引言平面向量作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，不僅是解決幾何問題的有力工具，也在物理等學(xué)科中有著廣泛應(yīng)用。在北京市高考文科數(shù)學(xué)中，平面向量通常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時也會與三角函數(shù)、解析幾何等內(nèi)容結(jié)合考查。本專題旨在幫助同學(xué)們系統(tǒng)梳理平面向量的核心知識，掌握基本運算方法與解題技巧，提升在高考中的應(yīng)試能力。復(fù)習(xí)時，建議同學(xué)們注重概念的理解，多動手演算，體會向量法解決問題的獨特優(yōu)勢。一、平面向量的基本概念與線性運算1.1向量的基本概念核心知識：*向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量。*向量的表示：常用有向線段表示，或用字母$\vec{a},\vec,\vec{c},\dots$表示，也可用起點和終點的字母表示，如$\overrightarrow{AB}$。*向量的模：向量的大小，也就是有向線段的長度，記作$|\vec{a}|$或$|\overrightarrow{AB}|$。*零向量：長度為零的向量，記作$\vec{0}$。零向量的方向是任意的。*單位向量：長度等于1個單位的向量。與非零向量$\vec{a}$同向的單位向量為$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$。*平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量。規(guī)定零向量與任一向量平行。*相等向量：長度相等且方向相同的向量。要點提示：*向量不同于數(shù)量，它既有大小又有方向，因此不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小。*共線向量強調(diào)的是方向相同或相反，與它們的起點位置無關(guān)。*理解零向量的特殊性，它在向量運算中扮演著重要角色，如$\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$。1.2向量的線性運算1.2.1向量的加法與減法*加法定義：三角形法則和平行四邊形法則。*三角形法則：已知非零向量$\vec{a},\vec$，在平面內(nèi)任取一點$A$，作$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec$，則向量$\overrightarrow{AC}$叫做$\vec{a}$與$\vec$的和，記作$\vec{a}+\vec$。*平行四邊形法則：已知非零向量$\vec{a},\vec$，在平面內(nèi)任取一點$O$，作$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec$，以$OA,OB$為鄰邊作平行四邊形$OACB$，則向量$\overrightarrow{OC}$叫做$\vec{a}$與$\vec$的和。*加法運算律：交換律$\vec{a}+\vec=\vec+\vec{a}$；結(jié)合律$(\vec{a}+\vec)+\vec{c}=\vec{a}+(\vec+\vec{c})$。*減法定義：向量$\vec{a}$加上向量$\vec$的相反向量，叫做$\vec{a}$與$\vec$的差，即$\vec{a}-\vec=\vec{a}+(-\vec)$。也可用三角形法則：在平面內(nèi)任取一點$O$，作$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec$，則$\overrightarrow{BA}=\vec{a}-\vec$。要點提示：*向量加法的三角形法則可以推廣到多個向量相加，即“首尾相接，連首尾”。*向量減法的幾何意義是：差向量的起點是減向量的終點，終點是被減向量的終點。1.2.2向量的數(shù)乘*定義：實數(shù)$\lambda$與向量$\vec{a}$的積是一個向量，記作$\lambda\vec{a}$，它的長度與方向規(guī)定如下：*$|\lambda\vec{a}|=|\lambda||\vec{a}|$；*當$\lambda>0$時，$\lambda\vec{a}$的方向與$\vec{a}$的方向相同；當$\lambda<0$時，$\lambda\vec{a}$的方向與$\vec{a}$的方向相反；當$\lambda=0$時，$\lambda\vec{a}=\vec{0}$。*運算律：設(shè)$\lambda,\mu$為實數(shù)，則*$\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}$；*$(\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}$；*$\lambda(\vec{a}+\vec)=\lambda\vec{a}+\lambda\vec$。1.2.3向量共線定理*向量$\vec$與非零向量$\vec{a}$共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)$\lambda$，使得$\vec=\lambda\vec{a}$。要點提示：*共線定理是判斷兩個向量是否共線以及證明三點共線的重要依據(jù)。使用時務(wù)必注意$\vec{a}$是非零向量這一前提。*證明三點$A,B,C$共線，通?？赊D(zhuǎn)化為證明$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$（或$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BC}$）共線。二、平面向量的基本定理及坐標表示2.1平面向量基本定理*定理內(nèi)容：如果$\vec{e_1},\vec{e_2}$是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量$\vec{a}$，有且只有一對實數(shù)$\lambda_1,\lambda_2$，使$\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}$。*基底：我們把不共線的向量$\vec{e_1},\vec{e_2}$叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。要點提示：*平面向量基本定理揭示了平面向量的統(tǒng)一性和結(jié)構(gòu)性，是向量由幾何表示過渡到代數(shù)表示的橋梁。*基底的選擇是不唯一的，但必須是兩個不共線的向量。2.2平面向量的坐標表示*坐標定義：在平面直角坐標系中，分別取與$x$軸、$y$軸方向相同的兩個單位向量$\vec{i},\vec{j}$作為基底。對于平面內(nèi)的任一向量$\vec{a}$，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)$x,y$，使得$\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}$。我們把有序數(shù)對$(x,y)$叫做向量$\vec{a}$的坐標，記作$\vec{a}=(x,y)$。*點的坐標與向量坐標的關(guān)系：若向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量終點的坐標相同。若向量$\overrightarrow{AB}$的起點$A$的坐標為$(x_1,y_1)$，終點$B$的坐標為$(x_2,y_2)$，則$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。2.3平面向量的坐標運算*加法：若$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec=(x_2,y_2)$，則$\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)$。*減法：$\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)$。*數(shù)乘：$\lambda\vec{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)$（$\lambda$為實數(shù)）。*共線的坐標表示：設(shè)$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec=(x_2,y_2)$（$\vec\neq\vec{0}$），則$\vec{a}\parallel\vec$的充要條件是$x_1y_2-x_2y_1=0$。要點提示：*向量的坐標運算將向量的幾何運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，大大簡化了運算過程，是解決向量問題的常用方法。*記憶向量坐標運算的法則時，可以類比數(shù)的運算，但要注意其“雙向”性。三、平面向量的數(shù)量積3.1向量數(shù)量積的定義*定義：已知兩個非零向量$\vec{a}$與$\vec$，它們的夾角為$\theta$（$0\leq\theta\leq\pi$），我們把數(shù)量$|\vec{a}||\vec|\cos\theta$叫做$\vec{a}$與$\vec$的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作$\vec{a}\cdot\vec$，即$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos\theta$。*規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為$0$。*幾何意義：數(shù)量積$\vec{a}\cdot\vec$等于$\vec{a}$的長度$|\vec{a}|$與$\vec$在$\vec{a}$方向上的投影$|\vec|\cos\theta$的乘積。要點提示：*向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量。*理解并記住數(shù)量積的幾何意義，有助于解決與投影、功等相關(guān)的問題。*兩向量的夾角$\theta$是指將它們的起點移到同一點時所形成的小于或等于平角的角。3.2向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)$\vec{a},\vec$都是非零向量，$\vec{e}$是與$\vec$方向相同的單位向量，$\theta$是$\vec{a}$與$\vec{e}$的夾角，則：1.$\vec{e}\cdot\vec{a}=\vec{a}\cdot\vec{e}=|\vec{a}|\cos\theta$。2.$\vec{a}\perp\vec\iff\vec{a}\cdot\vec=0$。（非常重要?。?.當$\vec{a}$與$\vec$同向時，$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|$；當$\vec{a}$與$\vec$反向時，$\vec{a}\cdot\vec=-|\vec{a}||\vec|$。特別地，$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$或$|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}$。4.$|\vec{a}\cdot\vec|\leq|\vec{a}||\vec|$。3.3向量數(shù)量積的運算律1.交換律：$\vec{a}\cdot\vec=\vec\cdot\vec{a}$。2.數(shù)乘結(jié)合律：$(\lambda\vec{a})\cdot\vec=\lambda(\vec{a}\cdot\vec)=\vec{a}\cdot(\lambda\vec)$（$\lambda$為實數(shù)）。3.分配律：$(\vec{a}+\vec)\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec\cdot\vec{c}$。要點提示：*數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即$(\vec{a}\cdot\vec)\cdot\vec{c}\neq\vec{a}\cdot(\vec\cdot\vec{c})$。3.4數(shù)量積的坐標表示設(shè)$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec=(x_2,y_2)$，則：*$\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2$。*$|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$。*若$\vec{a}\perp\vec$，則$x_1x_2+y_1y_2=0$。（非常重要！）*若$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$\theta$，則$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$。要點提示：*數(shù)量積的坐標表示是解決向量夾角、垂直、模長等問題的常用工具，務(wù)必熟練掌握。*利用坐標求夾角時，要注意夾角$\theta$的取值范圍是$[0,\pi]$，由$\cos\theta$的正負可判斷夾角是銳角、直角還是鈍角（注意排除共線情況）。四、平面向量的應(yīng)用4.1在平面幾何中的應(yīng)用利用向量知識可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離（長度）等問題。*證明線段平行或點共線：轉(zhuǎn)化為證明向量共線。*證明線段垂直：轉(zhuǎn)化為證明向量的數(shù)量積為零。*求線段的長度：轉(zhuǎn)化為求向量的模。*求角的大小：轉(zhuǎn)化為求向量的夾角。解題步驟參考：1.建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，將幾何圖形中的點用坐標表示。2.將相關(guān)的線段用向量表示。3.利用向量的坐標運算（如數(shù)量積、模、共線條件等）進行推理和計算。4.將向量運算的結(jié)果“翻譯”回幾何關(guān)系。4.2在物理中的應(yīng)用（簡介）向量在物理中有著廣泛的應(yīng)用，如力、位移、速度、加速度等都是向量。*力的合成與分解可以用向量的加法和減法來表示。*一個力對物體所做的功，就是這個力的向量與物體位移向量的數(shù)量積。要點提示：*用向量解決物理問題時，要注意向量的方向和物理量的單位。五、重點題型與方法歸納題型一：向量的線性運算及共線問題*方法：熟練掌握向量加減、數(shù)乘的三角形法則和平行四邊形法則；運用共線向量定理時，注意非零向量的條件。*例題：（此處可根據(jù)實際情況插入典型例題及簡要分析，強調(diào)數(shù)形結(jié)合思想）*例如：已知在$\triangleABC$中，$D$是$BC$的中點，求證：$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$。（可結(jié)合圖形，利用向量加法或減法證明）題型二：平面向量基本定理的應(yīng)用*方法：選擇合適的基底，將所求向量或已知向量用基底表示出來，利用待定系數(shù)法求解。*例題：（此處可根據(jù)實際情況插入