拓展三：圓錐曲線面積問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)1圓錐曲線中三角形（四邊形）的面積(一)利用弦長(zhǎng)與點(diǎn)到直線距離計(jì)算三角形面積1、弦長(zhǎng)公式若在直線上，代入化簡(jiǎn)，得;2、利用弦長(zhǎng)與點(diǎn)到直線距離計(jì)算三角形面積公式若直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為定點(diǎn)或滿足一定條件的動(dòng)點(diǎn)，要表示△PAB的面積，一般是先利用弦長(zhǎng)公式求出，再利用點(diǎn)到直線距離公式求出點(diǎn)P到直線AB的距離，則.(二)三角形中一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊上某一點(diǎn)的距離為定值，可把三角形分為兩個(gè)小三角形分別計(jì)算面積若過(guò)定點(diǎn)Q的直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為定點(diǎn)或滿足一定條件的動(dòng)點(diǎn)，要表示△PAB的面積，可先求出點(diǎn)A，B到直線PQ的距離之和d，則，特別的，若與y軸垂足，，利用這種方法求面積，可以避免使用弦長(zhǎng)公式，減少運(yùn)算量.(三)對(duì)角線互相垂直的四邊形面積的計(jì)算對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積為兩對(duì)角線長(zhǎng)度乘積的.(四)把四邊形分割成兩個(gè)三角形求面積如果四邊形的一條對(duì)角線所在直線的方程確定，通常把該四邊形分割為以這條對(duì)角線為底邊的兩個(gè)三角形，分別表示出這兩個(gè)三角形的面積再相加知識(shí)點(diǎn)2面積比值通過(guò)兩個(gè)三角形面積的作比，尋找等底或等高情況，將面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為底邊長(zhǎng)度或高度的比值，進(jìn)行坐標(biāo)或向量進(jìn)行求解.知識(shí)點(diǎn)3圓錐曲線面積的最值問(wèn)題(一)利用函數(shù)性質(zhì)求面積最值或范圍如果能把三角形或四邊形的面積用某一個(gè)變量來(lái)表示，此時(shí)可把面積看作關(guān)于該變量的函數(shù)，若函數(shù)的單調(diào)性容易確定，可利用函數(shù)單調(diào)性求面積最值或范圍.(二)利用均值不等式求面積最值或范圍如果能把三角形或四邊形的面積轉(zhuǎn)化為某些變量的代數(shù)式，若對(duì)代數(shù)式進(jìn)行恒等變形后能出現(xiàn)和為定值或乘積為定值的式子，可考慮利用均值不等式求最值或范圍.類(lèi)型一圓錐曲線中三角形（四邊形）的面積利用弦長(zhǎng)和點(diǎn)到直線的距離求三角形的面積1．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)斜率為2的直線經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的面積.【解析】(1)由題意可得，解得，所以橢圓的方程為.(2)解法一：由（1）得，則由題意可設(shè)直線，代入橢圓方程整理可得，設(shè)，則，則由弦長(zhǎng)公式知，又設(shè)到的距離為，則由點(diǎn)到直線距離公式可得，的面積，即所求面積為.解法二：由（1）得，則由題意可設(shè)直線，即代入橢圓方程整理可得，設(shè)，則，，則的面積，即所求面積為.2．已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．(1)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；(2)求的面積．【解析】（1）橢圓知，該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)焦距為，由，所以，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為離心率為：（2）由直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)則消去得，，所以又到的距離為所以的面積為：3．已知橢圓的離心率為，左焦點(diǎn)為，過(guò)且垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長(zhǎng)為3．(1)求橢圓的方程;(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的面積．【解析】（1）解：由題知，代入得，所以，根據(jù)題意得，解得，．故橢圓的方程為．（2）解：設(shè)，，聯(lián)立消去后整理可得．所以，，．所以，．到直線的距離．所以，的面積為．4．橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為，且橢圓過(guò)點(diǎn)過(guò)且不與兩坐標(biāo)軸平行的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱.(1)求橢圓的方程(2)當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求的面積；(3)若點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.【解析】(1)解：由題得，所以橢圓方程為，因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)所以，所以所以橢圓的方程為.(2)解：由題得,所以直線的方程為即，聯(lián)立直線和橢圓方程得，所以,點(diǎn)到直線的距離為.所以的面積為.(3)解：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程得，設(shè)，所以，由題得，，所以，所以，所以,又有公共點(diǎn),所以三點(diǎn)共線.由水平寬鉛錘高求三角形面積5．已知橢圓，的左焦點(diǎn)，且離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且直線傾斜角為，求的面積．【解析】（1）由已知得：；解得，所求橢圓方程為(2)設(shè)，直線的斜率，故直線的方程為：，聯(lián)立，消去得：，法一：∴或．聯(lián)立得，∴的面積為法二：∴聯(lián)立得,∴的面積為法三：∴或．代入直線，得∴N到直線QM：的距離，∴的面積為.6．如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)是第一象限內(nèi)橢圓C上的一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線分別交橢圓C于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，的面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)分別記和的面積為和，求的最大值．【解析】（1）設(shè)，則，的面積為，解得，在中，，由余弦定理，即，所以，則，橢圓C的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則直線的方程為，將其代入橢圓方程中可得，所以，所以，同理可求得，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.對(duì)角線互相垂直的四邊形面積7．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)不過(guò)圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接交軌跡于點(diǎn).（i）若直線交軸于點(diǎn)，證明：為一個(gè)定點(diǎn)；（ii）若過(guò)圓心的直線交軌跡于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且，求四邊形面積的最小值.【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓心的坐標(biāo)為由題意可知：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為.動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，動(dòng)圓的圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為：，其中從而軌跡的方程為：（2）（i）設(shè)直線的方程為，則由可得：直線的方程為，令可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：為一個(gè)定點(diǎn)，其坐標(biāo)為（ii）根據(jù)（i）可進(jìn)一步求得：.，則，四邊形面積（法一）等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取，即時(shí)，（法二）令，則當(dāng)，即時(shí)，把四邊形分割成兩個(gè)三角形的面積8．設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，離心率為，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，，直線BF與直線l的交點(diǎn)為Q，求的面積．【解析】（1）由題意得：，則，解得，則橢圓C的方程為：；由（1）得，則直線BF方程，又可得P在線段OB垂直平分線上，則，又P在橢圓上，解得，則，直線，聯(lián)立和線BF可得，解得，則，則.9．已知A、B分別為橢圓：）的上、下頂點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，C是橢圓上異于A、B的點(diǎn)，點(diǎn)D在坐標(biāo)平面內(nèi)．(1)若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，且，，求四邊形CADB面積S的最大值．【解析】（1）由已知是等邊三角形，因?yàn)?，，所以，得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，因?yàn)?，，所以，則,所以，，所以，，兩式相減得，帶回原式得，因?yàn)?，所以，（?dāng)時(shí)取等）所以四邊形CADB面積S的最大值為．類(lèi)型二面積定值10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，直線，點(diǎn)M滿足到點(diǎn)F的距離與它到直線l的距離之比為，記M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)M且與C相切的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，射線MO交橢圓E于點(diǎn)N，試問(wèn)的面積是否為定值?請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】(1)解：設(shè)，根據(jù)題意，，其中表示M到直線l的距離.整理得，曲線C的方程為：．(2)解：的面積為定值，理由如下：設(shè)，①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，過(guò)直線方程為，不妨令，則此時(shí)，，由題可得，故；②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)過(guò)直線方程為該直線與橢圓C相切得：①，，則直線MO的方程為：，，由題可得，M，N位于y軸兩側(cè)，故.即設(shè)，，，，將直線代入橢圓的方程，可得，由，可得，②則有，，所以，將①代入得：由直線與軸交于，則的面積為.故綜上：面積為定值．11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線的右頂點(diǎn)在圓上，且．(1)求雙曲線的方程；(2)動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)、，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)．求證：的面積為定值．【解析】（1）不妨設(shè),因?yàn)?從而故由,又因?yàn)?所以,又因?yàn)樵趫A上,所以所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程為由于動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn),且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn),當(dāng)動(dòng)直線的斜率不存在時(shí),,，,當(dāng)動(dòng)直線的斜率存在時(shí),且斜率,不妨設(shè)直線,故由依題意，且,化簡(jiǎn)得,故由,同理可求,,所以又因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離,所以,又由所以,故的面積是為定值,定值為12．已知橢圓的離心率為，短半軸長(zhǎng)為．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，延長(zhǎng)線段AO，BO與C分別交于點(diǎn)M，N，若直線AM，BN的斜率之積為，證明：四邊形ABMN的面積為定值．【解析】(1)∵，，∴，∴．∴C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)由橢圓的對(duì)稱性可知，因此只需求的面積即可．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，．聯(lián)立得，，，．．，即．，原點(diǎn)O到直線AB的距離，∴．當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，，，，，解得，．∴．綜上，的面積為定值．∴四邊形ABMN的面積為定值．13．已知橢圓E：的離心率，且右焦點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)四邊形的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線，過(guò)原點(diǎn)，若，證明：四邊形的面積為定值.【解析】(1)．(2)設(shè)，設(shè)，代入，得，∵，∴，，∵，得，即，解得，∵，且，又，，整理得，∴為定值．14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，，是橢圓C的短軸端點(diǎn)，P是橢圓C上異于點(diǎn)，的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足，，求證與的面積之比為定值．【解析】(1)解：∵的周長(zhǎng)為8，∴，即，∵離心率，∴，，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)方法一：設(shè)，則直線斜率，∵，∴直線斜率，∴直線的方程為：，同理直線的方程為：，聯(lián)立上面兩直線方程，消去y，得，∵在橢圓上，∴，即，∴，∴所以與的面積之比為定值4．方法二：設(shè)直線，的斜率分別為k，，點(diǎn)，，則直線的方程為，∵，∴直線的方程為，將代入，得，∵P是橢圓上異于點(diǎn)，的點(diǎn)，∴，又∵，即，∴，即，由，得直線的方程為，聯(lián)立得，∴所以與的面積之比為定值4．類(lèi)型三面積比值15．如圖，已知橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線軸時(shí)，.(1)求橢圓的方程；(2)記,的面積分別為，求的取值范圍；(3)若的重心在圓上，求直線的斜率.【解析】(1)因?yàn)樽箜旤c(diǎn)，所以，根據(jù)，可得，解得，所以；(2)設(shè)直線為，則，則，，

那么，根據(jù)解得，所以.(3)設(shè)重心，則：，，所以，所以，即所求直線的斜率為.16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，實(shí)軸長(zhǎng)為，且斜率為的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為.(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P，Q為橢圓上異于，的兩點(diǎn)，且以P，Q為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，設(shè)，的面積分別為，，計(jì)算的值.【解析】(1)設(shè)點(diǎn)，，代入橢圓C的方程得，，兩式相減得，即，所以.因?yàn)?，，解得，，所以橢圓C的方程為.；(2)根據(jù)題意可知直線PQ的斜率一定存在，設(shè)直線PQ的方程為，點(diǎn)，，聯(lián)立，消去y并整理得.，，，.，，則，整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，直線PQ的方程為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，直線PQ的方程為，過(guò)定點(diǎn)，，，.17．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓上，過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線，垂足為Q且.(1)求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程；(2)直線與圓相切，且直線與曲線E相交于兩不同的點(diǎn)A、B，T為線段AB的中點(diǎn).線段OA、OB分別與圓O交于M、N兩點(diǎn)，記的面積分別為，求的取值范圍.【解析】(1)設(shè)點(diǎn)，則，因，則有，又點(diǎn)P在圓上，即，所以動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程是.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：，因直線與圓相切，則，即，而時(shí)，直線與橢圓E相切，不符合題意，因此，由消去x并整理得：，設(shè)，則，而點(diǎn)T是線段AB中點(diǎn)，則有：，令，則，而，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，而，于是得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，，此時(shí)，所以的取值范圍是.18．已知橢圓：（）的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為線段的中點(diǎn)，為原點(diǎn)，所在的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），問(wèn)是否存在直線使得的面積是面積的倍？若存在，求直線的方程，并求此時(shí)四邊形的面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)因?yàn)橹獧E圓：（）的焦距為，所以，又因?yàn)樵摍E圓過(guò)，所以，因此，因此該橢圓的方程為：；(2)顯然直線存在斜率，設(shè)為，該直線方程設(shè)為，與橢圓方程聯(lián)立，得，或，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，則有成立，因此點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，即，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，即，所以直線的斜率為：，所以直線的方程為：，把它代入橢圓方程中，得：，因?yàn)辄c(diǎn)在軸上方，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，它的橫坐標(biāo)為：，即，點(diǎn)到直線的距離為：，點(diǎn)到直線的距離為：，假設(shè)存在直線使得的面積是面積的倍，則有：，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以有，于是有，顯然滿足，直線的方程為，，或，，當(dāng)直線的方程為，，此時(shí)和，四邊形的面積為：，當(dāng)直線的方程為，，此時(shí)和，四邊形的面積為：，所以存在使得的面積是面積的倍的直線，方程為：，或，四邊形的面積為.19．已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切，且與圓內(nèi)切.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程，并說(shuō)明軌跡是何種曲線；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與直線交于兩點(diǎn)，且滿足的面積是面積的一半，求的面積．【解析】（1）解：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，設(shè)圓的半徑為，由題意，，所以，由橢圓的定義可知，動(dòng)圓圓心的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，則，所以，所以動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為；（2）解：由題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)，，由，可得，所以①，②，且，即，因?yàn)榈拿娣e是面積的一半，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，即③，聯(lián)立①②③可得，所以，因?yàn)榈街本€AB的距離，，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以的面積為或.20．設(shè)橢圓C：的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，，分別是左右焦點(diǎn)，N是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線的斜率為.(1)求橢圓C的離心率；(2)若拋物線的焦點(diǎn)恰好是點(diǎn)B，設(shè)直線l：與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第一象限，若（S表示面積），求k的值【解析】(1)由題意知，，所以，由勾股定理可得，由橢圓定義可得，故(2)由題意知，則，聯(lián)立，解得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.設(shè)點(diǎn)，，則由知，，即，知，即已知直線AB的方程為，聯(lián)立，解得由，得，知故有，解得或由，知，故類(lèi)型四已知面積求參21．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若的面積為，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解析】(1)設(shè)橢圓C的焦距為，由題意有，得，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由的面積為，有，得，有，得，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．22．已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，若面積為，求m．【解析】(1)解：根據(jù)題意可知：，解得，所以橢圓的方程為；(2)解：設(shè)，聯(lián)立，消整理得，則，解得，，則，點(diǎn)到直線的距離，則，解得，所以若面積為，.23．已知橢圓，由C的上、下頂點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形．(1)求C的方程；(2)直線l過(guò)C的右焦點(diǎn)F，且和C交于點(diǎn)A，B，設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若三角形OAB的面積是，求l的方程．【解析】(1)由已知，，，所以C的方程為(2)，①若l斜率不存在，易知；②若l斜率存在，設(shè)，，和C的方程聯(lián)立得：，，，所以點(diǎn)O到直線l的距離為，所以，解之得，，所以l的方程為或，24．已知為橢圓上任一點(diǎn)，，為橢圓的焦點(diǎn)，，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)若直線：與橢圓的兩交點(diǎn)為A，，線段的中點(diǎn)在直線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，求直線的方程．【解析】（1）由橢圓定義得，，所以，故，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)代入方程，得所以，，所以，解得，則式變?yōu)閯t，底邊上的高，所以的面積．令，解得，把，代入式，經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足，此時(shí)直線的方程為或．25．已知橢圓C：的離心率為，且短軸長(zhǎng)為2，A，B是C的左、右頂點(diǎn)，G是C上異于A，B的任意一點(diǎn)，軸于H，延長(zhǎng)線段HG到點(diǎn)Q，使得，直線AQ與直線l：交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為線段MB的中點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，平行四邊形OQNR（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為5，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍【解析】(1)由題可得，則，．由題可知，．∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)由（1）可知，，直線l的方程為．由題可知，．∵點(diǎn)G在C上，∴，即．由題可知直線AQ的方程為．由，解得，即，∴．∴直線QN的斜率為，則直線QN的方程為，即．∴點(diǎn)O到直線QN的距離為．又，∴．由，可得，解得，∴的取值范圍是．類(lèi)型五圓錐曲線面積的最值問(wèn)題利用函數(shù)性質(zhì)求面積最值26．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，、是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率為，求四邊形面積的最大值.【解析】(1)由題意，即；拋物線，焦點(diǎn)為，故，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.(2)由題意作圖如下：設(shè)AB直線的方程為：，并設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程：得：，∴……①，……②，；由于A，B兩點(diǎn)在直線PQ的兩邊（如上圖），所以，即，將①②帶入得：，解得；即由題意直線PQ的方程為，聯(lián)立方程解得，，∴；將線段PQ看做鉛錘底，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差看做水平高，得四邊形APBQ的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取最大值，而，所以的最大值為.27．已知橢圓的焦點(diǎn)為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的倍．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率為1的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，求面積的最大值．【解析】(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意，半焦距，，即，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)依題意，設(shè)直線，，由消去y并整理得：，由，解得，則有，，于是得，而點(diǎn)到直線的距離為，因此，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以面積的最大值為1.28．已知橢圓?與?軸的正半軸交于點(diǎn)?，且離心率?.(1)求橢圓?的方程;(2)若直線?過(guò)點(diǎn)?與橢圓?交于?兩點(diǎn)，求?面積的最大值并求此時(shí)的直線方程.【解析】（1）橢圓?與?軸的正半軸交于點(diǎn)?，則，則?橢圓的方程為:?（2）當(dāng)直線?的斜率為0時(shí)，三點(diǎn)共線，顯然不滿足題意.當(dāng)直線?的斜率不為0時(shí)，設(shè)?代入，得到??設(shè)????令?令在單調(diào)遞增，?當(dāng)為最大，此時(shí)的方程為:?29．如圖所示：已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率．是橢圓的右頂點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)交橢圓于，兩點(diǎn)，記的面積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的最大值．【解析】(1)解：由題意可得：，，離心率，則，，橢圓的方程為：；(2)解：依題意知直線的斜率可能不存在，但直線的斜率不能為0，則設(shè)直線方程為：，設(shè)，，，，由，得，恒成立則，，則，又點(diǎn)到直線的距離，，令，則當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號(hào)成立，取等條件不成立，故當(dāng)時(shí)，時(shí)，故．即的最大值為.30．已知橢圓，離心率為，它的短軸長(zhǎng)等于雙曲線的虛軸長(zhǎng)(1)求橢圓C的方程(2)已知是橢圓上的兩點(diǎn)，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)①若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值②當(dāng)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足，試問(wèn)直線的斜率是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】(1)解：因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)等于雙曲線的虛軸長(zhǎng)，所以，又橢圓的離心率為，所以，所以，所以橢圓C的方程為；(2)解：①設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立，消得，，解得，，則四邊形面積，所以當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，的斜率之和為0，設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，消得，則，同理，所以，從而，所以直線的斜率為定值.31．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)為D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)O，D的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)四邊形AMBN面積是否有最大值，若有求最大值，若沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)解：由題意可得，解得,故橢圓的方程為.(2)解：當(dāng)直線斜率不存在時(shí),的坐標(biāo)分別為,四邊形面積為；當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)其方程為，點(diǎn)

,點(diǎn)到直線的距離分別為，則四邊形面積為,由得,則，所以

，因?yàn)樗灾悬c(diǎn),當(dāng)時(shí),直線方程為,解得

所以.當(dāng)時(shí),四邊形面積的最大值

綜上四邊形面積的最大值為.利用基本不等式求面積最值32．已知橢圓：（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)如圖所示，過(guò)橢圓上的點(diǎn)，（）的直線與，軸的交點(diǎn)分別為和，且，過(guò)原點(diǎn)的直線與平行，且與橢圓交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值.【