高等數(shù)學(xué)微積分專項訓(xùn)練題庫及解析高等數(shù)學(xué)，尤其是微積分部分，常常是理工科學(xué)生學(xué)習(xí)的重點與難點。它不僅是后續(xù)專業(yè)課程的基礎(chǔ)，更是培養(yǎng)邏輯思維與解決實際問題能力的重要途徑。專項訓(xùn)練，作為鞏固知識、提升能力的有效手段，其價值不言而喻。本系列專項訓(xùn)練題庫及解析，旨在幫助學(xué)習(xí)者系統(tǒng)梳理微積分核心知識點，通過典型例題的練習(xí)與深入剖析，真正理解概念的內(nèi)涵，掌握解題的思路與技巧，最終實現(xiàn)從理論到應(yīng)用的跨越。一、極限與連續(xù)極限是微積分的基石，連續(xù)則是函數(shù)的重要性質(zhì)。準(zhǔn)確理解極限的定義，熟練掌握極限的計算方法，以及判斷函數(shù)的連續(xù)性，是學(xué)好微積分的第一步。（一）函數(shù)極限的計算例題1：基礎(chǔ)概念理解與直接代入法試求極限$\lim_{x\to2}(x^2-3x+1)$。解析：當(dāng)函數(shù)$f(x)=x^2-3x+1$在點$x=2$處有定義時，我們可以直接利用函數(shù)的連續(xù)性（多項式函數(shù)在定義域內(nèi)處處連續(xù)），將$x=2$代入函數(shù)表達(dá)式計算。即$\lim_{x\to2}(x^2-3x+1)=2^2-3\times2+1=4-6+1=-1$。思路點撥：對于初等函數(shù)（由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)），若其在某點的定義域內(nèi)，則該點的極限值等于該點的函數(shù)值。例題2：未定式極限（$\frac{0}{0}$型）與因式分解法試求極限$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$。解析：當(dāng)$x\to1$時，分子$x^2-1\to0$，分母$x-1\to0$，此極限為$\frac{0}{0}$型未定式，不能直接用商的極限運(yùn)算法則。我們可以通過因式分解消去零因子。分子$x^2-1=(x-1)(x+1)$，因此原式可化為$\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)$（當(dāng)$x\neq1$時，$x-1\neq0$，可約去）。此時，極限變?yōu)?\lim_{x\to1}(x+1)=1+1=2$。思路點撥：對于$\frac{0}{0}$型未定式，優(yōu)先考慮通過因式分解、有理化（分子或分母有理化）等方法消去使分子分母同時為零的因子，再進(jìn)行計算。例題3：重要極限的應(yīng)用試求極限$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$。解析：我們熟知重要極限$\lim_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1$。令$u=3x$，則當(dāng)$x\to0$時，$u\to0$。原式可變形為$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}=3\lim_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=3\times1=3$。思路點撥：利用重要極限時，關(guān)鍵在于通過變量替換，將所求極限化為重要極限的標(biāo)準(zhǔn)形式。常見的重要極限還包括$\lim_{u\to\infty}(1+\frac{1}{u})^u=e$及其變形。（二）函數(shù)連續(xù)性的判斷例題4：分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性設(shè)函數(shù)$f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq1,\\ax+b,&x>1.\end{cases}$問$a,b$為何值時，$f(x)$在$x=1$處連續(xù)？解析：函數(shù)在某點連續(xù)的充要條件是：函數(shù)在該點的左極限等于右極限等于該點的函數(shù)值。首先，$f(1)=1^2=1$。左極限$\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}x^2=1$。右極限$\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(ax+b)=a\times1+b=a+b$。要使$f(x)$在$x=1$處連續(xù)，需滿足$a+b=1$。因此，當(dāng)$a$與$b$滿足$a+b=1$時，函數(shù)在$x=1$處連續(xù)。例如，取$a=1$，則$b=0$。思路點撥：對于分段函數(shù)，在分段點處的連續(xù)性必須分別考察左極限、右極限和函數(shù)值是否相等。二、導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點的變化率，微分則是函數(shù)增量的線性主部。導(dǎo)數(shù)與微分是微積分的核心概念，其應(yīng)用貫穿于整個微積分學(xué)。（一）基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式例題5：利用四則運(yùn)算法則求導(dǎo)設(shè)$f(x)=x^3+2\cosx-\lnx$，求$f'(x)$。解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：$(u\pmv)'=u'\pmv'$，$(Cu)'=Cu'$（$C$為常數(shù)）。以及基本導(dǎo)數(shù)公式：$(x^n)'=nx^{n-1}$，$(\cosx)'=-\sinx$，$(\lnx)'=\frac{1}{x}$。可得$f'(x)=(x^3)'+2(\cosx)'-(\lnx)'=3x^2+2(-\sinx)-\frac{1}{x}=3x^2-2\sinx-\frac{1}{x}$。思路點撥：熟練記憶并靈活運(yùn)用基本導(dǎo)數(shù)公式和四則運(yùn)算法則是求導(dǎo)的基礎(chǔ)。例題6：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)設(shè)$y=\sin(x^2+1)$，求$\frac{dy}{dx}$。解析：此函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，令$u=x^2+1$，則$y=\sinu$。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）：$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$。$\frac{dy}{du}=\cosu$，$\frac{du}{dx}=2x$。因此，$\frac{dy}{dx}=\cosu\cdot2x=2x\cos(x^2+1)$。思路點撥：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵在于正確分解復(fù)合層次，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，再將各層導(dǎo)數(shù)相乘。（二）隱函數(shù)求導(dǎo)與高階導(dǎo)數(shù)例題7：隱函數(shù)求導(dǎo)設(shè)方程$x^2+y^2=25$確定了隱函數(shù)$y=y(x)$，求$\frac{dy}{dx}$。解析：對方程兩邊同時關(guān)于$x$求導(dǎo)，注意$y$是$x$的函數(shù)，因此$y^2$對$x$求導(dǎo)需用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。$2x+2y\cdot\frac{dy}{dx}=0$。解此方程可得$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$（其中$y\neq0$）。思路點撥：隱函數(shù)求導(dǎo)無需顯化函數(shù)關(guān)系，只需將方程兩邊對自變量求導(dǎo)，遇到因變量時視為復(fù)合函數(shù)處理，最后解出導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。例題8：高階導(dǎo)數(shù)設(shè)$y=e^{2x}$，求$y''$。解析：首先求一階導(dǎo)數(shù)：$y'=(e^{2x})'=e^{2x}\cdot(2x)'=2e^{2x}$。再求二階導(dǎo)數(shù)：$y''=(y')'=(2e^{2x})'=2\cdote^{2x}\cdot2=4e^{2x}$。思路點撥：高階導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只需逐次求導(dǎo)即可。對于某些函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，其高階導(dǎo)數(shù)可能呈現(xiàn)出一定的周期性或規(guī)律性。三、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理是連接函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)的理論基礎(chǔ)。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用廣泛，包括判斷函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性，求函數(shù)的極值與最值等。（一）羅爾定理與拉格朗日中值定理的理解例題9：羅爾定理的條件判斷函數(shù)$f(x)=x^2-2x$在區(qū)間$[0,2]$上是否滿足羅爾定理的條件？若滿足，求出定理中的$\xi$。解析：羅爾定理的條件：1.函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)；2.在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)；3.$f(a)=f(b)$。$f(x)=x^2-2x$是多項式函數(shù)，在$(-\infty,+\infty)$上連續(xù)且可導(dǎo)，故在$[0,2]$上連續(xù)，在$(0,2)$內(nèi)可導(dǎo)。$f(0)=0^2-2\times0=0$，$f(2)=2^2-2\times2=0$，即$f(0)=f(2)$。因此，滿足羅爾定理的條件。令$f'(x)=2x-2=0$，解得$x=1$。顯然$\xi=1\in(0,2)$。思路點撥：應(yīng)用中值定理時，首先要驗證定理的條件是否滿足，這是至關(guān)重要的一步。（二）函數(shù)單調(diào)性與極值例題10：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$的單調(diào)區(qū)間。解析：函數(shù)的定義域為$(-\infty,+\infty)$。求導(dǎo)：$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$。令$f'(x)=0$，得駐點$x=-1$，$x=1$。這些駐點將定義域分成三個區(qū)間：$(-\infty,-1)$，$(-1,1)$，$(1,+\infty)$。在$(-\infty,-1)$內(nèi)，取$x=-2$，$f'(-2)=3(4-1)=9>0$，故函數(shù)在$(-\infty,-1)$內(nèi)單調(diào)增加。在$(-1,1)$內(nèi)，取$x=0$，$f'(0)=3(0-1)=-3<0$，故函數(shù)在$(-1,1)$內(nèi)單調(diào)減少。在$(1,+\infty)$內(nèi)，取$x=2$，$f'(2)=3(4-1)=9>0$，故函數(shù)在$(1,+\infty)$內(nèi)單調(diào)增加。思路點撥：導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號決定了函數(shù)的單調(diào)性。通過求解導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點，劃分定義域，再判斷各子區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例題11：求函數(shù)的極值求函數(shù)$f(x)=x^3-3x+1$的極值。解析：由上例已知$f'(x)=3(x-1)(x+1)$，駐點為$x=-1$，$x=1$。我們使用第一充分條件來判斷極值：當(dāng)$x<-1$時，$f'(x)>0$；當(dāng)$-1<x<1$時，$f'(x)<0$。因此，$x=-1$是函數(shù)的極大值點，極大值為$f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=-1+3+1=3$。當(dāng)$-1<x<1$時，$f'(x)<0$；當(dāng)$x>1$時，$f'(x)>0$。因此，$x=1$是函數(shù)的極小值點，極小值為$f(1)=1^3-3\times1+1=1-3+1=-1$。思路點撥：函數(shù)的極值點只可能在駐點或?qū)?shù)不存在的點處取得。判斷這些點是否為極值點，可使用第一充分條件（導(dǎo)數(shù)在該點兩側(cè)變號）或第二充分條件（若$f'(x_0)=0$且$f''(x_0)\neq0$）。四、積分學(xué)積分學(xué)與微分學(xué)互為逆運(yùn)算，主要包括不定積分和定積分。不定積分是求導(dǎo)的逆過程，定積分則深刻揭示了“和式的極限”這一本質(zhì)，并在幾何、物理等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。（一）不定積分的概念與基本積分公式例題12：利用基本積分公式求不定積分求不定積分$\int(x^2+\frac{1}{x}-\sinx)dx$。解析：根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)：$\int[f(x)\pmg(x)]dx=\intf(x)dx\pm\intg(x)dx$，$\intkf(x)dx=k\intf(x)dx$（$k$為常數(shù)）。以及基本積分公式：$\intx^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$（$n\neq-1$），$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$，$\int\sinxdx=-\cosx+C$?？傻?\int(x^2+\frac{1}{x}-\sinx)dx=\intx^2dx+\int\frac{1}{x}dx-\int\sinxdx=\frac{x^3}{3}+\ln|x|-(-\cosx)+C=\frac{x^3}{3}+\ln|x|+\cosx+C$。思路點撥：與求導(dǎo)類似，熟練掌握基本積分公式和積分的線性運(yùn)算是計算不定積分的基礎(chǔ)。注意積分常數(shù)$C$不能遺漏。（二）換元積分法與分部積分法例題13：第一類換元法（湊微分法）求不定積分$\int\cos(2x+1)dx$。解析：觀察被積函數(shù)，令$u=2x+1$，則$du=2dx$，即$dx=\frac{1}{2}du$。原式可化為$\int\cosu\cdot\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int\cosudu=\frac{1}{2}\sinu+C=\frac{1}{2}\sin(2x+1)+C$。思路點撥：第一類換元法的關(guān)鍵在于“湊微分”，即將被積表達(dá)式中的一部分看作某個中間變量的微分，從而將積分化為基本積分公式的形式。例題14：分部積分法求不定積分$\intxe^xdx$。解析：分部積分公式為$\intudv=uv-\intvdu$。選擇$u=x$，$dv=e^xdx$。則$du=