奔馳模型1．（2025春?商河縣校級期末）數(shù)學(xué)探究課上老師處這樣一道題：“如圖，等邊中有一點，且，，，試求的度數(shù)．”小明和小軍探討時發(fā)現(xiàn)了一種求度數(shù)的方法，下面是這種方法的一部分思路，請按照下列思路要求畫圖或判斷（1）在圖中畫出繞點順時針旋轉(zhuǎn)后的△；（2）試判斷△的形狀，并說明理由；（3）試判斷△的形狀，并說明理由；（4）由（2）、（3）兩問可知：．2．（2025?武侯區(qū)校級開學(xué)）問題：如圖1，在等邊內(nèi)部有一點，已知，，，求的度數(shù)？（1）請寫出常見四組勾股數(shù)：、、、．（2）解決方法：通過觀察發(fā)現(xiàn)，，的長度符合勾股數(shù)，但由于，，不在一個三角形中，想法將這些條件集中在一個三角形，于是可將繞逆時針旋轉(zhuǎn)到△，此時，這樣利用等邊三角形和全等三角形知識，便可求出．請寫出解題過程．（3）應(yīng)用：請你利用（2）題的思路，解答下面的問題：如圖2，在中，，，，為的點，且，若，，請求出線段的長度（用、的代數(shù)式表示）．

3．（2024秋?永定區(qū)期中）（1）如圖1，點是等邊內(nèi)一點，已知，，，求的度數(shù)．分析：要直接求的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個三角形內(nèi)．解：如圖2，作使，連接，，則是等邊三角形．，是等邊三角形，，在中，，，，（2）如圖3，在中，，，點是內(nèi)一點，，，，求的度數(shù)．（3）拓展應(yīng)用．如圖（4），中，，，，是內(nèi)部的任意一點，連接，，，則的最小值為．

4．（2025春?清苑區(qū)期末）綜合與實踐問題情境：活動課上，同學(xué)們以等腰三角形為背景展開有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的探究活動，如圖1，已知中，，．將從圖1的位置開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到（點，分別是點，的對應(yīng)點），旋轉(zhuǎn)角為，設(shè)線段與相交于點，線段分別交，于點，．特例分析：（1）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為；探究規(guī)律：（2）如圖3，在繞點逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，“求真”小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)線段始終等于線段，請你證明這一結(jié)論．拓展延伸：（3）①直接寫出當(dāng)是等腰三角形時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．②在圖3中，作直線，交于點，直接寫出當(dāng)是直角三角形時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．（4）連接，在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在角，使四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出的度數(shù)；如果不存在，請說明理由．5．（2025?嶗山區(qū)模擬）閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形內(nèi)有一點，且，，，求的度數(shù)．小偉是這樣思考的：如圖2，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造△，連接，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決．請你回答：圖1中的度數(shù)等于．參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：（1）如圖3，在正方形內(nèi)有一點，且，，，則的度數(shù)等于，正方形的邊長為；（2）如圖4，在正六邊形內(nèi)有一點，且，，，則的度數(shù)等于，正六邊形的邊長為．6．（2025秋?玄武區(qū)校級期中）如圖，是等邊三角形內(nèi)一點，連接，，，以為邊作，且，連接．（1）求證：；（2）若，，，求長．7．（2025秋?新城區(qū)校級期末）如圖，是正三角形內(nèi)的一點，且，，．若將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△．（1）求點與點之間的距離；（2）求的度數(shù)．

8．（2025秋?田家庵區(qū)校級月考）（原題初探）（1）小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖1，是正方形內(nèi)一點，連結(jié)，，現(xiàn)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的△，連接．若，，，則的長為，正方形的邊長為．（變式猜想）（2）如圖2，若點是等邊內(nèi)的一點，且，，，請猜想的度數(shù)，并說明理由．（拓展應(yīng)用）（3）聰明的小明經(jīng)過上述兩小題的訓(xùn)練后，善于反思的他又提出了如下的問題：如圖3，在四邊形中，，，，則的長度為．9．（2024秋?郾城區(qū)校級期中）下面是一道例題及其解答過程，請補(bǔ)充完整．（1）如圖1，在等邊三角形內(nèi)部有一點，，，，求的度數(shù)．解：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則為等邊三角形．，，，．為三角形．的度數(shù)為．（2）類比延伸如圖2，在正方形內(nèi)部有一點，若，試判斷線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

10．（2024?碑林區(qū)校級三模）問題提出（1）如圖，點、是直線外兩點，在直線上找一點，使得最?。畣栴}探究（2）在等邊三角形內(nèi)有一點，且，，，求度數(shù)的大?。畣栴}解決（3）如圖，矩形是某公園的平面圖，米，米，現(xiàn)需要在對角線上修一涼亭，使得到公園出口、，的距離之和最?。畣枺菏欠翊嬖谶@樣的點？若存在，請畫出點的位置，并求出的和的最小值；若不存在，請說明理由．11．（2024秋?諸暨市校級期中）如圖，是等邊三角形內(nèi)的一點，連接，，，以為邊作，且，連接．（1）觀察并猜想與之間的大小關(guān)系，并說明理由．（2）若，，，連接，判斷的形狀并證明．

12．（2024秋?高青縣期末）閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形內(nèi)有一點，且，，，求的度數(shù)；小偉是這樣思考的：如圖2，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造△，連接，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決．（1）請你回答：圖1中的度數(shù)等于．（直接寫答案）參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，在正方形內(nèi)有一點，且，，．（2）求的度數(shù)；（3）求正方形的邊長．13．（2024秋?鹽城校級月考）【方法呈現(xiàn)】（1）已知，點是正方形內(nèi)的一點，連、、．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到△的位置（如圖，設(shè)的長為，的長為，求旋轉(zhuǎn)到△的過程中邊所掃過區(qū)域（圖1中陰影部分）的面積；【實際運(yùn)用】（2）如圖2，點是等腰內(nèi)一點，，連接，，．若，，，求的大??；【拓展延伸】（3）如圖3，點是等邊內(nèi)一點，，，，則的面積是（直接填答案）

14．（2024?河南）（1）探究發(fā)現(xiàn)下面是一道例題及其解答過程，請補(bǔ)充完整．如圖1，在等邊三角形內(nèi)部有一點，，，．求的度數(shù)．解：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則為等邊三角形．，，，為三角形的度數(shù)為．（2）類比延伸如圖2，在正方形內(nèi)部有一點，若，試判斷線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）聯(lián)想拓展如圖3，在中，，．點在直線上方且，試判斷是否存在常數(shù)，滿足．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．15．如圖，是等邊三角形內(nèi)的一點，連接、、，以為邊作，且，連接．（1）觀察并猜想與之間的大小關(guān)系，并說明理由．（2）若，，，．（請直接寫出的度數(shù)）

1．（2025春?商河縣校級期末）數(shù)學(xué)探究課上老師處這樣一道題：“如圖，等邊中有一點，且，，，試求的度數(shù)．”小明和小軍探討時發(fā)現(xiàn)了一種求度數(shù)的方法，下面是這種方法的一部分思路，請按照下列思路要求畫圖或判斷（1）在圖中畫出繞點順時針旋轉(zhuǎn)后的△；（2）試判斷△的形狀，并說明理由；（3）試判斷△的形狀，并說明理由；（4）由（2）、（3）兩問可知：．【解答】解：（1）如圖，△為所作；（2）連接，如圖，△為等邊三角形．理由如下：繞點順時針旋轉(zhuǎn)后的△，，，△為等邊三角形；（3）△為直角三角形．理由如下：繞點順時針旋轉(zhuǎn)后的△，，△為等邊三角形，，，△為直角三角形，；（4）△為等邊三角形，，而；，繞點順時針旋轉(zhuǎn)后的△，．故答案為．2．（2025?武侯區(qū)校級開學(xué)）問題：如圖1，在等邊內(nèi)部有一點，已知，，，求的度數(shù)？（1）請寫出常見四組勾股數(shù)：3，4，5、、、．（2）解決方法：通過觀察發(fā)現(xiàn)，，的長度符合勾股數(shù)，但由于，，不在一個三角形中，想法將這些條件集中在一個三角形，于是可將繞逆時針旋轉(zhuǎn)到△，此時，這樣利用等邊三角形和全等三角形知識，便可求出．請寫出解題過程．（3）應(yīng)用：請你利用（2）題的思路，解答下面的問題：如圖2，在中，，，，為的點，且，若，，請求出線段的長度（用、的代數(shù)式表示）．【解答】解：（1）勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13，7，24，25；6，8，10；故答案為：3，4，5；5，12，13，7，24，25；6，8，10；（2）如圖1，將繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)到處，則，三角形是等邊三角形，，，，，，，是等邊三角形，，在△中，，△是直角三角形，，．故答案為．（3）如圖2中，將繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)到處，則，，，，，，，，在和△中，，△，，，，，，，在△中，，，．3．（2024秋?永定區(qū)期中）（1）如圖1，點是等邊內(nèi)一點，已知，，，求的度數(shù)．分析：要直接求的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個三角形內(nèi)．解：如圖2，作使，連接，，則是等邊三角形．，是等邊三角形，，在中，，，，（2）如圖3，在中，，，點是內(nèi)一點，，，，求的度數(shù)．（3）拓展應(yīng)用．如圖（4），中，，，，是內(nèi)部的任意一點，連接，，，則的最小值為．【解答】解：（1）如圖2，作使，連接，，則是等邊三角形．，是等邊三角形，，，，在中，，，，故答案為：，，，90．（2）解：，，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，如圖，，，，，在中，，，，，，為直角三角形，，．（3）解：如圖4中，將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，，，，，，是等邊三角形當(dāng)點，點，點，點共線時，有最小值，故答案為．4．（2025春?清苑區(qū)期末）綜合與實踐問題情境：活動課上，同學(xué)們以等腰三角形為背景展開有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的探究活動，如圖1，已知中，，．將從圖1的位置開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到（點，分別是點，的對應(yīng)點），旋轉(zhuǎn)角為，設(shè)線段與相交于點，線段分別交，于點，．特例分析：（1）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為；探究規(guī)律：（2）如圖3，在繞點逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，“求真”小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)線段始終等于線段，請你證明這一結(jié)論．拓展延伸：（3）①直接寫出當(dāng)是等腰三角形時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．②在圖3中，作直線，交于點，直接寫出當(dāng)是直角三角形時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．（4）連接，在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在角，使四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出的度數(shù)；如果不存在，請說明理由．【解答】解：（1）根據(jù)題意，得，，，故答案為：；（2）從圖1的位置開始繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，，，，，；（3）①當(dāng)時，如圖：，，，，；當(dāng)時，如圖，，，，當(dāng)時，如圖：，，，．故旋轉(zhuǎn)角為或；②當(dāng)，，，，，故旋轉(zhuǎn)角為；（4）不存在，理由如下：假設(shè)四邊形為平行四邊形，則，，，，，，，，，四邊形不能為平行四邊形．5．（2025?嶗山區(qū)模擬）閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形內(nèi)有一點，且，，，求的度數(shù)．小偉是這樣思考的：如圖2，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造△，連接，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決．請你回答：圖1中的度數(shù)等于．參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：（1）如圖3，在正方形內(nèi)有一點，且，，，則的度數(shù)等于，正方形的邊長為；（2）如圖4，在正六邊形內(nèi)有一點，且，，，則的度數(shù)等于，正六邊形的邊長為．【解答】解：閱讀材料：把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，，，是等邊三角形，，，，，，，；故；（1）如圖3，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，故，，，點、、三點共線，過點作于，則，，在中，；（2）如圖4，正六邊形的內(nèi)角為，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，，，，過點作于，設(shè)與相交于，則，，，，，，，，故，，，和△中，，△，，，在中，，．故答案為：；（1），；（2），．6．（2025秋?玄武區(qū)校級期中）如圖，是等邊三角形內(nèi)一點，連接，，，以為邊作，且，連接．（1）求證：；（2）若，，，求長．【解答】（1）證明：為等邊三角形，，，．又，．在和中，，，．（2）解：連接，如圖所示．，．，，為等邊三角形，，，．在中，，，，．7．（2025秋?新城區(qū)校級期末）如圖，是正三角形內(nèi)的一點，且，，．若將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△．（1）求點與點之間的距離；（2）求的度數(shù)．【解答】解：（1）連接，由題意可知，，，而，所以度．故為等邊三角形，所以；（2）利用勾股定理的逆定理可知：，所以為直角三角形，且可求．8．（2025秋?田家庵區(qū)校級月考）（原題初探）（1）小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖1，是正方形內(nèi)一點，連結(jié)，，現(xiàn)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的△，連接．若，，，則的長為，正方形的邊長為．（變式猜想）（2）如圖2，若點是等邊內(nèi)的一點，且，，，請猜想的度數(shù)，并說明理由．（拓展應(yīng)用）（3）聰明的小明經(jīng)過上述兩小題的訓(xùn)練后，善于反思的他又提出了如下的問題：如圖3，在四邊形中，，，，則的長度為．【解答】解：（1）繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的△，，，，，為等腰直角三角形，，，，在△中，由勾股定理得：，過點作交的延長線于，如圖1所示：，，是等腰直角三角形，，，在中，由勾股定理得：，故答案為：，；（2）的度數(shù)為，理由如下：是等邊三角形，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，如圖2所示：則是等邊三角形，，，，，，為直角三角形，，；（3），是等腰直角三角形，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，如圖3所示：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，是等腰直角三角形，，，，是直角三角形，，，故答案為：．9．（2024秋?郾城區(qū)校級期中）下面是一道例題及其解答過程，請補(bǔ)充完整．（1）如圖1，在等邊三角形內(nèi)部有一點，，，，求的度數(shù)．解：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則為等邊三角形．，，，．為直角三角形．的度數(shù)為．（2）類比延伸如圖2，在正方形內(nèi)部有一點，若，試判斷線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】解：（1）如圖1，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△，連接，則為等邊三角形．，，，．為直角三角形．的度數(shù)為．故答案為：直角；；（2）．理由如下：如圖2，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．則，，，是等腰直角三角形，，，，，，在△中，由勾股定理得，，．10．（2024?碑林區(qū)校級三模）問題提出（1）如圖，點、是直線外兩點，在直線上找一點，使得最?。畣栴}探究（2）在等邊三角形內(nèi)有一點，且，，，求度數(shù)的大小．問題解決（3）如圖，矩形是某公園的平面圖，米，米，現(xiàn)需要在對角線上修一涼亭，使得到公園出口、，的距離之和最?。畣枺菏欠翊嬖谶@樣的點？若存在，請畫出點的位置，并求出的和的最小值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）如圖1，連接點、，與直線交于點，點即為所求．（2）如圖2，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，，，是等邊三角形，，，，，，，；故；（3）如圖連接，設(shè)在內(nèi)一點，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，，，，，，△、是等邊三角形，，，根據(jù)兩點間線段距離最短，可知當(dāng)時最短，是等邊三角形，以為一邊作等邊三角形，最小值為的長，此時點在線段上，點為、的交點．若點與點重合，即在對角線上，則點為與的交點，此時點（E）與點重合，顯然不符合題意，故點不在對角線上，即對角線上不存在這樣的點，使得到公園出口、，的距離之和最?。?1．（2024秋?諸暨市校級期中）如圖，是等邊三角形內(nèi)的一點，連接，，，以為邊作，且，連接．（1）觀察并猜想與之間的大小關(guān)系，并說明理由．（2）若，，，連接，判斷的形狀并證明．【解答】解：（1）．理由如下：，且，為等邊三角形，，，，在和中，，，；（2）如圖，等邊和等邊中，，，，為直角三角形（勾股定理逆定理）．12．（2024秋?高青縣期末）閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形內(nèi)有一點，且，，，求的度數(shù)；小偉是這樣思考的：如圖2，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識構(gòu)造△，連接，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決．（1）請你回答：圖1中的度數(shù)等于．（直接寫答案）參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，在正方形內(nèi)有一點，且，，．（2）求的度數(shù)；（3）求正方形的邊長．【解答】解：（1）如圖2，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，，，，是等邊三角形，，，，，，，；故；故答案為：．（2）如圖3，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，故，（3），點、、三點共線，過點作于，則，，在中，．13．（2024秋?鹽城校級月考）【方法呈現(xiàn)】：（1）已知，點是正方形內(nèi)的一點，連、、．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到△的位置（如圖，設(shè)的長為，的長為，求旋轉(zhuǎn)到△的過程中邊所掃過區(qū)域（圖1中陰影部分）的面積；【實際運(yùn)用】：（2）如圖2，點是等腰內(nèi)一點，，連接，，．若，，，求的大小；【拓展延伸】：（3）如圖3，