專題20直線方程應(yīng)用目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：斜率幾何意義 1題型二：傾斜角范圍最值 2題型三：函數(shù)值域型求傾斜角 3題型四：直線方向向量 4題型五：含參直線過定點 5題型六：雙直線含參型定圓 6題型七：截距式應(yīng)用 6題型八：直線一般式方程理論 7題型九：直線光學(xué)性質(zhì) 8題型十：兩點距離公式應(yīng)用 10題型十一：平行線應(yīng)用 10題型十二：對稱：“將軍飲馬”型最值 11題型十三：絕對值型 12題型十四：對稱：疊紙型 13題型一：斜率幾何意義斜率型分式幾何意義斜率型分式幾何意義若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).。若滿足1．（24-25高二上·江西撫州·階段練習）“太極圖”因其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”.圖中曲線為圓或半圓，已知點Px,y是陰影部分（包括邊界）的動點.則的最小值為（A． B． C． D．12．（20-21高一下·遼寧大連·期中）設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則（

）A．， B．，C．， D．，3．（2024高二·全國·專題練習）已知函數(shù)，且，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．4．（2023·黑龍江哈爾濱·二模）點在函數(shù)的圖象上，當，則可能等于（

）A．-1 B． C． D．05．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習）已知實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是．題型二：傾斜角范圍最值斜率與傾斜角關(guān)系是正切圖像斜率與傾斜角關(guān)系是正切圖像由正切圖象可以看出：①當α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，斜率k∈[0，＋∞)且隨著α增大而增大；②當α＝eq\f(π,2)時，斜率不存在，但直線存在； ③當α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時，斜率k∈(－∞，0)且隨著α增大而增大．1．（24-25高二上·安徽滁州·階段練習）過，兩點的直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·重慶·階段練習）設(shè)直線l的方程為（），則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（24-25高二上·河北唐山·階段練習）設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·河北石家莊·階段練習，多選）下列說法正確的是（

）A．直線的傾斜角的取值范圍是B．函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為C．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是D．若事件A與事件B相互獨立，且，，則5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，分別是雙曲線的上、下焦點，過點且與軸垂直的直線與的一條漸近線相交于點，且在第四象限，四邊形為平行四邊形．若直線的傾斜角，則的離心率的取值范圍是．題型三：函數(shù)值域型求傾斜角斜率與傾斜角的關(guān)系，可以通過正切函數(shù)來對應(yīng)由正切圖象可以看出：①當α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，斜率k∈[0，＋∞)且隨著α增大而增大；當α＝eq\f(π,2)時，斜率不存在，但直線存在； 當α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時，斜率k∈(－∞，0)且隨著α增大而增大．1．（24-25高二上·浙江·階段練習）已知，，直線：上存在點P，滿足，則的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024高三·全國·專題練習）將函數(shù)的圖象繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)（為銳角），若所得曲線仍是一個函數(shù)的圖象，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·河北·階段練習）已知分別是雙曲線的上?下焦點，經(jīng)過點且與軸垂直的直線與的一條漸近線相交于點，且在第四象限，四邊形為平行四邊形，若的離心率的取值范圍是，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（21-22高三上·遼寧鐵嶺·期末，多選）已知直線與拋物線交于，兩點，為拋物線的焦點，若，則直線的傾斜角可能為（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·湖南長沙·階段練習）直線的傾斜角的取值范圍是.6．（22-23高三下·上?！るA段練習）已知曲線，點，是曲線上任意兩個不同點，若，則稱，兩點心有靈犀，若，始終心有靈犀，則的最小值的正切值．題型四：直線方向向量與直線與直線l平行的非零向量V?都稱為l的方向向量,用它們來表示直線的方向.斜率為k的直線的方向向量為(1,k)的非零實數(shù)倍.1．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習已知是互相垂直的單位向量，若直線和的方向向量分別為，則和所成的角的余弦值為（

）A．0 B． C． D．2．（2024·安徽蕪湖·二模）已知直線l：與曲線W：有三個交點D、E、F，且，則以下能作為直線l的方向向量的坐標是（

）．A． B． C． D．3．（23-24高二上·安徽黃山·期中）已知直線l的一個方向向量為，直線l的傾斜角為，則的值為（

）A． B．0 C． D．24．（23-24高二上·福建三明·期中，多選）下列說法正確的是（

）A．直線：在y軸上的截距為2B．直線的方向向量為C．經(jīng)過點，且在x，y軸上截距相等的直線方程為D．已知直線過點，且與x，y軸正半軸交于點A、B兩點，則面積的最小值為45．（2023·四川德陽·一模）已知實數(shù)成公差非零的等差數(shù)列，集合，，若，則的最大值為.題型五：含參直線過定點直線系：過A直線系：過A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線可設(shè)：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.所以，含參直線，可以通過分離構(gòu)造方程組解出定點1．（24-25·全國·模擬）以直線恒過的定點為圓心，半徑為的圓的方程為（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·湖南長沙·階段練習）無論為何值，直線過定點（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·河北石家莊·階段練習）已知點，若直線與線段AB（含端點）有公共點，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（24-25高二上·浙江杭州·階段練習，多選）已知圓，直線，則（

）A．直線恒過定點B．直線l與圓C有兩個交點C．當時，圓C上恰有四個點到直線的距離等于1D．圓C與圓恰有三條公切線5．（23-24高二下·廣東清遠·階段練習）如果直線和曲線恰有一個交點，那么實數(shù)的取值范圍是.題型六：雙直線含參型定圓如果兩條直線都有參數(shù)，則兩條直線可能存在“動態(tài)”垂直。則直線交點必在定點線段為直徑的圓上。如果兩條直線都有參數(shù)，則兩條直線可能存在“動態(tài)”垂直。則直線交點必在定點線段為直徑的圓上。1.每一條直線都可以通過“直線系”得到直線過定點。2.兩條動直線如果所含參數(shù)字母是一致的，則可以分別求出各自斜率，通過斜率之積是否是-1，確定兩條直線是否互相“動態(tài)垂直”。3.如果兩條動直線“動態(tài)垂直”，則兩直線交點必在兩條直線所過定點為直徑的圓上。4.如果兩條動直線交點在對應(yīng)的兩直線所過定點為直徑的圓上，則可以通過設(shè)角，三角代換，進行線段的最值求解計算1．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測）已知m，，，記直線與直線的交點為P，點Q是圓C：上的一點，若PQ與C相切，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·全國·二模）已知直線與直線相交于點，且點到點的距離等于1，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．3．（24-25高二上·福建三明·階段練習）已知直線：與直線：交于點A，若點，則AB的最小值為（

）A． B．2 C． D．4．（22-23高二上·福建莆田·階段練習，多選）已知，若過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點P（P與A，B不重合），則下列結(jié)論中正確的是（

）A．A點的坐標為 B．點P的軌跡方程C． D．的最大值為5．（2024高二上·江蘇·專題練習）設(shè)，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的取值范圍是.題型七：截距式應(yīng)用直線的截距和直線方程的截距式，關(guān)鍵有兩點：直線的截距和直線方程的截距式，關(guān)鍵有兩點：1.要注意截距為零的情況，2.在截距不為零時，轉(zhuǎn)化求解1．（22-23高三·重慶·模擬）記函數(shù)在點處的切線為，若直線在軸上的截距恒小于，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．2．（19-20高一·云南普洱·階段練習）過點在兩坐標軸上的截距都是非負整數(shù)的直線有多少條（

）A．4 B．5 C．6 D．73．（22-23高三·上海模擬）過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或4．（23-24高二上·廣東惠州·期中，多選）下列說法正確的有（

）A．直線的傾斜角為B．直線必過定點C．方程與方程表示同一條直線D．經(jīng)過點，且在軸上截距相等的直線方程為5．（22-23高三·內(nèi)蒙古赤峰·模擬）已知過點的直線L在兩坐標軸上的截距均為正值，當兩截距之和最小時，求直線L的方程為．題型八：直線一般式方程理論直線系型：直線系型：(1)平行線系：與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為：Ax＋By＋m＝0(m≠C)；(2)垂直線系：與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設(shè)為：Bx－Ay＋n＝0；(3)交點線系：過A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線可設(shè)：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.1．（22-23高二上·上海浦東新·）在平面直角坐標系內(nèi)，設(shè)，為不同的兩點，直線l的方程為，，下面四個命題中的假命題為（

）A．存在唯一的實數(shù)δ，使點N在直線上B．若，則過M，N兩點的直線與直線l平行C．若，則直線經(jīng)過線段M，N的中點；D．若，則點M，N在直線l的同側(cè)，且直線l與線段M，N的延長線相交；2．（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，則關(guān)于和的方程組的解的情況，下列說法正確的是（

）A．無論，，如何，總是無解B．無論，，如何，總有唯一解C．存在，，，使是方程組的一組解D．存在，，，使之有無窮多解3．（21-22高三·全國·模擬）若點是直線和的公共點，則相異兩點和所確定的直線方程是（）A． B．C． D．4．（22-23高三·黑龍江哈爾濱·模擬，多選）已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點，則關(guān)于：和：的交點情況說法錯誤的是（

）A．存在、、使之無交點B．存在、、使之有無窮多交點C．無論、、如何，總是無交點D．無論、、如何，總是唯一交點5．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）下列關(guān)于直線方程的說法正確的是.①直線的傾斜角可以是；②直線l過點，并且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為；③過點的直線的直線方程還可以寫成；④經(jīng)過，兩點的直線方程可以表示為.題型九：直線光學(xué)性質(zhì)直線光學(xué)性質(zhì)，即直線對稱性質(zhì)直線光學(xué)性質(zhì)，即直線對稱性質(zhì)關(guān)于軸對稱問題：（1）點關(guān)于直線的對稱點，則有；（2）直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決.1．（22-23·福建廈門·模擬）在直角坐標系中，全集，集合，已知集合A的補集所對應(yīng)區(qū)域的對稱中心為M，點P是線段（，）上的動點，點Q是x軸上的動點，則周長的最小值為（

）A．24 B． C．14 D．2．（19-20·江蘇無錫·期中）如圖，已知，，，，，一束光線從點出發(fā)射到上的點，經(jīng)反射后，再經(jīng)反射，落到線段上（不含端點），則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B．4,+∞ C． D．3．（21-22高二上·浙江紹興·期中）如圖，在直角坐標系中，三角形ABC的頂點坐標分別為、、，O為原點，從O點出發(fā)的光線先經(jīng)AC上的點反射到邊AB上，再由AB上的點反射回到BC邊上的點停止，則光線的斜率的范圍為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·廣東廣州·期末，多選）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，為坐標原點，一束平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點Ax1,y1反射后，再經(jīng)上另一點Bx2,y2反射后，沿直線射出，且經(jīng)過點，則（

）A．當時，延長交直線于點，則、、三點共線B．當時，若平分，則C．的大小為定值D．設(shè)該拋物線的準線與軸交于點，則5．（2122高三·湖北宜昌·模擬）已知：，，，，，一束光線從點出發(fā)發(fā)射到上的點經(jīng)反射后，再經(jīng)反射，落到線段上（不含端點）斜率的范圍為.題型十：兩點距離公式應(yīng)用求解形如的式子的最小值思路：（1）先將問題轉(zhuǎn)化為點到點的距離之和問題；（2）畫出圖示，必要時借助點關(guān)于直線的對稱點知識進行分析；（3）根據(jù)距離之和的最小值得到原式的最小值.1．（21-22高二上·河北保定·期末）的最小值為（

）A．5 B． C．6 D．2．（23-24高三上·重慶南岸·階段練習）已知x，，若恒成立，則實數(shù)m的最大值是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·湖南長沙·期末）已知，且，則的最大值為（

）A．9 B．12 C．36 D．484．（2024·甘肅定西·一模，多選）下列命題為真命題的是（

）A．的最小值是2B．的最小值是C．的最小值是D．的最小值是5．（20-21高三上·浙江溫州·階段練習）若，則的最小值是．題型十一：平行線應(yīng)用兩直線平行兩直線平行(1)斜截式判斷法：兩條直線平行：對于兩條不重合的直線l1、l2：(ⅰ)若其斜率分別為k1、k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2. (ⅱ)當直線l1、l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.(2)一般式判斷法：設(shè)兩直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0，則有：l1∥l2?A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1； 1．（22-23高二上·四川南充·期中）對于圓上任意一點，的值與，無關(guān)，則的范圍為（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·重慶江北·階段練習）若橢圓上的點到直線的最短距離是，則最小值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）若動點分別在直線和上移動，則AB的中點M到原點距離的最小值為（

）A．3 B．2 C． D．44．（24-25高二上·江蘇連云港·階段練習，多選）下列選項正確的是（

）A．過點且和直線垂直的直線方程是B．若直線的斜率，則直線傾斜角的取值范圍是C．若直線與平行，則與的距離為D．已知圓，圓，、分別是圓、上的動點，為直線上的動點，則的最小值為5．（2024·湖北·模擬預(yù)測）若函數(shù)在不同兩點，處的切線互相平行，則這兩條平行線間距離的最大值為.題型十二：對稱：“將軍飲馬”型最值1．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）在平面直角坐標系中，軍營所在區(qū)域的邊界為，河岸所在直線方程為，將軍從點處出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再返回軍營，如果將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則這個將軍所經(jīng)過的最短路程為（）A． B． C． D．2．（23-24高二上·寧夏銀川·期中）“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”是唐代詩人李頎《古從軍行》這首詩的開頭兩句.詩中隱含著一個數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”：將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即認為回到軍營，那么“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．13 B．11 C．9 D．73．（23-24高二上·河南新鄉(xiāng)·期中）的最小值為（

）A． B． C． D．4.（23-24高二上·江西·階段練習，多選）．2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強的一部分，唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)將軍的出發(fā)點是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則（

）A．將軍從出發(fā)點到河邊的路線所在直線的方程是B．將軍在河邊飲馬的地點的坐標為C．將軍從河邊回軍營的路線所在直線的方程是D．“將軍飲馬”走過的總路程為5．（24-25高二下·上?！卧獪y試）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為．題型十三：絕對值型1．（