菱形綜合題1．（2025?寬城區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在△ABC中，BA＝BC＝10，BC邊上高為8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BA﹣AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在BA、AC上的速度分別為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒個(gè)單位長(zhǎng)度．當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合時(shí)，連接PD，以PA、PD為鄰邊作?APDE．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）①線段AC的長(zhǎng)為；②用含t的代數(shù)式表示線段AP的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部時(shí)，求t的取值范圍；（3）當(dāng)?APDE是菱形時(shí)，求t的值；（4）作點(diǎn)B關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′D，當(dāng)B′D⊥BC時(shí)，直接寫出t的值．2．（2025春?豐臺(tái)區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和菱形，給出如下定義：若菱形上存在一點(diǎn)，使點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在菱形的較短的一條對(duì)角線上，則稱點(diǎn)為菱形的環(huán)繞點(diǎn)．圖1為菱形的環(huán)繞點(diǎn)的示意圖．如圖，設(shè)菱形的中心為，，點(diǎn)和點(diǎn)都在軸上，且．（1）在點(diǎn)，，中，菱形的環(huán)繞點(diǎn)是；（2）若為菱形的環(huán)繞點(diǎn)，求的取值范圍；（3）設(shè)正方形以點(diǎn)為中心，各邊均與坐標(biāo)軸平行，邊長(zhǎng)為．若正方形上任意一點(diǎn)都是菱形的環(huán)繞點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出的取值范圍．3．（2025春?豐都縣期末）已知在菱形中，，連接對(duì)角線．（1）如圖1，為邊上一點(diǎn)，為邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)．①求證：；②過點(diǎn)作，垂足為，求證：；（2）如圖2，已知，將沿射線平移，得到△，連接，，請(qǐng)直接寫出的最小值．4．（2025春?青羊區(qū)校級(jí)期中）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點(diǎn)P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，點(diǎn)E的位置隨點(diǎn)P的位置變化而變化．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部時(shí)，連接CE，則BP與CE的數(shù)量關(guān)系是，CE與AD的位置關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，連接CE．求證：CE+PD＝BD；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接BE．若，，求PD．

5．（2025春?連城縣期中）如圖①，點(diǎn)是等邊中線上一點(diǎn)，連接，為等邊三角形，連接．（1）求證：；（2）如圖②，當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上，求證：；（3）如圖③，，點(diǎn)是射線的動(dòng)點(diǎn)，是否其中存在以、、為頂點(diǎn)的菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)度（不寫過程），若不存在，說明理由．6．（2025春?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)，線段與軸交于點(diǎn)（備注：在平面直角坐標(biāo)系中以任意兩點(diǎn)，、，為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）判斷四邊形的形狀，并說明理由．（2）如圖2，點(diǎn)，分別在線段，上，，且，求線段的長(zhǎng)．

7．（2025春?天寧區(qū)校級(jí)期中）在菱形中，．點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，與的數(shù)量關(guān)系是；與的位置關(guān)系是；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；（請(qǐng)結(jié)合圖2的情況予以證明或說理）（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．8．（2025?武義縣一模）如圖，已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)相交于與軸相交于點(diǎn)．（1）求和的值．（2）根據(jù)圖象，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．（3）如圖，以為邊作菱形，使點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

9．（2025?衡水二模）如圖，和均為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)在邊上，是的中點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接和．（1）求證：四邊形是菱形；（2）求的最小值；（3）若與垂直，求的長(zhǎng)．10．（2025春?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，中，，，，點(diǎn)從出發(fā)沿以每秒2個(gè)單位的速度向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從出發(fā)沿以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，作于，連、．（1）求證：；（2）當(dāng)為多少時(shí)，四邊形為菱形？說明理由；（3）當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形？說明理由．

11．（2025秋?東鄉(xiāng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，，平分，過點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）如果，的長(zhǎng)（單位：米）是一元二次方程的兩根，求的長(zhǎng)以及菱形的面積；（3）在（2）的條件下，若動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，沿以2米秒的速度勻速直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，沿以1米秒的速度勻速直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．若、同時(shí)出發(fā)，問出發(fā)幾秒鐘后，的面積為2平方米．12．（2025?三亞模擬）如圖1，在菱形中，是銳角，、分別是邊、延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，連接、分別交、于點(diǎn)、．（1）當(dāng)且時(shí)，證明：；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，連接、．①證明：；②若，，則當(dāng)為何值時(shí)，是以為底邊的等腰三角形．

13．（2025春?雨花區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知在菱形中，，點(diǎn)，，，分別是，，，上一點(diǎn)，且始終滿足，的長(zhǎng)為4．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）判斷直線是否經(jīng)過某定點(diǎn)？若經(jīng)過，請(qǐng)指明該點(diǎn)的位置并說明理由；若不經(jīng)過，也請(qǐng)說明理由；（3）設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，的面積記為，請(qǐng)建立與之間的函數(shù)關(guān)系式并指出的取值范圍．14．（2025秋?瑞安市期末）如圖1，在菱形中，為銳角，點(diǎn)，分別在邊，上，且，在邊上取點(diǎn)，（點(diǎn)在之間）使．點(diǎn)從點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好從點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，連結(jié)，分別交對(duì)角線于，，記，，已知．（1）①請(qǐng)判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；②求，的長(zhǎng)；（2）如圖2，連結(jié)，當(dāng)四邊形中有兩邊平行時(shí)，求的值；（3）若，連結(jié)，求面積的最小值．

15．（2025秋?和平區(qū)期末）如圖1，在菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，且，．（1）求菱形的面積及周長(zhǎng)；（2）點(diǎn)是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作射線，交射線于點(diǎn)．將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后交射線于點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，且，連接．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的周長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)為；③時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)為．16．（2025秋?吉安期中）如圖1，在菱形中，對(duì)角線，，，交于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，連接，．（1）求證：是等邊三角形．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，判斷四邊形的形狀，并說明理由．（3）直接寫出當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，四邊形是矩形．

17．（2025秋?李滄區(qū)期中）在菱形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，且，；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；若，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．解答下列問題：（1）求菱形的邊長(zhǎng)，并用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)為何值時(shí)，線段？（3）設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（4）是否存在某一時(shí)刻，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．18．（2025春?江夏區(qū)校級(jí)月考）如圖，菱形中，分別過點(diǎn)作的垂線，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)．（1）如圖1，若，連接，，求證：；（2）如圖2，若，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且．連接、，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，已知，，求線段的長(zhǎng)；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)，分別在線段，上，將沿直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，連接，，若，求的值．（用含的代數(shù)式表示）

19．（2025秋?西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖1，在菱形中，，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)，重合），連結(jié)，交于點(diǎn)．（1）如圖2，若點(diǎn)在邊上，且，連結(jié)，．求證：三角形為等邊三角形；（2）設(shè)，求的值（用的代數(shù)式表示）；（3）如圖3，若點(diǎn)在線段上，且，連結(jié)、，，四邊形的面積為，的面積為，求的最大值．20．（2025秋?和平區(qū)校級(jí)月考）在菱形中，，為等邊三角形．（1）如圖1，、分別為、的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：（2）如圖2，為上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果不成立請(qǐng)說明理由；若成立，請(qǐng)證明．（3）如圖3，以為邊在菱形外作正方形，連交于，若菱形的邊長(zhǎng)為，請(qǐng)直接寫出三角形的面積．

1．（2025?寬城區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在△ABC中，BA＝BC＝10，BC邊上高為8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線BA﹣AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在BA、AC上的速度分別為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒個(gè)單位長(zhǎng)度．當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合時(shí)，連接PD，以PA、PD為鄰邊作?APDE．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．（1）①線段AC的長(zhǎng)為4；②用含t的代數(shù)式表示線段AP的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部時(shí)，求t的取值范圍；（3）當(dāng)?APDE是菱形時(shí)，求t的值；（4）作點(diǎn)B關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′D，當(dāng)B′D⊥BC時(shí)，直接寫出t的值．【解答】解：（1）①如圖1中，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．∵AB＝BC＝10，AH＝8，∴BH＝＝＝6，∴CH＝BC﹣BH＝10﹣6＝4，∴AC＝＝＝4，故答案為：4；②當(dāng)0＜t＜2時(shí)，AP＝AB﹣PB＝10﹣5t．當(dāng)2＜t≤4時(shí)，AP＝2（t﹣2）＝2t﹣4；（2）如圖1中，當(dāng)t＝1時(shí)，BP＝AP，此時(shí)點(diǎn)E落在AC上，觀察圖象可知，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部．如圖2中，當(dāng)t＝3時(shí)，AP＝PC，此時(shí)點(diǎn)E落在AB上，觀察圖象可知當(dāng)2＜t＜3時(shí)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部．綜上所述，當(dāng)1＜t＜2或2＜t＜3時(shí)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部；（3）如圖3中，當(dāng)AP＝PD時(shí)，四邊形APDE是菱形．過點(diǎn)P作PJ⊥BC于點(diǎn)J．在Rt△PBJ中，PB＝5t，PJ＝4t，BJ＝3t，∴DJ＝BD﹣BJ＝5﹣3t，∴（4t）2+（5﹣3t）2＝（10﹣5t）2，∴t＝．如圖4中，當(dāng)AP＝PD時(shí)，四邊形APDE是菱形．過點(diǎn)P作PT⊥BC于點(diǎn)T．在Rt△PCT中，PC＝4﹣2（t﹣2）＝8﹣2t，CT＝8﹣2t，PT＝16﹣4t，∴DT＝CD﹣CT＝5﹣（8﹣2t）＝2t﹣3∴[2（t﹣2）]2＝（16﹣4t）2+（2t﹣3）2，∴t＝．綜上所述，滿足條件的t的值為或．（4）如圖5中，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，過點(diǎn)P作PK⊥BC于點(diǎn)K．∵DB′⊥CB，∴∠PDK＝∠PDB′＝45°，∴PK＝DK＝4t，∵BK＝3t，∴7t＝5，∴t＝．如圖6中，當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，過點(diǎn)P作PT⊥BC于點(diǎn)T．同法可證PT＝DT＝16﹣4t，∵CT＝8﹣2t，∴CD＝16﹣4t+8﹣2t＝5，∴t＝，綜上所述，滿足條件的t的值為或．2．（2025春?豐臺(tái)區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和菱形，給出如下定義：若菱形上存在一點(diǎn)，使點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在菱形的較短的一條對(duì)角線上，則稱點(diǎn)為菱形的環(huán)繞點(diǎn)．圖1為菱形的環(huán)繞點(diǎn)的示意圖．如圖，設(shè)菱形的中心為，，點(diǎn)和點(diǎn)都在軸上，且．（1）在點(diǎn)，，中，菱形的環(huán)繞點(diǎn)是；（2）若為菱形的環(huán)繞點(diǎn)，求的取值范圍；（3）設(shè)正方形以點(diǎn)為中心，各邊均與坐標(biāo)軸平行，邊長(zhǎng)為．若正方形上任意一點(diǎn)都是菱形的環(huán)繞點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出的取值范圍．【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)，，中，菱形的環(huán)繞點(diǎn)是，故答案為：．（2）由題意得，環(huán)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)在菱形上運(yùn)動(dòng)，四邊形是菱形，，，，由勾股定理得，①當(dāng)點(diǎn)在第一象限，即，當(dāng)經(jīng)過時(shí)，如圖1，；當(dāng)經(jīng)過時(shí)，如圖2，；的取值范圍是；②當(dāng)點(diǎn)在第三象限，即，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，如圖3，；當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，如圖4，；綜上，的取值范圍是或，（3）如圖，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，解得，如圖，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，的取值范圍為．3．（2025春?豐都縣期末）已知在菱形中，，連接對(duì)角線．（1）如圖1，為邊上一點(diǎn)，為邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)．①求證：；②過點(diǎn)作，垂足為，求證：；（2）如圖2，已知，將沿射線平移，得到△，連接，，請(qǐng)直接寫出的最小值．【解答】（1）證明：①四邊形是菱形，，和都為等邊三角形，，，即，又，，，；②如圖1，作于，由①知，，，，即，又，，，，，在中，，，，，；（2）解：如圖2，設(shè)交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，，由題知，，且，四邊形是平行四邊形，，在和中，，，，即，由題知，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，即，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)有最小值，即有最小值，過點(diǎn)作延長(zhǎng)線于，，，，，，，，又，，故的最小值為．4．（2025春?青羊區(qū)校級(jí)期中）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點(diǎn)P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，點(diǎn)E的位置隨點(diǎn)P的位置變化而變化．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部時(shí)，連接CE，則BP與CE的數(shù)量關(guān)系是BP＝CE，CE與AD的位置關(guān)系是AD⊥CE；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，連接CE．求證：CE+PD＝BD；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接BE．若，，求PD．【解答】（1）解：如圖1中，結(jié)論：PB＝EC，CE⊥AD．理由：連接AC．∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△APE是等邊三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∵∠BAC＝∠PAE，∴∠BAP＝∠CAE，，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，延長(zhǎng)CE交AD于H，∵∠CAH＝60°，∴∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．故答案為：PB＝EC，CE⊥AD．（2）證明：如圖2，連接AC交BD于O，設(shè)CE交AD于H．∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△APE是等邊三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE．，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE，∵BP+PD＝BD，∴CE+PD＝BD；（3）解：如圖3，連接AC交BD于O，連接CE交AD于H．∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵△APE是等邊三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∴∠BAP＝∠CAE．，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，∵∠CAH＝60°，∴∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．∴CE＝BP，在菱形ABCD中，AD∥BC，∴EC⊥BC，∵BC＝AB＝4，BE＝4，在Rt△BCE中，EC＝＝16，∴BP＝CE＝16，∵AC與BD是菱形的對(duì)角線，∴∠ABD＝∠ABC＝30°，AC⊥BD，∴BD＝2BO＝2AB?cos30°＝12，∴OA＝AB＝2，PD＝BP﹣BD＝16﹣12＝4，5．（2025春?連城縣期中）如圖①，點(diǎn)是等邊中線上一點(diǎn)，連接，為等邊三角形，連接．（1）求證：；（2）如圖②，當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上，求證：；（3）如圖③，，點(diǎn)是射線的動(dòng)點(diǎn)，是否其中存在以、、為頂點(diǎn)的菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)度（不寫過程），若不存在，說明理由．【解答】（1）證明：連接，等邊，等邊，，，，，在和中，，，，，，；（2）證明：連接、，等邊，等邊，，，，，在和中，，，，，，；（3）解：分情況討論，①特殊情況，如圖，當(dāng)為菱形的邊時(shí)，設(shè)，等邊，，，則，，，，，即的值為2；如圖，當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，同理，的值為4；如圖，當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，同理，的值為6；②一般情況：以、、頂點(diǎn)的菱形存在無限可能，則的長(zhǎng)則無法確定．6．（2025春?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)，線段與軸交于點(diǎn)（備注：在平面直角坐標(biāo)系中以任意兩點(diǎn)，、，為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）判斷四邊形的形狀，并說明理由．（2）如圖2，點(diǎn)，分別在線段，上，，且，求線段的長(zhǎng)．【解答】解：（1）四邊形為菱形，理由如下：，，，，為的中點(diǎn)，，，，為的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，，，四邊形為菱形；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連，，，，由（1）知四邊形為菱形，，四邊形為平行四邊形，由（1）知四邊形為菱形，，，，，，，，，又，，又，，四邊形為矩形，，，，，由勾股定理得：．7．（2025春?天寧區(qū)校級(jí)期中）在菱形中，．點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，與的數(shù)量關(guān)系是；與的位置關(guān)系是；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；（請(qǐng)結(jié)合圖2的情況予以證明或說理）（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖1，連接，延長(zhǎng)交于，四邊形是菱形，，，，，都是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，，，，即，故答案為：，；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立，理由如下：如圖2，連接交于，設(shè)交于，四邊形是菱形，，，，，都是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，，在和中，，，，，，，即；（3）如圖3，連接交于，連接，四邊形是菱形，，平分，，，，，由（2）知，，，，，，由（2）知，，，．8．（2025?武義縣一模）如圖，已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)相交于與軸相交于點(diǎn)．（1）求和的值．（2）根據(jù)圖象，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．（3）如圖，以為邊作菱形，使點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將點(diǎn)代入得：；，將點(diǎn)代入得：，解得：，，；（2）聯(lián)立函數(shù)表達(dá)式得：，解得，．由圖象可知，當(dāng)時(shí)，或．（3）對(duì)于，令，則．，，．四邊形是菱形，，，的坐標(biāo)為．9．（2025?衡水二模）如圖，和均為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)在邊上，是的中點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接和．（1）求證：四邊形是菱形；（2）求的最小值；（3）若與垂直，求的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：和均為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，，，，四邊形是菱形；（2）解：，是的中點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，連接，如圖所示，是的中點(diǎn)，是等邊三角形，，，，當(dāng)在線段上時(shí)，取得最小值，的最小值為；（3）解：如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，，，在△中，，則，，，．10．（2025春?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，中，，，，點(diǎn)從出發(fā)沿以每秒2個(gè)單位的速度向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從出發(fā)沿以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，作于，連、．（1）求證：；（2）當(dāng)為多少時(shí)，四邊形為菱形？說明理由；（3）當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形？說明理由．【解答】（1）證明：由題意得：，，，，，，而，，；（2）解：如圖2，，，，又，四邊形為平行四邊形，在中，，，，，，，，若使平行四邊形為菱形，則需，即，解得：，即當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形；（3）為直角三角形時(shí)，要分三種情況：①如圖3，當(dāng)時(shí)，，四邊形為矩形，，即，解得：；②如圖4，時(shí)，由（2）四邊形為平行四邊形，，，，，即，解得：，③時(shí)，此種情況不存在；綜上所述，當(dāng)秒或4秒時(shí)，為直角三角形．11．（2025秋?東鄉(xiāng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，，平分，過點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）如果，的長(zhǎng)（單位：米）是一元二次方程的兩根，求的長(zhǎng)以及菱形的面積；（3）在（2）的條件下，若動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，沿以2米秒的速度勻速直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，沿以1米秒的速度勻速直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．若、同時(shí)出發(fā)，問出發(fā)幾秒鐘后，的面積為2平方米．【解答】（1）證明：平分，，，是等腰三角形，，又，，四邊形為平行四邊形，又，四邊形是菱形；（2）解：解方程，得，，，利用勾股定理，平方米；（3）解：在第（2）問的條件下，設(shè)、同時(shí)出發(fā)秒鐘后，的面積，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，解得，（大于2，舍去）；當(dāng)點(diǎn)在上且點(diǎn)在上時(shí)，，，整理得，，方程無解．當(dāng)點(diǎn)在上且點(diǎn)在上時(shí)，即，，解得，（小于3，舍去）．綜上所述：，出發(fā)1秒或4秒鐘后，的面積為．12．（2025?三亞模擬）如圖1，在菱形中，是銳角，、分別是邊、延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，連接、分別交、于點(diǎn)、．（1）當(dāng)且時(shí)，證明：；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，連接、．①證明：；②若，，則當(dāng)為何值時(shí)，是以為底邊的等腰三角形．【解答】（1）證明：如圖1，四邊形是菱形，，，，，，，，，，在和中，，；（2）①證明：四邊形是菱形，，，，，，，，，，，；②解：由①知：，，，，，，，，設(shè)，則，，如圖3，過點(diǎn)作于，作于，，，，，，，則當(dāng)為時(shí)，是以為底邊的等腰三角形．13．（2025春?雨花區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知在菱形中，，點(diǎn)，，，分別是，，，上一點(diǎn)，且始終滿足，的長(zhǎng)為4．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）判斷直線是否經(jīng)過某定點(diǎn)？若經(jīng)過，請(qǐng)指明該點(diǎn)的位置并說明理由；若不經(jīng)過，也請(qǐng)說明理由；（3）設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，的面積記為，請(qǐng)建立與之間的函數(shù)關(guān)系式并指出的取值范圍．【解答】（1）證明：四邊形是菱形，，，，，在和中，，，，同理：，，四邊形是平行四邊形；（2）解：直線經(jīng)過菱形對(duì)角線的交點(diǎn)；理由如下：連接、交于點(diǎn)，如圖1所示：四邊形是菱形，，，在和中，，，，又四邊形是菱形，對(duì)角線互相平分，為的中點(diǎn)，直線經(jīng)過菱形對(duì)角線的交點(diǎn)；（3）解：設(shè)，則，在中，，，過作，交的延長(zhǎng)線于，如圖2所示：，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，，．14．（2025秋?瑞安市期末）如圖1，在菱形中，為銳角，點(diǎn)，分別在邊，上，且，在邊上取點(diǎn)，（點(diǎn)在之間）使．點(diǎn)從點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)恰好從點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，連結(jié)，分別交對(duì)角線于，，記，，已知．（1）①請(qǐng)判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；②求，的長(zhǎng)；（2）如圖2，連結(jié)，當(dāng)四邊形中有兩邊平行時(shí)，求的值；（3）若，連結(jié)，求面積的最小值．【解答】解：（1）①結(jié)論：．理由如下：是菱形，，，，，，又，，；②當(dāng)代入得，即，當(dāng)代入，得，即，，，，；（2）①當(dāng)時(shí)，如圖2，，，是的中位線，，而，，，，，，，，，；②當(dāng)時(shí)，如圖2，，是平行四邊形，，代入得，，，，，；（3）連接．過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)作于．由題意，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，時(shí)，的面積最小，最小值為．15．（2025秋?和平區(qū)期末）如圖1，在菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，且，．（1）求菱形的面積及周長(zhǎng)；（2）點(diǎn)是射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作射線，交射線于點(diǎn)．將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后交射線于點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，且，連接．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的周長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)為；③時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)為．【解答】解：（1）如圖1中，四邊形是菱形，，，，，菱形的周長(zhǎng)為40，菱形的面積；（2）①如圖2中．過點(diǎn)作于點(diǎn)．四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的周長(zhǎng)．②如圖3中，設(shè)．，，，，，，，，．故答案為：；③如圖中，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，在中，，，，，，，，，，，，，．如圖中，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，，，，，，，，，，，．綜上所述，的長(zhǎng)為或2．16．（2025秋?吉安期中）如圖1，在菱形中，對(duì)角線，，，交于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，連接，．（1）求證：是等邊三角形．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，判斷四邊形的形狀，并說明理由．（3）直接寫出當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，四邊形是矩形．【解答】（1）證明：四邊形是菱形，，，，，．，，，，在中，，，是等邊三角形；（2）解：四邊形為菱形．理由：是邊的中點(diǎn)，．四邊形是菱形，，．，，．，四邊形是平行四邊形．由（1）知是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四邊形是菱形；（3）解：當(dāng)?shù)闹禐?時(shí)，四邊形是矩形．理由如下：由（1）知：是等邊三角形，，，，，由②知：四邊形是平行四邊形，是矩形；當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．17．（2025秋?李滄區(qū)期中）在菱形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，且，；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；若，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．解答下列問題：（1）求菱形的邊長(zhǎng)，并用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)為何值時(shí)，線段？（3）設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（4）是否存在某一時(shí)刻，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）四邊形是菱形，，，，，，，，，，，即，；（2）四邊形菱形，，當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，此時(shí)，，，即當(dāng)為時(shí)，線段；