P（3，n），則關(guān)于x、y的方程組的解為（）A. B. C. D.6.下列命題正確的是（）A.已知：線段a=1cm,b=2cm,c=3cm,d=4cm,則a,b,c,d是比例線段

B.方程x2-2x+2=0沒有實(shí)數(shù)根

C.已知點(diǎn)A（-1，y1），B（-2，y2）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y2＞y1

D.角都對應(yīng)相等的兩個(gè)多邊形是相似多邊形，邊都對應(yīng)成比例的多邊形也是相似多邊形7.把拋物線y=-3x2+2向右平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，得到的拋物線是（）A.y=-3（x-2）2-1 B.y=-3（x+2）2-1 C.y=-3（x+2）2+1 D.y=-3（x-2）2+18.如圖，△ABC中，P為AB上的一點(diǎn)．下列四個(gè)條件：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③；④；其中能判斷△APC∽△ACB的有（

）???????A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③9.如圖，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'，使點(diǎn)A′落在AC上.已知∠C=40°，AC∥BC'，則∠A′BC=（）A.30°

B.40°

C.60°

D.70°10.拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=-1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（-3，0）和（-2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論正確的有（）

①abc＞0；②3a+c＜0；③若m,n（m＜n）是方程ax2+（b+2）x=x-c的兩個(gè)根，則m＜-1，n＞0.A.0個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.1個(gè)二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（a+2，2）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為（4，-b），則ab的值為______．12.已知3x=2y,則的值等于

.13.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，則cosB的值為

.14.如圖，點(diǎn)F，G分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，E為AB中點(diǎn)，連接ED，正方形FGQP的邊PQ恰好在DE上，若正方形ABCD邊長為7，則正方形FPQG面積為

.

15.如圖，直線y=-2x+5與雙曲線y=（k＞0，x＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C.S△BOC=，若將直線y=-2x+5沿y軸向下平移n個(gè)單位，所得直線與雙曲線y=（k＞0，x＞0）有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則n的值為______.

三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題10分)

（1）解不等式組：；

（2）化簡：.17.(本小題6分)

為加強(qiáng)校園消防安全，學(xué)校計(jì)劃購買某種型號的水基滅火器和干粉滅火器共50個(gè).其中水基滅火器的單價(jià)為540元/個(gè)，干粉滅火器的單價(jià)為380元/個(gè).若學(xué)校購買這兩種滅火器的總價(jià)不超過21000元，則最多可購買這種型號的水基滅火器多少個(gè)？18.(本小題9分)

為全面增強(qiáng)中學(xué)生的體質(zhì)健康，某學(xué)校開展“陽光體育活動(dòng)”，開設(shè)了：A.跳繩；B.籃球；C.排球；D.足球，這4門選修課，要求每名學(xué)生只能選擇其中的一項(xiàng)參加.全校共有100名男同學(xué)選擇了A項(xiàng)目，為了解選擇A項(xiàng)目男同學(xué)的情況，從這100名男同學(xué)中隨機(jī)抽取了30人在操場進(jìn)行測試，并將他們的成績x（個(gè)/分鐘）繪制成頻數(shù)分布直方圖.

（1）若抽取的同學(xué)的測試成績落在160≤x＜165這一組的數(shù)據(jù)為160，162，161，163，162，164，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______，眾數(shù)是______；

（2）根據(jù)題中信息，估計(jì)選擇B項(xiàng)目的男生共有______人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中D項(xiàng)目所占圓的圓心角為______度；

（3）學(xué)校準(zhǔn)備推薦甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中的2名參加全區(qū)的跳繩比賽，請用畫樹狀圖法或列表法計(jì)算出甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的概率.19.(本小題8分)

如圖，在矩形ABCD的BC邊上取一點(diǎn)E，連接AE，使得AE=EC，在AD邊上取一點(diǎn)F，使得DF=BE，連接CF.過點(diǎn)D作DG⊥AE于G.

（1）求證：四邊形AECF是菱形；

（2）若AB=4，BE=3，求DG的長.20.(本小題8分)

如圖所示，九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組為了測量河對岸的古樹A、B之間的距離，他們在河邊與AB平行的直線l上取相距60m的C、D兩點(diǎn)，測得∠ACB=15°，∠BCD=120°，∠ADC=30°．

（1）求河的寬度；

（2）求古樹A、B之間的距離．（結(jié)果保留根號）21.(本小題10分)

在“鄉(xiāng)村振興”行動(dòng)中，某村辦企業(yè)以A，B兩種農(nóng)作物為原料開發(fā)了一種有機(jī)產(chǎn)品．A原料的單價(jià)是B原料單價(jià)的1.5倍，若用900元收購A原料會(huì)比用900元收購B原料少100kg.生產(chǎn)該產(chǎn)品每盒需要A原料2kg和B原料4kg,每盒還需其他成本9元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品每盒的售價(jià)是60元時(shí)，每天可以銷售500盒；每漲價(jià)1元，每天少銷售10盒．

（1）求每盒產(chǎn)品的成本（成本=原料費(fèi)+其他成本）；

（2）當(dāng)每盒產(chǎn)品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每天的利潤最大？最大利潤是多少？22.(本小題12分)

綜合與探究：如圖，∠AOB=90°，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PA⊥OA于點(diǎn)A.

（1）【操作判斷】

如圖①，過點(diǎn)P作PC⊥OB于點(diǎn)C，根據(jù)題意在圖①中畫出PC，四邊形APCO是那種特殊四邊形？并證明你的結(jié)論；

（2）【問題探究】

如圖②，點(diǎn)M在線段AO上，連接PM，過點(diǎn)P作PN⊥PM交射線OB于點(diǎn)N，求證：OM+ON=2PA；

（3）【拓展延伸】

點(diǎn)M在射線AO上，連接PM，過點(diǎn)P作PN⊥PM交射線OB于點(diǎn)N，射線NM與射線PO相交于點(diǎn)F，若ON=3OM，請直接寫出的值.23.(本小題12分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果拋物線C：y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)在直線l：y=px+q上，那么稱該拋物線是這條直線的關(guān)聯(lián)拋物線.例如：拋物線y=x2-4x+9的頂點(diǎn)為P（2，5），且點(diǎn)P在直線y=2x+1上，那么拋物線y=x2-4x+9是直線y=2x+1的關(guān)聯(lián)拋物線.

（1）判斷拋物線y=-x2-8x-18是否是直線y=x+2的關(guān)聯(lián)拋物線，并說明理由；

（2）如果拋物線是直線y=x+2的一條關(guān)聯(lián)拋物線，且經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），求拋物線C1的表達(dá)式；

（3）在（2）的條件下，記拋物線C1的頂點(diǎn)為B，將拋物線C1平移后成為直線y=x+2的另一條關(guān)聯(lián)拋物線C2，且拋物線C2的頂點(diǎn)為點(diǎn)M.當(dāng)∠MAB=45°時(shí)，求：拋物線C2的頂點(diǎn)M的坐標(biāo).

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】-12

12.【答案】-

13.【答案】

14.【答案】20

15.【答案】1

16.【答案】x＜-2；

a2-2a+1

17.【答案】解：設(shè)可購買這種型號的水基滅火器x個(gè)，則購買干粉滅火器（50-x）個(gè)，

根據(jù)題意得：540x+380（50-x）≤21000，

解得：x≤12.5，

∵x為整數(shù)，

∴x取最大值為12，

答：最多可購買這種型號的水基滅火器12個(gè)．

18.【答案】（1）162；162．

（2）175；108．

（3）畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的結(jié)果有2種，

∴甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的概率為=．

19.【答案】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∵BE=DF，

∴AD-DF=BC-BE，

即AF=EC，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵AE=EC，

∴四邊形AECF是菱形；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AD=BC，

在Rt△ABE中，AB=4，BE=3，

根據(jù)勾股定理,得AE===5,

∵四邊形AECF是菱形，

∴EC=AE=5，

∴AD=BC=BE+EC=3+5=8，

∵AD∥BC，

∴∠EAD=∠AEB，

∵DG⊥AE，

∴∠DGA=∠B=90°，

∴△ADG∽△EAB，

=,即=,

DG=.

20.【答案】解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥l，垂足為E，

設(shè)CE=x米，

∵CD=60米，

∴DE=CE+CD=（x+60）米，

∵∠ACB=15°，∠BCD=120°，

∴∠ACE=180°-∠ACB-∠BCD=45°，

在Rt△AEC中，AE=CE?tan45°=x（米），

在Rt△ADE中，∠ADE=30°，

∴tan30°===，

∴x=30+30，

經(jīng)檢驗(yàn)：x=30+30是原方程的根，

∴AE=（30+30）米，

∴河的寬度為（30+30）米；

（2）過點(diǎn)B作BF⊥l，垂足為F，

則CE=AE=BF=（30+30）米，AB=EF，

∵∠BCD=120°，

∴∠BCF=180°-∠BCD=60°，

在Rt△BCF中，CF===（30+10）米，

∴AB=EF=CE-CF=30+30-（30+10）=20（米），

∴古樹A、B之間的距離為20米．

21.【答案】解：（1）設(shè)B原料單價(jià)為m元，則A原料單價(jià)為1.5m元，

根據(jù)題意，得-=100，

解得m=3，

經(jīng)檢驗(yàn)m=3是方程的解，

∴1.5m=4.5，

∴每盒產(chǎn)品的成本是：4.5×2+4×3+9=30（元），

答：每盒產(chǎn)品的成本為30元；

（2）設(shè)每盒產(chǎn)品的售價(jià)是x元（x是整數(shù)），每天的利潤是w元，

根據(jù)題意，得w=（x-30）[500-10（x-60）]=-10x2+1400x-33000=-10（x-70）2+16000，

∴當(dāng)x=70時(shí)，每天的利潤最大，最大利潤為16000元，

答：當(dāng)每盒產(chǎn)品的售價(jià)定為70元時(shí)，每天的利潤最大，最大利潤是16000元．

22.【答案】過點(diǎn)P作PC⊥OB于點(diǎn)C，如圖，連接OP，

∵∠AOB=90°，PA⊥OA，PC⊥OB，

∴四邊形AOCP為矩形，

∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，

∴OP平分∠AOB，

∴∠AOP=45°，

∴△AOP為等腰直角三角形，

∴AO=AP，

∴四邊形AOCP為正方形；

過點(diǎn)P作PC⊥OB于點(diǎn)C，如圖，

由

知：四邊形AOCP為正方形，

∴AP=PC=OC=OA，∠PAM=∠PCO=∠APC=90°，

∴∠PCN=90°=∠PAM，

∵PN⊥PM，

∴∠MPN=90°=∠APC，

∴∠APM=∠CPN=90°-∠CPM，

∴△PAM≌△PCN，

∴AM=CN，

∵OA=OC，

∴OM+ON=OA-AM+OC+MN=OA+OC=2OA，

∵OA=PA，

∴OM+ON=2PA；

或

23.【答案】解：（1）拋物線y=-x2-8x-18是直線y=x+2的關(guān)聯(lián)拋物線；理由如下：

∵y=-x2-8x-18=-（x+4）2-2，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-2），

∵y=x+2，當(dāng)x=-4時(shí)，y=-4+2=-2，

∴（-4，-2）在直線y=x+2上，

∴拋物線y=-x2-8x-18是直線y=x+2的關(guān)聯(lián)拋物線；

（2）如果拋物線是直線y=x+2的一條關(guān)聯(lián)拋物線，且經(jīng)過點(diǎn)A（4，0），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：

∴0=16a+4b,

∴b=-4a,

∴y=ax2-4ax=a（x-2）2-4a,

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，-4a），

依據(jù)關(guān)聯(lián)拋物線的定義知：點(diǎn)（2，-4a）在直線y=x+2上，

∴-4a=2+2，

∴a=-1，

∴y=-x2+4x；

（3）由（2）可知：B（2，4），

當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B下方時(shí)：取點(diǎn)D（1，1），

∵A（4，0），

∴，

∴AD2+BD2=AB2，且AD=BD，

∴△