2025年9月16日振動力學1力學，一級學科，下設三個二級學科：一般力學（動力學與控制），固體力學，流體力學教學內(nèi)容一般力學的對象主要是有限自由度系統(tǒng)的運動及其控制，有時它包含一個或多個無限自由度子系統(tǒng)。它包括運動穩(wěn)定性理論、振動理論、動力系統(tǒng)理論、多體系統(tǒng)力學、機械動力學等。固體力學是研究可變形固體在外界因素作用下所產(chǎn)生的應力、應變、位移和破壞等的力學分支。固體力學在力學中形成較早，應用也較廣。流體力學是研究流體(液體和氣體)的力學運動規(guī)律及其應用的學科。主要研究在各種力的作用下，流體本身的狀態(tài)，以及流體和固體壁面、流體和流體間、流體與其他運動形態(tài)之間的相互作用的力學分支。學科定位：力學是聯(lián)系理論與工程實際的重要橋梁2025年9月16日振動力學2力學，一級學科，下設三個二級學科：一般力學（動力學與控制），固體力學，流體力學教學內(nèi)容一般力學：理論力學，振動力學，非線性動力學固體力學：材料力學，彈性力學，塑性力學，非線性連續(xù)介質(zhì)力學流體力學：流體力學，高等流體力學等力學專業(yè)基礎課：振動力學是力學專業(yè)的重要專業(yè)基礎課，由此開始進入動力學的研究范疇，在航空航天、機械、土木等許多工程領域有著重要的應用背景2025年9月16日振動力學3教學內(nèi)容教學內(nèi)容緒論單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)受迫振動多自由度系統(tǒng)的振動振動問題的近似解法連續(xù)體系統(tǒng)的振動2025年9月16日振動力學4緒論基本概念與學習目的振動問題的提法力學模型振動及系統(tǒng)分類緒論2025年9月16日振動力學5-從廣義上講，如果表征一種運動的物理量作時而增大時而減小的反復變化，就可以稱這種運動為振動基本概念與學習目的-振動是自然界最普遍的現(xiàn)象之一定義（1）心臟的搏動、耳膜和聲帶的振動，（2）橋梁和建筑物在風和地震作用下的振動，（3）飛機和輪船航行中的振動，（4）機床和刀具在加工時的振動-各種物理現(xiàn)象，諸如聲、光、熱等都包含振動-如果變化的物理量是一些機械量或力學量，例如物體的位移、速度、加速度、應力及應變等等，這種振動便稱為機械振動

緒論2025年9月16日振動力學6-各個不同領域中的現(xiàn)象雖然各具特色，但往往有著相似的數(shù)學力學描述。正是在這個共性基礎上，有可能建立某種統(tǒng)一的理論來處理各種振動問題振動力學-借助數(shù)學、物理、實驗和計算技術，探討各種振動現(xiàn)象，闡明振動的基本規(guī)律，以便克服振動的消極因素，利用其積極因素，為合理解決各種振動問題提供理論依據(jù)緒論2025年9月16日振動力學7學習目的-它常常是造成機械和結構破壞和失效的直接原因1940年美國華盛頓州塔科馬海峽大橋共振-許多情況下，振動是有害的例如：緒論主跨854.4m全長1810.56m寬11.9m中等風速19m/s下垮塌2025年9月16日振動力學82010年5月19號俄羅斯伏爾加河橋梁共振緒論2009年10月10日竣工通車?？傇靸r8000萬美元，大橋全長154米，前后建造花去了12年時間。2025年9月16日振動力學9緒論1972年日本海南電廠的一臺66萬千瓦的氣輪發(fā)電機組點火試車發(fā)生設備損壞和火災2025年9月16日振動力學10緒論樵歌.電站系統(tǒng)工程.19882025年9月16日振動力學11緒論點火試車發(fā)生設備損壞和火災2025年9月16日振動力學12緒論南非Duvha電廠汽輪機事故我國秦嶺發(fā)電廠5號機事故另兩個汽輪機振動事故2025年9月16日振動力學13緒論美國第一顆人造衛(wèi)星“探險者I號”1958年1月發(fā)射，鞭狀天線耦合效應導致衛(wèi)星失效航空航天F-15戰(zhàn)機由于尾翼顫振解體運十顫振實驗錄像2025年9月16日振動力學14學習目的-它常常是造成機械和結構破壞和失效的直接原因1940年美國的TacomaNarrows吊橋（塔科馬海峽大橋）-許多情況下，振動是有害的例如：1972年日本海南電廠的一臺66萬千瓦的氣輪發(fā)電機組美國第一顆人造衛(wèi)星“探險者I號”，F(xiàn)-15戰(zhàn)機顫振振動會影響精密儀器的功能，降低加工精度，加劇構件疲勞和磨損橋梁因振動而倒塌，飛機機翼的顫振、機輪的抖振而造成事故強烈的振動噪聲而形成嚴重公害緒論2025年9月16日振動力學15學習振動力學的目的之一：掌握振動的基本理論和分析方法，用以確定和限制振動對工程結構和機械產(chǎn)品的性能、壽命和安全的有害影響

緒論2025年9月16日振動力學16例如：-振動也有它積極的一方面，是可以利用的學習目的振動是通信、廣播、電視、雷達等工作的基礎緒論無線通信廣播電視天線雷達手機通訊2025年9月16日振動力學17緒論工業(yè)用振動篩、振動沉樁、振動輸送、地震儀學習振動力學的目的之二：運用振動理論去創(chuàng)造和設計新型的振動設備、儀器及自動化裝置

振動篩振動沉樁振動輸送機地震儀2025年9月16日振動力學18緒論上海交通大學工程力學系振動問題的提法2025年9月16日振動力學19振動問題的提法-通常的研究對象被稱作系統(tǒng)系統(tǒng)（輸入）激勵（輸出）響應它可以是一個零部件、一臺機器或者一個完整的工程結構等-外部激振力等因素稱為激勵（輸入）-系統(tǒng)發(fā)生的振動稱為響應（輸出）緒論2025年9月16日振動力學20第一類：已知激勵和系統(tǒng)，求響應第二類：已知激勵和響應，求系統(tǒng)第三類：已知系統(tǒng)和響應，求激勵系統(tǒng)（輸入）激勵（輸出）響應振動問題按這三個環(huán)節(jié)可分為三類問題緒論2025年9月16日振動力學21第一類：已知激勵和系統(tǒng)，求響應動力響應分析主要任務在于驗算結構、產(chǎn)品等在工作時的動力響應（如變形、位移、應力等）是否滿足預定的安全要求和其它要求在產(chǎn)品設計階段，對具體設計方案進行動力響應驗算，若不符合要求再作修改，直到達到要求而最終確定設計方案，這一過程就是所謂的振動設計

正問題系統(tǒng)（輸入）激勵（輸出）響應√√?緒論2025年9月16日振動力學22第一類：已知激勵和系統(tǒng)，求響應動力響應分析正問題系統(tǒng)（輸入）激勵（輸出）響應√√?緒論結構抗震結構設計潛艇聲學結構設計衛(wèi)星載荷不能過大2025年9月16日振動力學23第二類：已知激勵和響應，求系統(tǒng)系統(tǒng)識別，系統(tǒng)辨識求系統(tǒng)，主要是指獲得對于系統(tǒng)的物理參數(shù)（如質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù)等）和系統(tǒng)關于振動的固有特性（如固有頻率、主振型等）的認識以估計物理參數(shù)為任務的叫做物理參數(shù)辨識，以估計系統(tǒng)振動固有特性為任務的叫做模態(tài)參數(shù)辨識或者試驗模態(tài)分析第一個逆問題系統(tǒng)（輸入）激勵（輸出）響應√√?緒論2025年9月16日振動力學24緒論-在軌辨識時間：1994-12-26、1995-1-13、1995-3-14-激勵形式：脈沖，隨機-傳感器：帆板加速度傳感器，6個-辨識方法：數(shù)據(jù)下傳地面，ERA-帆板姿態(tài)：1800，2700例子1：EngineeringTestSatellite-VI1994年8月發(fā)射升空，三軸穩(wěn)定地球同步通訊實驗衛(wèi)星在軌模態(tài)辨識、姿態(tài)控制實驗-姿態(tài)控制方法：十多種控制律，如PD、LQG、魯棒等2025年9月16日振動力學25緒論例子2：TheInternationalSpaceStation-數(shù)據(jù)測量：加速度傳感器，12個，100Hz采樣，無線傳輸；應變測量裝置，8個，50Hz采樣，無線傳輸；攝影測量，5個98年1月構建。在軌模態(tài)試驗，驗證動力學模型。-激勵方式：推進器瞬時點火，5次-辨識方法：ERA2025年9月16日振動力學26第三類：已知系統(tǒng)和響應，求激勵環(huán)境預測例如：為避免產(chǎn)品公路運輸中的損壞，需通過實地行車記錄汽車振動和產(chǎn)品振動，以估計運輸過程中振動環(huán)境，以便為產(chǎn)品設計可靠的減震包裝。第二個逆問題系統(tǒng)（輸入）激勵（輸出）響應√√?緒論坦克瞄準系統(tǒng)設計需要考慮地面激勵地震烈度估計已知遙測數(shù)據(jù)，反演導彈外部載荷2025年9月16日振動力學27系統(tǒng)（輸入）激勵（輸出）響應√√?緒論第一類：已知激勵和系統(tǒng)，求響應：動力響應分析，正問題

第二類：已知激勵和響應，求系統(tǒng)：系統(tǒng)辨識，第一個逆問題

第三類：已知系統(tǒng)和響應，求激勵：環(huán)境預測，第二個逆問題這三類問題基本囊括了現(xiàn)實振動中的所有問題振動力學CAI單自由度系統(tǒng)自由振動振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動轎車隔振器機床旋轉機械單自由度系統(tǒng)工程實例振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動工程實例衛(wèi)星調(diào)姿引起的帆板振動土壤基礎彈性墊錘頭砧座框架砧座和基礎土壤阻尼土壤剛度鍛錘鍛錘敲擊后機器的振動振動力學教學內(nèi)容單自由度系統(tǒng)自由振動無阻尼自由振動能量法瑞利法等效質(zhì)量和等效剛度阻尼自由振動等效粘性阻尼振動力學無阻尼自由振動令x為位移，以質(zhì)量塊靜平衡位置為原點，λ為靜變形受到初始擾動時，由牛頓第二定律，得：靜平衡位置：固有振動或自由振動微分方程：單自由度系統(tǒng)自由振動0mx靜平衡位置彈簧原長位置0x靜平衡位置彈簧原長位置m振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動牛頓（SirIsaacNewton,1642-1727）英國自然哲學家、劍橋大學數(shù)學教授、英國皇家學會主席。他于1687年出版的論及物體運動規(guī)律和條件的《自然哲學的數(shù)學原理》一書，被認為是當時最偉大的科學巨著。他的關于力、質(zhì)量和動量的定義以及三大運動定律的相繼出現(xiàn)，構成了動力學理論的基石。在國際單位制中，力的單位牛頓（N）就是用他的名字命名的。振動力學固有振動或自由振動微分方程：單位：弧度/秒（rad/s）則有：通解：振幅：初相位：固有頻率單自由度系統(tǒng)自由振動c,s:待定系數(shù)特征方程特征根s1和s2都滿足特征方程，通解可寫為：A1,A2:常數(shù)歐拉公式：令：mk/0=wc1,c2:新常數(shù)，由初始條件決定振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動振動力學系統(tǒng)固有數(shù)值特征，與系統(tǒng)是否振動以及如何振動無關非系統(tǒng)固有數(shù)字特征，與系統(tǒng)所受激勵和初始狀態(tài)有關單自由度系統(tǒng)自由振動振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動考慮系統(tǒng)在初始擾動下的自由振動零時刻初始條件：零初始條件下的自由振動：振動力學初始條件下的自由振動：無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。初始條件的說明：初始條件是外界能量轉入的一種方式，有初始位移即轉入了彈性勢能，有初始速度即轉入了動能。單自由度系統(tǒng)自由振動振動力學初始條件下的自由振動：單自由度系統(tǒng)自由振動初始條件：固有頻率從左到右：時間位置無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。振動力學固有頻率計算的另一種方式：靜平衡位置處：可得：對于不易得到m

和k

的系統(tǒng)，若能測出靜變形，則用該式計算較為方便。單自由度系統(tǒng)自由振動0mx靜平衡位置彈簧原長位置振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動上海交通大學工程力學系無阻尼自由振動算例單自由度系統(tǒng)自由振動無阻尼自由振動：振動力學振動力學例：礦用提升機系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)自由振動Wv絞車罐籠振動力學例：礦用提升機系統(tǒng)重物重量鋼絲繩的彈簧剛度重物以的速度均勻下降求：繩的上端突然被卡住時：（1）重物的振動頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力單自由度系統(tǒng)自由振動Wv鋼絲繩有可能斷裂造成事故2012年甘肅白銀礦車鋼絲繩斷裂造成20人死亡振動力學解：振動頻率重物勻速下降時處于靜平衡位置，若將坐標原點取在繩被卡住瞬時重物所在位置則t=0

時，有：振動解：單自由度系統(tǒng)自由振動W靜平衡位置kxWv振動力學振動解：繩中最大張力等于靜張力與動張力之和：動張力幾乎是靜張力的一半由于為了減少振動引起的動張力，應當降低升降系統(tǒng)的剛度。單自由度系統(tǒng)自由振動Wv分析：振動力學例：重物落下與簡支梁做完全非彈性碰撞梁長L，抗彎剛度EJ求：梁的自由振動頻率和最大撓度單自由度系統(tǒng)自由振動mh0l/2l/2土壤基礎彈性墊錘頭砧座框架砧座和基礎土壤阻尼土壤剛度鍛錘振動力學解：由材料力學：自由振動頻率：單自由度系統(tǒng)自由振動取平衡位置以梁承受重物靜平衡位置為坐標原點靜變形mh0l/2l/2x靜平衡位置振動力學撞擊時刻為零時刻，則t=0

時，有：自由振動振幅：梁的最大擾度：單自由度系統(tǒng)自由振動mh0l/2l/2x靜平衡位置振動力學例：圓盤轉動圓盤轉動慣量I在圓盤靜平衡位置任選一根半徑作為角位移的起點位置扭振固有頻率單自由度系統(tǒng)自由振動為軸的扭轉剛度，定義為使得圓盤產(chǎn)生單位轉角所需的力矩由牛頓第二定律：汽輪機軸系扭振振動力學由上例可看出，除坐標不同外，角振動與直線振動的數(shù)學描述完全相同。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將m、k稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關結論完全適用于角振動。以后不加特別聲明時，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的。單自由度系統(tǒng)自由振動0mx靜平衡位置彈簧原長位置振動力學從上兩例還可看出，單自由度無阻尼系統(tǒng)總包含著慣性元件和彈性元件兩種基本元件。慣性元件是感受加速度的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)量或轉動慣量；而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復原來狀態(tài)的恢復力的元件，它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉剛度的彈性體。同一個系統(tǒng)中，若慣性增加，則使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大。單自由度系統(tǒng)自由振動0mx靜平衡位置彈簧原長位置振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動上海交通大學工程力學系無阻尼自由振動算例單自由度系統(tǒng)自由振動無阻尼自由振動：0mx直線振動角振動振動力學例：復擺單自由度系統(tǒng)自由振動a0C集裝箱碼頭龍門吊海洋平臺塔吊工廠行吊擺振振動力學例：復擺剛體質(zhì)量m對懸點的轉動慣量重心C

求：復擺在平衡位置附近做微振動時的微分方程和固有頻率單自由度系統(tǒng)自由振動a0C振動力學解：由牛頓定律：微振動：固有頻率：實驗確定復雜形狀物體的轉動慣量的一個方法若已測出物體的固有頻率，則可求出，再由移軸定理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉動慣量：單自由度系統(tǒng)自由振動a0C振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動例：彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動斜面傾角300質(zhì)量m=1kg彈簧剛度k=49N/cm開始時彈簧無伸長，且速度為零求：系統(tǒng)的運動方程m300重力加速度取9.8振動力學單自由度系統(tǒng)自由振動解：以靜平衡位置為坐標原點建立坐標系振動固有頻率：振動初始條件：考慮方向初始速度：運動方程：m300如果系統(tǒng)豎直放置，振動頻率是否改變？振動力學CAI單自由度系統(tǒng)受迫振動2025年9月16日<<振動力學>>61教學內(nèi)容單自由度系統(tǒng)受迫振動線性系統(tǒng)的受迫振動工程中的受迫振動問題任意周期激勵的響應非周期激勵的響應2025年9月16日<<振動力學>>62線性系統(tǒng)的受迫振動簡諧力激勵的強迫振動穩(wěn)態(tài)響應的特性受迫振動的過渡階段

庫倫摩擦系統(tǒng)受迫振動的近似分析簡諧慣性力激勵的受迫振動機械阻抗與導納單自由度系統(tǒng)受迫振動2025年9月16日<<振動力學>>63線性系統(tǒng)的受迫振動簡諧力激勵的強迫振動彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)設：外力幅值：外力激勵頻率振動微分方程：x為復數(shù)變量，分別與和相對應

實部和虛部分別與和相對應m單自由度系統(tǒng)受迫振動/簡諧力激勵的強迫振動受力分析kcx0m達朗貝爾原理2025年9月16日<<振動力學>>64單自由度系統(tǒng)受迫振動/簡諧力激勵的強迫振動達朗貝爾（JeanLeRond

Alembert,1717-1783）法國數(shù)學家和物理學家，他一出生就被母親遺棄在巴黎圣讓勒?。⊿aintJeanLerond）教堂附近。1741年，他出版了著名的《動力學》一書，其中包含的一種方法就是后人熟知的達朗貝爾（D’Alembert）原理。達朗貝爾首次采用偏微分方程解決了弦的振動問題。他早期的輝煌成就使他成為法國科學院的終生秘書，該職位確保他成為法國最有影響力的科學家。2025年9月16日<<振動力學>>65顯含時間t非齊次微分方程通解齊次微分方程通解非齊次微分方程特解＝＋阻尼自由振動逐漸衰減暫態(tài)響應持續(xù)等幅振動穩(wěn)態(tài)響應本節(jié)內(nèi)容單自由度系統(tǒng)受迫振動/簡諧力激勵的強迫振動非齊次微分方程2025年9月16日<<振動力學>>66振動微分方程：設：復頻響應函數(shù)

：穩(wěn)態(tài)響應的復振幅靜變形單自由度系統(tǒng)受迫振動/簡諧力激勵的強迫振動2025年9月16日<<振動力學>>67單自由度系統(tǒng)受迫振動/簡諧力激勵的強迫振動引入：外部激勵頻率與系統(tǒng)固有頻率之比振幅放大因子相位差模：幅角：同時反映了系統(tǒng)響應的幅頻特性和相頻特性2025年9月16日<<振動力學>>68穩(wěn)態(tài)響應的實振幅若：則：無阻尼情況：單自由度系統(tǒng)受迫振動/簡諧力激勵的強迫振動系統(tǒng)響應<<振動力學>>69（1）線性系統(tǒng)對簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應是頻率等同于激振頻率、而相位滯后激振力的簡諧振動（2）穩(wěn)態(tài)響應的振幅及相位只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（m,k,c）和激振力的頻率及力幅，而與系統(tǒng)進入運動的方式（即初始條件）無關結論：單自由度系統(tǒng)受迫振動/簡諧力激勵的強迫振動kcx0m簡諧力激勵的強迫振動<<振動力學>>70單自由度系統(tǒng)受迫振動/穩(wěn)態(tài)響應的特性上海交通大學工程力學系穩(wěn)態(tài)響應的特性--幅頻特性（1）線性系統(tǒng)對簡諧激勵的穩(wěn)態(tài)響應是頻率等同于激振頻率、而相位滯后激振力的簡諧振動（2）穩(wěn)態(tài)響應的振幅及相位只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（m,k,c）和激振力的頻率及力幅，而與系統(tǒng)進入運動的方式（即初始條件）無關單自由度系統(tǒng)受迫振動/簡諧力激勵的強迫振動kcx0m簡諧力激勵的強迫振動2025年9月16日<<振動力學>>72穩(wěn)態(tài)響應的特性以s為橫坐標畫出曲線幅頻特性曲線簡諧激勵作用下穩(wěn)態(tài)響應特性（1）當s<<1（）激振頻率相對于系統(tǒng)固有頻率很低結論：響應的振幅A

與靜位移

B相當0123012345單自由度系統(tǒng)受迫振動/穩(wěn)態(tài)響應的特性/幅頻特性2025年9月16日<<振動力學>>73穩(wěn)態(tài)響應特性（2）當s>>1（）激振頻率相對于系統(tǒng)固有頻率很高結論：響應的振幅很小0123012345單自由度系統(tǒng)受迫振動/穩(wěn)態(tài)響應的特性/幅頻特性2025年9月16日<<振動力學>>74穩(wěn)態(tài)響應特性（3）在以上兩個領域

s>>1，s<<1結論：系統(tǒng)即使按無阻尼情況考慮也是可以的對應于不同值，曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著0123012345自由度系統(tǒng)受迫振動/穩(wěn)態(tài)響應的特性單自由度系統(tǒng)受迫振動/穩(wěn)態(tài)響應的特性/幅頻特性2025年9月16日<<振動力學>>75穩(wěn)態(tài)響應特性結論：共振振幅無窮大（4）當對應于較小值，迅速增大當?shù)舱駥τ趤碜宰枘岬挠绊懞苊舾校趕=1

附近的區(qū)域內(nèi)，增加阻尼使振幅明顯下降0123012345單自由度系統(tǒng)受迫振動/穩(wěn)態(tài)響應的特性/幅頻特性穩(wěn)態(tài)響應特性（5）對于有阻尼系統(tǒng)，并不出現(xiàn)在s=1處，而且稍偏左0123012345（6）當振幅無極值單自由度系統(tǒng)受迫振動/穩(wěn)態(tài)響應的特性/幅頻特性幅頻特性：外部作用力：系統(tǒng)固有頻率：從左到右：（1）s<<1振幅與靜變形相當（2）s>>1振幅很?。?）共振0123012345單自由度系統(tǒng)受迫振動/穩(wěn)態(tài)響應的特性/幅頻特性<<振動力學>>78單自由度系統(tǒng)受迫振動/穩(wěn)態(tài)響應的特性上海交通大學工程力學系穩(wěn)態(tài)響應的特性品質(zhì)因子和相頻特性kcx0m幅頻特性：（1）s<<1振幅與靜變形相當（2）s>>1振幅很小（3）共振0123012345單自由度系統(tǒng)受迫振動/穩(wěn)態(tài)響應的特性/幅頻特性2025年9月16日<<振動力學>>80穩(wěn)態(tài)響應特性記：品質(zhì)因子

共振峰兩側取與對應兩點半功率帶寬Q與有關系：半功率點證明：值較小時s1s2單自由度系統(tǒng)受迫振動/穩(wěn)態(tài)響應的特性/品質(zhì)因子和相頻特性2025年9月16日<<振動力學>>81穩(wěn)態(tài)響應特性品質(zhì)因子半功率帶寬Q與有關系：阻尼越弱，Q越大，帶寬越窄，共振峰越陡峭半功率點s1s2單自由度系統(tǒng)受迫振動/穩(wěn)態(tài)響應的特性/品質(zhì)因子和相頻特性2025年9月16日<<振動力學>>82穩(wěn)態(tài)響應特性相頻特性曲線（1）當s<<1（）以s為橫坐標畫出曲線相位差位移與激振力在相位上幾乎相同（2）當s>>1（）位移與激振力反相（3）當共振時的相位差為，與阻尼無關0123090180單自由度系統(tǒng)受迫振動/穩(wěn)態(tài)響應的特性/品質(zhì)因子和相頻特性2025年9月16日<<振動力學>>83相頻特性：外部作用力：系統(tǒng)固有頻率：從左到右：（1）s<<1位移與激振力同相（2）s>>1位移與激振力反相（3）位移與激振力相位差900單自由度系統(tǒng)受迫振動/穩(wěn)態(tài)響應的特性/品質(zhì)因子和相頻特性多自由度系統(tǒng)振動振動力學CAI2025年9月16日《振動力學》85kcm建模方法1：將車、人等全部作為一個質(zhì)量考慮，并考慮彈性和阻尼要求：對轎車的上下振動進行動力學建模例子：轎車行駛在路面上會產(chǎn)生上下振動缺點：模型粗糙，沒有考慮人與車、車與車輪、車輪與地面之間的相互影響優(yōu)點：模型簡單分析：人與車、車與車輪、車輪與地面之間的運動存在耦合多自由度系統(tǒng)振動2025年9月16日《振動力學》86k2c2m車m人k1c1建模方法2：車、人的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼優(yōu)點：模型較為精確，考慮了人與車之間的耦合缺點：沒有考慮車與車輪、車輪與地面之間的相互影響多自由度系統(tǒng)振動2025年9月16日《振動力學》87m人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m車m輪m輪建模方法3：車、人、車輪的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼優(yōu)點：分別考慮了人與車、車與車輪、車輪與地面之間的相互耦合，模型較為精確問題：如何描述各個質(zhì)量之間的相互耦合效應？多自由度系統(tǒng)振動2025年9月16日《振動力學》88教學內(nèi)容多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的自由振動頻率方程的零根和重根情形多自由度系統(tǒng)的受迫振動有阻尼的多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)振動2025年9月16日《振動力學》89作用力方程剛度矩陣和質(zhì)量矩陣位移方程和柔度矩陣質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)耦合與坐標變換多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)振動/動力學方程2025年9月16日《振動力學》90作用力方程幾個例子例1：雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，兩質(zhì)量分別受到激振力不計摩擦和其他形式的阻尼試建立系統(tǒng)的運動微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)振動/作用力方程2025年9月16日《振動力學》91解：取的靜平衡位置

坐標原點：設某一瞬時：上分別有位移加速度受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2m1m2k3k1k2x1(t)P1(t)P2(t)x2(t)達朗貝爾慣性力多自由度系統(tǒng)振動/作用力方程2025年9月16日《振動力學》92建立方程：矩陣形式：力量綱坐標間的耦合項P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2多自由度系統(tǒng)振動/作用力方程2025年9月16日《振動力學》93達朗貝爾（JeanLeRondAlembert,1717-1783）法國數(shù)學家和物理學家，他一出生就被母親遺棄在巴黎圣讓勒隆（SaintJeanLerond）教堂附近。1741年，他出版了著名的《動力學》一書，其中包含的一種方法就是后人熟知的達朗貝爾（D’Alembert）原理。達朗貝爾首次采用偏微分方程解決了弦的振動問題。他早期的輝煌成就使他成為法國科學院的終生秘書，該職位確保他成為法國最有影響力的科學家。多自由度系統(tǒng)振動/作用力方程2025年9月16日《振動力學》94例2：轉動運動兩圓盤轉動慣量軸的三個段的扭轉剛度試建立系統(tǒng)的運動微分方程外力矩多自由度系統(tǒng)振動/作用力方程2025年9月16日《振動力學》95解：建立坐標角位移設某一瞬時：角加速度受力分析：達朗貝爾慣性力偶多自由度系統(tǒng)振動/作用力方程2025年9月16日《振動力學》96建立方程：矩陣形式：坐標間的耦合項多自由度系統(tǒng)振動/作用力方程2025年9月16日《振動力學》97多自由度系統(tǒng)的角振動與直線振動在數(shù)學描述上相同如同在單自由度系統(tǒng)中所定義的，在多自由度系統(tǒng)中也將質(zhì)量、剛度、位移、加速度及力都理解為廣義的m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)振動/作用力方程2025年9月16日《振動力學》98小結：可統(tǒng)一表示為：例1：例2：作用力方程位移向量加速度向量質(zhì)量矩陣剛度矩陣激勵力向量若系統(tǒng)有n個自由度，則各項皆為

n

維矩陣或列向量多自由度系統(tǒng)振動/作用力方程上海交通大學工程力學系剛度矩陣和質(zhì)量矩陣蔡國平多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣多自由度系統(tǒng)振動/作用力方程將質(zhì)量、剛度、位移等都理解為廣義的，作用力方程：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)作用力方程2025年9月16日《振動力學》101n個自由度系統(tǒng):質(zhì)量矩陣第

j

列剛度矩陣第j

列廣義坐標列向量多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣2025年9月16日《振動力學》102剛度矩陣和質(zhì)量矩陣當M、K

確定后，系統(tǒng)動力方程可完全確定M、K

該如何確定？作用力方程：先討論K加速度為零假設外力是以準靜態(tài)方式施加于系統(tǒng)準靜態(tài)外力列向量靜力平衡多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣2025年9月16日《振動力學》103作用力方程：假設作用于系統(tǒng)的是這樣一組外力：它們使系統(tǒng)只在第j個坐標上產(chǎn)生單位位移，而在其他各個坐標上不產(chǎn)生位移

m1m2k3k1k2x1x2例如：F1F2即：多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣2025年9月16日《振動力學》104作用力方程：假設作用于系統(tǒng)的是這樣一組外力：它們使系統(tǒng)只在第j個坐標上產(chǎn)生單位位移，而在其他各個坐標上不產(chǎn)生位移

代入：多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣2025年9月16日《振動力學》105所施加的這組外力數(shù)值上正是剛度矩陣K

的第j列（i=1~n）：在第i

個坐標上施加的力考慮：這樣的外力列陣是否唯一？m1m2k3k1k2x1x2F1F2多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣2025年9月16日《振動力學》106所施加的這組外力數(shù)值上正是剛度矩陣K

的第j列（i=1~n）：在第i

個坐標上施加的力結論：剛度矩陣

K

中的元素kij

是使系統(tǒng)僅在第j個坐標上產(chǎn)生單位位移而相應于第

i個坐標上所需施加的力多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣2025年9月16日《振動力學》107結論：剛度矩陣

K

中的元素kij

是使系統(tǒng)僅在第j個坐標上產(chǎn)生單位位移而相應于第

i個坐標上所需施加的力第j個坐標產(chǎn)生單位位移剛度矩陣第j列系統(tǒng)剛度矩陣j=1~n確定多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣2025年9月16日《振動力學》108作用力方程：討論M√假設系統(tǒng)受到外力作用的瞬時，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生任何位移假設作用于系統(tǒng)的是這樣一組外力：它們使系統(tǒng)只在第j個坐標上產(chǎn)生單位加速度，而在其他各個坐標上不產(chǎn)生加速度

多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣2025年9月16日《振動力學》109這組外力正是質(zhì)量矩陣M

的第j列考慮：這樣的外力列陣是否唯一？m1m2k3k1k2x1x2F1F2多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣2025年9月16日《振動力學》110這組外力正是質(zhì)量矩陣M

的第j列結論：質(zhì)量矩陣

M中的元素是使系統(tǒng)僅在第j個坐標上產(chǎn)生單位加速度而相應于第i

個坐標上所需施加的力第j個坐標單位加速度質(zhì)量矩陣第j列系統(tǒng)質(zhì)量矩陣j=1~n確定多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣小結：建立動力學方程的影響系數(shù)法多自由度系統(tǒng)作用力方程：質(zhì)量矩陣

M

中的元素mij

是使系統(tǒng)僅在第j個坐標上產(chǎn)生單位加速度而相應于第i

個坐標上所需施加的力剛度矩陣

K

中的元素kij

是使系統(tǒng)僅在第j個坐標上產(chǎn)生單位位移而相應于第

i個坐標上所需施加的力剛度矩陣：質(zhì)量矩陣：靜態(tài)動態(tài)力的量綱上海交通大學工程力學系剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)蔡國平多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)剛度矩陣和質(zhì)量矩陣建立動力學方程的影響系數(shù)法多自由度系統(tǒng)：質(zhì)量矩陣

M

中的元素mij

是使系統(tǒng)僅在第j個坐標上產(chǎn)生單位加速度而相應于第i

個坐標上所需施加的力剛度矩陣

K

中的元素kij

是使系統(tǒng)僅在第j個坐標上產(chǎn)生單位位移而相應于第

i個坐標上所需施加的力剛度矩陣：質(zhì)量矩陣：靜態(tài)動態(tài)2025年9月16日《振動力學》114例：寫出M

、

K

及運動微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考慮靜態(tài)令使m1產(chǎn)生單位位移所需施加的力：

保持m2不動所需施加的力：保持m3不動所需施加的力：只使m1產(chǎn)生單位位移，m2

和

m3不動在三個質(zhì)量上施加力能夠使得系統(tǒng)剛度矩陣第一列多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)2025年9月16日《振動力學》115m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)剛度矩陣：解：先只考慮靜態(tài)令使m1產(chǎn)生單位位移所需施加的力：

保持m2不動所需施加的力：保持m3不動所需施加的力：只使m1產(chǎn)生單位位移，m2

和

m3不動多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)例：寫出M

、

K

及運動微分方程2025年9月16日《振動力學》116m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考慮靜態(tài)在三個質(zhì)量上施加力能夠使得系統(tǒng)剛度矩陣第二列令使m2產(chǎn)生單位位移所需施加的力：

保持m1不動所需施加的力：保持m3不動所需施加的力：只使m2產(chǎn)生單位位移，m1

和

m3不動多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)例：寫出M

、

K

及運動微分方程2025年9月16日《振動力學》117m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)剛度矩陣：解：先只考慮靜態(tài)令使m2產(chǎn)生單位位移所需施加的力：

保持m1不動所需施加的力：保持m3不動所需施加的力：只使m2產(chǎn)生單位位移，m1

和

m3不動多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)例：寫出M

、

K

及運動微分方程2025年9月16日《振動力學》118m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考慮靜態(tài)在三個質(zhì)量上施加力能夠使得系統(tǒng)剛度矩陣第三列令使m3產(chǎn)生單位位移所需施加的力：

保持m2不動所需施加的力：保持m1不動所需施加的力：只使m3產(chǎn)生單位位移，m1

和

m2不動多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)例：寫出M

、

K

及運動微分方程2025年9月16日《振動力學》119m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)剛度矩陣：解：先只考慮靜態(tài)令使m3產(chǎn)生單位位移所需施加的力：

保持m2不動所需施加的力：保持m1不動所需施加的力：只使m3產(chǎn)生單位位移，m1

和

m2不動多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)例：寫出M

、

K

及運動微分方程2025年9月16日《振動力學》120m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考慮靜態(tài)

剛度矩陣：令令令多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)例：寫出M

、

K

及運動微分方程2025年9月16日《振動力學》121只考慮動態(tài)m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)只使m1產(chǎn)生單位加速度，m2和m3加速度為零所需施加的力：所需施加的力：在三個質(zhì)量上施加力能夠使得系統(tǒng)質(zhì)量矩陣第一列m1產(chǎn)生單位加速度瞬時，m2和m3尚沒反應令多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)2025年9月16日《振動力學》122m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)質(zhì)量矩陣：只考慮動態(tài)只使m1產(chǎn)生單位加速度，m2和m3加速度為零所需施加的力：所需施加的力：m1產(chǎn)生單位加速度瞬時，m2和m3尚沒反應令多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)2025年9月16日《振動力學》123同理m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)令多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)2025年9月16日《振動力學》124同理m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)令多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)2025年9月16日《振動力學》125有：有：有：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)質(zhì)量矩陣：令令令多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)2025年9月16日《振動力學》126運動微分方程：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)外力列陣矩陣形式：多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)2025年9月16日《振動力學》127例：雙混合擺質(zhì)心繞通過自身質(zhì)心的z軸的轉動慣量求：以微小轉角為坐標，寫出在x-y平面內(nèi)擺動的作用力方程兩剛體質(zhì)量h1C1C2h2lxy多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)2025年9月16日《振動力學》128受力分析h1C1C2h2lxy問：剛體2的轉角是相對于剛體1的、還是相對于參考基的？剛體上給定點的加速度：xyAC2C1多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)2025年9月16日《振動力學》129解：先求質(zhì)量影響系數(shù)令yh1C1C2h2lx下擺對A取矩：整體對B取矩：AB則需要在兩桿上施加力矩為什么不考慮重力和向心力？實際鉛垂xy多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)2025年9月16日《振動力學》130AByh1C1C2h2lx下擺對A取矩：整體對B取矩：令則需要在兩桿上施加力矩xy多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)2025年9月16日《振動力學》131令令質(zhì)量矩陣：多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)2025年9月16日《振動力學》132求剛度影響系數(shù)由于恢復力是重力，所以實際上是求重力影響系數(shù)令yh1C1C2h2lxAB則需要在兩桿上施加力矩下擺對A取矩：整體對B取矩：xy多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)2025年9月16日《振動力學》133令AByh1C1C2h2lx則需要在兩桿上施加力矩下擺對A取矩：整體對B取矩：xy多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)2025年9月16日《振動力學》134令剛度矩陣：令多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)2025年9月16日《振動力學》135運動微分方程：yh1C1C2h2lx多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(I)上海交通大學工程力學系剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(II)多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(II)2025年9月16日《振動力學》137例：求：以微小轉角為坐標，寫出微擺動的運動學方程每桿質(zhì)量m桿長度l水平彈簧剛度k彈簧距離固定端akaO1O2雙剛體桿多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(II)2025年9月16日《振動力學》138解：令：則需要在兩桿上施加力矩分別對兩桿O1、O2

求矩：令：則需要在兩桿上施加力矩分別對兩桿O1、O2

求矩：aO1O2aO1O2多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(II)2025年9月16日《振動力學》139剛度矩陣：aO1O2aO1O2多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(II)2025年9月16日《振動力學》140令：則需要在兩桿上施加力矩令：則需要在兩桿上施加力矩質(zhì)量矩陣：aO1O2kaO1O2k多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(II)2025年9月16日《振動力學》141運動學方程：kaO1O2多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(II)2025年9月16日《振動力學》142例：兩自由度系統(tǒng)擺長

l，無質(zhì)量，微擺動求：運動微分方程xm1k1k2多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(II)2025年9月16日《振動力學》143解：剛度矩陣令：x方向力平衡A點力矩平衡m1k1k2剛度矩陣第一列：需要施加的力和矩Ax靜態(tài)平衡受力：彈性力重力多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(II)2025年9月16日《振動力學》144令：x方向力平衡A點力矩平衡剛度矩陣第二列：需要施加的力和矩m1k1k2Ax多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(II)2025年9月16日《振動力學》145xm1k1k2剛度矩陣第一列：剛度矩陣第二列：系統(tǒng)剛度矩陣：多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(II)2025年9月16日《振動力學》146質(zhì)量矩陣令：瞬時動態(tài)慣性力m1k1k2慣性力需要施加的力和矩質(zhì)量塊加速度達朗貝爾慣性力桿加速度分析ABA點加速度B為桿上定點加速度達朗貝爾慣性力多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(II)2025年9月16日《振動力學》147求解質(zhì)量矩陣慣性力m1k1k2慣性力A系統(tǒng)水平方向力平衡桿對A點力矩平衡多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(II)2025年9月16日《振動力學》148令：m1k1k2m1k1k2慣性力慣性力AB達朗貝爾慣性力多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(II)2025年9月16日《振動力學》149m1k1k2慣性力慣性力m1k1k2達朗貝爾慣性力水平方向力平衡：桿A點力矩平衡：多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(II)2025年9月16日《振動力學》150質(zhì)量矩陣：xm1k1k2剛度矩陣：運動微分方程：多自由度系統(tǒng)振動/剛度矩陣和質(zhì)量矩陣算例(II)線性振動的近似計算方法振動力學CAI2025年9月16日《振動力學》152－在線性多自由度系統(tǒng)振動中，振動問題歸結為剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的廣義特征值問題缺點之一：當系統(tǒng)自由度較大時，求解計算工作量非常大－本章介紹幾種近似計算方法，可作為實用的工程計算方法對系統(tǒng)的振動特性作近似計算鄧克利法，瑞利法，里茲法，傳遞矩陣法線性振動的近似計算方法2025年9月16日《振動力學》153鄧克利法-由鄧克利（Dunkerley）在實驗確定多圓盤的橫向振動固有頻率時提出的-便于作為系統(tǒng)基頻的計算公式自由振動作用力方程：位移方程：D=FM系統(tǒng)動力矩陣：作用力方程特征值問題：位移方程的特征值問題：線性振動的近似計算方法/鄧克利法F=K-12025年9月16日《振動力學》154特征值：位移方程的最大特征根對應第一階固有頻率位移方程的特征方程：例如：線性振動的近似計算方法/鄧克利法（D=FM）2025年9月16日《振動力學》155當M

為對角陣時：特征方程又可寫為：可得：物理意義：沿第i

個坐標施加單位力時所產(chǎn)生的第i

個坐標的位移線性振動的近似計算方法/鄧克利法D=FM柔度系數(shù)，對角元特征根2025年9月16日《振動力學》156如果只保留第i

個質(zhì)量，所得單自由度系統(tǒng)的固有頻率：例如：兩自由度系統(tǒng)（1）只保留m1

時柔度矩陣：（2）只保留m2時m1k1k2m2m1k1m2k1k2線性振動的近似計算方法/鄧克利法2025年9月16日《振動力學》157如果只保留第i

個質(zhì)量，所得單自由度系統(tǒng)的固有頻率為：當?shù)诙A及以上固有頻率遠大于基頻時：鄧克利法利用單自由度固有頻率近似求解多自由度系統(tǒng)基頻的方法線性振動的近似計算方法/鄧克利法2025年9月16日《振動力學》158解釋：因在鄧克利法中忽略了a，因此所得結果為基頻下限得到的基頻是精確值的下限線性振動的近似計算方法/鄧克利法2025年9月16日《振動力學》159例：三自由度系統(tǒng)常規(guī)方法：鄧克利法：當m1

單獨存在時當m2

單獨存在時當m3

單獨存在時鄧克利法公式：mmkk2m2k線性振動的近似計算方法/鄧克利法2025年9月16日《振動力學》160上海交通大學工程力學系瑞利法蔡國平振動力學線性振動的近似計算方法/瑞利法2025年9月16日《振動力學》161瑞利法線性振動的近似計算方法/瑞利法瑞利（JoinWilliamStrutt,LordRayleigh,1842-1919

）英國物理學家，曾任劍橋大學實驗物理學教授，倫敦皇家學院自然哲學教授，英國皇家協(xié)會主席和劍橋大學名譽校長。瑞利對光學和聲學的研究是廣為人知的，即使在今天，其于1877年出版的《聲的原理》（TheoryofSound）一書仍被認為是一流的著作。其提出的計算振動物體固有頻率的近似方法被稱為瑞利法。曾與WilliamRamsay合作發(fā)現(xiàn)元素氬(elementargon)，這一成就使其贏得1904年諾貝爾物理獎；他還發(fā)現(xiàn)了瑞利散射現(xiàn)象，該發(fā)現(xiàn)可以解釋天空為什么是藍色的；他也預測了面波的存在，這就是今天熟知的瑞利波。2025年9月16日《振動力學》162瑞利法-基于能量原理的一種近似方法-可用于計算系統(tǒng)的基頻算出的近似值為實際基頻的上限-配合鄧克利法算出的基頻下限，可以估計實際基頻的大致范圍n

自由度保守系統(tǒng)：機械能守恒主振動：動能與勢能：最大值：瑞利商線性振動的近似計算方法/瑞利法2025年9月16日《振動力學》163瑞利商可以證明，和分別為瑞利商的極小值和極大值線性振動的近似計算方法/瑞利法真實固有頻率為真實振型：當非真實振型，展成n

個正則振型的線性組合：非真實固有頻率2025年9月16日《振動力學》164分析：換為是最低階固有頻率

由瑞利商公式知，當確為第一階振型時：因此，瑞利商的極小值為同理可證明，瑞利商的極大值為線性振動的近似計算方法/瑞利法2025年9月16日《振動力學》165如果接近第k階真實振型比起

ak

，其它系數(shù)很小線性振動的近似計算方法/瑞利法代入瑞利商，得：2025年9月16日《振動力學》166線性振動的近似計算方法/瑞利法解釋：例如k＝1約去a1分子上加減1項2025年9月16日《振動力學》167因此，若與的差異為一階小量，則瑞利商與的差別為二階小量對于基頻的特殊情況，令k＝1，則由于瑞利商在基頻處取極大值利用瑞利商估計系統(tǒng)的基頻所得的結果必為實際基頻的上限愈接近系統(tǒng)的真實振型，算出的固有頻率愈準確線性振動的近似計算方法/瑞利法2025年9月16日《振動力學》168解釋：因為利用瑞利商估計系統(tǒng)的基頻所得的結果必為實際基頻的上限愈接近系統(tǒng)的真實振型，算出的固有頻率愈準確例如k＝1瑞利商：所以得證!線性振動的近似計算方法/瑞利法2025年9月16日《振動力學》169例：三自由度系統(tǒng)鄧克利法，基頻：在2m上施加力所產(chǎn)生的“靜變形曲線”作為近似第一階主振型：瑞利商公式：與精確值相比，相對誤差1.34%mmkk2m2k線性振動的近似計算方法/瑞利法常規(guī)方法：連續(xù)系統(tǒng)的振動振動力學CAI2025年9月16日《振動力學》171－實際振動系統(tǒng)都是連續(xù)體，具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，又稱連續(xù)系統(tǒng)或分布參數(shù)系統(tǒng)－確定連續(xù)體上無數(shù)質(zhì)點的位置需要無限多個坐標，因此連續(xù)體是具有無限多自由度的系統(tǒng)－連續(xù)體的振動要用時間和空間坐標的函數(shù)來描述，其運動方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是二階常微分方程組，它是偏微分方程－在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒有什么差別，連續(xù)體振動的基本概念與分析方法與有限多自由度系統(tǒng)是完全類似的教學內(nèi)容一維波動方程梁的彎曲振動集中質(zhì)量法假設振型法模態(tài)綜合法有限元法振動力學

CAI連續(xù)系統(tǒng)的振動2025年9月16日《振動力學》173（1）本章討論的連續(xù)體都假定為線性彈性體，即在彈性范圍內(nèi)服從虎克定律假設（2）材料均勻連續(xù)；各向同性（3）振動為微振2025年9月16日《振動力學》174一維波動方程動力學方程固有頻率和振型函數(shù)主振型的正交性桿的縱向強迫振動連續(xù)系統(tǒng)的振