§10.2隨機事件與概率知識梳理一、隨機事件必然現(xiàn)象在一定條件下，發(fā)生的結(jié)果事先能夠確定的現(xiàn)象隨機現(xiàn)象發(fā)生的結(jié)果事先不能確定的現(xiàn)象隨機試驗把在相同條件下，對隨機現(xiàn)象進行的觀察試驗必然事件在一定條件下必然會發(fā)生的事件不可能事件在一定條件下不可能會發(fā)生的事件隨機事件在一定條件下可能會發(fā)生也可能不會發(fā)生的事件基本事件如果在一次試驗中，一共可能出現(xiàn)n個結(jié)果，那么每一個結(jié)果都叫作一個基本事件.復(fù)合事件包含若干基本事件的事件叫作復(fù)合事件頻率在相同條件下進行n次試驗，事件A發(fā)生的次數(shù)m(0≤m≤n)叫作事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值

叫作事件A發(fā)生的頻率二、古典概型1.樣本點與樣本空間：（1）樣本點：隨機試驗中每一種可能出現(xiàn)的結(jié)果，都稱為樣本點，常用小寫希臘字母

表示.（2）樣本空間：所有樣本點組成的集合稱為樣本空間，常用大寫希臘字母

表示.2.古典概型：如果一個隨機試驗具有如下性質(zhì)：

（1）有限性：樣本空間的樣本點總數(shù)有限；

（2）等可能性：每次試驗中，樣本空間中的各個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，稱這樣的隨機試驗?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判停?.概率計算公式：對于古典概型，若隨機試驗的樣本空間

包含的樣本點總數(shù)為n，事件A包含的樣本點個數(shù)為m，則事件A發(fā)生的概率為

三、概率的簡單性質(zhì)1.事件的關(guān)系和運算并事件交事件互斥事件對立事件獨立事件當(dāng)事件C發(fā)生則事件A與事件B中至少有一個發(fā)生時，稱事件C為事件A與事件B的并事件(或和事件),記作(或A+B）事件A與B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中,也在事件B中,稱這樣的一個事件為事件A與B的交事件(或積事件)記作

（或AB)在一次試驗中不可能同時發(fā)生的兩個事件叫作互斥事件在一次試驗中必有一個發(fā)生的兩個互斥事件叫作對立事件．事件A的對立事件記為對任意兩個事件A與B，如果

成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱獨立2.概率的簡單性質(zhì)：(1）必然事件的概率為1,即P(Ω)=1;(2)不可能事件的概率為0,即P(?)=0;(3)任何事件A,有0≤P(A)≤1;(4)如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B);(5)如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B);例1.下列現(xiàn)象是必然現(xiàn)象的是(____)A.某路口每星期發(fā)生交通事故1次B.冰水混合物的溫度是1℃C.三角形的內(nèi)角和為180°D.一個射擊運動員每次射擊都命中7環(huán)【解析】對于選項A：某路口每星期發(fā)生交通事故1次，這個事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，為隨機現(xiàn)象，故A錯誤；對于選項B：理想狀態(tài)下冰水混合物的溫度應(yīng)是0℃，這個事件為不可能現(xiàn)象，故B錯誤；對于選項C：三角形的內(nèi)角和為180°，這個事件為必然現(xiàn)象，故C正確；對于選項D：一個射擊運動員每次射擊都命中7環(huán)，這個事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，為隨機現(xiàn)象，故D錯誤．故選：C．C題型一：判斷必然事件、不可能事件、隨機事件應(yīng)用賦能1.下列事件中：①明天會下雨；②一個班(40人)里有兩人的生日在同一天；③從裝著紅球和黑球的袋子里摸出白球；④太陽東升西落．不可能事件的個數(shù)為(____)A.1B.2C.3D.4【解析】必然事件：在一定條件下，一定會發(fā)生的事件稱為必然事件；不可能事件：在一定條件下，一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件；隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件，故①明天會下雨是隨機事件；②一個班(40人)里有兩人的生日在同一天，是隨機事件；③從裝著紅球和黑球的袋子里摸出白球，是不可能事件；④太陽東升西落．是必然事件，故不可能事件的個數(shù)為1個．故選：A．A【提質(zhì)訓(xùn)練】2.現(xiàn)有10個同類產(chǎn)品，其中7個是正品，3個是次品．有以下事件：從這10個產(chǎn)品中任意抽取4個產(chǎn)品，①4個產(chǎn)品都是正品；②至少有1個次品；③4個產(chǎn)品都是次品；④至少有1個正品．其中隨機事件為____，不可能事件為____，必然事件為____．(填序號)【解析】10個同類產(chǎn)品，其中7個是正品，3個是次品，從中任意抽取4個產(chǎn)品，則至少有一個是正品，故④為必然事件，而不可能4個產(chǎn)品都是次品，故③為不可能事件，可能會4個產(chǎn)品都是正品，可能會至少有1個次品，所以①②是隨機事件．故答案為：①②；③；④．①②③④例1.對某班一次測驗成績進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示．若從該班學(xué)生中，隨機抽取一名，求：分?jǐn)?shù)段[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻率0.030.040.170.360.250.15(1)他的這次測驗成績在區(qū)間[80，100]上的概率；(2)他的這次測驗成績在區(qū)間[60，100]上的概率．【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)可知，他的這次測驗成績在區(qū)間[80，100]上的概率為0.25+0.15=0.4；(2)由表中數(shù)據(jù)可知，他的這次測驗成績在區(qū)間[60，100]上的概率為0.17+0.36+0.25+0.15=0.93．題型二：頻率與概率1.在某次射擊比賽中，運動員A在決賽中以0.2環(huán)的微弱優(yōu)勢戰(zhàn)勝了運動員B，摘得該項目的金牌．如表是兩人在參賽前訓(xùn)練中擊中10環(huán)以上的次數(shù)統(tǒng)計：射擊次數(shù)n102050100200500A擊中10環(huán)以上的次數(shù)9174492179450擊中10環(huán)以上的頻率B擊中10環(huán)以上的次數(shù)8194493177453擊中10環(huán)以上的頻率請根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)回答以下問題：(1)分別計算出兩位運動員擊中10環(huán)以上的頻率；【提質(zhì)訓(xùn)練】(2)根據(jù)(1)中計算的結(jié)果預(yù)測兩位運動員在比賽中每次擊中10環(huán)以上的概率．【解析】(1)填表如下．射擊次數(shù)n102050100200500甲擊中10環(huán)以上的次數(shù)9174492179450甲擊中10環(huán)以上的頻率0.90.850.880.920.8950.9射擊次數(shù)n102050100200500乙擊中10環(huán)以上的次數(shù)8194493177453乙擊中10環(huán)以上的頻率0.80.950.880.930.8850.906(2)由(1)中的數(shù)據(jù)可以看到，兩名運動員擊中10環(huán)以上的頻率都趨向于0.9這個數(shù)，所以預(yù)測兩名運動員擊中10環(huán)以上的概率都是0.9．2.研究“擲一枚圖釘，針尖朝上”的概率，兩個小組用同一枚圖釘做試驗，得到數(shù)據(jù)如表：擲圖釘?shù)拇螖?shù)50100200300400針尖朝上的次數(shù)第一小組233979121160第二小組244181124164(1)請估計第一小組和第二小組得到的圖釘針尖朝上的概率分別是多少；(2)你認(rèn)為哪一個小組得到的結(jié)果更準(zhǔn)確？為什么？【解析】解：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，第一小組得到的圖釘針尖朝上的頻率在0.4附近波動，第二小組得到的圖釘針尖朝上的頻率在0.41附近波動，由此進行估計，第一小組、第二小組得到的圖釘針尖朝上的概率分別約為0.4和0.41．(2)不能判斷哪個小組得到的結(jié)果更準(zhǔn)確．因為兩個小組都分別做了5組試驗，每組試驗的次數(shù)都分別相同，所得針尖朝上的頻率也分別相近，且兩個小組的試驗總次數(shù)相同，所得針尖朝上的頻率也相近，再加上試驗的數(shù)據(jù)可能有誤差，因此，不能確定哪個小組得到的結(jié)果更準(zhǔn)確．

C題型三：計算古典概型概率

例2.一個不透明的袋子中裝有除顏色外完全相同的5個球，其中有3個紅球，編號分別為A，B，C，有2個黑球，編號分別為D，E，從中一次摸取1個球，取后不放回，連續(xù)取兩次．(1)試寫出該試驗的樣本空間；(2)設(shè)事件M：“第一次摸到紅球”，事件N：“第二次摸到黑球”，求事件M和事件N發(fā)生的概率．【解析】解：(1)由題意得，試驗從中一次摸取1個球，取后不放回，連續(xù)取兩次的樣本空間為：{AB，AC，AD，AE，BA，BC，BD，BE，CA，CB，CD，CE，DA，DB，DC，DE，EA，EB，EC，ED}；

1.箱子里有3雙不同的手套，分別用A1，A2，B1，B2，C1，C2表示六只手套，從中隨機拿出2只，記事件A={拿出的手套不能配對}，事件B={拿出的都是同一只手上的手套}，(1)寫出該試驗的樣本空間；(2)說出事件A、事件B的關(guān)系及A，B發(fā)生的概率．【解析】(1)依題意，樣本空間為Ω={A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2}．【提質(zhì)訓(xùn)練】

(2)事件A={A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}，2.一個盒子中裝有號碼為1，2，…，7的7張標(biāo)簽，現(xiàn)分別按如下兩種方式隨機地取出兩張標(biāo)簽：(1)標(biāo)簽的選取是不放回的；(2)標(biāo)簽的選取是放回的．分別求出上述兩種情況下兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰數(shù)的概率．【解析】(1)由題意知本題是一個等可能事件的概率，無放回地從7張標(biāo)簽隨機地選取兩張標(biāo)簽的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{1，7}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{2，7}{3，4}，{3，5}，{3，6}，{3，7}，{4，5}，{4，6}，{4，7}，{5，6}，{5，7}，{6，7}共有21個結(jié)果，

例1.在10件產(chǎn)品中有3件次品，從中選3件．下列各種情況是互斥事件的有(____)①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件為次品”②A：“所取3件中有一件為次品”，B：“所取3件中有二件次品”；③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件為次品”④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”A.①③B.②③C.②④D.③④B題型四：判斷互斥事件、對立事件【解析】在10件產(chǎn)品中有3件次品，從中選3件，∵所取3件中至多2件次品與所取3件中至少2件為次品，兩個事件中都包含2件次品，∴①中的兩個事件不是互斥事件．∵所取3件中有一件為次品與所取3件中有二件為次品是互斥事件，∴②中的兩個事件是互斥事件．∵所取3件中全是正品與所取3件中至少有一件為次品是不能同時發(fā)生的，∴③中的兩個事件是互斥事件故選：B．1.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記隨機事件：E=“點數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)=“點數(shù)為偶數(shù)”，G=“點數(shù)大于2”，H=“點數(shù)小于2”，R=“點數(shù)為3”．則下列結(jié)論不正確的是(____)A.E，F(xiàn)為對立事件B.G，H為互斥不對立事件C.E，G不是互斥事件D.G，R是互斥事件【解析】點數(shù)為奇數(shù)與點數(shù)為偶數(shù)不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，∴E，F(xiàn)是對立事件，故A正確；點數(shù)大于2與點數(shù)小于2不可能同時發(fā)生，且不是必有一個發(fā)生，G，H為互斥且不對立事件，故B正確；點數(shù)為奇數(shù)與點數(shù)大于2可能同時發(fā)生，E，G不互斥，故C正確；點數(shù)大于2與點數(shù)為3可能同時發(fā)生，G，R為不互斥事件，故D錯誤．D【提質(zhì)訓(xùn)練】2.不透明盒子中裝有除顏色外完全相同的2個紅球、2個白球，現(xiàn)從盒子里隨機取2個球．記事件M：至少一個紅球，事件N：一個紅球一個白球，則下列說法正確的是(____)A.M+N=NB.M∩N=NC.M與N互斥D.M與N獨立【解析】根據(jù)題意，記事件M：至少一個紅球，則M包含的情況有：一個紅球與一個白球，兩個紅球兩種情況，事件N：一個紅球一個白球，則M+N=M，M與N不互斥，P(MN)≠P(M)P(N)，則M與N不獨立，則M∩N=N．故選：B．B例1.拋擲一枚均勻的骰子(骰子的六個面上分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6個點)一次，觀察擲出向上的點數(shù)，設(shè)事件A為擲出向上為偶數(shù)點，事件B為擲出向上為3點，則P(A∪B)=(____)B題型五：互斥事件的概率加法公式

A【提質(zhì)訓(xùn)練】

A

例1.甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼．已知甲能破譯的概率為0.8，乙能破譯的概率為0.6，則甲、乙兩人都成功破譯的概率為(____)A.0.92B.0.48C.0.52D.0.08【解析】根據(jù)題意，設(shè)事件A=“甲破譯密碼”，B=“乙破譯密碼”，事件A、B相互獨立，P(A)=0.8，P(B)=0.6，則P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.6=0.48．故甲、乙兩人都成功破譯的概率為0.48．B題型六：獨立事件同時發(fā)生的概率

A

【提質(zhì)訓(xùn)練】2.甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，若甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則下列結(jié)論正確的為(____)A.兩人都中靶的概率為0.18B.恰好有一人中靶的概率為0.18C.兩人都脫靶的概率為0.14D.恰好有一人脫靶的概率為0.26【解析】解：∵甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，∴兩人都中靶的概率為0.8×0.9=0.72，∴A錯誤；∴恰好有一人中靶的概率為0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.26，∴B錯誤；∴兩人都脫靶的概率為(1-0.8)×(1-0.9)=0.0