專(zhuān)題13平面向量的數(shù)量積與向量中的最值問(wèn)題一、單選題1．（2024屆四川省南充市高三適應(yīng)性考試）已知平面向量滿足，則與夾角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得，又所以，因此，由所以，則，故，故選B2．（2023屆福建省名校聯(lián)盟高三4月高考模擬）設(shè)向量與單位向量滿足，對(duì)任意都有，則的最小值為（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由，可得，即對(duì)任意恒成立，則滿足，即，所以，設(shè)向量與的夾角為，可得，所以，則，當(dāng)時(shí)，可得.故選B.3．（2024屆江蘇省常州高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期期初檢測(cè)）已知在直角三角形中，，以斜邊的中點(diǎn)為圓心，為直徑，在點(diǎn)的另一側(cè)作半圓弧，為半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】

因?yàn)橹苯侨切螢榈妊苯侨切?，故可建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中，，，而以為直徑的圓的方程為：，設(shè)，則,，故，因?yàn)镸在半圓上運(yùn)動(dòng)變化，故，故的取值范圍為：.故選A.4．（2023屆安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期1月月考）設(shè)均為單位向量，且，則（

）A． B．的最大值為2C．的最小值為1 D．【答案】D【解析】由均為單位向量，，得，即，則，又，所以，故A錯(cuò)誤；，所以，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，則，所以，故D正確.故選D.5．（2023屆山東省昌樂(lè)二中高三下學(xué)期二輪模擬）已知平面向量、、滿足，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不失一般性，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，，因?yàn)椋?，，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為.故選C.6．（2023屆重慶市第一中學(xué)校高三下學(xué)期2月月考）已知長(zhǎng)方形ABCD的邊長(zhǎng)，P，Q分別是線段BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD為x，y軸建立坐標(biāo)系，如圖，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以，又，所以，則，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，則的最小值為.故選D.7．（2024屆上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三上學(xué)期階段反饋）“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等，如圖，已知圓的半徑2，點(diǎn)是圓內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦均過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）

A．為定值 B．的取值范圍是C．當(dāng)時(shí)，為定值 D．的最大值為12【答案】B【解析】如圖，過(guò)作直徑，由題意，所以為定值，A對(duì)；若為中點(diǎn)，連接，則，由題意，則，B錯(cuò)；若，故，則，又，則，同理可得，故，C對(duì)；若為中點(diǎn)，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，即，則，綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)的最大值為12，D對(duì).

故選B8．已知平面向量，，滿足，，，則的最大值為（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)平面向量，的夾角為，，，，則由于，所以．不妨設(shè)，．，，化為．故在以為圓心，以為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，表示原點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離，故當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，距離最大或者最小，故．故選C．

9．（2023屆安徽省臨泉第一中學(xué)高三下學(xué)期三模）在中，，D是以BC為直徑的圓上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．12 B． C． D．【答案】A【解析】如圖：

取BC，BD中點(diǎn)E，G，可知，且，取BE的中點(diǎn)O，則G為圓O上一點(diǎn)，所以最大值為，故的最大值為12.故選A.10．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)E在邊BC上，，若G為線段DC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B．C． D．4【答案】B【解析】由題意可知，如圖所示因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為2，，所以,，設(shè)，則，因?yàn)?，所?,,當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選B.11．（2023屆新疆部分學(xué)校高三二模）已知平面向量，，，滿足，，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有成立，且，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】設(shè)，，，，，則如圖所示，因?yàn)椋?，即，所以，因?yàn)?，，所以，，由，可得點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓面上（包括邊界），過(guò)圓周上一點(diǎn)作的垂線，垂足為，且與相切，延長(zhǎng)交于，則，此時(shí)∽，根據(jù)相似知識(shí)可得，所以，所以的最大值為，故選D.12．（2023屆上海市閔行中學(xué)高三下學(xué)期學(xué)情調(diào)研）已知平面向量、、滿足，且對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，兩邊平方得又，且對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，即恒成立，所以，即，所以，即.由，知，所以,當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)取等號(hào).故選B二、多選題13．(2024屆河北省邯鄲市高三上學(xué)期第一次調(diào)研)設(shè)，是兩個(gè)非零向量，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．，的夾角為鈍角 D．若實(shí)數(shù)使得成立，則為負(fù)數(shù)【答案】AD【解析】對(duì)A，當(dāng)不共線時(shí)，根據(jù)向量減法的三角形法則知，當(dāng)反向共線時(shí)，，故，A正確；對(duì)B，若，則以為鄰邊的平行四邊形為矩形，且和是這個(gè)矩形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若的夾角范圍為，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知：，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則共線，由于，則反向共線，所以為負(fù)數(shù)，故D正確.故選AD.14．（2023屆河北省唐山市邯鄲市等2地高三上學(xué)期期末）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線（且）交與、兩點(diǎn)，直線、分別與的準(zhǔn)線交于、兩點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的有（

）A．且，B．且，C．且，D．且，【答案】ACD【解析】

由，可得，設(shè),，,，則，，，，直線的方程為，由，可得，同理可得，所以,，,，，，對(duì)于A，,,，,,，只有當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，直線與軸垂直，不存在斜率，不滿足題意，所以，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?,，,,，故B正確；對(duì)于C，由B得，而，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C可知不存在且，使成立，故D錯(cuò)誤．故選ACD．15.（2024屆安徽省安慶、池州、銅陵三市部分學(xué)校高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)聯(lián)考）已知，，，A，B兩點(diǎn)不重合，則（

）A．的最大值為2B．的最大值為2C．若，最大值為D．若，最大值為4【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，由已知A，B為單位圓上任意兩點(diǎn)，，，A正確；

B選項(xiàng)，設(shè)D為的中點(diǎn)，則，由于A，B兩點(diǎn)不重合，所以，則，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)P，A，B共線時(shí)，，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)P，A，B共線時(shí)，若坐標(biāo)分別為與或與時(shí)，兩點(diǎn)重合，此時(shí)，若坐標(biāo)不同時(shí)為與時(shí)，此時(shí)⊥，則，

故，故D正確.故選AD16．（2024屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期期初調(diào)研）已知平面向量，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則向量在上的投影為B．若，則，C．若，，則D．若，則向量與的夾角為銳角【答案】AD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，又，所以向量在上的投影為，正確；對(duì)于B，因?yàn)?，且，，，所以，即，該方程有無(wú)數(shù)組解，錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，且，，，則，，即，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，若時(shí)，，所以，此時(shí)與為相反向量，當(dāng)時(shí)，，則向量與的夾角為銳角，正確；故選AD17．（2024屆江蘇省淮陰中學(xué)等四校高三上學(xué)期期初聯(lián)考）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，其中為銳角，則（

）A．為定值 B．的最大值為3C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ACD【解析】由為銳角，故，A：為定值，對(duì)；B：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故最小值為3，錯(cuò)；C：，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，對(duì)；D：，且，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；（法一）令，則，令，即，且，則，當(dāng)，，即遞減；當(dāng)，，即遞增；所以，此時(shí)，（法二），對(duì).故選ACD三、填空題18．（2024屆江蘇省基地大聯(lián)考高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知同一平面內(nèi)的單位向量，滿足，則．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，兩邊平方得，因?yàn)榫菃挝幌蛄?，所以，所以，所以，所?19．（2024屆湖南省邵陽(yáng)市邵東市第三中學(xué)高三上學(xué)期月考）如圖，在中，點(diǎn)D在線段上，且，E是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（不含點(diǎn)A），且（）．若，且，則的面積的最大值為．

【答案】【解析】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，可得，設(shè)，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得，所以所以，所以，所以，所以，延長(zhǎng)于，使得，延長(zhǎng)于點(diǎn)，使得，如圖所示，則，且相似比為，所以,所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋裕?所以為等腰三角形，且，所以，因?yàn)?，所以，所?所以的面積的最大值為.

20．（2023屆上海市七寶中學(xué)高三5月模擬）已知為單位向量，向量滿足，則的取值范圍是.【答案】【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，令,

設(shè)則由可得，即點(diǎn)A軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，點(diǎn)B軌跡為以為圓心，半徑為3的圓，則設(shè)，則，（為輔助角），令，則，則，又，而，故，故的取值范圍是21．已知平面向量，，，滿足，，且，若對(duì)每一個(gè)確定的向量，記的最小值為，則當(dāng)變化時(shí)，實(shí)數(shù)的最大值為.【答案